Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Физика для студентов ГГФ. В 2 частях. Ч.1. Механика, термодинамика и молекулярная физика. Учебное пособие
.pdf
Так как 𝐺𝑀/𝑅
2
= 𝑔, то получим значение первой космической скорости
⊕
𝜐1=𝑔𝑅⊕≈ 7, 9 км/с.
Период обращения
2𝜋
𝑇 =
2𝜋𝑅
=
𝜔
= 2𝜋
𝜐
1
𝑅
⊕
𝐺
≈ 88 мин.
7.4.2. Вторая космическая скорость
Вторая космическая скорость – это минимальная скорость, которую необходимо
сообщить телу вблизи поверхности Земли, чтобы оно покинуло поле тяготения
Земли. Такая ситуация будет возможна в случае равенства нулю полной энергии
тела
𝐸 =
когда движение тела будет инфинитным, но его скорость на бесконечности будет
равна нулю.
Соответственно, имеем
𝜐2=
2𝐺𝑀
𝑅
⊕
2
𝑚𝜐
2
2
− 𝐺
𝑚𝑀
𝑅
⊕
= 0 ,
=2𝑔𝑅⊕=√2𝜐1≈ 11, 2 км/с.
Заметим, что направление этой скорости не играет никакой роли, но учет
скорости вращения Земли позволит несколько сократить необходимое количество
сообщаемой кинетической энергии телу.
7.4.3. Третья космическая скорость
Третья космическая скорость – это минимальная скорость относительно Земли,
которую необходимо сообщить телу, чтобы оно могло покинуть Солнечную
систему, или поле тяготения Солнца. При вычислении ее значения необходимо
учесть, что сама Земля имеет достаточно большую орбитальную скорость.
Пренебрегая отличием реальной орбиты Земли от окружности, имеем
𝐺𝑀
𝜐⊕=
Для удаления тела на бесконечное расстояние от Солнца с орбиты Земли
необходимо сообщить ему вторую космическую скорость, которая в√2 раза
выше, чем на круговой орбите, и составляет 𝜐2⊙≈ 42, 1 км/с. Однако также
следует учесть необходимость преодоления и земного притяжения. Считая
расстояние, на котором поле тяготения Земли становится несущественным, много
меньшим расстояния от Земли до Солнца, необходимо обеспечить прибавку
к скорости тела примерно 12, 1 км/с после достаточного удаления его от Земли.
Пусть скорость тела 𝜐 у поверхности Земли превышает вторую космическую
𝑅
⊙
⊕−⊙
≈ 30 км/с.
91
скорость 𝜐2, рассчитанную для Земли. После преодоления земного притяжения
ее значение 𝜐∞можно рассчитать следующим образом:
𝑚𝜐
2
∞
2
2
𝑚𝜐
=
2
2
𝑚𝜐
2
−
,
2
где второе слагаемое справа есть затраты кинетической энергии на удаление от
Земли. Отсюда имеем
2
𝜐3=𝜐
2
+ 𝜐
∞
,
2
где 𝜐∞= 𝜐2⊙− 𝜐⊕≈ 12, 1 км/с. Именно такую прибавку к орбитальной
скорости Земли мы должны будем иметь после преодоления тяготения Земли
для покидания Солнечной системы. В результате имеем 𝜐3≈ 16, 7 км/с, а ее
направление должно совпадать с направлением орбитальной скорости Земли.
7.5. Неинерциальные системы отсчета.
Силы инерции
Ранее мы рассматривали движение тел только в инерциальных системах
отсчета, при переходе между которыми свободные тела остаются таковыми,
то есть движутся поступательно с постоянными скоростями или покоятся –
в зависимости от взаимной скорости рассматриваемых систем отсчета. Удобство
использования таких систем отсчета обусловлено простотой преобразований
координат и скоростей при переходе между ними. Однако часто оказывается,
что, наоборот, переход в неинерциальные системы отсчета позволяет более
естественно и наглядно описывать движение тел. Поэтому проанализируем
закономерности движения тел, возникающие при переходе в движущиеся
с ускорением системы отсчета.
