Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Физика для студентов ГГФ. В 2 частях. Ч.1. Механика, термодинамика и молекулярная физика. Учебное пособие
.pdf
Это означает, что уравнения кинематики для ускорения одной и той же точки 𝐴
в различных инерциальных системах отсчета будут записываться одинаковым
образом и иметь одинаковые общие решения
¨
𝑟 = 𝑎 ,¨𝑟′= 𝑎 .
Соответственно, никакими механическими опытами, проводимыми «внутри»
инерциальных систем отсчета, не удастся установить, какая же из них является
движущейся, а какая покоится.
2.3. Эффект Доплера и принцип относительности
Рассмотрим два тела. Пусть одно из них может излучать короткие звуковые
импульсы с периодом времени между ними 𝑇 . Будем называть его источником. Второе тело может регистрировать эти импульсы, его будем называть
приемником.
Пусть источник движется по направлению к покоящемуся приемнику со
скоростью 𝜐 относительно неподвижной в лабораторной системе отсчета среды,
по которой и распространяются звуковые волны. Пусть в момент времени 𝑡 = 0
расстояние между источником и приемником 𝐿. Звуковой импульс, излученный
источником при 𝑡 = 0, достигнет приемника в момент времени
𝑡1= 𝐿/𝑐 ,
где 𝑐 – скорость звука в рассматриваемой среде. Второй импульс будет послан
через время 𝑇 , когда расстояние между источником и приемником уменьшится
до величины 𝐿 − 𝜐𝑇 . Таким образом, второй импульс будет зарегистрирован
приемником в момент времени
𝑡2= 𝑇 +
𝐿 − 𝜐𝑇
𝑐
.
В результате интервал между импульсами (или период импульсов), регистрируемый приемником, составит величину
𝑇
приемника
= 𝑡2− 𝑡1= 𝑇 +
𝐿 − 𝜐𝑇
𝑐
𝐿
−
𝑐
= 𝑇1 −
𝜐
.
𝑐
Заметим, что частота сигнала источника
1
𝑓 =
𝑇
не совпадает с регистрируемой приемником частотой
𝑓
приемника
𝑓
=
1 −
.
𝜐
𝑐
21
Частота на приемнике становится выше при движении навстречу, если 𝜐 < 𝑐,
и уменьшается при обратном направлении движения. Явление изменения частоты при движении источника и/или приемника называется эффектом Доплера.
В рассмотренном выше случае он наблюдается в результате движения источника.
Пусть теперь, наоборот, приемник движется к источнику, а источник
звуковых импульсов неподвижен относительно среды. В этом случае период
звуковых импульсов 𝑇 (и частота 𝑓 ) излучаемого сигнала в среде не меняется,
а эффект Доплера будет наблюдаться из-за изменения скорости звуковых волн
относительно приемника. Момент регистрации приемником первого звукового
импульса
𝑡1=
𝐿
𝜐 + 𝑐
,
а второго
𝑡2= 𝑇 +
𝐿 − 𝜐𝑇
𝜐 + 𝑐
.
Тогда
𝑇
приемника
а для частоты имеем
= 𝑡2− 𝑡1= 𝑇 +
𝑓
приемника
𝐿 − 𝜐𝑇
𝜐 + 𝑐
= 𝑓1 +
−
𝜐
𝑐
𝜐 + 𝑐
𝐿
= 𝑇
1 +
1
,
𝜐
𝑐
.
Если приемник движется навстречу источнику, то частота регистрируемого
звукового сигнала будет выше, а при движении от источника, наоборот, будет
падать.
Как мы можем видеть из этих рассуждений, сдвиг частоты будет различным
в зависимости от того, что именно движется – источник или приемник. На первый
взгляд может показаться, что это противоречит принципу относительности.
Какая разница, что движется: источник или приемник? Однако здесь важно не
относительное движение приемника и источника, а их движение относительно
среды, по которой распространяются звуковые волны. Звуковая волна есть
колебания плотности среды, распространяющиеся за счет сил взаимодействия
атомов или молекул среды между собой. Ее скорость не зависит от движения
источника или приемника, но имеет значение, в каком месте происходит их
взаимодействие со средой, заключающееся в излучении или поглощении звуковой
волны. Мы не можем говорить о движении источника и приемника в среде как
о движении свободных тел, ведь они взаимодействуют со средой в процессе
излучения или поглощения звуковых волн и для нас важно местоположение
совершения этого взаимодействия. В случае излучения и поглощения электромагнитных волн (или света) в вакууме сдвиг частоты при движении источника
и приемника описывается одинаковыми формулами. Такие источник и приемник
вполне могут считаться свободными телами.
