Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Физика для студентов ГГФ. В 2 частях. Ч.1. Механика, термодинамика и молекулярная физика. Учебное пособие
.pdf
𝑋(𝜔)
𝜔
Рис. 6.6. Резонансная кривая
Иначе говоря, имеем ровно то же значение добротности, что и в случае
затухающих колебаний под действием силы сопротивления среды.
Заметим, что максимальная амплитуда колебаний, как следует из уравнения (6.2), достигается на частоте
𝜔 =𝜔
2
− 2𝛾2,
0
которая меньше частот и собственных, и затухающих колебаний. Однако в случае
малого сопротивления среды этим обстоятельством можно пренебрегать.
Также отметим, что при колебаниях на частотах, близких к собственной
частоте, ¨𝑥 + 𝜔
2
𝑥 ≈ 0, а тогда уравнение движения (6.1) можно записать в виде
0
𝐹
2𝛾 ˙𝑥 =
0
cos 𝜔0𝑡 .
𝑚
Иначе говоря, вынуждающая сила и сила сопротивления среды компенсируют
друг друга, а ускорение тела обусловлено, например в случае груза на пружине,
лишь упругой силой.
81
Лекция 7
~r
~υ
O
m
Законы движения планет
7.1. Момент импульса и момент силы
Рассмотрим движение тела массой 𝑚, которое можем считать материальной
точкой, в произвольной системе координат с центром в точке 𝑂. Пусть
в некоторый момент времени тело имеет скорость 𝜐 и находится в точке с радиус-
вектором 𝑟, как указано на рис. 7.1. Импульс тела, соответственно, 𝑝 = 𝑚𝜐.
Величину
называют моментом импульса тела относительно центра координат в точке 𝑂
или центральным моментом импульса. Вектор𝐿, согласно правилам векторного
произведения, перпендикулярен образованной векторами 𝑟 и 𝜐 плоскости, а его
направление зависит от взаимной ориентации векторов 𝑟 и 𝜐.
𝐿 = 𝑟 × 𝑝 (7.1)
Рис. 7.1. К определению момента импульса
Определим, за счет чего может изменяться со временем величина момента
импульса тела, для чего продифференцируем выражение (7.1) по времени,
используя второй закон Ньютона,
𝑑𝐿
𝑑𝑡
=
𝑑
[𝑟 × 𝑝] =
𝑑𝑡
𝑑𝑟
× 𝑝 + 𝑟 ×
𝑑𝑡
82
𝑑𝑝
= 𝜐 × 𝑝 + 𝑟 ×𝐹 ,
𝑑𝑡
где𝐹 – результирующая сила, действующая на тело. Первое слагаемое, очевидно,
α
i
~r
i
O
m
i
α
k
~r
k
m
k
~
F
ki
~
F
ik
r
i
sin α
i
r
k
sin α
k
равно нулю, так как вектор скорости совпадает по направлению с импульсом.
В итоге имеем
𝑑𝐿
= 𝑟 ×𝐹 . (7.2)
𝑑𝑡
Величину 𝑟×𝐹 называют моментом силы, действующим на тело относительно
центра координат в точке 𝑂, или центральным моментом силы и обычно
обозначают𝑀. Уравнение (7.2) называют уравнением центральных моментов,
к нему мы еще вернемся. Отметим здесь лишь то, что момент импульса и момент
силы зависят от выбора системы отсчета, в том числе и от местоположения ее
начала координат, тогда как, например, импульс тела не зависит от выбора точки
начала координат.
В силу линейности уравнения (7.2) момент импульса системы тел можно
записать в виде векторной суммы моментов импульсов отдельных тел:
𝑁
𝐿 =𝐿1+𝐿2+ .. . +𝐿𝑁=
При этом, конечно же, все моменты отдельных тел должны быть заданы в одной
и той же системе координат. Уравнение центральных моментов для системы тел:
𝑁
𝑑𝐿
=
𝑑𝑡
𝑀𝑖.
𝑖=1
𝐿𝑖.
𝑖=1
Рис. 7.2. К моменту сил системы взаимодействующих тел
Предположим теперь, что эти тела могут взаимодействовать между собой.