7.5.1. Поступательное движение
Обозначим условно неподвижную лабораторную систему отсчета 𝐾, а неинерциальную систему отсчета, движущуюся относительно лабораторной с некоторым
ускорением, назовем 𝐾′. Пусть в системе отсчета 𝐾′радиус-вектор 𝑟′указывает
на некоторую материальную точку массой 𝑚, а в лабораторной системе отсчета
на эту же точку указывает радиус-вектор 𝑟, и
𝑟 =𝑅0+ 𝑟′,
где радиус-вектор𝑅0указывает на начало координат системы отсчета 𝐾
в системе отсчета 𝐾 . Продифференцируем дважды это равенство по времени.
𝑎 = 𝑎0+ 𝑎′.
Домножим получившееся равенство на массу материальной точки и, с учетом
того, что в лабораторной системе отсчета мы вправе записать 𝑚𝑎 =𝐹 , получим
уравнение движения в системе отсчета 𝐾′:
𝑚𝑎′=𝐹 − 𝑚𝑎0.
92
′
Таким образом, в уравнении движения материальной точки в системе отсчета 𝐾′,
~
T
m~g
~a
0
ϕ
~
T
m~g
m~a
0
ϕ
помимо действующей силы𝐹 , появляется дополнительное слагаемое −𝑚𝑎0. Это
слагаемое и называют силой инерции.
Рассмотрим пример расчета движения тела в неинерциальной системе
отсчета. Пусть висящий на нерастяжимой и невесомой нити груз массой 𝑚
установили на тележку, движущуюся с постоянным ускорением 𝑎0(рис. 7.6).
Рис. 7.6. Отклонение груза в неинерциальной системе отсчета
Помимо силы тяжести и силы натяжения нити, в системе отсчета, связанной
с тележкой, на груз будет действовать и сила инерции, отклоняющая его влево.
Пусть груз находится в равновесии. Тогда, согласно рис. 7.7, имеем
𝑇 + 𝑚𝑔 + 𝑚𝑎0= 0 ,
откуда tg 𝜙 = 𝑎0/𝑔.
Рис. 7.7. Силы, действующие в неинерциальной системе отсчета на груз
Найдем теперь частоту малых колебаний груза относительно нового положения равновесия. Для этого вспомним уравнение движения математического
маятника в отсутствие сил инерции 𝑚𝑎 =𝑇 + 𝑚𝑔. В нашем же случае это
уравнение изменилось лишь в том, что вместо 𝑔 мы должны написать 𝑔 +𝑎0, где
вектор 𝑎0, так же как и 𝑔, является постоянным. Соответственно, можно пред-
ставить влияние на математический маятник движения тележки с постоянным
93
ускорением просто как изменение направления вертикали и величины ускорения
свободного падения на |𝑔 + 𝑎0|. А тогда и частота малых колебаний маятника на
тележке
𝜔 =
|𝑔 + 𝑎0|
𝑙
=
𝑔2+ 𝑎
𝑙
2
0
.
Находить эту частоту в инерциальной лабораторной системе отсчета было бы
существенно сложнее, тогда как использование неинерциальной системы отсчета
выглядит вполне естественным.
7.5.2. Силы инерции во вращающейся системе отсчета
Центробежная сила
Пусть тело, которое можно считать материальной точкой, движется по окружности с постоянной угловой скоростью 𝜔 вокруг начала координат лабораторной
системы отсчета. Его скорость мы можем записать как
𝜐 = 𝜔 ×𝑅 ,
где𝑅 – радиус-вектор, указывающий на тело. Возьмем производную по времени,
чтобы найти ускорение
𝑑𝜐
𝑑𝜔
=
𝑑𝑡
×𝑅 + 𝜔 ×
𝑑𝑡
Первое слагаемое равно нулю, так как угловая скорость постоянна. Производная
во втором слагаемом есть скорость, что дает
𝑑𝑅
𝑑𝑡
.
𝑑𝜐
= 𝜔 × 𝜐 = 𝜔 ×𝜔 ×𝑅,
𝑑𝑡
откуда, используя формулу 𝑎 ×
𝑑𝜐
𝑑𝑡
𝑏 × 𝑐=𝑏(𝑎 · 𝑐) −𝑐(𝑎 ·𝑏), получим
= 𝜔(𝜔 ·𝑅) −𝑅(𝜔 · 𝜔) = −𝜔
2
𝑅 ,
где учтено, что 𝜔⊥𝑅. Иначе говоря, при движении по окружности с постоянной
угловой скоростью тело движется с постоянным центростремительным ускорением. Это ускорение обеспечивается, например, действием на тело силы натяжения
нити. При движении планет таковой силой является сила гравитационного
притяжения.
