Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Физика для студентов ГГФ. В 2 частях. Ч.1. Механика, термодинамика и молекулярная физика. Учебное пособие

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

07.09.2026

Размер:

2 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 2122 / 2922 23 24 25 26 27 28 29 > Следующая >>>

изменению химических потенциалов веществ 𝐴 и 𝐵, а значение потенциала Гиббса выйдет из минимума. Соответственно, система будет стремиться принять новое состояние равновесия, или скомпенсировать это внешнее воздействие. Если теплота растворения положительна, то уменьшение концентрации раствора, то есть осаждение части вещества 𝐵 из раствора, как раз и будет являться такой компенсацией. Если же теплота растворения отрицательна, то, напротив, концентрация раствора вырастет. Таким образом, с ростом температуры уменьшается растворимость веществ, обладающих положительной теплотой растворения, а растворимость веществ с отрицательной теплотой растворения растет.

Теперь положим, что доли веществ 𝐴 и 𝐵 соответствуют насыщенному раствору, то есть нерастворенная часть любого из веществ отсутствует. Какое из них является растворителем, а какое – растворяемым веществом, нам неважно. Начнем изменять температуру так, что растворимость будет уменьшаться. В этом случае должно происходить образование отдельной фазы растворяемого вещества. Но тогда должна возникать и поверхность этой фазы, обладающая избыточной потенциальной энергией. Соответственно, образование отдельной фазы в малых количествах может быть энергетически невыгодно. Поэтому растворы могут находиться и в метастабильном пересыщенном состоянии.

15.2.1. Осмос и осмотическое давление

Рассмотрим помещенный в термостат сосуд, разделенный перегородкой на две части. Пусть в левой из них находится чистый жидкий растворитель, а в правой – растворитель с небольшим количеством растворенного вещества. Будем считать, что температура жидкостей в них одинакова, а также равно и давление. Если перегородка способна пропускать как молекулы растворителя, так и молекулы растворенного вещества, то система будет стремиться к достижению термодинамического равновесия, когда концентрации растворов в этих частях сосуда станут равны.

Заметим, что переход к равновесному состоянию обусловлен двумя параллельными процессами. Это перемещение молекул растворителя слева направо и перемещение молекул растворенного вещества справа налево. Каждый из этих процессов приближает состояние равновесия.

Уберем возможность перемещения молекул растворенного вещества справа налево. При этом возможность перемещения молекул растворителя слева направо останется и оно будет происходить. Равновесие будет при минимуме потенциала Гиббса, причем исходно мы считаем химический потенциал раствора меньшим, чем у растворителя, чтобы была возможность образования стабильного раствора с термодинамической точки зрения. Для каждой из частей раствора справедливо

𝑑𝐺(𝑇, 𝑃, 𝑁 ) = −𝑆𝑑𝑇 + 𝑉 𝑑𝑃 + 𝜇(𝑇, 𝑃 )𝑑𝑁 .

Соответственно, стремление потенциала Гиббса всей системы к минимуму, с учетом постоянства температуры, будет происходить при увеличении числа молекул с меньшим химическим потенциалом справа и уменьшении с б´ольшим слева. Иначе говоря, количество жидкости справа увеличится, а слева уменьшится. Это, в свою очередь, приведет к увеличению гидростатического давления в правой

211

части сосуда. На одинаковых горизонтальных уровнях в сосуде давление справа будет выше.

Явление возникновения избыточного давления раствора, отделенного от растворителя полупроницаемой перегородкой, называется осмосом. Для слабых растворов величина этого избыточного давления 𝜋 была установлена экспериментально Вант-Гоффом, которая достаточно точно определяется уравнением

𝜋𝑉 = 𝜈𝑅𝑇 ,

похожим на уравнение состояния идеального газа. Это уравнение называют законом Вант-Гоффа.

Сродство с уравнением состояния идеального газа не случайно. При малой концентрации растворенного вещества его молекулы не взаимодействуют друг с другом, а влияние молекул растворителя можно рассматривать как некоторую одинаковую и постоянную для всех молекул добавку к потенциальной энергии, которую можно выбрать за начало отсчета. Поэтому движение молекул растворенного вещества в растворе можно представить в виде движения молекул разреженного газа, имеющих только кинетическую энергию. С ростом концентрации раствора наблюдаемое осмотическое давление будет становиться выше, чем рассчитанное по закону Вант-Гоффа. Это обусловлено уже влиянием кинетических обстоятельств. Концентрация молекул растворителя в левой части сосуда будет заметно выше, а потому они чаще будут проникать через преграду, чем молекулы растворителя из правой части сосуда при разности давлений, обусловленной законом Вант-Гоффа. При достижении равновесной разности давлений эти потоки сравняются.

