Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Физика для студентов ГГФ. В 2 частях. Ч.1. Механика, термодинамика и молекулярная физика. Учебное пособие
.pdf
Состоящие из двух и более атомов молекулы приобретают возможность
собственного колебательного движения. Энергия колебательного движения будет
складываться из потенциальной, зависящей от величины смещения атомов молекулы из положения равновесия, и кинетической, обусловленной их взаимным
движением в этот момент. Средние значения этих энергий в условиях термодинамического равновесия равны, и на каждую из них приходится по
1
𝑘𝑇 , что также
2
оставим без доказательства. Соответственно, на каждую колебательную степень
свободы будет приходиться по 𝑘𝑇. Как правило, тепловые колебания молекул
идеального газа происходят только при довольно высоких температурах ∼ 1000 К
и выше, поэтому во многих случаях их можно не учитывать.
231
Лекция 17
Распределение Максвелла.
Распределение Больцмана
При рассмотрении термодинамического равновесия идеального газа мы отметили, что распределение молекул газа по ячейкам импульсов и пространственным
ячейкам происходит неодинаковым образом. При отсутствии внешних сил, в частности потенциальной энергии у молекул, распределение молекул идеального
газа по пространственным ячейкам объемом 𝑑𝑉 зависит только от объема
сосуда и при указании положения одной конкретной молекулы не изменяется
для остальных. Иначе говоря, значения функции плотности вероятности 𝑤(𝑟)
можно считать одинаковыми для любого 𝑟 из всего доступного для молекул газа
диапазона координат.
Не так обстоит дело с распределением по ячейкам импульсов 𝑑𝑝. Число ячеек
объемом 𝑑𝑝 в пространстве импульсов зависит от суммарной энергии газа. При
этом, согласно закону сохранения энергии, суммарная кинетическая энергия
молекул идеального газа в изолированном объеме не может изменяться. Отсюда,
как уже было показано ранее, следует, что число микросостояний газа будет
меньше, чем число всех перестановок молекул по ячейкам, поскольку распределение молекул по скоростям в каждом микросостоянии должно удовлетворять
требованию фиксированного значения полной энергии системы.
Если одна из молекул массой 𝑚 находится в фиксированной ячейке с импульсом в диапазоне (𝑝, 𝑝 + 𝑑𝑝), суммарная энергия остальных молекул меньше
энергии газа на величину 𝑝2/2𝑚. Соответственно, число ячеек по импульсам для
остальных молекул меньше, чем для всего газа. Чем выше будет энергия этой
конкретной молекулы, тем меньше микросостояний будет у оставшихся (𝑁 − 1)
молекул. Исходя из постулата о равновероятности всех микросостояний имеем,
что значения функции плотности вероятности 𝑤(𝑝) или 𝑤(𝜐) будут зависеть от
величины 𝜐.
Закон распределения молекул идеального газа по скоростям, или вид
зависимости функции плотности вероятности от скорости в предположении
о равновероятности всех возможных направлений движения в состоянии термодинамического равновесия, был получен Максвеллом. Повторим ход его
рассуждений.
232
17.1. Распределение Максвелла
Пусть вероятность того, что произвольная молекула идеального газа в состоянии термодинамического равновесия имеет скорость в диапазоне (𝜐, 𝜐 + 𝑑𝜐),
есть 𝑑𝑊 (𝜐) = 𝑤(𝜐)𝑑𝜐.
