Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Физика для студентов ГГФ. В 2 частях. Ч.1. Механика, термодинамика и молекулярная физика. Учебное пособие
.pdf
стационарности течения энергия жидкости, находящейся в некоторый момент
времени в ограниченной сечениями 𝑑𝑆1и 𝑑𝑆2трубке тока, все время одинакова,
но за время 𝑑𝑡 мы изъяли из этой энергии 𝑑𝐾2, а вернули лишь 𝑑𝐾1. Недостающая
часть энергии и есть работа сил давления
𝐾 = 𝐾 − 𝑑𝐾2+ 𝑑𝐾1+ 𝑑𝐴,
откуда имеем
𝑑𝐾2− 𝑑𝐾1= 𝑑𝐴 . (11.2)
С другой стороны, эта работа обусловлена действием сил 𝑃1𝑑𝑆1и 𝑃2𝑑𝑆2на торцы
объема жидкости, находящейся в трубке тока. Плоскость приложения первой
силы, то есть жидкая поверхность в сечении 𝑑𝑆1, смещается на расстояние 𝜐1𝑑𝑡
в направлении действия силы, а значит, ее работа равна 𝑃1𝜐1𝑑𝑡𝑑𝑆1. Плоскость
приложения второй силы, или жидкая поверхность в сечении 𝑑𝑆2, смещается
на расстояние 𝜐2𝑑𝑡 в противоположном действию силы направлении, а следовательно, ее работа будет отрицательной и равной −𝑃2𝜐2𝑑𝑡𝑑𝑆2. Тогда, подставляя
выражения для кинетических энергий 𝑑𝐾1, 𝑑𝐾2и работы 𝑑𝐴 в уравнение (11.2),
имеем
𝜌𝜐
3
𝑑𝑡𝑑𝑆
2
2
3
𝜌𝜐
2
𝑑𝑡𝑑𝑆
1
1
−
= 𝑃1𝜐1𝑑𝑡𝑑𝑆1− 𝑃2𝜐2𝑑𝑡𝑑𝑆2,
2
или, сокращая на объем вытекающей из трубки тока жидкости за время 𝑑𝑡
и применяя уравнение неразрывности 𝜐1𝑑𝑆1= 𝜐2𝑑𝑆2, имеем
𝑃1+
𝜌𝜐
2
1
2
= 𝑃2+
𝜌𝜐
2
2
.
2
Так как сечения трубки тока мы выбирали произвольным образом, то полученное
уравнение для произвольного сечения трубки тока можем записать как
2
𝜌𝜐
𝑃 +
= const . (11.3)
2
Оно называется уравнением Бернулли. Заметим, что из уравнения Бернулли
и уравнения неразрывности следует, что давление жидкости в трубке тока тем
выше, чем больше ее поперечное сечение в этом месте, тогда как для скорости
течения жидкости зависимость обратная.
В поле тяжести мы должны будем еще учесть и изменение потенциальной
энергии жидкости, если трубка тока не горизонтальная. Ее мы также должны
поделить на объем вытекающей жидкости, как и исходное уравнение баланса
энергий (11.2). В результате имеем уравнение Бернулли для трубки тока в поле
тяжести
𝑃 +
2
𝜌𝜐
+ 𝜌𝑔ℎ = const . (11.4)
2
Уравнение Бернулли, по сути, является законом сохранения энергии, отнесенным к единице объема жидкости. При выводе этого уравнения мы полагали,
что сечение трубки тока бесконечно мало. Соответственно, уравнение Бернулли
можно применить и к одной линии тока.
Рассчитаем скорость истечения идеальной жидкости из малого отверстия
в сосуде с помощью уравнения Бернулли. Из условия малости отверстия следует,
151
что скоростью жидкости в сосуде можно пренебречь, а также можно считать,
что истечение жидкости происходит стационарно с одинаковой скоростью по
сечению отверстия. Тогда сосуд и вытекающую струю вблизи сосуда можно
считать одной трубкой тока. На поверхности жидкости в сосуде давление равно
атмосферному 𝑃0, скоростью жидкости на поверхности сосуда пренебрегаем,
а потенциальную энергию принимаем за нулевую. Соответственно, 𝑃0и будет
являться значением константы в уравнении Бернулли (11.4). Для отверстия,
находящегося на глубине ℎ, имеем
2
𝜌𝜐
𝑃0= 𝑃0+
где учтено, что после истечения жидкости из сосуда давление в ней становится
равным атмосферному. Отсюда имеем
𝜐 =2𝑔ℎ .
