Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Физика для студентов ГГФ. В 2 частях. Ч.1. Механика, термодинамика и молекулярная физика. Учебное пособие
.pdf
6.1.1. Колебания тела на пружине
x0 x
m
k
Пусть тело массой 𝑚 находится на гладком горизонтальном столе и соединено
с неподвижной боковой стенкой нерастянутой пружиной, как указано на рис. 6.1.
Если теперь изменить положение тела на 𝑥, растянув или сжав при этом пружину
некоторым кратковременным воздействием, то со стороны деформированной
пружины на тело будет действовать возвращающая сила.
Рис. 6.1. Колебания тела на пружине
Полагая смещение достаточно малым, можно считать деформации пружины
упругими, а тогда возвращающая сила будет подчиняться закону Гука𝐹 = −𝑘𝑥,
где 𝑘 – постоянный коэффициент жесткости пружины. Пренебрегая силой трения
и силой сопротивления воздуха, запишем уравнение движения тела вдоль оси 𝑋
по второму закону Ньютона:
𝑚¨𝑥 = −𝑘𝑥 .
Введем обозначение 𝜔2= 𝑘/𝑚 и перепишем уравнение движения в следующем
виде:
¨𝑥 + 𝜔2𝑥 = 0 .
Мы получили однородное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами. Для его решения составим характеристическое уравнение
𝜆2+ 𝜔2= 0 ,
которое имеет два комплексно-сопряженных корня
𝜆
= ±𝑖𝜔 ,
1,2
а потому общее решение исходного дифференциального уравнения может быть
записано в виде
𝑥 = 𝐶1cos 𝜔𝑡 + 𝐶2sin 𝜔𝑡 ,
где 𝐶1, 𝐶2– произвольные константы, значения которых могут быть определены
из начальных условий, например исходя из известного положения тела и его
скорости в некоторый момент времени.
Используя известные тригонометрические преобразования, например
cos(𝛼 + 𝛽) = cos 𝛼 cos 𝛽 − sin 𝛼 sin 𝛽 ,
71
это решение можно записать и в виде
m~g
α
~
T
𝑥 = 𝐴 cos (𝜔𝑡 + 𝜙0) .
Здесь 𝐴 и 𝜙0– также произвольные константы, которые называют амплитудой
и начальной фазой колебаний соответственно. Величину 𝜔 называют частотой
колебаний. Она связана с их периодом 𝑇 соотношением
2𝜋
𝜔 =
.
𝑇
Амплитудное значение равно величине максимально возможного отклонения
тела от положения равновесия, достигаемого при значениях косинуса ±1
в экстремумах периодической функции 𝑥(𝑡). Заметим, что скорость движения
тела в этих точках будет равна нулю, согласно кинематическому уравнению
движения ˙𝑥 = 𝜐.
Закон сохранения энергии для рассмотренного движения тела на пружине:
2
𝑚𝜐
2
𝑘𝑥
+
2
2
2
𝑘𝐴
=
,
2
где слева выбран произвольный момент времени, а справа – соответствующий
максимальному отклонению тела.
6.1.2. Математический маятник
Математическим маятником называют материальную точку массой 𝑚, подвешенную на нерастяжимом невесомом стержне длиной 𝑙 в однородном поле
тяжести (рис. 6.2). Отметим все силы, действующие на материальную точку. Это
сила тяжести 𝑚𝑔 и сила реакции связи𝑇 , действующая со стороны стержня,
или сила натяжения стержня. В силу нерастяжимости стержня траектория
движения материальной точки может быть только дугой окружности. Поскольку
траектория движения нам известна, то уравнение движения запишем только для
тангенциальной компоненты.
Рис. 6.2. Колебания математического маятника
72
Предположим, что мы отклонили маятник в положительном направлении
изменения угла на величину 𝛼. Тогда тангенциальная компонента силы тяжести
будет стремиться сместить маятник в отрицательном направлении, и наоборот.
Иными словами, сила тяжести будет стремиться вернуть маятник в положение равновесия, а уравнение тангенциального движения маятника, с учетом
равенств 𝑙𝛼 = 𝑠 и 𝑎 = ¨𝑠 = 𝑙 ¨𝛼, будет иметь вид
𝑚𝑙¨𝛼 = −𝑚𝑔 sin 𝛼 ,
где ¨𝛼 – угловое ускорение маятника, а величина 𝑙 ¨𝛼 – тангенциальная компонента
ускорения материальной точки.
Предположим, что в процессе своего движения маятник не отклоняется от
нижнего положения на большой угол, иначе говоря, считаем, что угол 𝛼 всегда
мал. В таком случае sin 𝛼 ≈ 𝛼 и уравнение движения маятника принимает более
простой вид
𝑚𝑙¨𝛼 = −𝑚𝑔𝛼 .