Условие нормировки вероятности есть
где интегрирование проводится по всем возможным значениям вероятностей
или значениям и направлениям скоростей. Иначе говоря, запись 𝑑𝜐 эквивалент-
на 𝑑𝜐𝑥𝑑𝜐𝑦𝑑𝜐𝑧, а сам интеграл тройной. В силу однородности и изотропности
пространства функция плотности вероятности не может зависеть от конкретного
направления, а потому будет определяться только величиной модуля скорости,
то есть 𝑤(𝜐) = 𝑤(𝜐), или 𝑑𝑊 (𝜐) = 𝑤(𝜐)𝑑𝜐. Максвелл положил, что
в состоянии термодинамического равновесия нахождение значений компонент
скорости молекулы в одинаковых по величине диапазонах по разным осям
координат есть равновероятные и независимые события. Если скорость какойлибо молекулы вдоль одной из осей будет близка к максимально возможной,
то такое приближение будет неверным, но это состояние газа будет и довольно
далеко от равновесного. Поэтому функцию распределения вероятности можно
разбить на три множителя:
каждый из которых имеет одинаковую функциональную зависимость, в силу
однородности и изотропности пространства. Геометрический смысл такого разбиения заключается в том, что величина 𝑑𝑊 (𝜐) есть вероятность того, что конец
радиус-вектора скорости молекулы находится в прямоугольном параллелепипеде
объемом 𝑑𝜐𝑥𝑑𝜐𝑦𝑑𝜐𝑧в пространстве скоростей.
Определим теперь вид функций плотности вероятности для модуля скорости
и компоненты скорости вдоль одной из осей. Для этого прологарифмируем
выражение (17.1) и возьмем производную по 𝜐𝑥от левой и правой частей.
ˆ
𝑑𝑊 (𝜐) =ˆ𝑤(𝜐) 𝑑𝜐 = 1 ,
𝑤(𝜐) = 𝑤(𝜐𝑥)𝑤(𝜐𝑦)𝑤(𝜐𝑧) , (17.1)
ln 𝑤(𝜐) = ln 𝑤(𝜐𝑥) + ln 𝑤(𝜐𝑦) + ln 𝑤(𝜐𝑧) .
𝑑 ln 𝑤(𝜐)
𝑑𝜐
𝑥
=
1
𝑤(𝜐)
𝑑𝑤(𝜐)𝑑𝜐𝑑𝜐
𝑑𝜐
1
𝑤(𝜐𝑥)
𝑑𝑤(𝜐𝑥)
𝑑𝜐
𝑥
.
=
𝑥
Дифференцирование по 𝜐𝑦, 𝜐𝑧даст аналогичные выражения.
Учитывая, что
2
2
𝜐 =𝜐
+ 𝜐
𝑥
𝑦
+ 𝜐
2
,
𝑧
имеем
𝑑𝜐
𝑑𝜐
=
𝑥
2𝜐
2𝜐
𝑥
2
2
+ 𝜐
𝑦
+ 𝜐
𝑥
𝜐
𝑥
=
.
𝜐
2
𝑧
Для остальных компонент аналогично. Тогда, перенося 𝜐𝑥(𝜐𝑦, 𝜐𝑧) вправо, имеем
1
𝑤(𝜐)
𝑑𝑤(𝜐)𝑑𝜐1
𝜐
=
1
𝑤(𝜐𝑥)
𝑑𝑤(𝜐𝑥)
𝑑𝜐
𝑥
1
𝜐
𝑥
=
1
𝑤(𝜐𝑦)
𝑑𝑤(𝜐𝑦)
𝑑𝜐
𝑦
1
𝜐
1
=
𝑦
𝑑𝑤(𝜐𝑧)
𝑤(𝜐𝑧)
𝑑𝜐
1
.
𝜐
𝑧
𝑧
233
Заметим, что полученные равенства выполняются для любых
значений 𝜐, 𝜐𝑥, 𝜐𝑦, 𝜐𝑧, а значит, каждое из выражений является константой.
Обозначим эту константу −2𝛼, а причины удобства такого обозначения станут
понятны чуть позднее. Таким образом, мы получили 4 одинаковых с точностью
до обозначений дифференциальных уравнения, поэтому решим только одно из
них.
1
𝑑𝑤(𝜐)𝑑𝜐1
𝑤(𝜐)
= −2𝛼 .
𝜐
Воспользуемся методом разделения переменных:
𝑑𝑤(𝜐)
= −2𝛼𝜐𝑑𝜐 .