Полученное выражение есть формула Торичелли. Она показывает, что при
истечении жидкость приобретает такую скорость, какую получило бы тело,
свободно падающее с высоты ℎ. Такой результат есть следствие пренебрежения
внутренними силами трения. Для реальных жидкостей скорость истечения будет
меньше.
2
− 𝜌𝑔ℎ ,
11.3.3. Скорость распространения звука в жидкостях
и газах
В идеальной жидкости отсутствуют сдвиговые напряжения, поэтому поперечные
возмущения распространяться не могут. В то же время продольные возмущения,
представляющие собой локальные изменения давления, вполне себе воздействуют на соседние элементы объема жидкости. Для упругих сред скорость
распространения продольных возмущений
𝐸
𝑐 =
Здесь мы не делаем различия между модулем Юнга и модулем одностороннего
сжатия, понимая, что полученные результаты рассмотрения упругих сред очень
условно применимы к жидкостям и газам.
Выясним, какая величина является аналогом модуля Юнга в жидкостях.
Так как модуль Юнга является характеристикой сжимаемости упругих сред, то
проведем рассмотрение для сжимаемой жидкости, что будет справедливо и для
газов.
Пусть неподвижная жидкость заключена в тонкую гладкую прямолинейную
горизонтальную трубу постоянного сечения, что эквивалентно неограниченной
жидкой среде. Давление жидкости в невозмущенном состоянии обозначим 𝑃0.
Выделим участок трубы длиной 𝑙 и сожмем его на малую величину 𝑑𝑙. Тогда
прирост давления
𝑑𝑃 = −𝐸
152
.
𝜌
𝑑𝑙
.
𝑙
Домножим числитель и знаменатель справа на сечение трубы и получим
𝑑𝑃 = −𝐸
𝑑𝑉
𝑉
.
Откуда имеем, что
𝐸 = −𝑉
𝑑𝑃
𝑑𝑉
.
Поскольку в исходное выражение скорости звука входит плотность, то от
дифференцирования по объему перейдем к дифференцированию по 𝜌. Выделим
элемент жидкости (или газа) массой 𝑚 = 𝑉 𝜌. В процессе движения могут
меняться и объем, и плотность, но масса элемента жидкости или газа будет
оставаться константой. Соответственно,
𝑑𝑚
𝑑(𝑉 𝜌)
𝑑𝑡
=
𝑑𝑡
= 0 ,
откуда имеем 𝑑(𝑉 𝜌) = 𝜌𝑑𝑉 + 𝑉 𝑑𝜌 = 0, или
𝑑𝑉
𝑉
= −
𝑑𝜌
𝜌
.
Тогда аналогом модуля Юнга в жидких и газообразных средах является
величина
𝑑𝑃
𝑑𝜌
.
𝐸 = 𝜌
Эту величину в упругих средах называют объемным модулем упругости 𝐾 .
Соответственно, скорость звука в жидкостях и газах определяется выражением
𝑑𝑃
𝑐 =
𝑑𝜌
.
Впервые эта формула для расчета скорости звука в газе была использована Ньютоном. Он полагал, что изменение давления газа пропорционально
плотности, согласно уже полученному к тому времени эмпирическому закону Бойля – Мариотта, устанавливающему линейную связь давления и плотности
разреженного газа при постоянной температуре. Полагая 𝑃 = 𝐴𝜌, где 𝐴 –
некоторая константа, Ньютон получил, что
𝑐Н=√𝐴 =
𝑃
.