22
2.4. Второй закон Ньютона
Второй закон Ньютона, как и все фундаментальные законы физики, также
сформулирован на основе наблюдений и экспериментов, которые демонстрируют,
что всякое тело оказывает сопротивление при попытках привести его в движение
или изменить величину и направление его скорости. Это свойство тел называется
инертностью. Меру инертности называют массой. Скорость движения тела
изменяется под действием сил с учетом его меры инертности или массы.
Описание этого процесса и составляет содержание второго закона Ньютона в виде
связи между силой, действующей на тело, его массой и ускорением:
𝐹 = 𝑚𝑎 .
В соответствии с принципом Галилея, второй закон Ньютона должен быть
справедлив и неизменен во всех инерциальных системах отсчета. В частности,
из преобразований Галилея следует, что при переходе между инерциальными
системами отсчета величина ускорения тела не меняется. Следовательно,
в рамках принципа Галилея силы взаимодействия между телами не изменяются
при переходе между инерциальными системами отсчета.
В наиболее общем случае второй закон Ньютона, или уравнение движения
тела под действием силы𝐹 , записывается как
𝑑𝑝
𝐹 =
где 𝑝 – импульс тела. В последующих лекциях мы подробно рассмотрим эту
физическую величину.
𝑑𝑡
,
2.5. Третий закон Ньютона. Принцип
суперпозиции
Наблюдения показали, что взаимные силы в системе двух взаимодействующих
тел всегда равны по модулю и направлены в противоположные стороны.
Результат этих наблюдений составляет формулировку третьего закона Ньютона
𝐹12= −𝐹21,
где𝐹12– сила, действующая со стороны первого тела на второе, а𝐹21–
соответственно, со стороны второго на первое.
Этот закон распространяется на любое число взаимодействующих тел. Иными
словами, описание взаимодействия большого числа тел часто может быть сведено
к определению их попарного взаимодействия. Оно может быть вычислено
отдельно для каждой пары тел.
Все многообразие различных сил, действующих на конкретную материальную
точку, можно свести к одной результирующей силе, получаемой по правилам
векторного сложения действующих сил. Это утверждение составляет еще один
фундаментальный закон, называемый принципом суперпозиции.
23
2.6. Силы. Виды взаимодействий
В основе всех механических явлений на масштабах, достаточно превышающих
размеры атомов, лежат такие фундаментальные взаимодействия, как гравитационное и электромагнитное. На меньших масштабах выделяют еще два
вида фундаментальных взаимодействий – сильное и слабое, но они становятся
определяющими на расстояниях порядка атомных ядер и меньших, а их
рассмотрение выходит за рамки курса классической физики.
2.6.1. Фундаментальные взаимодействия
Сила гравитационного притяжения
Количественное определение величины фундаментальной силы гравитационного
притяжения дается законом всемирного тяготения
𝑚1𝑚
𝐹12= −𝐹21= −𝐺
2
𝑟12, (2.2)
3
𝑟
12
где𝐹12– сила, действующая со стороны первой материальной точки массы 𝑚
на вторую массы 𝑚2, а вектор 𝑟12= 𝑟2− 𝑟1направлен от точки 1 к точке 2.
Константа 𝐺 называется гравитационной постоянной, а ее величина определяется
единицами измерения массы, расстояния и силы. В международной системе
единиц (СИ) 𝐺 ≈ 6, 67 ·10
−11
Н · м2/кг2.
Кулоновская, или электростатическая, сила
Эта сила действует между двумя покоящимися материальными точками с электрическими зарядами 𝑞1и 𝑞2:
𝑞1𝑞
𝐹12= −𝐹21= 𝑘
2
𝑟12, (2.3)
3
𝑟
12
где 𝑘 – размерный коэффициент, зависящий от единиц измерения зарядов,
расстояния и силы.
2.6.2. Практические взаимодействия
Фундаментальные силы позволяют количественно описать взаимодействие материальных точек. Однако реальные тела имеют размеры. Разбивая их на части
и устремляя размер этих частей к нулю, мы можем представить тела в виде
набора материальных точек и рассчитывать уже их попарное взаимодействие.
