Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Физика для студентов ГГФ. В 2 частях. Ч.1. Механика, термодинамика и молекулярная физика. Учебное пособие
.pdf
Разобьем мысленно нить на малые участки. На каждый из этих участков
будут действовать две силы натяжения нити со стороны соседних с ним участков
и сила тяжести. Поскольку масса любого участка невесомой нити равна нулю,
то и сила тяжести равна нулю и результирующая сила должна равняться нулю.
Значит, сила натяжения нити постоянна по модулю на всех ее вертикальных
участках.
Ситуация меняется в тех местах, где рассматриваемый малый участок нити
лежит на блоке. Силы, действующие на него со стороны соседних участков,
уже не будут коллинеарны. Учитывая, что трение нити о блок отсутствует,
результирующая сила, действующая на участок нити на блоке, будет направлена
к центру блока, то есть по нормали к контактной поверхности участка нити
и блока. Такой же результат мы получим, если масса вращающегося блока
будет равна нулю, а трение на оси – отсутствовать. Соответственно, эти
две силы, тянущие рассматриваемый малый участок нити в разные стороны,
будут одинаковы по модулю. Иначе говоря, сила натяжения невесомой нити,
перекинутой через невесомый и вращающийся блок без трения на оси, или при
отсутствии трения нити о блок, будет одинаковой по модулю по всей ее длине.
Обозначим все силы, действующие на тела 𝑚1и 𝑚2, введем систему
координат, например как указано на рис. 2.4, и запишем уравнения второго
закона Ньютона для каждого из тел в виде проекций на ось 𝑌 :
𝑚1𝑎1= 𝑚1𝑔 − 𝑇 ,
𝑚2𝑎2= 𝑚2𝑔 − 𝑇 .
Мы получили 2 уравнения, содержащих 3 неизвестные величины: 𝑎1, 𝑎2, 𝑇 . Чтобы
решить эту систему уравнений, нам необходимо дополнительное третье уравнение, связывающее эти величины. Оно называется уравнением связи и получается
из условий возможного взаимного движения тел. В рассматриваемом случае нам
известно, что при взаимном движении тел длина соединяющей их нити остается
постоянной. Обозначим координаты тел в произвольный момент времени 𝑦1и 𝑦2.
Так как радиус блока 𝑅, то выражение для длины нити есть
𝑦1+ 𝑦2+ 𝜋𝑅 = 𝐿 .
Теперь продифференцируем его по 𝑡:
𝜐1+ 𝜐2= 0 .
Дифференцируя еще раз, найдем соотношение между ускорениями тел, которое
и будет являться искомым уравнением связи:
𝑎1= −𝑎2= 𝑎 .
Таким образом, для трех неизвестных величин мы получили систему трех
уравнений, состоящую из двух уравнений движения, записанных для каждого
тела в отдельности, и одного уравнения связи. Соответственно, можно выразить
как величину ускорения тел
𝑎 =
𝑚1− 𝑚
𝑚1+ 𝑚
2
𝑔 ,
2
31
так и величину силы натяжения нити
2𝑚1𝑚
𝑚1+ 𝑚
2
𝑔 .
2
𝑇 =
Основные итоги
Все взаимодействия между телами обусловлены фундаментальными силами. Во
многих случаях учет фундаментальных взаимодействий между материальными
точками тел может быть выполнен с использованием приближенных практических взаимодействий и соответствующих сил, действующих между телами.
После того как определены все силы, действующие на все рассматриваемые
в задаче тела, для каждого тела записывают основное уравнение динамики –
второй закон Ньютона. Для решения полученных уравнений вводят систему
координат и рассматривают движение тел отдельно по каждой координате. Если
траектории движения тел известны, то их уравнения движения можно разложить
на нормальные и тангенциальные компоненты, выбрав соответствующую систему
координат. Если все действующие на тела силы известны, то уравнения движения
для каждого из них могут быть решены независимо. В таком случае говорят
о независимом движении тел. Если движение тел не является независимым, то
в уравнения движения войдут неизвестные в общем случае силы реакции связи.