Возможен и обратный процесс. Увеличение давления раствора будет приводить к потоку молекул растворителя справа налево, и давление чистого растворителя слева, равно как и его количество, также увеличится. Это явление называют обратным осмосом.

15.2.2. Законы Генри и Рауля

Рассмотрим находящийся в термостате слабый жидкий раствор, который, в силу малой доли растворенного вещества, будем считать идеальным. В состоянии равновесия над поверхностью раствора будет находиться насыщенный пар, состоящий из молекул растворителя и растворенного вещества. Условие равновесия при постоянной температуре будет достигаться при равных давлениях и химических потенциалах газовой и жидкой фаз, что соответствует минимуму потенциала Гиббса системы пар – жидкость.

Число молекул, поступающих из пара в жидкость, очевидно должно зависеть от их концентрации в нем. Поскольку над поверхностью жидкости находится смесь газов (пары растворителя и растворяемого вещества), поток молекул в жидкую фазу каждого из веществ будет зависеть от их парциальных концентраций. Полагая газовую фазу идеальным газом, можем считать, что эти потоки независимы друг от друга, а парциальные концентрации отдельных компонент при одинаковой температуре будут пропорциональны их парциальным давлениям.

212

При термодинамическом равновесии газовая фаза будет являться насыщенным паром, а поток молекул из нее в жидкую фазу будет компенсироваться обратным потоком. Для идеальных растворов можно полагать, что растворитель и растворяемое вещество не влияют взаимно на процесс испарения друг друга, а интенсивность этих потоков зависит от концентрации раствора.

Эти рассуждения подтверждаются эмпирическим законом Генри, полученным для растворенных в жидкости газов, который гласит: равновесное парциальное давление газа над раствором пропорционально мольной доле этого газа, растворенного в жидкости.

Позднее было показано, что эта закономерность эмпирически справедлива для любых слабых жидких растворов и парциальных давлений насыщенных паров этих компонент. При этом коэффициент пропорциональности между парциальным давлением насыщенного пара компоненты раствора и его мольной долей в растворе есть давление насыщенного пара над чистой компонентой раствора при той же температуре. Это утверждение составляет закон Рауля. Математическая форма закона Рауля:

𝜈

𝐴

𝜈𝐴+ 𝜈

𝑃𝐴, 𝑃

𝐵

′

𝐵

′

𝑃

𝐴

𝜈

𝐵

𝜈𝐴+ 𝜈

𝑃𝐵,

𝐵

где 𝑃𝐴, 𝑃𝐵– давления насыщенных паров над чистыми веществами 𝐴, 𝐵,

′

а 𝑃

′

, 𝑃

– парциальные давления компонент насыщенного пара над раствором.

𝐴

𝐵

Предположим, что растворенное вещество 𝐵 не является летучим. Тогда давление состоящего только из молекул растворителя 𝐴 насыщенного пара над раствором окажется меньше, чем давление насыщенного пара над чистым растворителем. Отсюда следует, что при одинаковых давлениях температура кипения раствора будет выше температуры кипения чистого растворителя.

В случае слабых идеальных растворов с малой долей растворенного вещества вряд ли стоит ожидать существенного изменения температуры кипения, поэтому будем считать его малым. Пусть температура кипения чистого растворителя 𝑇 , при которой давление его насыщенных паров 𝑃𝐴(𝑇 ) равно атмосферному. Тогда температура кипения раствора 𝑇′при том же давлении насыщенного пара дается уравнением 𝑃

′

(𝑇′) = 𝑃𝐴(𝑇 ), где зависимости давления насыщенных паров над

𝐴

растворителем и раствором от температуры нам в общем случае неизвестны. Определим ∆𝑇 = 𝑇′− 𝑇 из уравнения Клапейрона – Клаузиуса (14.3), записанного для чистого растворителя и малой величины ∆𝑇 :

∆𝑃

∆𝑇

𝑞

𝑇 (𝑉п− 𝑉ж)

Изменение давления насыщенного пара над чистым растворителем при повышении температуры от 𝑇 до 𝑇′есть ∆𝑃 = 𝑃𝐴(𝑇′) −𝑃𝐴(𝑇 ). С учетом уравнения для температуры кипения раствора 𝑃

′

(𝑇′) = 𝑃𝐴(𝑇 ) имеем ∆𝑃 = 𝑃𝐴(𝑇′) − 𝑃

𝐴

′

𝐴

(𝑇′).