𝜌
Подставляя атмосферное давление и плотность воздуха при этом давлении,
Ньютон получил 𝑐
Н
измеренной скоростью звука ≈ 330 м/с. Это расхождение в расчетах Ньютона
было обусловлено ошибочным предположением об изотермичности процесса
колебаний плотности и давления в газе. Поскольку изменение плотности в звуковой волне происходит быстро, то тепловой обмен между соседними объемами
153
газа можно считать несущественным, и тогда более корректным является
использование адиабатической зависимости давления от плотности 𝑃 = 𝐴𝜌𝛾, где
показатель адиабаты для воздуха 𝛾 ≈ 1, 4. Рассчитанная таким образом скорость
звука воздуха при нормальных условиях
𝛾𝑃
𝑐 =
≈ 330 м/с ,
𝜌
что с хорошей точностью совпадает с ее величиной, измеряемой
экспериментально.
154
Лекция 12
Понятия и постулаты
термодинамики
12.1. Введение
Термодинамика описывает тепловые процессы в макроскопических системах.
Так же как и другие разделы физики, термодинамика основывается на
фундаментальных законах, сформулированных на основе наблюдений за протекающими процессами. Эти фундаментальные законы называют началами
термодинамики.
Термодинамика оперирует усредненными во времени и по пространству
характеристиками тел, которые называют макроскопическими термодинамическими параметрами. Телом в термодинамике мы будет называть непрерывную
область пространства, заполненную каким-либо веществом, в том числе и газообразным. При переходе к бесконечно малым объемам мы будем полагать, что
в них все же содержится достаточное для проведения усреднения число частиц,
то есть будем рассматривать тело как сплошную среду.
Если макроскопические термодинамические параметры каждого бесконечно
малого объема тела, получаемые усреднением по этим объемам, одинаковы,
то состояние такого тела будем называть термодинамически равновесным.
Понятие термодинамического равновесия является базовым для термодинамики,
поскольку лишь в случае нахождения тела в термодинамически равновесном
состоянии мы можем определить конкретные значения его термодинамических
макроскопических параметров, одинаковых для всего тела.
12.2. Нулевое начало термодинамики
Наблюдения показывают, что любая изолированная макроскопическая система
стремится к термодинамически равновесному состоянию. Это утверждение
и носит название нулевого начала термодинамики. Другими словами, состояние
термодинамического равновесия является устойчивым и вывести термодинамическую систему из этого состояния можно только с помощью внешних воздей-
155
ствий. Состояния, в которых система находится в неустойчивом равновесии,
называют метастабильными. Равновесие в метастабильных состояниях может
быть нарушено и самопроизвольно.
Рассмотрим два изолированных тела, каждое из которых находится в состоянии термодинамического равновесия. Приведем эти два тела в контакт
между собой. Получившееся тело также будет являться изолированной термодинамической системой, которая будет стремиться к общему термодинамически
равновесному состоянию. Если одно из этих тел является эталонным, то при
достижении термодинамического равновесия между ними мы сможем определить
макроскопические параметры и второго тела. В качестве модели эталонного
тела в термодинамике используется модель идеального газа, которая будет
рассмотрена в следующих параграфах.
12.3. Равновесные и неравновесные процессы
Классическая термодинамика рассматривает процессы, в которых начальное
и конечное состояния являются равновесными. Промежуточные состояния
могут быть любыми, в том числе и неравновесными. Эти процессы в термодинамических системах могут происходить как сами по себе, так и под
действием постоянных или изменяющихся внешних условий, например при
непосредственном контакте с другими термодинамическими системами.
Самопроизвольный процесс установления термодинамического равновесия
в исходно неравновесной термодинамической системе называется релаксацией,
а время, затраченное на такой переход, – временем релаксации.
Процесс называется равновесным или квазистатическим, если рассматриваемая термодинамическая система все время находится в термодинамическом
равновесии. Например, если изменение внешних условий происходит настолько
медленно, что в системе успевает установиться равновесное состояние за характерное время изменения внешних условий, то такой процесс будет равновесным.
Отсюда становится понятным термин «квазистатический процесс». При таких
процессах можно с достаточной точностью полагать, что термодинамическая система проходит через непрерывную последовательность устойчивых равновесных
состояний.