Для нахождения этих сил и замыкания системы уравнений движения необходимо
составление уравнений связи.
32
Лекция 3
Закон сохранения импульса
Законы Ньютона позволяют определить движение тела при известных силах,
на него действующих, и начальных условиях, которые называют начальным
состоянием тела. В случае движения нескольких тел задача осложняется
необходимостью учета сил взаимодействия между ними. При известных силах
взаимодействия все последующие положения тел и их скорости также могут
быть определены из законов Ньютона. Впрочем, если силы взаимодействия
и неизвестны лично нам, то движение тел по-прежнему детерминировано
законами Ньютона. С практической точки зрения эта детерминированность
позволяет получать информацию о состоянии системы тел в интересующие нас
моменты времени и без определения подробностей движения между ними.
При рассмотрении второго закона Ньютона мы ввели понятие меры инертности тела – массу. Пусть тело массой 𝑚 движется со скоростью 𝜐. Величина
𝑝 = 𝑚𝜐
называется количеством движения или импульсом тела. Из первого закона Ньютона следует, что импульс любого свободного тела будет оставаться неизменным
в инерциальной системе отсчета. Если же на тело действуют какие-либо силы
со стороны других тел, то, согласно второму закону Ньютона, его импульс будет
изменяться соразмерно величине этих сил. В силу третьего закона Ньютона эти
другие тела будут испытывать воздействие таких же по абсолютной величине
сил взаимодействия, соответственно, и изменения их импульсов также будут
определяться этими же силами.
3.1. Импульс системы тел
Рассмотрим систему, состоящую из 𝑁 тел, каждое из которых имеет импульс 𝑝
в заданный момент времени. Введем понятие импульса системы тел как
векторную сумму импульсов отдельных тел
𝑁
𝑃 = 𝑝1+ 𝑝2+ .. . + 𝑝𝑁=
33
𝑝𝑖.
𝑖=1
𝑖
С течением времени импульсы отдельных тел 𝑝𝑖могут изменяться в результате действия на них каких-либо сил. Это могут быть как силы взаимодействия
между телами внутри системы, так и сторонние силы, действующие на тела
извне рассматриваемой системы. Если векторная сумма всех действующих на
систему сторонних сил равна нулю, то такую систему тел называют замкнутой.
Пусть наша система является замкнутой. Продифференцируем выражение для
импульса замкнутой системы тел по времени:
𝑑𝑃
𝑑𝑡
𝑁
𝑑𝑝
𝑖=1
𝑖
𝑑𝑡
=
⎡
⎣
=
𝑖
𝑘=𝑖
⎤
⎦
𝐹
,
𝑘𝑖
где𝐹𝑘𝑖– сила, действующая со стороны 𝑘-го тела на 𝑖-е. Согласно третьему
закону Ньютона имеем
𝐹𝑘𝑖= −𝐹𝑖𝑘.
Поскольку никаких других сил, кроме сил взаимодействия между телами,
в замкнутой системе нет, то имеем
𝑑𝑃
= 0 ,
𝑑𝑡
или𝑃 = const. Иначе говоря, с течением времени импульс замкнутой системы
тел сохраняется. Это утверждение является формулировкой фундаментального
закона сохранения импульса. Стоит заметить, что приведенные математические
операции не являются доказательством фундаментального закона природы,
иначе он бы не являлся таковым. Формулировка законов Ньютона и закона
сохранения импульса предшествовала развитию интегродифференциального
исчисления в математике. Соответственно, оно и возникло под влиянием
фундаментальных законов природы, из необходимости самосогласованной их
математической записи.