Пренебрегая удельным объемом жидкости по сравнению с удельным объемом пара в уравнении Клапейрона – Клаузиуса и с учетом закона Рауля имеем

∆𝑇 = (𝑃𝐴− 𝑃

𝑇 (𝑉п− 𝑉ж)

′

)

𝐴

𝜈

𝑃𝐴𝑉п𝑇

𝐵

𝑞

𝜈𝐴+ 𝜈

𝐵

𝑞

′

𝜈

𝑃

𝑉п𝑇

𝐵

𝐴

𝜈

𝐴

𝑞

213

Для слабых растворов мы не ожидаем существенного изменения температуры кипения, поэтому можно пренебречь зависимостью удельной теплоты парообразования растворителя от температуры.

Считая насыщенный пар растворителя над раствором идеальным газом, для которого справедливо 𝑃

′

𝑉п= 𝑅𝑇 /𝜇𝐴, так как 𝑉пв уравнении Клапейрона –

𝐴

Клаузиуса – это удельный объем, а различие между 𝑇 и 𝑇′мало, имеем

𝜈

𝑅𝑇

∆𝑇 =

𝐵

𝜈

. (15.5)

𝜇𝐴𝑞

𝐴

Для слабых идеальных растворов полученное изменение температуры кипения не зависит от природы растворяемого вещества, а только лишь от его количественной доли в растворе. Таким образом, измеряя температуру кипения слабых растворов, можно определить долю растворенного нелетучего вещества вне зависимости от его химического состава.

Похожая ситуация имеет место с температурой замерзания раствора нелетучего вещества, у раствора она будет ниже, чем у чистого растворителя. Причем ее уменьшение также будет пропорционально доле растворенного вещества, а для расчета разности температур можно воспользоваться формулой (15.5), заменив удельную теплоту парообразования на удельную теплоту плавления.

214

Лекция 16

Начала молекулярно-кинетической теории

Рассматривая макроскопические системы в рамках термодинамики, мы оперировали усредненными во времени и пространстве параметрами этих систем. Эти параметры, например давление и температуру, мы вводили феноменологически, то есть не учитывали атомистическую структуру вещества. Рассматривая начала молекулярно-кинетической теории, мы обсудим усреднение параметров макроскопических систем, основываясь на законах механики, в первую очередь на законах сохранения импульса и энергии. Как и в термодинамике, в основном будем опираться на модель идеального газа.

Пусть некоторая макроскопическая термодинамическая система состоит из 𝑁 микроскопических тел, каждое из которых в рассматриваемый момент времени имеет импульс 𝑝𝑖и находится в точке 𝑟𝑖. Значения 𝑝𝑖и 𝑟𝑖в этот момент времени задают микросостояние макроскопической системы. Казалось бы, мы можем рассчитать последующие микросостояния макроскопической системы, опираясь на фундаментальные законы, а также определить воздействие ее на окружающие объекты. Однако эта задача становится технически неразрешимой с ростом числа 𝑁 до значений, характерных, например, для числа молекул в кубическом сантиметре воздуха при атмосферном давлении.

Выход из сложившейся ситуации заключается в том, что нас, как правило, не интересуют ни попарные взаимодействия конкретных микроскопических тел, ни воздействие каждого из них на окружающие объекты по отдельности. В большинстве случаев достаточно определить результирующее взаимодействие макроскопических систем между собой, полученное при проведении усреднения по пространству и времени. Не важно, какие конкретно микроскопические тела взаимодействовали между собой в рассматриваемый промежуток времени в заданном объеме, но имеет значение средний в пространстве и времени результат таких взаимодействий. Таким образом, нас интересуют не конкретные последовательности микросостояний взаимодействующих макроскопических систем,

215

а только некоторые средние или статистические параметры, соответствующие этим последовательностям. Принципиальной возможностью проведения такого усреднения является именно большое значение количество микроскопических тел 𝑁 в макроскопических системах. Такой подход к описанию макроскопических систем называется статистическим.

Рассмотрим его на примере модели идеального газа. Разделим объем сосуда с идеальным газом на бесконечно малые объемы 𝑑𝑉 , а возможные значения импульсов молекул на промежутки 𝑑𝑝. В каждый момент времени произвольная молекула газа может находиться в одном из объемов 𝑑𝑉 и иметь импульс в одном из промежутков 𝑑𝑝, то есть находиться в состоянии 𝑑𝑝𝑑𝑉 . Таким образом, микросостояние идеального газа в конкретный момент времени может быть задано указанием состояний каждой молекулы. В следующий момент времени, в результате движения молекул и обмена импульсами и энергиями между ними, мы будем иметь другое микросостояние.