𝑤(𝜐)
Интегрирование даст
ln 𝑤(𝜐) = −𝛼𝜐2− ln 𝑍 ,
где −ln 𝑍 – произвольная константа интегрирования. Отсюда
1
2
𝑤(𝜐) =
−𝛼𝜐
𝑒
𝑍
.
Для компонент плотности вероятности по осям координат выражения будут
аналогичными:
𝑤(𝜐
𝑥,𝑦,𝑧
) =
𝑒
𝑍
0
.
1
2
−𝛼𝜐
𝑥,𝑦,𝑧
Применим условие нормировки вероятности для нахождения произвольных
констант:
∞
ˆ
𝑤(𝜐𝑥) 𝑑𝜐𝑥=
−∞
∞
ˆ
1
𝑍
0
−∞
𝑒
−𝛼𝜐
2
𝑥
𝑑𝜐𝑥=
∞
ˆ
2
𝑍
0
0
𝑒
−𝛼𝜐
2
𝑥
𝑑𝜐𝑥= 1 ,
где двойка возникает вследствие четности подынтегральной функции.
Интеграл вида
𝐼 =
∞
ˆ
𝑥𝑛𝑒
0
−𝛼𝑥
2
𝑑𝑥
называется интегралом Пуассона. Его значения для целых 𝑛 > 0 даются
формулой
𝐼 =
⎧
√
𝜋 · 1 ·3 ·. . . · (2𝑙 − 1)
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎩
2𝛼
𝑙+1
2
𝑙!
𝑙+1
𝛼
, если 𝑛 = 2𝑙 + 1,
𝑙+
1
2
, если 𝑛 = 2𝑙;
(17.2)
где 𝑙 – натуральное число, включая ноль.
В нашем случае 𝑛 = 0, значит, и параметр 𝑙 = 0, а тогда
∞
ˆ
2
𝑍
0
0
𝑒
−𝛼𝜐
2
𝑥
𝑑𝜐𝑥=
√
2
𝜋
0
2√𝛼
= 1 ,
𝑍
234
откуда
𝑍0=
𝜋
.
𝛼
Из разбиения 𝜔(𝜐) на компоненты, соответствующие выбранным осям (17.1),
имеем 𝑍 = 𝑍
можно записать в виде
а тогда
3
. Таким образом, плотности вероятности компонент скорости
0
𝛼
2
−𝛼𝜐
𝑤(𝜐
𝑤(𝜐) =
𝑥,𝑦,𝑧
) =
𝛼
𝜋
𝑥,𝑦,𝑧
𝑒
𝜋
3
2
−𝛼𝜐
𝑒
,
2
.
Определим константу 𝛼 из связи между давлением на стенку сосуда и средним значением квадрата скорости вдоль перпендикулярной стенке оси (16.3),
используя уравнение состояния идеального газа
𝑃 = 𝑚𝑛𝜐
2
= 𝑛𝑘𝑇 ,
𝑥
откуда
𝑘𝑇
2
𝜐
=
𝑚
.
Вычислим теперь𝜐
𝑥
2
, используя плотность распределения вероятности для
𝑥
компоненты скорости. Для этого необходимо просуммировать все возможные
значения 𝜐
2
с весом их вероятностей, а в нашем случае непрерывного распре-
𝑥
деления – проинтегрировать по всем возможным значениям.
∞
𝜐
ˆ
2
=
𝑥
−∞
2
𝜐
𝑤(𝜐𝑥) 𝑑𝜐𝑥=
𝑥
𝛼
𝜋
ˆ
−∞
∞
𝜐
2
2
−𝛼𝜐
𝑥
𝑒
𝑥
𝑑𝜐𝑥= 2
∞
ˆ
𝛼
𝜐
𝜋
0
2
2
−𝛼𝜐
𝑥
𝑒
𝑥
𝑑𝜐𝑥=
1
2𝛼
,
где мы воспользовались четностью подынтегральной функции, а параметры
интеграла Пуассона 𝑛 = 2 и, соответственно, 𝑙 = 1. Тогда
1
𝑚𝑛
2𝛼
= 𝑛𝑘𝑇 ,
и
𝑚
𝛼 =
2𝑘𝑇
.
