Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Физика для студентов ГГФ. В 2 частях. Ч.1. Механика, термодинамика и молекулярная физика. Учебное пособие
.pdf
u(z)
z
u(z − l)
u(z + l)
z
z + l
z − l
x
dV
Θ
Рис. 19.1. К выводу потока импульса идеального газа
молекул и проинтегрировать по верхнему и нижнему полупространствам:
𝜋/2
2𝜋
∞
ˆ
ˆ
Π = Π+− Π−=
−
0
𝜋/2
ˆ
0
ˆ
𝑚𝑢(𝑧 − 𝑅 cos Θ)
0
0
2𝜋
∞
ˆ
ˆ
𝑚𝑢(𝑧 + 𝑅 cos Θ)
0
0
4𝜋𝑅
𝑛
4𝜋𝑅
𝑛
2
⟨𝜐⟩
2
⟨𝜆⟩
⟨𝜐⟩
⟨𝜆⟩
𝑅
−
⟨𝜆⟩
𝑒
cos Θ𝑅2sin Θ 𝑑𝑅𝑑𝜙𝑑Θ−
𝑅
−
⟨𝜆⟩
𝑒
cos Θ𝑅2sin Θ 𝑑𝑅𝑑𝜙𝑑Θ .
Преобразуем подынтегральное выражение
𝑢(𝑧 − 𝑅 cos Θ) −𝑢(𝑧 + 𝑅 cos Θ) =
𝑢(𝑧 − 𝑅 cos Θ) −𝑢(𝑧 + 𝑅 cos Θ)
2𝑅 cos Θ
2𝑅 cos Θ ≈
≈ −2𝑅 cos Θ
С учетом преобразований имеем
𝜋/2
∞
2𝜋
ˆ
ˆ
Π = −
ˆ
𝑛2𝑅 cos Θ
𝑚
0
0
0
4𝜋𝑅
𝑑𝑢𝑑𝑧⟨𝜐⟩
2
⟨𝜆⟩
𝑅
−
⟨𝜆⟩
𝑒
cos Θ𝑅2sin Θ 𝑑𝑅𝑑𝜙𝑑Θ
Положим, что величина 𝑑𝑢/𝑑𝑧 мало меняется на масштабе длины свободного
пробега, а потому, с учетом экспоненциального множителя, ее можно вынести
за пределы интеграла. Тогда поток импульса через единицу площади плоскости
𝑧 = const в единицу времени
Параметр
Π = −
𝜂 =
1
𝑚𝑛 ⟨𝜐⟩⟨𝜆⟩
3
1
𝑚𝑛 ⟨𝜐⟩⟨𝜆⟩ =
3
𝑑𝑢
.
𝑑𝑧
1
𝜌 ⟨𝜐⟩⟨𝜆⟩ (19.1)
3
261
𝑑𝑢(𝑧)
𝑑𝑧
.
называют коэффициентом динамической вязкости. Отнесенный к плотности
коэффициент динамической вязкости называют коэффициентом кинематической
вязкости. Заметим, что он в точности равен коэффициенту диффузии (18.12).
Уравнение
Π = −𝜂
есть закон вязкости Ньютона. В общем случае произвольно ориентированного
потока газа вместо производной необходимо написать градиент векторного поля
скоростей 𝑢.
Поскольку ⟨𝜆⟩ обратно пропорциональна концентрации газа, то отсюда
следует, что коэффициент динамической вязкости не зависит от концентрации
идеального газа, то есть и от изменения его плотности. Учитывая, что для идеального газа справедливо 𝑃 = 𝑛𝑘𝑇 , при постоянной температуре коэффициент
динамической вязкости идеального газа не зависит и от его давления. В то же
время, поскольку ⟨𝜐⟩ ∼
газа растет с температурой. Такой, на первый взгляд, парадоксальный вывод
подтверждается экспериментально. Если концентрация идеального газа растет,
то его молекулы чаще сталкиваются, но перенос импульса, обусловленный
столкновениями молекул газа, производится на меньшие расстояния, вследствие
уменьшения средней длины свободного пробега. При уменьшении концентрации
средняя длина свободного пробега растет и перенос импульса производится
на б´ольшие расстояния, но и столкновения молекул происходят реже.
Так же как и в случае с законом Фика (18.13), закон вязкости Ньютона
в виде (19.2) был получен экспериментально и вполне справедлив для других
сред, в том числе и жидкостей, правда коэффициент вязкости в этих случаях
уже не будет определяться выражением (19.1).
