Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Физика для студентов ГГФ. В 2 частях. Ч.1. Механика, термодинамика и молекулярная физика. Учебное пособие
.pdf
следует, что доступны будут лишь те микросостояния, в которых полная
z
z + dz
dz
P + dP
P
z
потенциальная энергия молекул принимает конкретное значение.
Пусть потенциальная энергия одной из молекул принимает значение в диапазоне (𝑈, 𝑈 + 𝑑𝑈 ). Тогда суммарная потенциальная энергия остальных молекул
уменьшится на эту величину. Таким образом, количество возможных микросостояний у оставшихся (𝑁 − 1) молекул будет зависеть от величины 𝑈 или
от координаты выбранной молекулы. Это означает, что функция плотности
вероятности распределения молекул по объему сосуда во внешнем поле будет
зависеть от координат.
Найдем равновесное распределение молекул в сосуде в однородном поле
тяжести. Рассмотрим идеальный газ в цилиндрическом сосуде высотой ℎ
и поперечным сечением 𝑆 при постоянной температуре, считая, что он находится
в однородном поле тяжести в состоянии равновесия. Выделим тонкий слой газа
толщиной 𝑑𝑧, находящийся на высоте 𝑧 (рис. 17.2). Сумма всех сил, действующих
на этот слой, должна быть равна нулю. В противном случае в сосуде будет
возникать течение газа, сопровождающееся изменением скоростей молекул и их
концентрации, что не соответствует состоянию равновесия.
Рис. 17.2. К выводу барометрической формулы
Из наблюдений мы знаем, что и давление газа, и его концентрация будут
изменяться с высотой. Поэтому на рассматриваемый слой газа будут действовать
обусловленные разностью давлений на высотах 𝑧 и 𝑧 + 𝑑𝑧 силы со стороны
окружающего газа, а также сила тяжести. Сила со стороны газа
𝐹г= 𝑃 (𝑧)𝑆 − 𝑃 (𝑧 + 𝑑𝑧)𝑆 = −𝑆𝑑𝑃 (𝑧) .
Сила тяжести, учитывая изменение концентрации газа с высотой 𝑛(𝑧),
где 𝑚 – масса одной молекулы, а 𝑆𝑑𝑧 – объем слоя. Условие равновесия слоя есть
𝐹т= −𝑔𝑚𝑛(𝑧)𝑆𝑑𝑧 ,
−𝑔𝑚𝑛(𝑧)𝑆𝑑𝑧 − 𝑆𝑑𝑃 (𝑧) = 0 ,
241
откуда, сокращая площадь, получим
𝑑𝑃 (𝑧) = −𝑚𝑔𝑛(𝑧)𝑑𝑧 .
Поскольку газ идеальный и 𝑃 (𝑧) = 𝑛(𝑧)𝑘𝑇 в равновесном состоянии, то,
воспользовавшись методом разделения переменных, получим
𝑑𝑛(𝑧)
𝑛(𝑧)
= −
𝑚𝑔
𝑘𝑇
𝑑𝑧 .
Решением этого уравнения будет являться зависимость концентрации молекул
газа от высоты
𝑛(𝑧) = 𝑛(0)𝑒
𝑚𝑔𝑧
−
𝑘𝑇
. (17.9)
Осталось найти величину концентрации на нулевой высоте. Пусть число молекул
в сосуде в столбе газа высотой ℎ с поперечным сечением 𝑆 равно 𝑁 . Интегрируя
по высоте, получим
ℎ
𝑁 =
ˆ
𝑛(𝑧)𝑆 𝑑𝑧 = 𝑛(0)
0
𝑆𝑘𝑇
𝑚𝑔
1 −𝑒
𝑚𝑔ℎ
−
𝑘𝑇
,
откуда
𝑛(0) =
𝑁𝑚𝑔
𝑆𝑘𝑇
1 −𝑒
1
.
𝑚𝑔ℎ
−
𝑘𝑇
Высота, на которой концентрация молекул становится в 𝑒 раз меньше,
𝑘𝑇
𝑧0=
𝑚𝑔
,
называется характеристической. Для воздуха в однородном поле тяжести Земли
при нормальной температуре она составляет величину порядка 10 километров.
Поэтому неоднородности распределения концентрации газов по высоте в искусственных сосудах, как правило, не наблюдаются.