В результате вероятность для компоненты скорости молекулы иметь значение
в диапазоне (𝜐
𝑥,𝑦,𝑧
, 𝜐
𝑥,𝑦,𝑧
+ 𝑑𝜐
𝑥,𝑦,𝑧
) есть
2
𝑚𝜐
𝑑𝑊 (𝜐
𝑥,𝑦,𝑧
) =
𝑚
2𝜋𝑘𝑇
𝑥,𝑦,𝑧
−
2𝑘𝑇
𝑒
𝑑𝜐
, (17.3)
𝑥,𝑦,𝑧
235
а для значения скорости в диапазоне (𝜐𝑥, 𝜐𝑥+ 𝑑𝜐𝑥; 𝜐𝑦, 𝜐𝑦+ 𝑑𝜐𝑦; 𝜐𝑧, 𝜐𝑧+ 𝑑𝜐𝑧)
𝑑𝑊 (𝜐) =
2𝜋𝑘𝑇
𝑚
3
2
2
𝑚𝜐
−
2𝑘𝑇
𝑒
𝑑𝜐𝑥𝑑𝜐𝑦𝑑𝜐𝑧.
Поскольку все направления движения молекул считаются равновероятными,
часто требуется определить средние значения различных функций от модуля скорости 𝑓 (𝜐). Однако при нахождении их значений с использованием
функции вероятности в виде 𝑑𝑊 (𝜐) нам придется интегрировать равенство
𝑓(𝜐)𝑑𝑊 (𝜐) = 𝑓 (𝜐)𝑤(𝜐)𝑑𝜐 по всем направлениям, то есть по 𝑑𝜐𝑥𝑑𝜐𝑦𝑑𝜐𝑧. Чтобы
избежать этой процедуры, перейдем к сферическим координатам, где в качестве
радиальной координаты будет выступать модуль скорости. Тогда
𝑑𝜐𝑥𝑑𝜐𝑦𝑑𝜐𝑧= 𝜐2sin Θ𝑑Θ𝑑𝜙𝑑𝜐 ,
где угол Θ изменяется в диапазоне [0, 𝜋], а угол 𝜙 – в диапазоне [0, 2𝜋]. Заметим,
что ни функция 𝑓(𝜐), ни 𝑤(𝜐) не зависят от углов, а значит, интегрирование
по Θ, 𝜙 можно выполнить отдельно:
𝜋
ˆ
sin Θ 𝑑Θ
0
2𝜋
ˆ
𝑑𝜙 = 4𝜋 .
0
Аналогично и функцию вероятности 𝑑𝑊 (𝜐) в силу равновероятности направ-
лений скорости молекул газа в состоянии термодинамического равновесия можно
представить в виде произведения независимых компонент 𝑑𝑊 (𝜐)𝑑𝑊 (Θ)𝑑𝑊 (𝜙),
интегрирование по которым также можно выполнить независимо. При этом
интегралы по зависящим от Θ, 𝜙 компонентам будут равны единице согласно
условию нормировки вероятности.
Тогда вероятность модуля скорости молекулы газа иметь значение в диапазоне (𝜐, 𝜐 + 𝑑𝜐) есть
𝑑𝑊 (𝜐) = 4𝜋
2𝜋𝑘𝑇
𝑚
3
2
𝜐2𝑒
2
𝑚𝜐
−
2𝑘𝑇
𝑑𝜐 , (17.4)
причем 𝜐 может изменяться в пределах от нуля до бесконечности.
Вероятности (17.3) и (17.4) дают распределение Максвелла по компоненте
и по модулю скорости соответственно. Отметим, что эти распределения соответствуют только термодинамически равновесному состоянию идеального газа, для
которого справедливо предположение о равновероятности и независимости всех
возможных направлений движения молекул.
17.2. Средняя, среднеквадратичная, наиболее
вероятная скорости молекул
Найдем средние значения скоростей молекул в идеальном газе из распределения
Максвелла.