В итоге разность скоростей направленного движения молекул в соседних
слоях вещества приводит к возникновению между ними ненулевого потока
импульса. Параметр, характеризующий величину этого потока, называется
вязкостью вещества.
√
𝑇 , коэффициент динамической вязкости идеального
𝑑𝑢
𝑑𝑧
(19.2)
19.2. Течение вязкой жидкости
Рассмотрим случай плоского установившегося течения вязкой жидкости между
двумя бесконечными пластинами, то есть когда характерный размер пластин
много больше расстояния между ними. Пусть нижняя пластина покоится,
а верхняя движется со скоростью 𝑢0(рис. 19.2).
В случае установившегося течения поток импульса через любую поверхость 𝑧 = const будет постоянным. В соответствии с законом вязкости Ньютона (19.2) имеем
𝑑𝑢(𝑧)
= const .
𝑑𝑧
Заметим, что в каждом бесконечно тонком слое жидкости в диапазоне координат (𝑧, 𝑧 + 𝑑𝑧) скорость жидкости можно считать постоянной, а саму
функцию 𝑢(𝑧) гладкой, то есть не имеющей изломов и разрывов. Пусть
в примыкающих к пластинам слоях жидкость будет двигаться со скоростями
262
z
h
0
u(z)
u
0
Рис. 19.2. Плоское течение вязкой жидкости
пластин. Соответственно, граничные условия для полученного дифференциального уравнения будут иметь вид 𝑢(0) = 0 и 𝑢(ℎ) = 𝑢0. Тогда решение этого
уравнения есть линейная зависимость скорости жидкости от координаты
𝑢
0
𝑢(𝑧) =
𝑧 .
ℎ
Поток импульса между пластинами в единицу времени через единицу площади
𝑢0𝜂
Π =
.
ℎ
Изменение импульса исходно неподвижного слоя жидкости площадью 𝑆,
толщиной ℎ и плотностью 𝜌 от нуля до соответствующего скорости 𝑢0под
действием такого потока импульса есть
∆𝑝
откуда
∆𝑡
=
𝜌ℎ𝑆𝑢
∆𝑡
∆𝑡 =
0
𝜌ℎ
𝑢0𝜂
=
𝑆 ,
ℎ
2
𝜂
есть характерное время установления течения жидкости.
Отметим, что при выводе этих соотношений мы полагали, что коэффициент
вязкости 𝜂 не зависит от скорости жидкости и является константой. Такие
жидкости называются ньютоновскими.
Поток импульса через поверхность объема жидкости, или изменение импульса
этого объема жидкости, в единицу времени есть сила, действующая на него.
Поэтому говорят, что между слоями жидкости, имеющими различные скорости,
возникают вязкие силы трения.
19.2.1. Формула Пуазейля
Рассмотрим стационарное установившееся течение вязкой жидкости по цилиндрической трубе радиусом 𝑅 и длиной 𝐿, на торцах которой поддерживаются
263
постоянные давления 𝑃1и 𝑃2. В силу осесимметричности постановки скорость
жидкости в трубе будет зависеть только от радиальной координаты 𝑢(𝑟),
а ее направление будет всюду вдоль оси трубы. Поток импульса в единицу
времени через единицу боковой поверхности соосного с трубой цилиндра
радиусом 𝑟 = const есть
Π = −𝜂
𝑑𝑢(𝑟)
𝑑𝑟
,
что эквивалентно действию вязких сил трения на цилиндр. Полная вязкая
сила, действующая на боковую поверхность этого цилиндра площадью 2𝜋𝑟𝐿
в противоположном движению жидкости направлении, есть
2𝜋𝑟𝐿Π = −2𝜋𝑟𝐿𝜂
𝑑𝑢(𝑟)
𝑑𝑟
.
С другой стороны на рассматриваемый цилиндр действует сила 𝜋𝑟2(𝑃1−𝑃2),
обусловленная разностью давлений на торцах трубы. В случае установившегося
течения с постоянным распределением скорости жидкости по сечению сумма сил,
действующих на рассматриваемый цилиндр, равна нулю:
𝜋𝑟2(𝑃1− 𝑃2) −2𝜋𝑟𝐿𝜂
𝑑𝑢(𝑟)
𝑑𝑟
= 0 ,
или
𝑑𝑢(𝑟)
𝑑𝑟
=
𝑟
(𝑃1− 𝑃2) .