При выводе формулы (17.9) мы считали температуру постоянной, следовательно, она справедлива только для «изотермической» атмосферы. Переходя от
концентраций к давлению, получаем барометрическую формулу для изотермической атмосферы
𝑃 (𝑧) = 𝑃 (0)𝑒
𝑚𝑔𝑧
−
𝑘𝑇
. (17.10)
Заметим, что атмосферный воздух является смесью газов, имеющих различные массы молекул 𝑚𝑖. Тогда, в соответствии с барометрической формулой (17.10), состав атмосферы должен заметно меняться с высотой. Относительные парциальное давление и концентрация легких газов должны расти с увеличением высоты. Однако измерения показывают, что это не совсем так. На высотах
вплоть до нескольких десятков километров значимых изменений относительных
концентраций газов не наблюдается. Это связано с интенсивным и постоянным
перемешиванием слоев атмосферы. Кроме того, вычисленное по барометрической
формуле давление заметно расходится с наблюдаемой величиной давления на
высоте около десяти километров и выше. Это обусловлено неизотермичностью
атмосферы Земли. Тем не менее для высот вплоть до нескольких километров
барометрическая формула имеет вполне удовлетворительную точность.
242
17.4.2. Распределение Больцмана
Равновесное значение концентрации газа на высоте 𝑧 связано с вероятностью
нахождения молекулы газа в диапазоне высот (𝑧, 𝑧 + 𝑑𝑧). Если полное число
молекул газа 𝑁 , а в диапазоне высот (𝑧, 𝑧 + 𝑑𝑧) находится 𝑑𝑁 (𝑧) молекул, то
𝑑𝑊 (𝑧) =
𝑑𝑁(𝑧)
𝑁
𝑛(𝑧)𝑆𝑑𝑧
=
𝑁
𝑛0𝑆
𝑚𝑔𝑧
−
𝑁
𝑘𝑇
𝑒
𝑑𝑧 . (17.11)
=
В общем случае в произвольной системе координат, в которой энергия
молекул может быть выражена как 𝑈 (𝑟),
𝑈(𝑟)
1
−
𝑑𝑊 (𝑟) =
𝑘𝑇
𝑒
𝑍
𝑑𝑉 , (17.12)
где константа 𝑍 определяется из условия нормировки вероятности
ˆ
𝑑𝑊 (𝑟) =ˆ𝑤(𝑟) 𝑑𝑟 = 1 ,
а интеграл берется по всем возможным значениям 𝑟. В декартовой системе
координат это будет интеграл по 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 в соответствующих размеру сосуда
пределах.
Выражение (17.12) называется распределением Больцмана. Оно может быть
применимо для произвольного типа взаимодействия молекул и любой зависимости 𝑈(𝑟). Несмотря на то что при выводе формулы для концентрации (17.9)
мы полагали однородность внешнего силового поля, этот вывод будет также
справедлив и в неоднородных полях. Для этого достаточно рассматривать малые
пространственные участки, для которых поле внешних сил можно считать
однородным. Единственным ограничением является консервативный характер
сил, работа по перемещению молекулы по замкнутому контуру должна быть
равна нулю. Иначе говоря, необходимо чтобы функция 𝑈 (𝑟) являлась функцией
состояния, а не процесса.
Если положить, что энергия зависит от производной вектора координаты,
то есть от скорости молекулы, то из распределения Больцмана будет следовать
распределение Максвелла по скоростям. При этом в формуле (17.12) под 𝑑𝑉
следует понимать объем ячейки, то есть 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧𝑑𝑝𝑥𝑑𝑝𝑦𝑑𝑝𝑧. Если нас интересует
только распределение молекул по потенциальной энергии, то все возможные
значения импульсов мы заключаем в одной ячейке. Если же необходимо
определить распределение по кинетической энергии, то, напротив, весь объем
сосуда заключается в одной пространственной ячейке.
При переходе между системами координат необходимо будет учитывать
изменение записи элемента объема. В декартовых координатах
𝑑𝑉 = 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 ,
в цилиндрических
𝑑𝑉 = 𝑟𝑑𝑟𝑑𝜙𝑑𝑧 ,
в сферических
𝑑𝑉 = 𝑟2sin Θ𝑑𝑟𝑑Θ𝑑𝜙 .
Аналогичные выражения будут справедливы и для компонент импульса. Отметим, что в пространстве импульсов и координат будут разные углы Θ и 𝜙.
243
17.4.3. Центрифугирование, разделение изотопов
Рассмотрим частный случай поля внешних сил – поле центробежных сил во
вращающемся сосуде, или в центрифуге. Центрифугирование нашло широкое
применение в химии и биологии как эффективный способ разделения близких
по молекулярному или атомарному весу компонент смесевых веществ.