236
Среднее значение скорости вдоль выбранной оси, в соответствии с (17.3),
⟨𝜐𝑥⟩ =
2𝜋𝑘𝑇
𝑚
ˆ
−∞
∞
𝜐𝑥𝑒
−
𝑚𝜐
2𝑘𝑇
2
𝑥
𝑑𝜐𝑥= 0 .
Этот результат мы уже получали ранее из равновероятности противоположных
направлений движения частицы вдоль выбранной оси. Отличие этой скорости от
нуля при экспериментальном ее определении означало бы, что газ движется как
целое в некотором направлении. В этом случае мы всегда можем выбрать систему
отсчета, движущуюся вместе с газом, точнее с его центром масс, в которой уже
будет выполнено ⟨𝜐𝑥⟩ = 0. Если же нас интересуют молекулы газа, движущиеся,
например, только в положительном направлении оси 𝑋, то
⟨𝜐𝑥⟩+=
𝑚
2𝜋𝑘𝑇
∞
ˆ
𝜐𝑥𝑒
0
2
𝑚𝜐
𝑥
−
2𝑘𝑇
𝑑𝜐𝑥=
𝑘𝑇
2𝜋𝑚
,
где интегрирование выполняется по формуле (17.2) при 𝑛 = 1 и 𝑙 = 0.
Выражение для среднеквадратичного значения компоненты скорости мы
получали исходя из связи давления и температуры газа
⟨𝜐
2
𝑥
⟩ =
𝑘𝑇
𝑚
.
Среднее значение модуля скорости в соответствии с (17.4)
⟨𝜐⟩ = 4𝜋
𝑚
2𝜋𝑘𝑇
3
∞
ˆ
2
𝜐3𝑒
0
2
𝑚𝜐
−
2𝑘𝑇
𝑑𝜐 =
8𝑘𝑇
, (17.5)
𝜋𝑚
где интеграл берется по формуле (17.2) при 𝑛 = 3 и 𝑙 = 1. Заметим, что
⟨𝜐𝑥⟩+=
1
⟨𝜐⟩ . (17.6)
4
Средний квадрат модуля скорости
𝑚
⟨𝜐2⟩ =
3
∞
ˆ
2
𝜐4𝑒
0
2
𝑚𝜐
−
2𝑘𝑇
𝑑𝜐 =
3𝑘𝑇
𝑚
.
3𝑘𝑇
𝑚
Величину
2
𝜐
= 4𝜋
2𝜋𝑘𝑇
называют среднеквадратичной скоростью молекул газа. Отметим, что она не
равна среднему значению модуля скорости.
2
𝜐
= ⟨𝜐⟩2.
237
События, заключающиеся в принятии определенного диапазона значений
n, T
S
υ
x
скорости вдоль разных осей, в случае термодинамического равновесия принимаются независимыми. Если эти диапазоны одинаковы для всех трех осей, то
и вероятности этих событий одинаковы. Соответственно,
3𝑘𝑇
2
𝜐
=
𝑚
𝑘𝑇
𝑘𝑇
=
+
𝑚
𝑚
𝑘𝑇
+
𝑚
=𝜐
+
2
𝑥
𝜐
𝑦
+
2
2
𝜐
.
𝑧
Наиболее вероятная скорость молекул соответствует максимуму функции
плотности вероятности. Для ее нахождения необходимо продифференцировать
эту функцию по скорости и приравнять нулю.
𝑑𝑤(𝜐)
𝑑𝜐
= 4𝜋
2𝜋𝑘𝑇
𝑚
3
2
2𝜐𝑒
2
𝑚𝜐
−
2𝑘𝑇
− 2𝜐
3
𝑚
2𝑘𝑇
2
𝑚𝜐
−
2𝑘𝑇
𝑒
= 0 ,
откуда наиболее вероятная скорость молекул есть
𝜐в=
2𝑘𝑇
𝑚
.