2𝐿𝜂
Решая это уравнение методом разделения переменных и с учетом граничного
условия, заключающегося в равенстве нулю скорости у поверхности трубы, то
есть 𝜐(𝑅) = 0, получим
𝑃1− 𝑃
𝑢(𝑟) =
2
(𝑅2− 𝑟2) . (19.3)
4𝐿𝜂
График зависимости 𝑢(𝑟) называется профилем скорости.
Таким образом, скорость установившегося течения вязкой жидкости по трубе
меняется по квадратичному закону от нуля вблизи стенки до максимального
значения
𝑃1− 𝑃
2
2
𝑢
макс
=
4𝐿𝜂
𝑅
на оси трубы.
Рассчитаем расход жидкости при таком течении, полагая жидкость несжимаемой. Рассмотрим цилиндрический слой жидкости, заключенный между двумя
коаксиальными цилиндрами радиусами 𝑟 и 𝑟 + 𝑑𝑟. Поскольку толщина слоя 𝑑𝑟
бесконечно мала, то скорость жидкости в нем можем считать равной 𝑢(𝑟).
В единицу времени через поперечное сечение слоя будет протекать объем
жидкости 𝑑𝑄, равный произведению скорости потока на сечение слоя:
𝑑𝑄 = 𝑢(𝑟)2𝜋𝑟𝑑𝑟 =
𝜋(𝑃1− 𝑃2)
2𝐿𝜂
264
𝑟(𝑅2− 𝑟2)𝑑𝑟 .
Определенную таким способом величину называют расходом жидкости.
T (z)
z
T (z − l)
T (z + l)
z
z + l
z − l
x, y
dV
Θ
Полный расход жидкости в единицу времени дается интегрированием по
всему сечению трубы
𝑅
ˆ
𝑄 =
𝜋(𝑃1− 𝑃2)
2𝐿𝜂
0
𝑟(𝑅2− 𝑟2) 𝑑𝑟 =
𝜋(𝑃1− 𝑃2)
8𝐿𝜂
𝑅4.
Полученное выражение для расхода жидкости называется формулой Пуазейля,
а течение с полученным профилем скорости в трубе (19.3) – течением Пуазейля.
Стоит заметить, что течение Пуазейля реализуется только при относительно
малых скоростях потока. При этом то, какие скорости могут считаться малыми,
зависит от характерного поперечного размера трубы и вязкости жидкости. При
высоких скоростях будет возникать турбулентное течение жидкости, для которого принимаемая зависимость 𝑢(𝑟) не будет справедливой. При турбулентном
течении наблюдается значительное увеличение работы вязких сил.
19.3. Теплопроводность
Рассмотрим локально равновесное состояние идеального газа, при котором
средняя энергия молекул, то есть температура газа, неоднородна в пространстве.
Такая ситуация будет возможна, например, если противоположные стенки сосуда
с газом поддерживаются при разных температурах. Пусть температура газа
меняется вдоль оси 𝑍 (рис. 19.3).
Рис. 19.3. К выводу потока тепла в идеальном газе
Посчитаем поток кинетической энергии или тепла в единицу времени через
единицу площади плоскости 𝑧 = const. Для вычисления потока тепла необходимо
в формуле (18.9)
𝑗 =
𝜋/2
ˆ
0
2𝜋
∞
ˆ
ˆ
𝑛
2
4𝜋𝑅
0
0
⟨𝜐⟩
⟨𝜆⟩
𝑅
−
⟨𝜆⟩
𝑒
cos Θ𝑅2sin Θ 𝑑𝑅𝑑𝜙𝑑Θ =
1
𝑛 ⟨𝜐⟩
4
265
подынтегральное выражение домножить на величину средней энергии молекулы 𝐶
𝑇/𝑁А, где 𝐶
𝑉 мол
– молярная теплоемкость газа, а 𝑁А– число молекул
𝑉 мол
в одном моле, то есть число Авогадро.
𝑗𝐸= 𝑗𝐸+− 𝑗𝐸−=
𝜋/2
2𝜋
∞
ˆ
ˆ
ˆ
𝐶
𝑇 (𝑧 − 𝑅 cos Θ)
𝜋/2
ˆ
0
𝑉 мол
𝑁
0
2𝜋
∞
ˆ
ˆ
0
0
А
𝐶
𝑇 (𝑧 + 𝑅 cos Θ)
𝑉 мол
𝑁
А
=
0
0
−
𝑛
4𝜋𝑅
2
4𝜋𝑅
⟨𝜐⟩
⟨𝜆⟩
𝑛
𝑅
−
⟨𝜆⟩
𝑒
cos Θ𝑅2sin Θ 𝑑𝑅𝑑𝜙𝑑Θ−
𝑅
⟨𝜐⟩
−
⟨𝜆⟩
𝑒
2
⟨𝜆⟩
cos Θ𝑅2sin Θ 𝑑𝑅𝑑𝜙𝑑Θ .