Пусть теперь выбранная система тел не является замкнутой, то есть
присутствуют сторонние силы, действующие на составляющие систему тела,
векторная сумма которых не равна нулю. Тогда имеем
𝑑𝑃
𝑑𝑡
=
𝐹𝑖,
𝑖
где𝐹𝑖– результирующая сторонняя, или внешняя, сила, действующая на 𝑖-е тело.
Поскольку векторная сумма этих сил не равна нулю, общий импульс системы
будет изменяться. Иногда величину
ˆ
𝑃 =
𝐹 𝑑𝑡
также называют импульсом силы за промежуток времени, равный интервалу
интегрирования. Отсюда мы видим, что изменение импульса системы тел
зависит не только от величины результирующей внешней силы, но и от
продолжительности ее действия.
34
Заметим, что результирующая внешняя сила является векторной величиной,
а потому она может иметь нулевую проекцию на какое-нибудь выделенное
направление, пусть и лишь в течение некоторого промежутка времени. Такую
систему тел можно считать частично замкнутой. Суммарная проекция импульсов
тел системы на это направление будет сохраняться.
Поскольку изменение импульса системы зависит и от продолжительности
действия сторонних сил, часто систему тел можно считать замкнутой в течение
короткого интервала времени, например при рассмотрении соударения тел.
В момент сближения тел между ними возникают силы реакции связи, которые по
своей величине могут быть много больше любых сторонних сил, например силы
тяготения. Поэтому, записывая закон сохранения импульса для двух близких
моментов времени до и после столкновения, импульсом сторонних сил за этот
промежуток времени можно пренебречь. При этом изменение импульсов тел,
обусловленное их взаимодействием между собой за этот же промежуток времени,
может быть значимым.
Для моментов времени до и после столкновения двух тел закон сохранения
импульса дает следующее уравнение:
𝑚1𝜐1+ 𝑚2𝜐2= 𝑚1𝜐
′
+ 𝑚2𝜐
1
′
.
2
Отсюда можно найти любую неизвестную величину, входящую в закон сохранения импульса, при известных прочих. Например, при известных значениях
скоростей можно определить соотношение масс тел
𝑚
𝑚
′
𝜐
=
−𝜐
2
𝜐1−𝜐
2
.
′
1
1
2
Так как силы взаимодействия между телами системы никаким образом не
входят в уравнение закона сохранения импульса, знать их величину часто необязательно. Более того, силы взаимодействия, как правило, неизвестны или имеют
очень сложную зависимость от взаимного расположения тел в пространстве,
в том числе и от их скоростей относительно друг друга. Поэтому записать
и решить уравнения движения для каждого из тел системы зачастую просто
не представляется возможным. Однако закон сохранения импульса позволяет
устанавливать связь между состояниями системы тел в различные моменты
времени, не вдаваясь в конкретные детали их взаимодействия.
3.2. Центр масс. Система центра масс
Рассмотрим систему, состоящую из взаимодействующих тел, которые можем
считать материальными точками. Чтобы задать конкретное состояние такой
системы в выбранный момент времени, нам необходимо указать значения
координат всех этих материальных точек, их скоростей и масс. Для описания
последующего их движения необходимо для каждой из материальных точек
составить и решить соответствующие им уравнения движения. Для большого
числа материальных точек такой расчет будет весьма трудоемким или даже
невозможным в принципе, в том числе и с применением приближенных
численных методов решения систем уравнений. Однако можно выделить одну
35
точку, движение которой рассчитать будет заметно проще. Эта точка – центр
масс системы
𝑅
ц.м.
𝑚𝑖𝑟
𝑖
=
, (3.1)
𝑚
𝑖
где 𝑚𝑖, 𝑟𝑖– масса и радиус-вектор 𝑖-й материальной точки.
Скорость движения центра масс дается дифференцированием по времени
𝑉 =
𝑑𝑅
𝑑𝑡
ц.м.