Пусть в системе отсчета, связанной с вращающейся с постоянной угловой
скоростью 𝜔 центрифугой, вещество находится в равновесном состоянии, то
есть для него справедливо распределение Больцмана. В этой системе отсчета
на каждый малый объем вещества массой 𝑚 будет действовать внешняя
центробежная сила
Потенциальная энергия этих малых объемов с точностью до константы, которую
можно положить равной нулю, не нарушая общности рассмотрения, так как
в противном случае она все равно может быть включена в нормировочный
множитель 𝑍 уравнения (17.12), есть
ˆ
𝑈 = −
𝐹 𝑑𝑟 = −ˆ𝑚𝜔2𝑟 𝑑𝑟 = −
Пусть центрифуга имеет форму цилиндра высотой ℎ. Тогда, переходя
к цилиндрическим координатам и интегрируя по углу 𝜙 и координате вдоль
оси 𝑍, распределение Больцмана (17.12) примет вид
𝑑𝑊 (𝑟) =
𝐹 = 𝑚𝜔2𝑟 .
2
1
𝑚𝜔2𝑟
2𝑘𝑇
𝑒
𝑍
2𝜋𝑟ℎ𝑑𝑟 .
1
𝑚𝜔2𝑟2.
2
Зависимость концентрации малых объемов вещества от расстояния до оси
вращения 𝑛(𝑟), согласно (17.11), есть
𝑛(𝑟) =
𝑁𝑑𝑊 (𝑟)
𝑑𝑉
𝑒
𝑚𝜔2𝑟
2𝑘𝑇
2
= 𝑛0𝑒
𝑁
=
𝑍
𝑚𝜔2𝑟
2𝑘𝑇
2
,
где 𝑛0– концентрация на оси центрифуги. Предположим теперь, что в центрифуге находится смесь веществ, которую можно представить в виде некоторого
количества малых объемов индивидуальных компонент. Из формулы для концентрации видно, что относительная концентрация тяжелых малых элементов
объема у боковой стенки центрифуги будет выше, чем у легких. Этот эффект
и используется для разделения смесей, в том числе и для обогащения изотопного
состава отдельных химических элементов, например урана для использования
в качестве топлива на атомных энергетических станциях.
244
Лекция 18
Явления переноса в газах.
Перенос массы
Рассмотрим изолированную термодинамическую систему, которая была выведена из состояния термодинамического равновесия кратковременным внешним
воздействием. Согласно нулевому началу термодинамики, эта система будет
стремиться вернуться в состояние термодинамического равновесия. В этой
и следующей лекции мы обсудим, каким образом это будет происходить.
18.1. Принцип локального равновесия
Из опыта мы знаем, что время установления термодинамического равновесия
зависит от размеров системы. Чем меньше размеры термодинамической системы,
тем быстрее достигается равновесное состояние. При этом, пока термодинамическая система находится в неравновесном состоянии, мы, в общем случае, не
можем определить ее макроскопические термодинамические параметры.
Принцип локального равновесия заключается в разбиении исходной термодинамической системы на малые объемы, в каждом из которых время
установления термодинамического равновесия мало. Иначе говоря, можем
считать, что каждый из малых объемов находится в состоянии локального
равновесия. В результате к каждому из них можно применять термодинамический и статистический подходы. Следовательно, в каждом малом объеме мы
можем определить макроскопические термодинамические параметры, такие как
концентрация, давление и температура. Другими словами – массу вещества в единице объема, средние значения импульса и энергии молекул. Эти параметры,
в отсутствие термодинамического равновесия всей системы, могут отличаться
от определенных для соседних объемов, то есть будут зависеть от координат
рассматриваемого малого объема. Заметим, что принцип локального равновесия
мы уже использовали ранее при выводе распределения Больцмана.
Поскольку в соседних малых объемах термодинамические параметры будут
различны, то между ними будут возникать нескомпенсированные друг другом
потоки массы, импульса и энергии. Эти процессы объединены общим названием –
245
явления переноса. Результатом явлений переноса и будет установление термодинамического равновесия всей изолированной термодинамической системы, когда
соответствующие потоки между ее соседними малыми объемами станут равны.
Мы ограничимся подробным рассмотрением явлений переноса в идеальных газах.
Принцип локального равновесия применим и в случаях, когда термодинамическая система не является замкнутой, то есть внешние воздействия носят
непрерывный характер. В таком случае термодинамическое равновесие системы
в целом может и не наступать вовсе. Например, когда стенки сосуда находятся
в постоянном контакте с имеющими различную температуру термостатами.