Заметим, что ⟨𝜐⟩ зависит от температуры. Также при постоянном давлении
будет зависеть от температуры и концентрация, а следовательно, и длина
свободного пробега. Вообще говоря, в таком случае формула для потока (18.9)
не будет верна, так как она выводилась при условии постоянства указанных величин. Поэтому дальнейшие математические преобразования будут носить лишь
оценочный характер, но достаточно точный, если положить, что температура
меняется слабо на масштабе порядка длины свободного пробега. Тогда, согласно
экспоненциальному множителю под интегралом, все указанные величины можно
считать постоянными при вычислении значения интеграла.
Подынтегральное выражение в уравнении для потока (18.9)
𝑑𝑗 =
𝑛
4𝜋𝑅
⟨𝜐⟩
−
⟨𝜆⟩
𝑒
2
⟨𝜆⟩
𝑇
𝛼
−
∼
𝑇
𝑒
2
𝑇
√
𝑅
2
1
=
𝑇
+ 𝑜
⎝
⎛
3
⎞
2
1
⎠
𝑇
,
а средняя энергия одной молекулы пропорциональна температуре в первой
степени. Поэтому при малом изменении температуры, то есть при замене 𝑇
на 𝑇 + 𝑑𝑇 , что эквивалентно подстановке 𝑇 (𝑧 ± 𝑅 cos Θ) вместо 𝑇 (𝑧), мы
можем пренебречь этой добавкой в подынтегральном выражении для потока,
считая там температуру постоянной, но оставить ее в энергии молекулы. Тогда
подынтегральное выражение можно преобразовать следующим образом:
𝑇 (𝑧 − 𝑅 cos Θ) −𝑇 (𝑧 + 𝑅 cos Θ) =
𝑇 (𝑧 − 𝑅 cos Θ) −𝑇 (𝑧 + 𝑅 cos Θ)
2𝑅 cos Θ
≈ −2𝑅 cos Θ
2𝑅 cos Θ ≈
𝑑𝑇 (𝑧)
𝑑𝑧
.
С учетом преобразований имеем
𝜋/2
2𝜋
∞
ˆ
ˆ
𝑗𝐸= −
ˆ
𝐶
𝑛2𝑅 cos Θ
𝑉 мол
0
0
𝑁
0
4𝜋𝑅
А
𝑑𝑇𝑑𝑧⟨𝜐⟩
2
⟨𝜆⟩
𝑅
−
⟨𝜆⟩
𝑒
cos Θ𝑅2sin Θ 𝑑𝑅𝑑𝜙𝑑Θ .
Вынося из-под интеграла 𝑑𝑇/𝑑𝑧, считая, что производная температуры слабо
меняется на масштабе расстояний порядка длины свободного пробега, получим
266
поток энергии через единицу площади плоскости 𝑧 = const в единицу времени
𝑗𝐸= −
13𝐶
𝑉 мол
𝑁
А
𝑛
⟨𝜐⟩⟨𝜆⟩
𝑑𝑇
𝑑𝑧
.
Параметр
13𝐶
κ =
называют коэффициентом теплопроводности. Отнесенный к 𝐶
к 𝜌𝐶
) коэффициент теплопроводности называют коэффициентом температу-
𝑉 уд
𝑉 мол
𝑁
А
𝑛
⟨𝜐⟩⟨𝜆⟩ = −
1
𝜌𝐶
⟨𝜐⟩⟨𝜆⟩ (19.4)
𝑉 уд
3
𝑛/𝑁А(или
𝑉 мол
ропроводности. Заметим, что он совпадает и с коэффициентом диффузии (18.12),
и с коэффициентом кинематической вязкости. Равенство этих коэффициентов
справедливо только для идеальных газов и с учетом сделанных приближений
при выводе соответствующих уравнений переноса.
Уравнение
𝑗𝐸= −κ
𝑑𝑇
𝑑𝑧
(19.5)
есть закон теплопроводности Фурье. В общем случае произвольного распределения температуры в пространстве производную необходимо заменить градиентом
скалярного поля температур.