Обозначим момент силы, действующий на 𝑖-е тело со стороны 𝑘-го,𝑀𝑘𝑖, а саму
силу –𝐹𝑘𝑖. Согласно третьему закону Ньютона, силы взаимодействия равны
по модулю и направлены вдоль одной прямой в противоположные стороны:
𝐹𝑘𝑖= −𝐹𝑖𝑘. Из рис. 7.2 имеем
𝑀𝑘𝑖= −𝑀𝑖𝑘.
83
Таким образом, изменение суммарного момента импульса системы взаимодействующих тел будет определяться лишь результирующим моментом внешних
сил:
𝑑𝐿
=𝑀 .
𝑑𝑡
Если относительно некоторой точки 𝑂 суммарный момент сил равен нулю,
то и суммарный момент импульса относительно этой точки будет сохраняться.
Если система тел изолирована, то ее момент импульса сохраняется относительно
любой точки любой инерциальной системы отсчета. Это положение называется
законом сохранения момента импульса.
Если же система тел является лишь замкнутой, иначе говоря на нее
могут действовать внешние силы, но их результирующая сила равна нулю,
то в такой системе суммарный момент импульса может и не сохраняться.
Например, в случае, когда на систему действуют две одинаковые по модулю
и противоположно направленные силы, не лежащие на одной прямой.
Закон сохранения момента импульса может выполняться частично, когда,
например, проекция момента сил на одну из осей координат равна нулю.
В частности, если 𝑀𝑧= 0, то 𝐿𝑧= const. Проекции центральных моментов на
какие-либо направления или оси координат называют осевыми моментами.
Суммарный момент сил относительно некоторой точки 𝑂 будет равен нулю
и в том случае, когда все силы, действующие на систему, направлены только
вдоль линий, соединяющих точку 𝑂 и точки приложения сил, в силу справедливости 𝑟 ×𝐹 = 0 в такой ситуации. Такие поля сил называются центральными.
Например, гравитационное поле материальной точки является таковым. Ранее
было показано, что задачу определения движения двух взаимодействующих тел
можно свести к уравнению вида (3.2)
𝐹 (𝑟)
¨
𝑟 =
,
𝜇
где
𝑚1𝑚
𝑚1+ 𝑚
2
2
𝜇 =
приведенная масса, а 𝑟 – вектор относительного расстояния между телами. При
этом указанное уравнение эквивалентно уравнению движения в центральном
поле𝐹 (𝑟) тела массой 𝜇.
7.2. Энергия тела в гравитационном поле
Рассмотрим движение тела массой 𝑚 в центральном гравитационном поле
массивного тела массой 𝑀 , каждое из которых можно считать материальными
точками. Положим также, что 𝑀 ≫ 𝑚 и движением тела массой 𝑀 под
действием сил со стороны тела 𝑚 можно пренебречь. Полная энергия тела
массой 𝑚 состоит из кинетической и потенциальной энергии
2
𝐸 = 𝑇 + 𝑈 =
𝑚𝜐
2
где 𝑟 – расстояние от тела массой 𝑀 до тела массой 𝑚.
84
− 𝐺
𝑚𝑀
𝑟
,
При движении в центральном поле вектор момента импульса
ϕ
~r
ϕ + dϕ
~r + d~r
d~r
~er+ d~e
r
d~e
r
~e
r
dϕ
𝐿 = 𝑟 × 𝑝 = const, то есть не только имеет постоянную длину, но и не меняет
своего направления. Отсюда, в частности, следует, что векторы 𝑟 и 𝑝 все время
движения остаются в одной и той же плоскости. Введем в этой плоскости
полярную систему координат, движение тела в которой будет задаваться
функциями 𝑟(𝑡) и 𝜙(𝑡). Пусть векторы 𝑒𝑟и 𝑒𝜙имеют единичную длину
и направлены в сторону увеличения соответствующих координат 𝑟 и 𝜙. Радиусвектор, указывающий положение тела в плоскости движения, тогда можно
задать в виде
𝑟 = 𝑟(𝑡)𝑒𝑟.
Скорость тела в полярных координатах
𝑑𝑟
𝜐 =
𝑑𝑡
𝑑𝑟
=
𝑑𝑡
𝑒𝑟+ 𝑟
𝑑𝑒
𝑑𝑡
𝑟
.