𝑚
=
𝑚
˙
𝑟
𝑖
𝑖
𝑖
𝑚𝑖𝜐
=
𝑚
𝑃
𝑖
=
,
𝑀
𝑖
где𝑃 – импульс системы тел, 𝑀 – суммарная масса тел. Таким образом,
уравнение движения центра масс
𝑑𝑃
𝑑𝑡
=
𝐹𝑖.
В это уравнение входят только сторонние силы, причем не важно, к каким
конкретно телам системы эти силы приложены.
Когда нас интересует лишь относительное движение тел системы, часто
целесообразно пользоваться системой отсчета, в которой центр масс покоится.
Эту систему называют системой центра масс. Очевидной отличительной чертой
системы центра масс является то, что суммарный импульс тел в ней всегда равен
нулю.
3.3. Импульс в разных системах отсчета
Пусть в лабораторной системе отсчета 𝐾 заданы импульсы всех тел системы.
Суммарный импульс тел системы
𝑃 =
𝑖
𝑝𝑖=
𝑚𝑖𝜐𝑖.
𝑖
Перейдем в движущуюся со скоростью 𝑢 относительно лабораторной систему
отсчета 𝐾′. Из преобразования Галилея (2.1) имеем
′
𝜐𝑖= 𝜐
𝑖
+ 𝑢 ,
что и подставим в выражение для импульса системы
𝑃 =
𝑚𝑖𝜐
𝑖
𝑖
′
+ 𝑢
𝑚𝑖=𝑃′+ 𝑀𝑢 .
𝑖
Пусть в системе отсчета 𝐾′импульс𝑃′= 0. Тогда скорость этой системы
отсчета
𝑢 =
𝑖
𝑖
𝑚𝑖𝜐
𝑚
𝑖
,
𝑖
то есть равна скорости центра масс в системе 𝐾.
Поскольку величина импульса системы тел зависит от выбора системы
отсчета, то и закон сохранения импульса должен записываться в какой-то
определенной системе отсчета.
36
3.4. Относительное движение двух тел.
Приведенная масса
Рассмотрим замкнутую систему двух тел, сила взаимодействия между которыми
зависит только от расстояния между ними. Согласно третьему закону Ньютона
имеем
Тогда уравнения движения тел можем записать как
Радиус-вектор центра масс
𝐹12= −𝐹21=𝐹 (𝑟2−𝑟1) .
¨
𝑚
𝑟1= −𝐹 (𝑟2−𝑟1) ,
1
¨
𝑚
𝑟2=𝐹 (𝑟2−𝑟1) .
2
𝑚1𝑟1+ 𝑚2𝑟
𝑅 =
𝑚1+ 𝑚
2
.
2
Вектор относительного расстояния между телами
𝑟 = 𝑟2−𝑟1.
Внутренние силы системы, или силы взаимодействия между телами, не
влияют на движение центра масс. Если изначально центр масс системы двигался
с постоянной скоростью 𝜐0, то он и продолжит свое равномерное поступательное
движение:
𝑅(𝑡) =𝑅0+ 𝜐0𝑡 .
Вектор относительного расстояния будет изменяться в зависимости от величины
силы взаимодействия между телами согласно уравнениям движения тел
¨
𝑟 =¨𝑟2−¨𝑟1=
𝐹 (𝑟)
𝑚
𝐹 (𝑟)
+
2
𝑚
.
1
Приводя к общему знаменателю, имеем
𝐹 (𝑟) ·(𝑚1+ 𝑚2)
¨
𝑟 =
𝑚1𝑚
2
=
𝐹 (𝑟)
, (3.2)
𝜇
где
𝑚1𝑚
𝑚1+ 𝑚
2
2
𝜇 =
называют приведенной массой. Полученное уравнение позволяет найти расстояние между телами 𝑟(𝑡) в любой момент времени при известной силе
взаимодействия.