Усредняя по пространству и времени сменяющие друг друга микросостояния, мы вводим макроскопические параметры. Такими параметрами являются, например, давление и температура идеального газа. Как мы уже знаем, в состоянии термодинамического равновесия эти параметры остаются постоянными, хотя и последовательности сменяющих друг друга микросостояний в разные промежутки времени могут быть различными. Иначе говоря, макроскопические параметры в состоянии термодинамического равновесия не зависят от того, какие конкретно последовательности микросостояний реализуются, а следовательно, нам не так уж и важна и их конкретная последовательность.

Считается, что каждое возможное микросостояние реализуется с некоторой вероятностью, а общее количество этих микросостояний определяется исходя из законов сохранения импульса и энергии, количества молекул и размеров системы. При этом нас не интересует, находится ли какая-либо молекула в состоянии 𝑑𝑝𝑑𝑉 , нам важна вероятность нахождения молекулы в этом состоянии. Тем самым мы избавляемся от необходимости решать уравнения движения для большого числа молекул, достаточно лишь определить вероятности их нахождения в доступных для них состояниях. Таким образом, в основе математического аппарата статистического подхода лежит теория вероятностей. Обсудим кратко ее основные положения и принципы.

16.1. Элементы теории вероятностей

Случайное событие

Ключевым понятием теории вероятностей является случайное событие. В наиболее общем смысле событием называют результат испытания. Если в результате испытаний событие происходит всегда, то его называют достоверным, а если событие не может произойти в результате испытаний – невозможным. Если событие может как произойти, так и не произойти и предсказать это каждый раз не представляется возможным, то оно и будет являться случайным. Возможность наступления случайного события называют его вероятностью. Рассмотрим эти понятия на примерах.

216

Пусть в мешке находится некоторое количество предметов различных геометрических форм, а испытание состоит в том, что нам необходимо, не заглядывая в мешок, вытащить из него первый попавшийся предмет. Пусть интересующим нас событием будет то, что этот предмет имеет форму шара. Если внутри мешка находятся только шары, то это событие будет достоверным. Если шаров там нет совсем – невозможным. Если же внутри есть и шары, и предметы другой формы, то в результате испытания мы можем вытащить либо шар, либо предмет другой формы. В этом случае интересующее нас событие и будет являться случайным. Вероятность наступления достоверного события принимают за единицу, а вероятность невозможного – за ноль. Вероятность случайного события, очевидно, зависит от разнообразия фигур в мешке и лежит в пределах от нуля до единицы.

Для определения вероятности случайного события нам явно недостаточно проведения однократного испытания. С другой стороны, после того как первый предмет был изъят из мешка, условия проведения испытаний изменились. Для решения этой проблемы в теории вероятностей вводят понятие ансамбля систем, то есть большого количества абсолютно идентичных систем. В нашем случае – большого количества 𝑁0одинаковых мешков с одинаковыми наборами предметов внутри.

Извлечем из каждого мешка по одному предмету. Если предмет является шаром, то к общему числу случайных событий извлечения шара 𝑁

добавляем

шар

единицу и называем его успешным. Вероятностью извлечения шара называют отношение числа успешных событий к общему числу испытаний:

𝑁

шар

𝑃

шар

. (16.1)

𝑁

Одним из основных положений теории вероятностей является то, что определенная таким образом вероятность и есть вероятность случайного события в результате одного испытания.

Заметим, что испытания с каждым из мешков, или каждой из систем ансамбля, не зависят друг от друга. Если из первого мешка при первом же испытании мы извлекли шар, то это никоим образом не влияет на вероятность извлечения шара из второго мешка и последующих. Такие случайные события называются независимыми.

Проводя подобные испытания, мы можем получить вероятности каждого случайного события, то есть вероятности извлечения предметов всех форм. Если эти вероятности одинаковы, то такие случайные события называют равновероятными. Например, пусть в мешке находится 𝑁 предметов и все они имеют различную форму. Тогда, полагая, что форма предмета не дает никаких преимуществ к его извлечению, все случайные события, заключающиеся в извлечении из мешка предмета одной из форм, равновероятны и имеют вероятность 1/𝑁.