Рассмотрим два бесконечно близких момента движения тела. Положение тела
в эти моменты указывается радиус-векторами 𝑟 и 𝑟 + 𝑑𝑟 соответственно, а угол
между ними обозначим 𝑑𝜙 (рис. 7.3). Угол между векторами 𝑒𝑟и 𝑒𝑟+𝑑𝑒𝑟для этих
моментов движения также будет 𝑑𝜙, и, учитывая их единичную длину, имеем для
вектора 𝑑𝑒
𝑟
|𝑑𝑒𝑟| = |𝑒𝑟|𝑑𝜙 ,
а его направление, как видно на рис. 7.3, совпадает с 𝑒𝜙.
Рис. 7.3. К движению тела в центральном поле
Соответственно, скорость тела можем записать как
𝜐 =
𝑑𝑟
𝑑𝑡
𝑒𝑟+ 𝑟
𝑑𝜙
𝑒𝜙= ˙𝑟𝑒𝑟+ 𝑟 ˙𝜙𝑒𝜙.
𝑑𝑡
Таким образом, мы разложили скорость тела на две перпендикулярные составляющие: радиальную и поперечную, которую еще называют трансверсальной. Для
квадрата модуля скорости тела имеем
𝜐2= ˙𝑟2+ 𝑟2˙𝜙2,
а тогда выражение для его кинетической энергии примет вид
𝑇 =
𝑚𝜐
2
2
2
𝑚 ˙𝑟
=
+
2
𝑚𝑟2˙𝜙
2
2
.
85
Для вычисления модуля момента импульса в полярных координатах потребу-
U
эфф
r
E
E
ется только перпендикулярная к направлению радиус-вектора (трансверсальная)
компонента импульса
𝐿 = 𝑟𝑝⊥= 𝑟𝑚𝜐⊥= 𝑚𝑟2˙𝜙 . (7.3)
Отсюда правое слагаемое в выражении для кинетической энергии можно
выразить через модуль момента импульса. Полная энергия тела тогда может
быть записана следующим образом:
Слагаемые
𝐸 =
𝐿
2𝑚𝑟
𝑚 ˙𝑟
2
2
2
2
− 𝐺
2
𝐿
+
2𝑚𝑟
𝑚𝑀
𝑟
2
− 𝐺
= 𝑈
𝑚𝑀
. (7.4)
𝑟
эфф
(7.5)
называют эффективной потенциальной энергией. С учетом обозначения полная
энергия движущегося тела в гравитационном поле принимает вид как для
одномерного движения в потенциальном поле 𝑈
2
𝑚 ˙𝑟
𝐸 =
+ 𝑈
2
эфф
эфф
.
:
Это выражение позволяет качественно проанализировать движение тела в гравитационном поле. Рассмотрим характер зависимости 𝑈
(𝑟). При 𝑟 → 0
эфф
первое слагаемое в выражении (7.5), для которого справедливо 𝐿 = const,
быстрее стремится к бесконечности, чем второе, и, соответственно, 𝑈
При 𝑟 → ∞ первое слагаемое быстрее стремится к нулю, поэтому 𝑈
причем 𝑈
< 0. Говорят, что функция 𝑈
эфф
имеет вид потенциальной ямы,
эфф
эфф
→ +∞.
эфф
→ 0,
изображенной на рис. 7.4.
Рис. 7.4. Эффективная потенциальная энергия тела в гравитационном поле
Если полная энергия тела меньше нуля, то движение ограничено в пространстве, или финитно. Если же 𝐸 > 0, то движение инфинитно, или не ограничено
в пространстве. Заметим, что при 𝐸 = 0 скорость тела на бесконечности будет
равна нулю.
86
7.3. Законы Кеплера
Законы Кеплера были получены эмпирически на основе наблюдений и анализа
огромного массива данных о движении планет Солнечной системы. Они оказали
существенное влияние на развитие физики, и поэтому их называют законами,
несмотря на то что они не являются фундаментальными законами природы.
Приведем их в исторической формулировке, а потом выведем исходя из
уравнений движения.
1. Планеты Солнечной системы обращаются по эллипсу, в одном из фокусов
которого находится Солнце.
2. Каждая планета движется в проходящей через центр Солнца плоскости,
причем за равные времена радиус-вектор, соединяющий Солнце и планету,
«заметает» равные площади.