Эта последовательность состояний может быть пройдена и в обратном направлении, поэтому равновесные процессы называют обратимыми. Неравновесные
процессы необратимы.
Безусловно, квазистатические процессы являются математической абстракцией. Однако чем медленнее протекают реальные процессы в термодинамических
системах и чем быстрее эти системы достигают промежуточных состояний
равновесия, тем точнее будут результаты расчетов, выполненных в рамках
равновесной термодинамики.
В ряде случаев термодинамическую систему можно разбить на малые
составляющие, в каждой из которых процесс установления термодинамического
равновесия будет очень коротким во времени. Тогда, несмотря на то что в целом
термодинамическая система вовсе не обязательно будет находиться в равновесном состоянии, мы все равно можем с некоторой степенью приближения
пользоваться методами классической термодинамики.
156
12.4. Идеальный газ
С точки зрения механики идеальный газ – это система из большого количества
микроскопических тел с пренебрежимо малыми по сравнению с масштабами
системы размерами, которые могут обмениваться импульсами или кинетической
энергией друг с другом только за счет абсолютно упругих столкновений, иначе
говоря, силы взаимодействия между ними консервативны, причем потенциальной энергией этих сил можно пренебречь по сравнению с кинетической.
В термодинамике макроскопическими параметрами идеального газа являются
объем, давление и температура. Объем – это область пространства, занятая
газом. Как правило, она ограничена стенками сосуда. Поэтому, рассматривая
объем как термодинамический параметр, обычно указывают удельный или
молярный объем газа. Понятие давления газа имеет тот же смысл, что и для
упругих тел. В модели идеального газа отсутствуют сдвиговые напряжения,
и для идеального газа также справедлив закон Паскаля. Величина силы,
действующей на единицу поверхности сосуда со стороны газа, не зависит от
ее ориентации в пространстве, а давление, создаваемое внешними силами на
единицу поверхности сосуда, одинаково передается по всем направлениям в газе
и по всему его объему.
Понятие температуры макроскопического тела в термодинамике мы свяжем
с интуитивным восприятием степени нагретости. Более горячие тела имеют более
высокую температуру. В то же время из опыта мы знаем, что степень нагретости
тела можно изменять посредством совершения работы диссипативными силами,
например силой трения. Соответственно, увеличение степени нагретости тела
можно связать с сообщением телу энергии. Именно это и происходит при
контакте двух тел, имеющих разную температуру. Часть энергии более нагретого
тела переходит к менее нагретому, и этот процесс завершается установлением
термодинамического равновесия, когда суммарный поток энергии между телами
становится равным нулю.
Энергия идеального газа, таким образом, определяется как сумма кинетических энергий составляющих его микроскопических тел, для каждого из
которых она равна 𝑚𝑖𝜐
стенки сосуда может быть обеспечено только лишь через взаимодействие этих
микроскопических тел со стенками. То есть через изменение их импульсов 𝑚𝑖𝜐
в результате столкновений. Иначе говоря, должна иметь место связь между
давлением идеального газа и его температурой.
Перед тем как указать эту связь, нам необходимо разобраться, что же считать
эталоном температуры. В практических целях в качестве эталонных температур
удобно выбирать их значения для легко воспроизводимых явлений. В России
и в большинстве стран Европы в технике, медицине, метеорологии и в быту
для измерения температуры используется шкала Цельсия, где температура
замерзания воды при атмосферном давлении принята за 0∘С, а точка кипения,
также при атмосферном давлении, равна 100∘C.
Экспериментальные наблюдения показали (Шарль, Гей-Люссак), что в сосудах с постоянным объемом давление идеального газа, в качестве которого
использовались достаточно разреженные газы, зависит от температуры в гра-
2
/2. С другой стороны, давление идеального газа на
𝑖
𝑖
157
дусах Цельсия (𝑡) по линейному закону
𝑃 = 𝑃0(1 + 𝛼𝑡) ,
где 𝑃0– давление газа при температуре 0∘C, а значение величины 𝛼 (≈ 1/273, 16
обратного градуса Цельсия) практически не зависит от химического состава
конкретного газа. Таким образом, идеальный газ может быть использован
в качестве термометрического тела. Мы приводим в контакт с исследуемым
телом сосуд с идеальным газом, дожидаемся наступления термодинамического
равновесия, после чего температуру тела определяем исходя из давления
идеального газа на стенки сосуда.