17.3. Молекулярные потоки
Используя полученные ранее выражения для средних скоростей молекул газа,
найдем поток молекул, истекающих через малое отверстие в сосуде. Требование
малости отверстия обеспечивает равновесное изменение концентрации молекул
в сосуде, иначе говоря, в каждый момент времени газ в сосуде находится
в состоянии термодинамического равновесия, а значит, распределение молекул
по скоростям остается максвелловским.
Рис. 17.1. Истечение газа через малое отверстие
Пусть отверстие имеет площадь 𝑆 и находится на лежащей в плоскости 𝑌 𝑍
стенке сосуда. Сосчитаем число вылетающих из него молекул за малое время 𝜏 .
Чтобы молекула, движущаяся со скоростью 𝜐𝑥по направлению к отверстию,
успела за время 𝜏 достигнуть отверстия, она должна находиться от него на
расстоянии не более 𝜐𝑥𝜏. Кроме того, она должна находиться и напротив
отверстия, то есть в объеме 𝑉 = 𝜐𝑥𝑆𝜏 . Умножая число молекул в этом
238
объеме, равное 𝑛𝑉 , на вероятность того, что выбранная молекула имеет скорость
в диапазоне (𝜐𝑥, 𝜐𝑥+ 𝑑𝜐𝑥), получим количество таких молекул 𝑛𝑉 𝑑𝑊 (𝜐𝑥).
Помимо скорости вдоль оси 𝑋, молекула может иметь и поперечную
компоненту скорости. Соответственно, за время 𝜏 она может покинуть рассматриваемый объем, так и не попав в отверстие. Однако это обстоятельство
можно игнорировать, так как вероятность такого события равна вероятности
того, что другая молекула со скоростью вдоль оси 𝑋 в том же диапазоне,
наоборот, проникнет в рассматриваемый объем и уже она вылетит в отверстие.
Это является следствием термодинамического равновесия в рассматриваемом
объеме возле отверстия, которое обуславливается малостью сечения отверстия.
Летящая по направлению к отверстию молекула может испытать столкновение с другой молекулой и поменять свою скорость вдоль оси 𝑋 и направление
движения, в результате чего она также не попадет в отверстие за время 𝜏. Но,
с той же вероятностью, в результате прочих столкновений другая молекула,
напротив, приобретет необходимую скорость в направлении отверстия. Это
также является следствием термодинамического равновесия в сосуде.
Таким образом, поток молекул со скоростями в диапазоне (𝜐𝑥, 𝜐𝑥+ 𝑑𝜐𝑥)
в единицу времени через единицу площади отверстия, получаемый при делении 𝑛𝑉 𝑑𝑊 (𝜐𝑥) на 𝑆𝜏 , есть
𝑑𝑗𝑥= 𝑛𝜐𝑥𝑑𝑊 (𝜐𝑥) .
Чтобы найти полный поток вылетающих из сосуда молекул в единицу времени
через единицу площади, остается только проинтегрировать это выражение по
всем возможным значениям 𝜐𝑥. Так как нас интересуют только молекулы,
движущиеся по направлению к отверстию, то значения скоростей 𝜐𝑥могут быть
только положительными. Отсюда имеем
𝑗𝑥=
∞
ˆ
𝑛𝜐𝑥𝑑𝑊 (𝜐𝑥) = 𝑛
0
𝑚
2𝜋𝑘𝑇
∞
ˆ
𝜐𝑥𝑒
0
2
𝑚𝜐
𝑥
−
2𝑘𝑇
𝑑𝜐𝑥= 𝑛 ⟨𝜐𝑥⟩+=
1
𝑛 ⟨𝜐⟩ , (17.7)
4
где использовано выражение (17.6).
Пусть за единицу времени через единицу площади отверстия сосуд покинули 𝑗𝑥молекул. Каждая молекула унесла с собой некоторое количество
энергии, которая у идеального газа в отсутствие внешних сил может быть только
кинетической. Сосчитаем суммарную величину убыли энергии газа в сосуде за
единицу времени, или поток энергии наружу, считая газ одноатомным.