Перейдем теперь во вращающуюся с той же угловой скоростью систему
отсчета. Сила, обеспечивающая движение тела по окружности, никуда не делась,
но тело теперь неподвижно. Равенство нулю суммы всех сил, действующих на
тело, обеспечивается инерциальной силой
𝐹 = 𝑚𝜔
2
𝑅 , (7.8)
которую называют центробежной. Отметим, что возникает она только при
переходе во вращающуюся систему отсчета. В случае вращающейся планеты
94
эта сила дает вклад в ускорение свободного падения. Среднее время оборота
~
R
~υ
′
Земли вокруг своей оси относительно условно неподвижных в данный момент
достаточно удаленных звезд, или звездные сутки, составляет величину
𝑇 ≈ 86164, 1 с,
используя которую можно рассчитать угловую скорость и центробежную силу.
Заметим, что центробежная сила направлена нормально к оси вращения Земли
и зависит от расстояния до нее, иначе говоря от широты. Величина вклада
центробежной силы в ускорение свободного падения в зависимости от широты
меняется по модулю в диапазоне 0÷3, 4 см/с2, причем везде, кроме экватора, это
добавочное ускорение не сонаправлено с гравитационным ускорением свободного
падения, направленным к центру Земли.
Сила Кориолиса
Останемся во вращающейся системе отсчета, в которой действует центробежная
сила инерции. Мы, конечно же, понимаем, что она действует не только на
рассматриваемое тело, но и на все другие объекты в этой системе отсчета, то есть,
вообще говоря, на всю остальную Вселенную. Однако если мы начнем вращаться
вокруг собственной оси, то все окружающие нас неподвижные до этого объекты
не будут разлетаться под действием этой центробежной силы. Различие состоит
в том, что все эти другие объекты уже не покоятся в нашей вращающейся системе
отсчета. Рассмотрим их движение.
Пусть во вращающейся с угловой скоростью 𝜔 системе отсчета 𝐾′тело
движется по окружности с постоянной скоростью 𝜐′(рис. 7.8). Такое движение
возможно лишь в случае действия силы𝐹′, направленной к центру и равной по
модулю 𝐹′= 𝑚𝜐′2/𝑅.
Рис. 7.8. К выводу силы Кориолиса. Движение по окружности
Перейдем в лабораторную систему отсчета 𝐾, где скорость тела будет равна
𝜐 = 𝜐′+ 𝜔 ×𝑅 ,
и, соответственно, величина силы, направленной к центру и обеспечивающей
движение тела по окружности со скоростью 𝜐,
𝐹 =
𝑚𝜐
𝑅
2
′2
𝑚𝜐
=
+ 2𝑚𝜐′𝜔 + 𝜔2𝑅𝑚 .
𝑅
95
Тогда в неинерциальной вращающейся системе отсчета силу 𝐹′можно
~
R
υ
′
r
dt
ωdt
ds
записать как
𝐹′=
′2
𝑚𝜐
= 𝐹 − 2𝑚𝜐′𝜔 − 𝜔2𝑅𝑚 .
𝑅
Последнее слагаемое мы уже получали ранее, это центробежная сила. Новое
слагаемое
𝐹К= 2𝑚𝜐′𝜔
называют силой Кориолиса.
Пусть в лабораторной системе отсчета 𝐾 тело покоится, то есть 𝐹 = 0. Из
выражения
0 = 𝜐′+ 𝜔 ×𝑅
имеем 𝜐′= −𝜔𝑅. Во вращающейся системе отсчета 𝐾′сила Кориолиса
в этом случае в 2 раза больше центробежной силы, а результирующая сила 𝐹
и обеспечивает движение тела по окружности с постоянной скоростью. Если мы
начнем вращаться, то в результате действия этой силы все окружающие нас
исходно неподвижные объекты останутся на том же расстоянии от нас. Отметим,
что сила Кориолиса перпендикулярна и скорости, направленной по касательной
к траектории движения, и вектору угловой скорости.