3. Квадраты периодов обращения планет вокруг Солнца относятся как кубы
больших полуосей орбит планет.
Отметим, что фокусом эллиптической орбиты планеты, пренебрегая влиянием остальных планет, является центр масс системы Солнце – планета.
Рассматривая ранее относительное движение двух взаимодействующих тел, мы
получили, что эту задачу можно свести к уравнению движения тела приведенной
массы, положение которой задается вектором относительного расстояния между
телами (3.2):
𝐹 (𝑟)
¨
𝑟 =
При этом приведенная масса формально будет находиться в поле действия центральной силы, эквивалентной силе тяготения, а значит, вектор относительного
расстояния между ними будет описывать эллипс в случае финитного движения
тел. Переходя к движению каждого из тел в системе отсчета центра масс,
получим, что, с учетом подобия траекторий, и Солнце, и планета будут двигаться
по эллипсам вокруг центра масс системы Солнце – планета. Поэтому система
отсчета, связанная с Солнцем, не будет инерциальной по отношению к системе
отсчета центра масс системы Солнце – планета. Однако расстояние между
центром масс системы и центром Солнца мало по сравнению с характерными
расстояниями до планет в силу существенного различия их масс, поэтому вектор
относительного расстояния практически совпадает с вектором от центра масс
системы до планеты, а приведенная масса близка по значению к массе меньшего
тела. Это позволяет не делать различия между этими системами отсчета.
Также отметим, что на движение одной планеты влияют и остальные, то есть
их орбиты будут не вполне эллиптическими. В общем случае решение задачи трех
и более тяготеющих тел не удается выполнить аналитически, но и численные
расчеты, и результаты наблюдений показывают, что при описании орбитального
движения планет часто можно пренебрегать их взаимным влиянием друг на
друга.
.
𝜇
87
7.3.1. Первый закон Кеплера
Выразим ˙𝑟 из уравнения полной энергии (7.4):
⎯
˙𝑟 =
𝑑𝑟
𝑑𝑡
⎸
⎸
2
⎷
=
𝑚
𝐸 −
𝐿
2𝑚𝑟
2
+ 𝐺
Нас интересует геометрическая форма траектории движения, поэтому перейдем
от дифференцирования по 𝑡 к дифференцированию по 𝜙. Для этого выразим 𝑑𝑡
из выражения для момента импульса в полярных координатах (7.3):
2
𝑚𝑟
𝑑𝑡 =
𝑑𝜙 ,
𝐿
подставим в выражение для ˙𝑟 и, разделяя переменные, проинтегрируем:
⎯
𝑚𝑟
⎸
𝑑𝑟
𝑑𝜙
⎸
2
⎷
=
𝑚
𝐸 −
𝐿
2
𝐿
2𝑚𝑟
2
+ 𝐺
2
𝑚𝑀
𝑟
𝑚𝑀
𝑟
.
,
− 𝐺
𝐿
𝑑𝑟
2
𝑟
2
𝐿
2
2𝑚𝑟
2
𝑀𝑚
𝐿
𝐺2𝑀2𝑚
2
𝐿
𝑚𝑀
+ 𝐺
+ const.
4
,
𝑟
откуда
ˆ
𝑑𝜙 =
𝜙 = arccos
ˆ
⎯
⎸
⎸
⎷
2𝑚𝐸 −
𝐿
𝑟
2𝑚𝐸 +
Поскольку мы свободны в выборе начала отсчета угла 𝜙, то константу можем
считать равной нулю, не нарушая общности рассмотрения. Введя дополнительные обозначения
𝑝 =
2
𝐿
𝐺𝑚2𝑀
, 𝑒 =1 +
2
2𝐸𝐿
𝐺2𝑀2𝑚
, (7.6)
3
приходим к уравнению траектории движения в виде
𝑝
= 1 + 𝑒 cos 𝜙 . (7.7)
𝑟
Величины 𝑝, 𝑒 называют параметром и эксцентриситетом траектории или
орбиты (в случае движения планет и спутников) соответственно.
Если 𝑒 < 1, а такой случай будет возможен только при 𝐸 < 0, траектория
движения, описываемая полученным уравнением, является эллипсом, один из
фокусов которого лежит в начале координат, которое связано с Солнцем.