Введя обозначение 𝜔2= 𝑔/𝑙, приходим к виду, аналогичному уравнению
колебаний тела на пружине:
¨𝛼 + 𝜔2𝛼 = 0 ,
а тогда его решение может быть записано в аналогичном виде:
𝛼 = 𝛼0cos (𝜔𝑡 + 𝜙0) .
Отсюда период колебаний математического маятника
𝑇 =
2𝜋
𝜔
= 2𝜋
𝑙
.
𝑔
Потенциальную энергию математического маятника, отклоненного на малый
угол 𝛼, можно выразить как
2
𝑈 = 𝑚𝑔𝑙(1 − cos 𝛼) ≈ 𝑚𝑔𝑙
𝛼
,
2
где также учтена малость угла 𝛼. Тогда полная энергия математического
маятника есть
𝐸 =
𝑚𝑙2˙𝛼
2
2
+ 𝑚𝑔𝑙
2
𝛼
,
2
где кинетическая энергия выражена через угловую скорость ˙𝛼.
Как и ранее, произвольные константы 𝛼0и 𝜙0, или амплитуда и фаза
колебаний, могут быть найдены из начальных условий. Для того чтобы маятник
совершал колебания, нам достаточно отклонить его на некоторый начальный
угол или придать некоторую начальную скорость, в том числе одновременно
и то и другое. Таким образом, его колебания порождаются кратковременным
воздействием, а далее дополнительная энергия маятнику не сообщается. Значит,
колебания математического маятника являются свободными.
73
6.1.3. Колебания, вызванные выталкивающей силой
x
x
0
в жидкости
Пусть в жидкость плотностью 𝜌 помещен ареометр, представляющий собой
цилиндр массой 𝑚 и диаметром 𝑑 (рис. 6.3). Найдем частоту его малых
колебаний. Движение жидкости и ее сопротивление движению ареометра, считая
его скорость малой, мы можем не учитывать.
Рис. 6.3. Колебания ареометра
На погруженное в жидкость тело действует выталкивающая сила. Она
равна весу вытесненной жидкости, то есть весу жидкости, которая могла
бы поместиться в объеме погруженной части тела. Кроме того, на ареометр
действует и сила тяжести. Тогда уравнение движения ареометра будет иметь
вид
𝑚¨𝑥 = 𝑚𝑔 − 𝜌𝑔
Это уравнение отличается от рассмотренного выше, оно неоднородное. Чтобы
найти его решение, необходимо найти общее решение однородного уравнения, то
есть отбрасывая неоднородное слагаемое 𝑚𝑔, а затем к нему добавить какое-либо
частное решение, удовлетворяющее исходному неоднородному уравнению.
Попробуем сначала найти частное решение, то есть такое выражение для 𝑥,
при подстановке которого получим тождество. При этом нет никакой нужды
требовать от этого частного решения удовлетворения каким-либо начальным
данным. Поскольку неоднородное слагаемое представлено в виде константы,
то и частное решение будем искать в виде некоторой константы 𝐻 путем
подстановки ее в исходное уравнение. Имеем
1
𝜋𝑑2𝑥 .
4
74
1
𝜋𝑑2𝐻 ,
4
4𝑚
2
𝜌𝜋𝑑
.
0 = 𝑚𝑔 − 𝜌𝑔
откуда частное решение:
𝑥ч= 𝐻 =
Заметим, что на этой глубине выталкивающая сила и сила тяжести, действующие
на ареометр, одинаковы, а значит, эта глубина погружения будет являться
положением равновесия, относительно которого и будут совершаться колебания.
Однородное уравнение
x
x
𝑚¨𝑥 + 𝜌𝑔
1
𝜋𝑑2𝑥 = 0
4
имеет знакомый нам вид уравнения гармонических колебаний. Отсюда частота
малых колебаний ареометра будет равна
𝑑
𝜔 =
𝜌𝑔𝜋
𝑚
,
2
а общее решение уравнения движения
𝑥 =
4𝑚
𝜌𝜋𝑑
+ 𝐴cos
2
⎛
⎝
𝑑
𝜌𝑔𝜋
2
𝑚
𝑡 + 𝜙
⎞
⎠
,
0
где константы 𝐴 и 𝜙0могут быть определены, например, по начальному
положению ареометра и его скорости в этот момент.