В термодинамике температуру задают в Кельвинах, которые отличаются от
градусов Цельсия на величину ≈ 273, 16. Удобство использования шкалы Кельвина заключается в том, что давление идеального газа прямо пропорционально
его температуре в Кельвинах без дополнительных слагаемых.
12.4.1. Эмпирические газовые законы
Рассмотрим теперь эмпирические законы, осмысление которых привело к получению зависимости между термодинамическими параметрами идеального газа.
Итак, из рассмотренного выше эмпирического закона, который называют законом Шарля или вторым законом Гей-Люссака, проведшим более точные измерения для подтверждения установленной Шарлем закономерности, имеем 𝑃 ∼ 𝑇
при постоянном объеме и количестве газа. Закон Бойля – Мариотта утверждает,
что при одинаковой температуре и неизменном количестве вещества остается
постоянной величина 𝑃𝑉 . Закон Авогадро утверждает, что в равных объемах
идеального газа при одинаковых давлении и температуре содержится одинаковое
число молекул. Закон Дальтона утверждает, что результирующее давление смеси
не реагирующих химически идеальных газов в одном сосуде есть просто сумма
их парциальных давлений, то есть каждый газ взаимодействует со стенками
независимо от других, находящихся в этом же сосуде. И, наконец, первый
закон Гей-Люссака утверждает, что остается постоянным соотношение 𝑉/𝑇 при
постоянном давлении и количестве молекул газа.
Пусть в некотором сосуде у нас находится идеальный газ, причем нам
известны давление 𝑃1, объем 𝑉1, температура 𝑇1и число молекул 𝑁1. Согласно
закону Бойля – Мариотта мы можем перевести газ в состояние 𝑃2, 𝑉2, 𝑇1, 𝑁1,
причем 𝑃1𝑉1= 𝑃2𝑉2.
Придем теперь в состояние газа с 𝑃2, 𝑉2путем изменения величин 𝑇1, 𝑁
до некоторых 𝑇2, 𝑁2, считая для определенности 𝑁2> 𝑁1. Исходя из закона Авогадро имеем возможность увеличить число молекул газа в сосуде так,
что 𝑉1/𝑁1= 𝑉2/𝑁2, но ни давление, ни температура не изменятся. Давление 𝑃
теперь складывается из парциальных давлений исходного газа с числом молекул 𝑁1и добавленного, согласно закону Дальтона. По закону Шарля мы можем
обеспечить выполнение 𝑃1/𝑇1= 𝑃2/𝑇2при изменении температуры газа в сосуде
до 𝑇2, сохраняя объем и число молекул газа 𝑉2, 𝑁2. Перемножая эти равенства
с учетом исходного условия 𝑃1𝑉1= 𝑃2𝑉2, получим 𝑇1𝑁1= 𝑇2𝑁2. Иначе говоря,
1
1
158
теперь в сосуде находится газ в состоянии 𝑃2, 𝑉2, 𝑇2, 𝑁2, причем
𝑃1𝑉
𝑁1𝑇
где 𝑘 – постоянная Больцмана. Ее точное значение 𝑘 = 1, 380649 · 10
𝑃2𝑉
1
1
2
=
= 𝑘 , (12.1)
𝑁2𝑇
2
−23
Дж/К
является в настоящее время эталоном для температуры в кельвинах.
В результате имеем эмпирическое макроскопическое уравнение состояния
идеального газа
𝑃 𝑉 = 𝑁 𝑘𝑇 .
12.4.2. Моль вещества
Молем вещества называют количество вещества, содержащее равное постоянной Авогадро 𝑁А= 6, 02214076 · 1023моль−1число частиц. Это именно
количественная единица измерения, а не массовая. Исторически молем вещества
называли количество атомов, содержащихся в 12 граммах изотопа углерода C12.