В случае 𝑒 = 1, или же 𝐸 = 0, траектория – парабола. Если же 𝑒 > 1, что
означает 𝐸 > 0, траектория – гипербола. При этом линии таких траекторий
уходят на бесконечность, что и соответствует инфинитному движению тела
в центральном гравитационном поле.
88
7.3.2. Второй закон Кеплера
~r
b b
~r + d~r
d~r
dϕ
При движении в центральном поле момент импульса𝐿 сохраняется, поэтому,
как было показано ранее, движение тела будет происходить в одной плоскости.
Вычислим теперь площадь сектора эллипса. Пусть за бесконечное малое время
тело смещается на малое расстояние 𝑑𝑟 (рис. 7.5), причем |𝑑𝑟| = 𝑟𝑑𝜙. Площадь
образованного радиус-векторами 𝑟 и 𝑟 + 𝑑𝑟 сектора можно с любой наперед
заданной точностью считать равной площади соответствующего треугольника,
то есть
Рис. 7.5. Ко второму закону Кеплера
Площадь, «заметаемая» радиус-вектором при движении тела по орбите, будет
расти со скоростью
Учитывая, согласно (7.3), что
𝑑𝑠 =
𝑑𝑠
𝑑𝑡
=
1
𝑟2𝑑𝜙 .
2
1
𝑟2˙𝜙 .
2
имеем
Тем самым мы доказали и второй закон Кеплера.
Отсюда дополнительно можно получить и выражение площади эллипса в виде
где 𝑇 – период обращения тела по орбите.
7.3.3. Третий закон Кеплера
Выражая площадь эллипса через большую и малую полуоси, 𝑎 и 𝑏 соответственно, имеем
𝐿 = 𝑚𝑟2˙𝜙 = const ,
𝑑𝑠
𝐿
=
𝑆 =
2𝑚
2𝑚
89
= const .
𝐿
𝑇 ,
𝐿
𝑇 ,
2𝑚
𝑑𝑡
𝑆 = 𝜋𝑎𝑏 =
откуда
2𝜋𝑎𝑏𝑚
𝑇 =
.
𝐿
Используя известные выражения для полуосей эллипса через параметр и эксцентриситет, имеем
𝑏 =
𝑎 =
√
𝑝
1 −𝑒
𝑝
1 −𝑒
𝐺𝑚𝑀
=
2
=
2
2|𝐸|
𝐿
2𝑚|𝐸|
,
.
Тогда получаем выражение для периода обращения
𝑇 = 2𝜋
𝐺𝑚𝑀
2|𝐸|
𝐿
2𝑚|𝐸|
𝑚
𝐿
= 2𝜋
𝐺𝑚𝑀
2|𝐸|
𝐺𝑚𝑀
2|𝐸|
√
𝐿
1
𝑚
√
𝐺𝑚𝑀
𝑚
𝐿
= 2𝜋𝑎
1
3
2
√
.
𝐺𝑀
Таким образом, 𝑇2∼ 𝑎3.
7.4. Космические скорости
Рассмотрим движение искусственных спутников Земли. Для простоты мы будем
пренебрегать влиянием на их движение сил сопротивления среды, вызванных
наличием атмосферы, влиянием других небесных тел, в том числе и неоднородностью гравитационного поля Солнца вблизи Земли.
7.4.1. Первая космическая скорость
Первой космической скоростью называют скорость движения спутника Земли по
круговой орбите радиусом 𝑅 на малом удалении от ее поверхности.
Уравнение траектории спутника в общем виде, согласно (7.7),
𝑝
= 1 + 𝑒 cos 𝜙 .
𝑟
Уравнение же круговой траектории в полярных координатах имеет вид 𝑟 = const.
Отсюда очевидно, что необходимо положить 𝑒 = 0, или, согласно (7.6),
2
2𝐸𝐿
1 +
𝐺2𝑀2𝑚
При этом𝐿 = 𝑟 × 𝑝 = 𝑅𝑚𝜐, так как при движении по окружности 𝑟⊥𝑝 . Полную
энергию выразим через большую полуось, которая в случае движения по кругу
равна его радиусу, откуда
𝐸 = −
где учтено, что при финитном движении 𝐸 < 0. Отсюда получим
𝜐 =
𝐺𝑚𝑀
𝐺𝑀
90
2𝑅
𝑅
3
= 0 .
,
.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]