С практической же точки зрения учесть все эти взаимодействия для огромного
количества точек часто невозможно. Поэтому вводят различные приближенные
силы, действующие между телами, что позволяет формулировать и решать
задачи движения конкретных тел с удовлетворительной точностью.
1
24
Однородная сила тяжести
Вблизи поверхности Земли силу гравитационного притяжения (2.2) можно
с достаточной точностью представить в виде однородной силы тяжести
𝐹 = 𝑚𝑔 ,
где 𝑔 – ускорение свободного падения. Приближение здесь состоит в том, что
расстояния от центра Земли до тела на ее поверхности и на небольшом удалении
от нее незначительно отличаются друг от друга, соответственно, и поле тяготения
Земли вблизи поверхности можно считать однородным. Величину 𝑔 также
называют однородным полем тяжести Земли или величиной силы, действующей
на единицу массы тела, помещенного в это поле.
Упругая сила
Упругой называется пропорциональная смещению материальной точки тела из
ее положения равновесия и направленная к положению равновесия сила
𝐹 = −𝑘𝑟 ,
где 𝑘 – положительный коэффициент, зависящий от свойств материала тела.
Примером такой силы является сила упругой деформации при растяжении или
сжатии пружины.
Сила реакции связи
Резкий рост силы отталкивания тел при их сближении, обусловленный взаимодействием электронных оболочек атомов этих тел, приводит к ограничению
взаимного перемещения тел в пространстве, возникают силы реакции связи
между ними, приложенные к контактным поверхностям. Заметим, что вследствие
третьего закона Ньютона взаимные силы между телами равны по модулю
и направлены противоположно. Примером такого взаимодействия является
действие силы реакции опоры при расположении груза на горизонтальной или
наклонной поверхности.
Сила трения
Эта сила возникает при попытке сдвига тел друг относительно друга и также обусловлена взаимодействием атомов тел между собой на контактных поверхностях.
Поверхность реальных тел имеет сложную форму, измерить ее с достаточной
точностью для расчета этого взаимодействия исходя из фундаментальных сил
невозможно.
В большинстве случаев сила трения скольжения, действующая на одно из тел,
записывается в виде
𝐹 = 𝜇𝑁 ,
где 𝑁 – сила нормального давления, прижимающая поверхности тел друг
к другу, а 𝜇 – коэффициент трения. Эта сила приложена к поверхности тела
и направлена в противоположном его движению направлении.
25
Если сдвигового усилия, действующего на соприкасающиеся тела, недостаточно для преодоления силы сопротивления их взаимного движения, говорят
о действии силы трения покоя. Как правило, при решении задач в рамках
курсов физики она принимается меньшей либо равной по величине силе
трения скольжения и может быть рассчитана исходя из условия взаимной
неподвижности тел.
В силу третьего закона Ньютона взаимные силы трения покоя или скольжения равны по модулю и направлены противоположно.
Сила сопротивления среды
Эта сила возникает при поступательном движении тела в газе или жидкости.
Она зависит от скорости движения тела и направлена в противоположную
сторону. При малых скоростях она достаточно хорошо описывается линейной
зависимостью
𝐹 = −𝑘𝜐 .
С ростом скорости движущегося тела лучше подходит квадратичная зависимость
𝜐
𝐹 = −𝑘𝜐
2
,
𝜐
что связано с возрастанием массы газа или жидкости, увлекаемой телом при
движении. Коэффициент 𝑘 > 0 и зависит как от свойств среды, так и от
формы и структуры поверхности тела. Какие скорости считать малыми, а какие
большими, для конкретного газа или жидкости и рассматриваемого тела можно
определить экспериментальным путем.
2.6.3. Примеры
Рассмотрим несколько примеров решений конкретных задач динамики.
Прямолинейное движение под действием силы трения
Пусть исходно неподвижный небольшой брусок массой 𝑚 начинает скользить
по наклонной плоскости, составляющей угол 𝛼 с горизонтом. Коэффициент
трения равен 𝜇. Найдем ускорение бруска относительно плоскости, считая ее
неподвижной.