Вероятность наступления какого-либо одного из нескольких случайных событий равна сумме вероятностей этих событий. Например, нам нужно извлечь из мешка шар или куб. Тогда вероятность такого события будет равна

𝑃

+ 𝑃

шар

. Извлечение любого предмета из мешка является достоверным

куб

событием, а значит, его вероятность равна единице. Следовательно, сумма

217

вероятностей всех возможных случайных событий должна быть равна единице. Впрочем, это и так очевидно из определения величины вероятности (16.1). Это условие называется условием нормировки вероятностей случайных событий.

Вероятность совместного совершения нескольких случайных событий равна произведению их вероятностей. Если события совершаются последовательно, то для подсчета вероятностей необходимо учитывать влияние наступивших ранее случайных событий. Пусть нам необходимо последовательно извлечь из двух разных мешков ансамбля по шару. Вероятность извлечения первого шара 𝑃

шар

а второе случайное событие может наступить только в результате успешности первого. В то же время оно само по себе будет иметь ту же вероятность вне зависимости от наступления первого события. Следовательно, вероятность совместного появления двух шаров будет 𝑃

шар

· 𝑃

. Предположим теперь, что

шар

нам необходимо извлечь из одного мешка два шара подряд. После извлечения первого с вероятностью 𝑃

вероятность извлечения второго изменится, так

шар

как в мешке будет уже другой набор фигур. В этом случае результирующая вероятность будет 𝑃

шар

· 𝑃

′

шар

, где 𝑃

′

есть вероятность извлечения шара из

шар

мешка с измененным набором фигур.

Положим теперь, что одна сторона предметов белая, а другая – черная. Тогда при извлечении одного предмета будут происходить сразу два события: первое связано с его формой, а второе – с цветом обращенной к нам стороны. Вероятность извлечения предмета конкретной формы будет зависеть от предметов, извлеченных из этого мешка ранее, а вероятность извлечения предмета с конкретным цветом обращенной к нам его стороны – нет. Более того, в общем случае эти вероятности могут быть различны и при извлечении только одного предмета. Эти два случайных события хотя и происходят одновременно в результате одного испытания, никак не связаны друг с другом, они независимые.

Случайная величина

Пусть теперь нас интересует не форма извлекаемых предметов, а некоторая численная величина, написанная на каждом предмете в мешке. Тогда в результате каждого испытания мы будем фиксировать значение этой величины. Таким образом, случайной величиной называется численная величина, значение которой определяется в результате испытания.

Определение конкретного значения случайной величины при испытании является случайным событием, которое характеризуется вероятностью его наступления. Совокупность возможных значений случайной величины и их вероятностей называется законом распределения случайной величины. Если случайная величина может принимать только счетное количество отдельных числовых значений, то ее называют дискретной.

Вернемся теперь к идеальному газу. Пусть в интересующий нас момент времени мы можем узнать, где находится одна из его молекул и какой импульс она имеет. Какова вероятность, что эта молекула будет находиться в точке с заданными координатами и иметь заданное значение импульса? Ответ на этот вопрос очевиден, эта вероятность равна нулю. Координаты и импульсы молекул могут принимать бесконечное множество значений действительных

218

чисел, а число молекул газа в объеме конечно. В этом случае говорят о непрерывных случайных величинах. Их возможные значения непрерывно заполняют некоторый диапазон. Координата молекул ограничена размерами сосуда, а их скорость – скоростью света, в общем случае.

Для непрерывных случайных величин вводят вероятность их нахождения в некотором ограниченном диапазоне значений. Вероятность того, что конкретная молекула газа находится в диапазоне координат (𝑥, 𝑥 + 𝑑𝑥), обозначают величиной 𝑑𝑊 (𝑥). Плотностью вероятности 𝑤(𝑥) называют такую функцию, для которой справедливо 𝑑𝑊 (𝑥) = 𝑤(𝑥)𝑑𝑥. Интегрируя это равенство по всем возможным значениям 𝑥, то есть находя вероятность достоверного события принятия случайной величиной любого значения, мы должны получить единицу:

𝑥

𝑚𝑎𝑥

𝑤(𝑥) 𝑑𝑥 = 1 ,

𝑥

𝑚𝑖𝑛

или условие нормировки вероятностей непрерывных случайных величин.