6.1.4. Колебания жидкости
Рассмотрим колебательное движение жидкости в 𝑈-образной трубке с поперечным сечением 𝑆 (рис. 6.4). Будем считать, что диаметр трубки много меньше
длины столба жидкости, а тогда движением жидкости в поперечном направлении
можно пренебречь. Будем также полагать колебания малыми, чтобы не учитывать работу сил трения жидкости о стенки. При обычных условиях большинство
жидкостей являются практически несжимаемыми, следовательно, продольная
скорость жидкости в любой части трубки одинакова и зависит только от времени.
Рис. 6.4. Жидкость в 𝑈 -образной трубке
Движение жидкости происходит из-за наличия перепада ее уровней в левом
и правом коленах и вызывается весом столба жидкости между ее уровнями.
Пусть отклонение уровня жидкости от равновесного положения в одном из
колен составляет 𝑥. Тогда в другом колене будет такое же отклонение уровня
75
в противоположную сторону. Следовательно, в одном из колен есть столб
жидкости, который давит на остальную жидкость с силой
𝐹 = 2𝜌𝑔𝑆𝑥 .
Так как мы рассматриваем малые колебания, то есть 𝑥 → 0, можем считать,
что длина столба 𝑙 оставшейся жидкости, за вычетом давящего столба, не
изменяется при колебательном движении, но на него действует сила 𝐹 (𝑥).
Уравнение движения мениска жидкости тогда примет вид
𝜌𝑆𝑙 ¨𝑥 = −2𝜌𝑔𝑆𝑥 ,
а частота малых колебаний составит
𝜔 =2
𝑔
.
𝑙
6.2. Затухающие колебания
Рассмотрим теперь колебания тел, испытывающих при своем движении силу
сопротивления среды. Полагая, что колебания происходят с достаточно малой
скоростью, силу сопротивления среды можно приближенно считать пропорциональной скорости движения рассматриваемого тела. Соответственно, на
тело будет действовать дополнительная сила 𝐹 = −𝛽𝜐, где коэффициент
пропорциональности 𝛽 определяется свойствами среды и формой тела.
Вернемся к примеру тела на пружине. С учетом силы сопротивления среды
его уравнение движения есть
𝑚¨𝑥 = −𝑘𝑥 − 𝛽𝜐 .
Перепишем его в виде
𝛽
𝑚
˙𝑥 +
𝑘
𝑥 = 0
𝑚
2
𝑥 = 0 .
0
¨𝑥 +
и введем следующие обозначения: 𝜔0=𝑘/𝑚 – частота колебаний в отсутствие
трения – и параметр 𝛾 = 𝛽/2𝑚. Его смысл мы обсудим позднее. С учетом
обозначений имеем
¨𝑥 + 2𝛾 ˙𝑥 + 𝜔
Мы получили однородное дифференциальное уравнение. Составим соответствующее характеристическое уравнение и решим его.
Дискриминант
откуда имеем
𝜆2+ 2𝛾𝜆 + 𝜔
𝐷 = 4𝛾2− 4𝜔
𝜆
= −𝛾 ±𝛾2− 𝜔
1,2
76
2
0
= 0 .
2
,
0
2
.
0
Предположим, что дискриминант больше нуля, то есть 𝛾 > 𝜔0, что равносильно 𝛽2> 4𝑘𝑚. Иначе говоря, рассмотрим случай, когда сила сопротивления
среды достаточно велика. Оба корня характеристического уравнения в таком
случае являются действительными отрицательными числами, а общее решение
имеет вид
𝑥 = 𝐶1𝑒
𝜆1𝑡
+ 𝐶2𝑒
𝜆2𝑡
,
где произвольные константы 𝐶1, 𝐶2могут быть определены из начальных
условий. Допустим, что в некоторый момент времени тело было отклонено от
положения равновесия 𝑥 = 0 на некоторое расстояние 𝑥0. При устремлении 𝑡 → ∞
тело вернется в свое положение равновесия. Учитывая, что в общее решение не
входят периодические функции, никаких колебаний возникать не будет.
Теперь положим, что дискриминант равен нулю, то есть 𝛾 = 𝜔0или 𝛽2= 4𝑘𝑚.
В этом случае корни характеристического уравнения совпадают, а значит, имеем
два одинаковых действительных отрицательных корня 𝜆
= −𝜔0. Общее
1,2
решение дается выражением
𝑥 = 𝐶1𝑒𝜆𝑡+ 𝐶2𝑡𝑒𝜆𝑡.
Колебаний также возникать не будет, но возвращаться в свое положение
равновесия в общем случае тело будет быстрее, так как показатель в экспонентах
будет больше по модулю, чем 𝜆1при той же собственной частоте.