Условие неподвижности наклонной плоскости позволяет считать систему
отсчета, связанную с ней, инерциальной относительно лабораторной системы
отсчета, связанной с Землей. Отсюда мы можем заключить, что все силы,
действующие на тело массой 𝑚 в системе отсчета наклонной плоскости, будут
ровно теми же самыми, как и в системе отсчета Земли. Изобразим на рис. 2.2
эти силы. Это будут: сила тяжести 𝑚𝑔, сила реакции связи, или сила реакции
опоры,𝑁 и сила трения𝐹тр. Отметим, что все силы необходимо изображать в
тех местах, где они реально приложены. Действующие однородным образом на
все материальные точки тела силы, например сила тяжести, прикладываются
к центру масс тела, а остальные – к конкретным точкам тела. Для корректного
учета сил трения и реакции опоры нам следовало бы разбить контактную
26
поверхность тела с плоскостью на бесконечно малые участки, к каждому из
x
y
α
~
N
~
F
тр
m~g
α
которых будет приложена своя сила трения и сила реакции опоры. Если
же нам не важны размеры контактных поверхностей тела для определения
его движения, то есть можно рассматривать тело как материальную точку,
то достаточно изображать только результирующие силы, действующие на
соответствующие поверхности тела.
Рис. 2.2. Движение тела по наклонной плоскости
Следующим шагом необходимо ввести систему координат. Исходя из опыта,
мы ожидаем прямолинейного движения тела, поэтому в данном случае удобно будет воспользоваться декартовой системой координат, а направление осей выбрать
так, чтобы проекции на эти оси действующих сил записывались максимально
простым образом. Упростить запись уравнений движения нам поможет выбор
направления одной из осей (например, оси 𝑋) вдоль предполагаемой траектории
движения тела.
После этого мы можем приступить к составлению уравнений движения тела,
которые представляют собой проекции второго закона Ньютона на выбранные
оси координат. С учетом отсутствия движения бруска вдоль выбранной оси 𝑌
имеем
𝑚𝑎𝑥= 𝑚𝑔 sin 𝛼 − 𝜇𝑁 ,
0 = 𝑚𝑎𝑦= 𝑁 − 𝑚𝑔 cos 𝛼.
Отсюда получаем
𝑎𝑥= 𝑔 sin 𝛼 − 𝜇𝑔 cos 𝛼 .
Стоит отметить, что этот результат справедлив лишь при 𝑎𝑥> 0. Только в этом
случае мы можем использовать выражение для силы трения скольжения. Если
проекция силы тяжести на ось 𝑋 окажется меньше силы трения скольжения,
то брусок будет удерживаться в неподвижном состоянии силой трения покоя,
величина которой может быть определена из условия его неподвижности.
Движение по окружности
В случае плоского движения тела можно воспользоваться разложением сил на
нормальную и тангенциальную компоненты. Как правило, этот подход удобен
при заранее известной траектории тела, когда направление орт 𝑛, 𝜏 будет
27
изменяться по мере движения известным образом. Рассмотрим частный случай
ϕ
~τ
~n
m~g
~
N
движения тела по известной траектории – движение по окружности. Тогда
уравнение движения можно записать в виде проекций
⎧
⎪
⎪
⎨
𝐹𝜏= 𝑚
⎪
⎪
⎩
𝐹𝑛= 𝑚
Пусть небольшое тело соскальзывает с вершины гладкой сферы радиусом 𝑅 (рис. 2.3) с нулевой начальной скоростью. Определим движение тела и его
скорость в момент отрыва от поверхности сферы. Влиянием силы трения будем
пренебрегать.
Рис. 2.3. К разложению сил на тангенциальную и нормальную проекции
𝑑𝜐
𝑑𝑡
𝜐
𝑅
,
2
.
Так же как и ранее, сначала мы отметим все силы, действующие на
соскальзывающее тело. В нашем случае это только сила тяжести и сила реакции
опоры со стороны сферы, которая перпендикулярна поверхности контакта
и направлена вдоль радиус-вектора, указывающего текущее положение тела.
Уравнения движения в виде проекций на касательное и нормальное направления:
Перейдем к угловому перемещению тела
откуда выразим
и подставим в уравнение для касательной компоненты
⎧
𝑑𝜐
⎪
⎪
⎨
𝑚
𝑑𝑡
2
⎪
𝜐
⎪
⎩
𝑚
𝑅
𝜐 = 𝜔𝑅 ,
𝜐𝑑𝜐
𝑚
𝑅𝑑𝜙
= 𝑚𝑔 sin 𝜙,
= 𝑚𝑔 cos 𝜙 − 𝑁 .