Но и в этом случае термодинамическая система будет приходить в некоторое
устойчивое стационарное состояние, когда каждый из ее малых объемов можно
считать находящимся в состоянии локального равновесия.
Пусть идеальный газ не находится в состоянии термодинамического равновесия. Это означает, что распределение молекул по скоростям отличается
от максвелловского. Равновесное состояние и максвелловское распределение
молекул по скоростям достигается в результате столкновений между молекулами.
Численное моделирование показывает, что для достижения максвелловского
распределения молекул по скоростям в малом объеме достаточно, чтобы каждая
молекула испытала примерно 2 ÷ 3 столкновения. Для многоатомных молекул
установление равновесия по вращательным степеням свободы требует уже
десятков столкновений, а для равновесия по колебательным степеням свободы
еще больше. Таким образом, время установления равновесия зависит от среднего
времени движения молекул газа между столкновениями.
18.2. Столкновения молекул. Рассеяние
молекулярного потока. Длина
свободного пробега
Рассмотрим модель газа, в которой молекулы являются абсолютно твердыми
шарами диаметром 𝑑. Если центры молекул сблизятся на расстояние 𝑑, то
произойдет абсолютно упругое их столкновение. Проведем вокруг центра
молекулы сферу радиусом 𝑑 (рис. 18.1). Ее называют сферой ограждения,
поскольку центры других молекулы не могут оказаться внутри нее.
За единицу времени молекула сместится на некоторое расстояние, определяемое ее скоростью, а сфера ограждения молекулы заметет цилиндр с поперечным
сечением 𝜎 = 𝜋𝑑2. Если в заметаемой области окажется другая молекула, то
в результате их столкновения обе молекулы, в общем случае, поменяют как
направления, так и модули своих скоростей движения. Поэтому величину 𝜎
также называют газокинетическим сечением молекулы или сечением рассеяния.
Рассмотрим поток молекул, имеющих одинаковую скорость 𝜐. Площадь
поперечного сечения потока обозначим 𝑆. Пусть на пути потока имеется газ
таких же молекул, которые пока будем считать неподвижными. Каждая из неподвижных молекул газа имеет сферу ограждения с поперечным сечением 𝜎 = 𝜋𝑑2.
Если какая-либо из молекул потока попадет в сферу ограждения неподвижной
молекулы, то движущаяся молекула покинет исходный поток в результате
столкновения и изменения вектора ее скорости.
246
d
Рис. 18.1. Сфера ограждения молекулы
Вероятность столкновения каждой из молекул потока будет определяться отношением перекрытой поперечными сечениями сфер ограждения неподвижных
молекул площади к общей площади поперечного сечения потока 𝑆, то есть будет
зависеть от концентрации газа и толщины его слоя. Для слоя бесконечно малой
толщины
𝑊 (𝑑𝑥) =
𝜎𝑛0𝑆𝑑𝑥
𝑆
= 𝜎𝑛0𝑑𝑥 , (18.1)
где 𝑛0– концентрация неподвижных молекул, а 𝑛0𝑆𝑑𝑥 – число молекул в слое
сечением 𝑆. Если толщину слоя принять
1
𝑙 =
𝜎𝑛
,
0
то вероятность столкновения формально становится равной единице. Однако
здесь следует учесть, что поперечные сечения сфер ограждения неподвижных
молекул в слое толщиной 𝑙 могут частично или полностью накладываться друг
на друга, и часть молекул потока будет свободно проникать сквозь этот слой.
В слое же бесконечно малой толщины достаточно разреженного газа наложением
друг на друга сфер ограждения неподвижных молекул можно пренебрегать.
Соответственно, формула (18.1) может быть записана только для бесконечно
тонкого слоя, а вероятность рассеяния в слое конечной толщины может быть
получена интегрированием по всем слоям толщиной 𝑑𝑥.
Если общий поток молекул есть 𝑗 штук в единицу времени через единицу
площади, то величина 𝑗𝑊 (𝑑𝑥) есть количество выбывших молекул из потока
в слое толщиной 𝑑𝑥, то есть −𝑑𝑗. Отсюда имеем
𝑊 (𝑑𝑥) = 𝜎𝑛0𝑑𝑥 =
𝑑𝑥
𝑙
= −
𝑑𝑗
.