И последний вариант, когда дискриминант отрицателен при 𝛾 < 𝜔0,
соответствует относительно небольшой силе сопротивления среды. В этом случае
имеем два комплексно-сопряженных корня
𝜆
= −𝛾 ± 𝑖𝜔 ,
1,2
2
𝜔
где 𝜔 =
− 𝛾2. Общее решение будет даваться выражением
0
𝑥 = 𝐶1𝑒
−𝛾𝑡
cos 𝜔𝑡 + 𝐶2𝑒
−𝛾𝑡
sin 𝜔𝑡 .
Оно описывает затухающие периодические колебания с частотой 𝜔. Заметим,
что 𝜔 будет меньше частоты колебаний тела без действия силы сопротивления
среды 𝜔0, которая называется собственной частотой колебаний. Согласно общему
решению амплитуда колебаний будет экспоненциально убывать, а потому
параметр 𝛾 называют показателем затухания.
Полученные режимы схематично изображены на рис. 6.5 для случая,
когда исходно тело находилось в положении равновесия, но имело некоторую
начальную скорость. Режим 1 показывает движение тела при наличии существенного сопротивления среды, его называют режимом апериодического затухания.
Получить критический режим затухания 2 на практике невозможно, поскольку
всегда присутствуют неопределенности, связанные с точностью определения
параметров колебательной системы и их естественными флуктуациями. Также
будет сказываться и точность используемых моделей, в частности независимости
коэффициента 𝛽 от скорости движения и закона Гука для возвращающей
силы. Тем не менее, если необходимо сократить время достижения равновесного положения, стремиться к критическому режиму целесообразно. Режим 3
соответствует затухающим колебаниям под действием диссипативных сил.
77
𝑥(𝑡)
1
2
𝑡
3
Рис. 6.5. Колебания при наличии силы сопротивления среды.
1 – апериодическое затухание, 2 – критический режим затухания,
3 – затухающие колебания
Рассмотрим отдельно случай очень слабого сопротивления среды и положим 𝜔 ≈ 𝜔0, что будет иметь место при 𝛾 ≪ 𝜔0. Тогда период колебаний составит
величину
2𝜋
𝑇 ≈
.
𝜔
0
В качестве количественной характеристики уменьшения амплитуды колебаний
вводят логарифмический декремент затухания 𝛿, равный логарифму отношения
амплитуд в моменты времени 𝑡 и 𝑡 + 𝑇:
−𝛾𝑡
𝛿 = ln
𝑒
−𝛾(𝑡+𝑇 )
𝑒
= 𝛾𝑇 .
Логарифмический декремент затухания обратен по величине числу колебаний,
совершаемых в течение того времени, за которое амплитуда уменьшается в 𝑒 раз.
Заметим, что в результате работы диссипативных сил при наличии сопротивления среды убывает со временем и энергия колебаний. При малом затухании
можно считать, что энергия колебаний пропорциональна квадрату амплитуды,
как и в случае свободных колебаний, то есть записать
𝐸 ≈ 𝐸0𝑒
−2𝛾𝑡
.
Изменение энергии за период колебаний при 𝛾 → 0 можно выразить как
∆𝐸 = 𝐸0− 𝐸 = 𝐸
0
1 −𝑒
−2𝛾𝑇
≈ 2𝛾𝑇 𝐸0,
а отношение начальной энергии к изменению энергии за период
𝐸
∆𝐸
0
=
2𝛾𝑇
12𝜋𝜔
=
2𝛾
1
0
=
𝑄 .
2𝜋
1
Введенную таким образом величину 𝑄 = 𝜔0/2𝛾 называют добротностью
колебательной системы. Она является количественной характеристикой сохранения энергии колебаний. Добротность и логарифмический декремент затухания
78
связаны соотношением
𝜋
𝑄 =
.
𝛿
Чем меньше сила сопротивления среды, тем большее значение будет принимать
добротность и тем меньшими будут потери энергии колебаний за период.
6.3. Вынужденные колебания. Резонанс
Пусть теперь на колебательную систему с собственной частотой 𝜔0действует
внешняя сила, изменяющаяся со временем по гармоническому закону с некоторой
частотой 𝜔, 𝐹 = 𝐹0cos 𝜔𝑡. Эту внешнюю силу называют вынуждающей,
поскольку в ее отсутствие колебания затухнут в результате действия сил
сопротивления среды или прочих диссипативных сил.
Запишем уравнение движения колебательной системы, пренебрегая сначала
диссипативными силами,
𝐹
𝑥 =
0
𝑚
cos 𝜔𝑡 .