Как и в случае с законом Фика (18.13) и законом вязкости Ньютона (19.2), полученное уравнение справедливо и для других сред, для которых выражение для
коэффициента теплопроводности идеального газа не будет справедливым. Как
правило, коэффициент теплопроводности сред определяется экспериментально.
Заметим, что даже в случае идеального газа коэффициент теплопроводности
является функцией температуры, так как она входит в выражение для среднего
модуля скорости частиц. Для других сред также наблюдается зависимость κ от
температуры.
19.4. Уравнение теплопроводности
Пусть в неограниченной изотропной среде имеется поток тепла в положительном
направлении оси 𝑋. В общем случае свойства среды и прочие параметры,
характеризующие тепловой поток, могут быть различны на разных участках
оси 𝑋. Кроме того, они могут меняться и во времени. Поэтому поток тепла
в единицу времени через единицу площади плоскости 𝑥 = const может
быть представлен в виде функциональной зависимости 𝑗𝐸(𝑥, 𝑡). Соответственно,
и температура в среде будет являться функцией двух переменных 𝑇 (𝑥, 𝑡).
Выделим в среде цилиндр с площадью оснований 𝑆, ось которого параллельна
оси 𝑋, как указано на рис. 19.4. Рассмотрим элемент этого цилиндра, ограниченный нормальными сечениями в координатах 𝑥 и 𝑥 + 𝑑𝑥. Будем считать, что
в течение бесконечно малого интервала времени (𝑡, 𝑡 + 𝑑𝑡) величины тепловых
потоков 𝑗𝐸(𝑥, 𝑡) и 𝑗𝐸(𝑥+𝑑𝑥, 𝑡) постоянны. Пусть также не меняется плотность или
удельный объем элемента. Потоки тепла через боковые поверхности цилиндра
отсутствуют в силу симметрии постановки.
267
xx x + dx
jE(x, t) jE(x + dx, t)
Рис. 19.4. К выводу уравнения теплопроводности
Запишем поток тепла через рассматриваемый элемент цилиндра за интервал 𝑑𝑡:
𝑑𝑗
(𝑗𝐸(𝑥, 𝑡) −𝑗𝐸(𝑥 + 𝑑𝑥, 𝑡)) 𝑆𝑑𝑡 = −
𝐸
𝑑𝑥
𝑆𝑑𝑥𝑑𝑡 .
С другой стороны, элемент цилиндра объемом 𝑆𝑑𝑥 за время 𝑑𝑡 получит 𝐶
𝜌𝑆𝑑𝑥𝑑𝑇 теплоты, где 𝑑𝑇 – изменение температуры имеющего координа-
𝑉 уд
ту 𝑥 элемента цилиндра за время 𝑑𝑡. Приравнивая оба выражения, получим
𝑑𝑗
𝐶
𝜌𝑆𝑑𝑥𝑑𝑇 = −
𝑉 уд
𝐸
𝑑𝑥
𝑆𝑑𝑥𝑑𝑡 ,
или, после сокращения,
𝜕𝑇
𝐶
𝜌
𝑉 уд
𝜕𝑡
= −
𝜕𝑗
𝜕𝑥
𝐸
.
Знак частной производной функций нескольких переменных здесь возникает
вследствие того, что разность потоков тепла мы записывали для фиксированного
момента времени, а приращение температуры для фиксированной координаты
элемента среды. Теперь же этот результат будет справедлив для любого момента
времени и координаты вдоль оси цилиндра.
Подставим сюда выражение для потока тепла из закона теплопроводности Фурье (19.5), записанного для оси 𝑥, где в силу тех же причин будет частная
производная температуры,
𝜕𝑇
κ
𝜕𝑥
.
𝐶
𝑉 уд
𝜕𝑇
𝜕𝑡
𝜕
=
𝜕𝑥
𝜌
В наиболее общем случае температура среды будет являться функцией четырех
переменных 𝑇 (𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡). Кроме того, в среде могут находиться и источники тепла.
Например, тепло может выделяться в результате прохождения электрического
тока, фазовых переходов, химических реакций или радиоактивного распада. Все
эти процессы могут сопровождаться и изменением коэффициента теплопроводности, который также является функцией пространственных координат и времени.
В результате уравнение теплопроводности в общем виде принимает вид
𝜕𝑇
𝐶
𝑉 уд
=
𝜌
𝜕𝑡
𝜕𝑥
𝜕
𝜕𝑇
κ
𝜕𝑥
𝜕
𝜕𝑦
𝜕𝑇
κ
𝜕𝑦
+
𝜕
+
𝜕𝑧
𝜕𝑇
κ
+ 𝑞(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡) ,
𝜕𝑧
268
где функция 𝑞 – есть количество тепла, выделяемого в объеме 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 в течение
промежутка времени (𝑡, 𝑡 + 𝑑𝑡).