Отсюда вводилась углеродная атомная единица массы вещества, равная 1/12
массы атома углерода C12. Однако такой подход несколько смешивал единицы
массы и количества вещества, поэтому от него отказались, и теперь 1 моль
углерода C12не равен в точности 12 граммам. Кроме того, в силу дефекта
масс, который обсуждали ранее, масса одного моля углерода C12зависит и от
взаимного расположения атомов, что также неудобно для использования его
в качестве эталона.
Используя моль как меру количества вещества, уравнение состояния идеального газа можно записать в виде
𝑃 𝑉 = 𝜈𝑅𝑇 , (12.2)
где 𝜈 – количество молей газа, а 𝑅 = 𝑘𝑁А– универсальная газовая постоянная.
Уравнение состояния идеального газа в виде (12.2) называют уравнением Клапейрона – Менделеева. Разделив обе его части на объем и заметив, что 𝜈𝑁
есть число частиц в занимаемом газом объеме, мы увидим, что это уравнение
принимает вид
𝑃 = 𝑛𝑘𝑇 ,
где 𝑛 – концентрация молекул газа.
12.4.3. Квазистатические процессы в идеальном газе
Величины 𝑃, 𝑉, 𝑇 называют макроскопическими параметрами состояния термодинамической системы в целом и идеального газа в частности. Любой
из них может быть выражен через два других однозначным образом при
известном количестве идеального газа. Значения этих параметров определяются
лишь текущим равновесным состоянием идеального газа и не зависят от его
предыдущих состояний. Если мы введем систему координат, по осям которой
будут отложены параметры состояния идеального газа, то его текущее равновесное состояние будет указываться точкой с соответствующими координатами.
Поскольку нам достаточно знать лишь два параметра состояния известного
159
А
количества идеального газа для нахождения третьего, то достаточно будет двух
осей системы координат. Введенную таким образом систему координат называют
диаграммой состояний. В более сложных термодинамических системах, как
правило, также достаточно указания на осях координат лишь пары параметров
равновесного состояния этой системы для описания ее текущего состояния. Чаще
всего равновесное состояние термодинамической системы отображают точкой
на 𝑃 𝑉 -диаграмме, но также используются и, например, 𝑃 𝑇 - и 𝑇 𝑉 -диаграммы.
При равновесном процессе термодинамическая система проходит через последовательные равновесные состояния, лежащие между начальным и конечным,
а потому каждому промежуточному состоянию можно сопоставить определенную точку на диаграмме состояний. В результате равновесный процесс можно
изобразить в виде линии, соединяющей начальную и конечную точки. В случае
неравновесных процессов такой линии не существует, поэтому неравновесный
переход между начальным и конечным равновесными состояниями обычно
обозначают пунктирной линией.
Наиболее простыми для анализа являются равновесные процессы, в которых
один из макроскопических параметров 𝑃, 𝑉, 𝑇 остается постоянным.
Изобарический процесс
В этом процессе газ сжимается или расширяется при постоянном давлении.
На 𝑃 𝑉 -диаграмме такой процесс отображается прямой горизонтальной линией (рис. 12.1).
Изохорический процесс
Так называется процесс, в котором нагрев или охлаждение газа происходит
при постоянном объеме. На 𝑃 𝑉 -диаграмме такой процесс отображается прямой
вертикальной линией (см. рис. 12.1).
Изотермический процесс
При этом процессе происходит квазистатическое расширение или сжатие газа
при постоянной температуре, что обеспечивается, например, поддержанием
фиксированной температуры стенок сосуда. Как правило, это очень медленные
процессы, что обусловлено низкой теплопроводностью газа и, как следствие,
длительным временем выравнивания температуры в объеме. Зависимость давления от объема, как следует из уравнения состояния идеального газа (12.2), –
гипербола (см. рис. 12.1).
12.5. Первое начало термодинамики
Первым началом термодинамики называют закон сохранения энергии, записанный для термодинамической системы. Получим его математическую
форму. Пусть термодинамическая система представляет собой идеальный газ
в цилиндрическом сосуде сечением 𝑆, ограниченном поршнем. Если давление
газа под поршнем равно 𝑃 , то сила, действующая на поршень со стороны
160
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]