𝑗
Решая это уравнение методом разделения переменных, получим
𝑥
−
𝑗 = 𝑗0𝑒
𝑙
, (18.2)
где 𝑗0– константа интегрирования, равная исходному потоку молекул, что
следует из граничного условия при 𝑥 = 0. Таким образом, количество молекул
в потоке будет убывать экспоненциальным образом. После преодоления потоком
слоя толщиной 𝑙 число молекул в потоке уменьшится в 𝑒 раз.
Пусть в потоке исходно имеется всего 𝑁0молекул. Число молекул потока,
преодолевших толщину слоя 𝑥 неподвижных молекул, соответственно, есть
𝑥
−
𝑁 = 𝑁0𝑒
𝑙
. (18.3)
247
Число выбывших из потока на интервале (𝑥,𝑥 + 𝑑𝑥) молекул есть взятый
с обратным знаком дифференциал 𝑑𝑁
1
𝑥
−
𝑑𝑁−=
𝑁0𝑒
𝑙
𝑙
𝑑𝑥 .
Тогда вероятность столкновения на участке (𝑥, 𝑥 + 𝑑𝑥) есть
𝑑𝑊 (𝑥) =
𝑑𝑁
𝑁
1
−
0
𝑥
−
𝑙
=
𝑒
𝑑𝑥 . (18.4)
𝑙
Отсюда среднее расстояние, которое пролетают молекулы потока до столкновения, есть
⟨𝑥⟩ =
∞
ˆ
𝑥 𝑑𝑊 (𝑥) =
0
∞
ˆ
1
𝑥
−
𝑙
𝑥
𝑒
𝑑𝑥 = 𝑙 .
𝑙
0
Величину 𝑙 = 1/𝜎𝑛0поэтому называют средней длиной свободного пробега
молекул потока, то есть имеющих одинаковое направление скорости, в среде
неподвижных молекул с концентрацией 𝑛0. Если поток состоит только из одной
молекулы, то средней длиной свободного пробега молекулы в среде неподвижных
таких же молекул.
Учтем теперь движение остальных молекул. Рассмотрим сначала две молекулы. Пусть скорость первой из них 𝜐1. Предположим, что внутри заметаемого
ее сферой ограждения цилиндра оказывается вторая молекула со скоростью 𝜐2.
Перейдем в систему отсчета, связанную со второй молекулой. Скорость первой
молекулы в этой системе отсчета
𝜐
= 𝜐1−𝜐2. (18.5)
отн
После столкновения первая молекула изменит свое направление движения,
а последующее движение второй молекулы нас уже не интересует. Добавим
теперь остальные молекулы газа. Тогда через некоторое время после столкновения со второй первая молекула может столкнуться с третьей молекулой.
Это столкновение мы можем рассматривать аналогичным способом, переходя
в систему отсчета третьей молекулы. Таким образом, можно считать, что
интересующая нас первая молекула движется со скоростью 𝜐
отн
в среде
других неподвижных молекул. Отметим, что в состоянии термодинамического
равновесия средняя относительная скорость молекул ⟨𝜐
⟩ является постоянной
отн
величиной.
Так как длина участков между столкновениями, или длина свободного
пробега, 𝜆 ≫ 𝑑 в достаточно разреженном газе, считаемом идеальным, то заметаемый сферой ограждения объем за время 𝜏 и с учетом столкновений молекул
есть 𝑉 = 𝜎 ⟨𝜐
поперечного сечения 𝜎, общая длина которых определяется значением ⟨𝜐
⟩𝜏. Он состоит из некоторого количества цилиндров с площадью
отн
отн
⟩𝜏.
Среднее число столкновений будет равно среднему числу молекул в цилиндре
объемом 𝑉 , то есть
⟨𝑧⟩ = 𝑛𝑉 = 𝑛𝜎 ⟨𝜐
отн
⟩𝜏 .
248
Среднее время между столкновениями молекул
⟨𝑡⟩ =
𝜏
⟨𝑧⟩
=
𝑛𝜎 ⟨𝜐
1
,
⟩
отн
откуда средняя длина свободного пробега с учетом движения остальных молекул,
то есть в лабораторной системе отсчета,
⟨𝜐⟩
𝑛𝜎 ⟨𝜐
отн
.