′
Зная это расстояние, мы можем определить радиус-векторы 𝑟
′
и 𝑟
1
для
2
каждого из тел в системе отсчета центра масс. Для этого запишем уравнения
𝑚1𝑟
′
+ 𝑚2𝑟
1
37
′
= 0
2
и
Выражая 𝑟
′
, имеем
2
𝑚1𝑟
′
𝑟
2
′
+ 𝑚2(𝑟
1
−𝑟
′
= 𝑟 .
1
′
+ 𝑟) = 0
1
и
𝑚
′
𝑟
= −
1
′
𝑟
=
2
2
𝑚1+ 𝑚
𝑚
1
𝑚1+ 𝑚
𝑟 ,
2
𝑟 .
2
Заметим, что в силу постоянства коэффициентов траектории каждого из тел
будут подобны траектории, описываемой вектором относительного расстояния.
Полное решение задачи движения двух взаимодействующих тел в произвольной инерциальной системе отсчета, то есть в случае движения их центра масс
с постоянной скоростью, дается следующими выражениями:
𝑚
𝑟1=𝑅 + 𝑟
𝑟2=𝑅 + 𝑟
′
=𝑅0+ 𝜐0𝑡 −
1
′
=𝑅0+ 𝜐0𝑡 +
2
2
𝑚1+ 𝑚
𝑚
1
𝑚1+ 𝑚
𝑟 ,
2
𝑟 .
2
3.5. Движение тела переменной массы
В процессе движения тела его масса может изменяться. Мы ограничимся
рассмотрением случая, когда изменение массы носит непрерывный характер,
например при реактивном движении. Будем считать, что отделяемое или присоединяемое вещество имеет постоянную скорость относительно движущегося
тела.
Пусть в момент времени 𝑡 масса движущегося тела равна 𝑚, а скорость
присоединяемого или отделяемого вещества относительно тела обозначим 𝑢. Для
определенности будем считать, что за время 𝑑𝑡 к телу присоединяется вещество
массой 𝑑𝑚. Пусть перед присоединением массы 𝑑𝑚 тело в лабораторной системе
отсчета имеет скорость 𝜐 и находится в поле действия внешней силы𝐹 .
Запишем закон сохранения импульса для моментов времени 𝑡 и 𝑡 + 𝑑𝑡
в лабораторной системе отсчета. В момент времени 𝑡 мы имеем движение двух
тел с суммарным импульсом 𝑚𝜐 + 𝑑𝑚(𝑢 + 𝜐). Через бесконечно малое время 𝑑𝑡
импульс объединенного теперь тела составит (𝑚 + 𝑑𝑚)(𝜐 + 𝑑𝜐), а отличаться
от исходного суммарного импульса тел он будет импульсом внешней силы за
время 𝑑𝑡:
(𝑚 + 𝑑𝑚)(𝜐 + 𝑑𝜐) −(𝑚𝜐 + 𝑑𝑚 (𝑢 + 𝜐)) =𝐹 𝑑𝑡 .
После раскрытия скобок, пренебрежения малым по сравнению с остальными
слагаемым 𝑑𝑚𝑑𝜐 и деления на 𝑑𝑡 получим
𝑚(𝑡)
𝑑𝜐
𝑑𝑡
=𝐹 + 𝑢
𝑑𝑚
𝑑𝑡
.
38
Уравнение такого вида называют уравнением Мещерского. Второе слагаемое
в его правой части – реактивной силой.
Заметим, что если вещество, наоборот, будет отделяться от движущегося
тела с постоянной относительной скоростью 𝑢, то реактивная сила в уравнении
Мещерского будет со знаком минус. Далее рассмотрим частные случаи, когда
решения уравнения Мещерского будут наиболее простыми.
Пример 1
Пусть присоединяемое или отделяемое вещество имеет нулевую скорость относительно движущегося тела. Тогда реактивная сила равна нулю, и уравнение
движения тела принимает вид
𝑑𝜐
𝑚(𝑡)
Это уравнение описывает, например, движение платформы, из которой свободно
сыплется песок, или движение постепенно испаряющейся капли жидкости.