Аналитическое решение этого уравнения можно получить лишь в простейших
случаях. Например, когда все функции, входящие в это уравнение, зависят
только от одной пространственной координаты. В декартовых координатах оно
будет иметь вид
𝜕𝑇
𝐶
𝜌
𝑉 уд
𝜕𝑡
𝜕
=
𝜕𝑥
𝜕𝑇
κ
+ 𝑞(𝑥, 𝑡) . (19.6)
𝜕𝑥
Важными с практической точки зрения являются случаи сферической или
цилиндрической симметрии, когда температура и другие параметры среды,
например ее коэффициент теплопроводности, зависят только от расстояния до
начала координат или до оси симметрии. Тогда уравнение теплопроводности
удобнее записывать в соответствующих сферических или цилиндрических координатах, где ненулевой будет только радиальная компонента.
В сферических координатах это будет
𝜕𝑇
1
𝐶
𝜌
𝑉 уд
𝜕𝑡
𝜕
=
𝑟
𝑟
2
𝜕𝑟
𝜕𝑇
2
κ
𝜕𝑟
+ 𝑞(𝑟,𝑡) ,
где 𝑟 – расстояние до начала координат.
В цилиндрических координатах
𝜕𝑇
𝐶
𝜌
𝑉 уд
𝜕𝑡
1𝑟𝜕
=
𝜕𝑟
𝑟κ
𝜕𝑇
𝜕𝑟
+ 𝑞(𝑟,𝑡) ,
где 𝑟 – расстояние до оси симметрии.
Уравнения теплопроводности разделяются на стационарные и нестационарные. Стационарными называются такие, в которых температура и другие
параметры среды не меняются со временем, то есть являются лишь функциями
соответствующих координат. В одномерной постановке они будут являться функциями одной переменной, а потому вместо уравнений в частных производных
будем иметь обыкновенные дифференциальные уравнения второго порядка,
которые решаются методом разделения переменных.
19.4.1. Распределение температуры в плоском слое
Найдем распределение температуры в слое идеального газа толщиной 𝑙, находящемся между двумя бесконечными плоскостями, поддерживаемыми при
температурах 𝑇1и 𝑇2, при этом все прочие источники тепла отсутствуют. Для
этого необходимо будет решить одномерное стационарное уравнение теплопроводности (19.6) в виде
с граничными условиями 𝑇 (0) = 𝑇1и 𝑇 (𝑙) = 𝑇2.
𝑑
𝑑𝑥
𝑑𝑇
κ
𝑑𝑥
= 0
269
Коэффициент теплопроводности идеального газа, согласно (19.4), пропорционален корню из температуры:
1
κ = −
𝜌𝐶
⟨𝜐⟩⟨𝜆⟩ ∼√𝑇 .
𝑉 уд
3
Тогда уравнение теплопроводности можно записать в виде
𝑑
𝑑𝑥
√
𝑑𝑇
𝑇
𝑑𝑥
= 0 .
Разделяем переменные, домножив на 𝑑𝑥,
𝑑
√
𝑑𝑇
𝑇
𝑑𝑥
= 0 ,
и, после интегрирования, имеем
√
𝑑𝑇
𝑇
= 𝐶1,
𝑑𝑥
где 𝐶1– произвольная константа интегрирования. Еще раз разделяем переменные
и снова интегрируем получившееся уравнение:
ˆ
√
𝑇 𝑑𝑇 =ˆ𝐶1𝑑𝑥 .
Отсюда общее решение
или
𝑇 =
3
2
2𝑇
= 𝐶1𝑥 + 𝐶2,
3
3
𝐶1𝑥 +
2
2
3
3
𝐶
,
2
2
где 𝐶2– вторая произвольная константа интегрирования. Определим константы
из граничных условий:
и
откуда
𝐶1=
2𝑇
3
3
2
2𝑇
2
= 𝐶1𝑙 + 𝐶2,
3
2
3
3
2
1
= 𝐶
2
− 𝑇
3
1
2
.
1
𝑙
3
2
𝑇
2
Тогда распределение температуры в слое газа есть
2
⎞
3
2
3
⎠
.
1
𝑇 =
⎛
⎝
3
3
2
𝑇
2
− 𝑇
2
1
𝑥 + 𝑇
𝑙
270
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]