Среднее значение случайной величины

Повторяя многократно испытания с ансамблем систем, в нашем случае с большим количеством мешков, содержащих одинаковые наборы предметов с указанными на них значениями численных величин, мы получим некоторый набор значений этих величин. Среднее значение их определяется выражением

𝑥1+ 𝑥2+ ··· + 𝑥

⟨𝑥⟩ =

𝑁



𝑁

𝑥

𝑁

𝑖

где 𝑁0– число мешков (испытаний), а 𝑥𝑖– значение случайной величины в 𝑖-м испытании. В соответствии с формулой (16.1) это же выражение может быть записано как

⟨𝑥⟩ =𝑥𝑗𝑃

где 𝑥𝑗– значение случайной величины, а 𝑃

, (16.2)

𝑥

𝑗

– ее вероятность. Заметим, что

𝑥

𝑗

здесь суммирование будет вестись по числу различных возможных значений дискретных случайных величин, которое может быть и больше, и меньше числа испытаний. При увеличении числа испытаний среднее значение случайной величины будет все меньше изменяться и, как правило, стремиться к какомулибо значению. Иначе говоря, с ростом числа испытаний будет расти точность определения среднего значения случайной величины. Заметим, что среднее значение дискретной случайной величины может и не являться одним из возможных значений случайной величины.

При переходе к непрерывным случайным величинам суммирование заменяется на интегрирование:

⟨𝑥⟩ =ˆ𝑥𝑤(𝑥) 𝑑𝑥 ,

где интеграл берется по всему диапазону возможных значений непрерывной случайной величины 𝑥. Заметим, что аналогично среднему значению случайной

219

величины ⟨𝑥⟩ может быть найдено и среднее значение любой функции от значения случайной величины:

⟨𝑓(𝑥)⟩ =ˆ𝑓(𝑥)𝑤(𝑥) 𝑑𝑥,

при этом сама функция 𝑓 (𝑥) также является случайной величиной.

16.2. Идеальный газ с точки зрения

молекулярно-кинетической теории

Поместим в некоторый объем 𝑉 достаточно большое для возможности проведения усреднения число одинаковых молекул 𝑁. В то же время число 𝑁 не должно быть и очень большим, чтобы получившийся газ в сосуде можно было считать достаточно разреженным, то есть идеальным. Пусть также нам известна исходная суммарная энергия всех молекул, которая у идеального газа может быть только кинетической. Будем считать, что стенки сосуда неподвижные, непроницаемые для молекул газа, а удары молекул о стенки абсолютно упругие. Соответственно, суммарная энергия всех молекул газа в сосуде изменяться не будет.

Через некоторое время, согласно нулевому началу термодинамики, в сосуде установится термодинамически равновесное состояние, молекулы газа в среднем равномерно заполнят объем 𝑉 . При этом в газе установится и равновесное распределение скоростей его молекул. Иначе говоря, вероятность 𝑑𝑊 (𝜐) для произвольной молекулы газа иметь скорость в диапазоне (𝜐, 𝜐+𝑑𝜐) примет какое- то постоянное значение:

𝑑𝑊 (𝜐) = 𝑤(𝜐)𝑑𝜐 ,

где конкретный вид функции плотности вероятности 𝑤(𝜐) нам пока неизвестен. Тем не менее для функции плотности вероятности можем записать условие нормировки

𝑤(𝜐) 𝑑𝜐 = 1 ,

где интеграл берется по всем возможным значениям скоростей молекул газа и их направлениям. Максимально возможное значение скорости молекулы в общем случае есть скорость света, но в пределах интегрирования, исходя из математического удобства, далее будем писать бесконечные значения, полагая, что вероятность для молекул газа иметь скорость в любом диапазоне даже только вблизи скорости света будет бесконечно мала. Такой подход вполне обоснован, так как при стремлении скорости молекулы к световой ее кинетическая энергия будет стремиться к бесконечности, тогда как полная энергия всех молекул газа в сосуде ограничена.

Введя декартову систему координат, вероятность 𝑑𝑊 (𝜐) можно записать покомпонентно, то есть 𝑑𝑊 (𝜐𝑥) – есть вероятность для произвольной молекулы газа иметь проекцию скорости на ось 𝑋 в диапазоне (𝜐𝑥, 𝜐𝑥+𝑑𝜐𝑥) и аналогично по остальным осям. С геометрической точки зрения 𝑑𝑊 (𝜐) есть вероятность того, что конец вектора скорости произвольной молекулы, проведенного из начала координат, лежит в параллелепипеде размером 𝑑𝜐𝑥, 𝑑𝜐𝑦, 𝑑𝜐𝑧.

220

<<< < Предыдущая 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 2122 / 2922 23 24 25 26 27 28 29 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]