⟩
Однако величина ⟨𝜐
⟨𝜆⟩ =
⟩ нам неизвестна. Для ее нахождения обратимся
отн
к рассмотренному ранее движению двух взаимодействующих тел. Считая силу
взаимодействия тел зависящей лишь от вектора расстояния между ними, от
двух уравнений движения каждого из тел мы переходили к одному уравнению
движения тела с приведенной массой (3.2)
𝐹 (𝑟)
¨
𝑟 =
где 𝑟 есть вектор расстояния между двумя телами и 𝜐
,
𝜇
=˙𝑟. Величина
отн
приведенной массы
𝑚1𝑚
𝑚1+ 𝑚
2
,
2
𝜇 =
что для состоящего из одинаковых молекул газа дает 𝜇 = 𝑚/2. Тогда для
нахождения величины ⟨𝜐
значения модуля скорости
⟩ нам достаточно в выражение (17.5) для среднего
отн
⟨𝜐⟩ =
8𝑘𝑇
𝜋𝑚
подставить 𝑚/2 вместо 𝑚, тем самым
⟨𝜐
⟩ =√2 ⟨𝜐⟩ .
отн
В итоге выражение для средней длины свободного пробега молекул идеального
газа принимает вид
⟨𝜆⟩ =
2𝜎𝑛
,
1
√
а средняя частота столкновений
⟨𝜐⟩
⟨𝜈⟩ =
. (18.6)
⟨𝜆⟩
Заметим, что для идеального газа длина свободного пробега не зависит от
температуры. С ростом температуры скорость молекул растет, но они начинают
и чаще сталкиваться.
Для газа Ван-дер-Ваальса необходимо учесть, что между молекулами также
действуют и силы притяжения. Впрочем, эти силы быстро убывают с увеличением расстояния между ними. Если время сближения молекул мало, что ожидается
249
при высокой скорости их движения или при высокой температуре газа, то
вкладом притяжения молекул можно пренебрегать. В случае же низких температур, наоборот, молекулы испытывают действие притяжения, и величина 𝜎,
очевидно, должна быть больше, так как молекулы длительное время находятся
вблизи друг друга. Стоит отметить, что для неидеальных газов понятие длины
свободного пробега довольно условно, так как молекулы взаимодействуют между
собой все время движения. Поэтому уместнее говорить об эффективной длине
свободного пробега 𝜆 и эффективном сечении рассеяния, подразумевая при этом,
что отличие этих величин от получаемых при рассмотрении модели идеального
газа довольно мало и носит характер поправок. В противном случае понятие
длины свободного пробега лишено смысла.
В случае смеси газов, состоящей из молекул с разными массами 𝑚1, 𝑚
и концентрациями 𝑛1, 𝑛2, сечения рассеяния 𝜎𝑖𝑗будут зависеть от типов
сталкивающихся молекул, указанных индексами. В общем случае 𝜎11= 𝜎22, а вот
порядок столкновения не важен, 𝜎12= 𝜎21. Опуская строгий вывод формул,
приведем лишь конечные выражения
1
⟨𝜆1⟩ =
√
2𝜎11𝑛1+
⟨𝜆2⟩ =
√
2𝜎22𝑛2+
𝑚1+ 𝑚
1
𝑚1+ 𝑚
𝑚
𝑚
, (18.7)
2
𝑛2𝜎
2
12
. (18.8)
2
𝑛1𝜎
1
12
Заметим, что длины свободного пробега молекул каждого типа будут в общем
случае различными.
Рассчитаем в качестве примера длину свободного пробега молекул в воздухе
при нормальных условиях, пренебрегая различием молекул составляющих его газов. Молярный вес воздуха ≈ 29 г/моль. Считая воздух идеальным газом, имеем,
что 1 моль воздуха, или 𝑁𝐴≈ 6 · 1023молекул, занимает объем ≈ 22, 4 литра.
Принимая газокинетический диаметр молекул за 2 · 10
−10
метров, получим
2
⟨𝜆⟩ ≈ 2 ·10−7м.
Если учитывать неидеальность воздуха, то есть вклад взаимодействия молекул
на расстоянии, то эффективная длина свободного пробега скорее составляет
1 ·10−7метров. Средний модуль скорости молекул воздуха, опять же пренебрегая
их различием, при нормальной температуре ⟨𝜐⟩ ≈ 500 м/с. Отсюда среднее время
между столкновениями молекул
⟨𝜆⟩
⟨𝜏⟩ =
⟨𝜐⟩
Рассмотрим малый объем газа 𝑉 = ⟨𝜆⟩ × ⟨𝜆⟩ × ⟨𝜆⟩ ∼ 1 · 10
∼ 10
−10
с.
−21м3
Число молекул в таком объеме 𝑁 = 𝑉 𝑛0∼ 103, что вполне достаточно
для проведения усреднения и расчета макроскопических термодинамических
параметров, таких как температура и давление. За время порядка 10−9секунд
250
.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]