2
𝑥 = 0 мы уже знаем,
0
2
¨𝑥 + 𝜔
0
Мы имеем неоднородное дифференциальное уравнение, общее решение которого
будет даваться суммой частного решения неоднородного и общего решения
однородного. Решение однородного уравнения ¨𝑥 + 𝜔
поэтому осталось найти какое-либо частное решение. Будем искать его в том же
виде, который имеет неоднородное слагаемое. Подставим в исходное уравнение
функцию 𝑥 = В cos 𝜔𝑡 и получим
𝐹
−В𝜔2cos 𝜔𝑡 + В𝜔
2
cos 𝜔𝑡 =
0
0
𝑚
cos 𝜔𝑡 ,
откуда имеем
𝐹
𝑚 (𝜔
0
2
− 𝜔2)
0
.
В =
Тогда общее решение уравнения движения:
𝐹
𝑥 = 𝐴 cos(𝜔0𝑡 + 𝜙0) +
𝑚 (𝜔
0
2
− 𝜔2)
0
cos 𝜔𝑡 ,
где 𝐴, 𝜙0– произвольные константы, определяемые из начальных условий.
Результирующее движение колебательной системы дается сложением колебаний
с различными в общем случае амплитудами и частотами 𝜔0и 𝜔.
Заметим, что при 𝜔 → 𝜔0амплитуда колебаний, вызванных внешней силой,
стремится к бесконечности. Это явление называется резонансом. Однако при
приближении частоты вынуждающей силы к собственной частоте колебательной системы и соответственном росте амплитуды колебания перестанут быть
малыми, и исходное уравнение вряд ли будет хоть сколько-нибудь достоверно
описывать реальную картину движения.
Физическая модель вынужденных колебаний будет более реалистичной, если
учесть диссипативные силы. Уравнение движения под действием периодической
79
силы с учетом силы сопротивления среды:
𝐹
¨𝑥 + 2𝛾 ˙𝑥 + 𝜔
2
0
𝑥 =
0
cos 𝜔𝑡 . (6.1)
𝑚
Для его решения нам также необходимо будет сначала найти частное решение
исходного неоднородного уравнения, а общее решение однородного уже было получено ранее. Опуская математические подробности, отметим лишь, что частное
решение следует искать в виде 𝑥 = 𝐵1cos 𝜔𝑡 + 𝐵2sin 𝜔𝑡, где константы 𝐵1, 𝐵
определятся из условия равенства нулю суммы коэффициентов при косинусах
и синусах по отдельности. Общее решение этого уравнения при относительно
слабом сопротивлении среды может быть записано в виде
𝐹
𝑥 = 𝐴𝑒
−𝛾𝑡
cos(𝜔
2
− 𝛾2𝑡 + 𝜙0) +
0
𝑚(𝜔
0
2
− 𝜔2)2+ 4𝛾2𝜔
0
cos(𝜔𝑡 + 𝜙) ,
2
где
𝜙 = −arctg
2𝛾𝜔
2
2
𝜔
− 𝜔
0
а константы 𝐴 и 𝜙0могут быть определены из начальных условий.
Если теперь положить 𝑡 → ∞, то первое слагаемое устремится к нулю
и останутся лишь вызванные вынуждающей силой колебания:
𝐹
𝑥 =
𝑚(𝜔
0
2
− 𝜔2)2+ 4𝛾2𝜔
0
cos(𝜔𝑡 + 𝜙) . (6.2)
2
Работа вынуждающей силы при установившихся колебаниях будет равна работе
диссипативных сил, то есть энергия колебательной системы не будет изменяться,
амплитуда будет постоянной. Характерное время интенсивной закачки энергии
в колебательную систему определяют как 𝜏 = 1/𝛾. В течение этого времени
работа вынуждающей силы, как правило, значительно превышает работу
диссипативных сил.
При устремлении частоты вынуждающей силы к собственной частоте 𝜔
амплитуда установившихся колебаний принимает теперь конечную величину
2
0
𝐹
𝑋(𝜔 → 𝜔0) =
0
2𝑚𝛾𝜔
.
0
График зависимости амплитуды от частоты называется резонансной кривой, его
характерный вид приведен на рис. 6.6.
Понятие добротности колебательной системы применяют и для оценки ее
свойств вблизи резонанса. Определим отношение амплитуд колебаний при
𝜔 → 𝜔0и при 𝜔 → 0.
𝐹
𝑋(𝜔 → 0) =
𝑚𝜔
0
,
2
0
а тогда
𝐹
0
𝑋(𝜔 → 𝜔0)
𝑋(𝜔 → 0)
=
2𝑚𝛾𝜔
𝐹
𝑚𝜔
𝜔
0
0
=
= 𝑄 .
2𝛾
0
2
0
80
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]