Близкая ситуация реализуется при дозаправке самолета в воздухе.
Пример 2
Пусть присоединяемое вещество неподвижно в лабораторной системе отсчета
либо отсоединяемое становится неподвижным. Тогда 𝑢 = −𝜐, и уравнение
движения тела приводится к виду
𝑑𝑡
=𝐹 .
𝑑(𝑚𝜐)
Такой случай реализуется, например, при загрузке движущейся платформы
песком или при конденсации пара на поверхность движущегося тела.
𝑑𝑡
=𝐹 .
3.5.1. Формула Циолковского
Пусть ракета с начальной массой 𝑚0начинает движение вне поля тяжести.
За счет истечения газообразных продуктов горения топлива ее масса будет
непрерывно уменьшаться. Скорость истекающих продуктов горения примем за 𝑢.
Уравнение движения ракеты будет даваться уравнением Мещерского при 𝐹 = 0
𝑑𝜐
𝑚
𝑑𝑡
Сокращая 𝑑𝑡 и разделяя переменные этого дифференциального уравнения,
получим
𝑑𝜐 = −𝑢
Общее решение этого уравнения есть
𝜐 = −𝑢 ln 𝑚 + 𝐶 ,
= −𝑢
𝑑𝑚
𝑑𝑚
𝑚
𝑑𝑡
.
.
39
где 𝐶 – произвольная константа, которую найдем из начального условия. Нам
известно, что при 𝑡 = 0 ракета покоилась и ее масса составляла 𝑚0, а тогда
𝑚
𝜐 = 𝑢 ln
𝑚
0
.
Полученная зависимость скорости реактивного движения ракеты от ее остаточной массы называется формулой Циолковского.
Характерная скорость истечения продуктов горения используемых химических топлив составляет 2 ÷5 километров в секунду. В силу технических причин
достижимое значение соотношения исходной и остаточной масс относительно
невелико, ведь помимо топлива на борту ракеты необходимы и различные
устройства, например обеспечивающие его хранение и использование, а также
полезная нагрузка. Отсюда можно понять, что развитие ракетами на химическом топливе скоростей, достаточных для быстрых межпланетных перелетов,
порядка ∼ 1 · 103км/с, невозможно в силу необходимости иметь огромное по
масштабам Земли исходное количество топлива.
Формула Циолковского показывает, что при фиксированном значении скорости истекающих продуктов горения итоговая скорость ракеты зависит лишь от
соотношения начальной и конечной масс, но не зависит от закона убывания ее
массы, то есть скорости выгорания топлива. Однако расстояние, преодолеваемое
ракетой при полном расходе топлива, зависит от скорости выгорания топлива.
Действительно,
𝑑𝑥
𝑑𝑡
= 𝑢 ln
𝑚
0
𝑚(𝑡)
,
откуда
𝑚
𝑥 = 𝑢ˆln
𝑚(𝑡)
0
𝑑𝑡 + 𝐶 ,
где константу 𝐶 можно положить равной нулю, если считать, что ракета
начинает движение из начала координат. Кроме того, в реальных условиях при
выходе на околоземную орбиту ракета находится в поле действия сил тяготения
и сопротивления среды, а значит, реактивная сила должна преодолевать их
действие. Сила тяготения зависит от расстояния до Земли и массы ракеты,
а сила сопротивления среды, в свою очередь, от скорости ракеты и расстояния,
так как с ростом высоты плотность атмосферы падает. Соответственно, силы
тяготения и сопротивления среды убывают по мере удаления ракеты от планеты,
в том числе и в результате уменьшения остаточной массы топлива, а значит,
и закономерность выгорания топлива должна принимать сложную форму. Расчет
оптимального режима горения топлива позволяет уменьшить время вывода
ракеты на орбиту Земли и количество необходимого для этого топлива.
40
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]