𝜐
= 𝜔 =
𝑅
𝑅𝑑𝜙
𝑑𝑡 =
= 𝑚𝑔 sin 𝜙.
𝑑𝜙
𝑑𝑡
𝜐
(2.4)
,
28
Применим к этому дифференциальному уравнению метод разделения
переменных
𝜐
𝑑𝜐 = sin 𝜙 𝑑𝜙 ,
𝑅𝑔
откуда после интегрирования получим общее решение
2
𝜐
= −cos 𝜙 + 𝐶 .
2𝑅𝑔
Используя начальные данные, найдем значение константы 𝐶. Из условия задачи
известно, что при 𝜙 = 0 скорость тела 𝜐 также равнялась нулю. Подставляя эти
значения в общее решение, имеем, что 𝐶 = 1. Тогда зависимость скорости тела
от углового положения
2
𝜐
= 2𝑔 (1 −cos 𝜙) .
𝑅
При выводе этого выражения мы полагали, что траектория тела является
окружностью. Следовательно, и справедливо оно только до момента отрыва.
При движении по окружности имеем связь между центростремительным
ускорением тела и модулем его скорости
2
𝜐
𝑎𝑛=
.
𝑅
С ростом угла отклонения тела от верхней точки сферы модули его скорости
и центростремительного ускорения непрерывно растут. Нормальная к траектории проекция силы тяжести 𝑚𝑔 cos 𝜙, наоборот, падает. А это единственная
приложенная к телу сила в задаче, имеющая компоненту, направленную
к центру сферы и обеспечивающая необходимое значение центростремительного
ускорения. Значит, отрыв тела неизбежен.
В момент отрыва движение точки вместо кругового станет параболическим
в поле тяжести 𝑔, и, следовательно, в точке отрыва будет справедливо равенство
𝑎𝜏+ 𝑎𝑛= 𝑔 .
Запишем проекцию этого векторного равенства на направление 𝑔 и подставим
значения модулей нормального и тангенциального ускорений из исходной
системы уравнений (2.4):
𝑔 = 𝑎𝜏sin 𝜙 + 𝑎𝑛cos 𝜙 = 𝑔 sin2𝜙 + 𝑔 cos2𝜙 −
𝑁
𝑚
cos 𝜙 .
Отсюда имеем условие отрыва
𝑁 cos 𝜙 = 0 .
Оно может быть выполнено, когда один из множителей (или оба сразу) будут
равны нулю. Если положить cos 𝜙 = 0, то имеем условие отрыва 𝜙 = 90∘. В этой
точке отрыв, безусловно, возможен, но только если он не произойдет раньше.
Пусть теперь 𝑁 = 0. В этом случае из системы уравнений (2.4) имеем
2
𝜐
= 𝑔 cos 𝜙,
𝑅
29
что и подставим в зависимость скорости тела от углового положения
~g
~
T
~
T
m
1
m
2
m1~g
m2~g
y
y
1
y
2
0
𝑔 cos 𝜙 = 2𝑔 (1 −cos 𝜙) ,
откуда получим угол отрыва и скорость в момент отрыва
cos 𝜙 =
Соответственно, отрыв произойдет раньше положения 𝜙 = 90∘.
Движение со связями
Если в условие задачи входит несколько тел, то возможна такая ситуация,
когда перемещение только одного из них без влияния на движение остальных
невозможно. В этом случае говорят о наличии связей между телами.
Пусть два изначально неподвижных тела массами 𝑚1и 𝑚2соединены
невесомой и нерастяжимой нитью, переброшенной через закрепленный блок, как
показано на рис. 2.4. Будем считать, что блок невесомый и трение отсутствует.
Определим ускорения тел и силу реакции связи.
2
, 𝜐 =
3
2
𝑅𝑔 .
3
Рис. 2.4. Движение со связями
Поскольку тела 𝑚1и 𝑚2связаны нерастяжимой нитью, то, очевидно, любое
из них не может переместится под действием силы тяжести без перемещения
другого. Эти два тела оказывают влияние на движение друг друга, иначе говоря
взаимодействуют между собой. Любое взаимодействие тел мы представляем
в виде сил, действующих между ними. Заметим, что эти тела не находятся
в непосредственном контакте друг с другом, их взаимодействие осуществляется
через третье тело, в данном случае через связывающую их нить. Таким образом,
со стороны нити на каждое из тел действует сила. Ее называют силой натяжения
нити.
30
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]