Для этого число покидающих сосуд молекул в единицу времени через единицу
площади со скоростями в диапазоне (𝜐𝑥, 𝜐𝑥+ 𝑑𝜐𝑥), то есть 𝑑𝑗𝑥, домножим на
долю кинетической энергии, приходящуюся на движение вдоль оси 𝑋, 𝑚𝜐
2
/2
𝑥
и проинтегрируем по всем возможным скоростям 𝜐𝑥.
𝑗
=
𝐸
𝑥
𝑚
2𝜋𝑘𝑇
∞
ˆ
2
𝑚𝜐
𝑥
𝑛𝜐𝑥𝑒
2
0
2
𝑚𝜐
𝑥
−
2𝑘𝑇
𝑑𝜐𝑥=
1
𝑛 ⟨𝜐⟩𝑘𝑇 , (17.8)
4
где интегрирование проводим по формуле (17.2), с учетом выражения для
среднего модуля скорости (17.6). Покидающие сосуд молекулы имеют компоненты скорости и вдоль осей 𝑌, 𝑍. Однако величины 𝜐𝑦, 𝜐𝑧считаются
239
независимыми от 𝜐𝑥при термодинамическом равновесии, то есть одинаковы как
для покидающих сосуд молекул, так и для остающихся внутри. Это означает, что
доля кинетической энергии, приходящаяся на движение молекул по осям 𝑌, 𝑍 ,
есть произведение числа покидающих сосуд молекул на
поперечных осей. Иначе говоря, случайные величины со значениями 𝑛𝜐𝑥и 𝑚𝜐
1
𝑘𝑇 для каждой из
2
2
/2
𝑥
являются зависимыми и мы должны находить среднее значение их произведения,
что мы и проделали выше (17.8). Случайные величины со значениями 𝑛𝜐
2
и 𝑚𝜐
/2 являются независимыми, и среднее значение их произведения есть
𝑦,𝑧
произведение их средних значений, то есть можем находить средние значения
этих случайных величин отдельно. В итоге полный поток энергии в единицу
времени через единицу площади есть
𝑥
𝑗𝐸=
1
𝑛 ⟨𝜐⟩(𝑘𝑇 + 2
4
1
𝑘𝑇 ) =
2
1
𝑛 ⟨𝜐⟩𝑘𝑇 .
2
Тогда средняя энергия молекул в потоке будет даваться делением потока энергии
на число вылетающих молекул:
𝑗
⟨𝐸𝑗⟩ =
1
𝑛 ⟨𝜐⟩
4
𝐸
= 2𝑘𝑇 .
Заметим, что средняя энергия молекул одноатомного газа в сосуде при заданной
температуре есть
3
𝑘𝑇 , что меньше средней энергии покидающих сосуд молекул.
2
Это означает, что по мере истечения газа средняя энергия остающихся в сосуде
молекул, равно как и температура газа внутри теплоизолированного сосуда,
будет уменьшаться. Более быстрые молекулы будут чаще покидать сосуд, чем
медленные.
Если газ в сосуде не одноатомный, то есть доступны и другие степени свободы
движения молекул, то мы должны будем учесть и энергию, приходящуюся на эти
остальные степени свободы. Сделать это не трудно, так как значение средней
энергии, приходящейся на них, также не будет зависеть от значения случайной
величины 𝑛𝜐𝑥.
17.4. Распределение Больцмана
17.4.1. Барометрическая формула
В отсутствие внешних сил, как уже обсуждалось выше, каждая молекула газа
с равной вероятностью может находиться в любой части сосуда. Если же внешние
силы присутствуют, то ситуация изменяется. Пусть теплоизолированный сосуд
с идеальным газом помещен в однородное поле тяжести, направленное вдоль
оси 𝑍. В этом случае каждая его молекула приобретает потенциальную энергию
𝑈𝑖= 𝑚𝑔𝑧𝑖.
В состоянии термодинамического равновесия суммарная потенциальная энергия
всех молекул в сосуде остается постоянной, так как в противном случае
изменялась бы и кинетическая энергия газа, а значит, и температура. Отсюда
240
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]