Теперь рассмотрим радиальное движение. Пусть в лабораторной системе
отсчета 𝐾 тело имеет постоянную скорость 𝜐, направленную вдоль радиального
луча из начала координат. Так как скорость тела постоянна, а его траектория –
прямая линия, то действующая на него результирующая сила в лабораторной
системе отсчета 𝐾 равна нулю. Соответственно, за время 𝑡 тело преодолеет
путь 𝑅 = 𝜐𝑡. Поместим под движущимся телом исходно неподвижный диск.
Проекция траектории движения тела на неподвижный диск также будет радиальным лучом. Теперь начнем вращать диск с угловой скоростью 𝜔. В результате
проекция траектории тела на диск уже не будет являться радиальным лучом.
За время 𝑑𝑡 диск повернется на угол 𝜔𝑑𝑡, а тело преодолеет путь 𝜐𝑑𝑡.
Радиальная скорость тела во вращающейся системе отсчета 𝐾′останется без
′
изменений 𝜐
= 𝜐, но точка диска, над которой оказалось бы тело в случае
𝑟
неподвижного диска, теперь сместится на расстояние 𝑑𝑠, как указано на рис. 7.9.
′
Рис. 7.9. К выводу силы Кориолиса. Радиальное движение
96
Запишем это расстояние, считая отличие хорды 𝑑𝑠 от соответствующей дуги
~ω
~υ
′
~
F
К
окружности малым:
𝑑𝑠 = (𝑅 + 𝜐
′
𝑑𝑡)𝜔𝑑𝑡 = 𝑅𝜔𝑑𝑡 + 𝜐
𝑟
′
𝜔𝑑𝑡2.
𝑟
Полученное равенство имеет вид уравнения движения с постоянным ускорением 𝑠 = 𝑠0+ 𝜐0𝑡 + 𝑎𝑡2/2. Тогда можно считать, что тело имеет ускорение 𝑎 = 2𝜐
′
𝜔,
𝑟
то есть движется под действием силы
𝐹К= 2𝑚𝜐
′
𝜔 ,
𝑟
которая по величине совпадает с полученной ранее кориолисовой силой при
вращательном движении. Причем эта сила перпендикулярна и радиальной
компоненте скорости во вращающейся системе отсчета, и угловой скорости
самой системы отсчета. А тогда в общем виде можно записать выражение для
силы Кориолиса как
𝐹К= 2𝑚𝜐′× 𝜔 ,
где 𝜐′– есть скорость движения тела во вращающейся с угловой скоростью 𝜔
системе отсчета. Заметим, что компонента 𝜐′вдоль или против 𝜔 не приводит
к дополнительному вкладу в уравнение движения тела во вращающейся системе
отсчета.
Сила Кориолиса проявляется при движении вдоль поверхности Земли
вследствие ее суточного вращения. Например, в Северном полушарии в средних
широтах воздушные массы преимущественно движутся на север, то есть
приближаются к оси вращения. Поэтому в результате действия силы Кориолиса
они приобретают и направленную с запада на восток компоненту скорости.
В частности, это приводит к тому, что самолет, летящий из Новосибирска
в Москву, находится в полете дольше, чем во время обратного рейса.
Рис. 7.10. Действие сил Кориолиса на движущиеся вдоль поверхности Земли
тела
Под действием силы Кориолиса происходит образование вихрей в циклонах
и антициклонах. При движении воздушных масс в область пониженного
давления в Северном полушарии образуется вихрь, закручивающийся против
97
часовой стрелки. В случае антициклона истекающие из области повышенного
давления воздушные массы закручиваются по часовой стрелке. В Южном
полушарии ситуация обратная.
Действием силы Кориолиса объясняется и подмывание реками в Северном
полушарии правого, а в Южном – левого берегов. Также сила Кориолиса
оказывает влияние и на океанические течения.
98
Лекция 8
Движение твердых тел
В этой лекции мы начнем рассмотрение движения протяженных тел, размерами
и формой которых мы не сможем пренебрегать.
8.1. Твердое тело в механике
Протяженным телом в механике является ограниченная область пространства,
непрерывно заполненная веществом плотностью 𝜌, которая в общем случае
является функцией координат. Тело называют твердым, если расстояние между
любыми двумя его точками не изменяется в процессе движения.
Для того чтобы определить или задать движение твердого тела, необходим
способ указания его положения в пространстве. Положение материальной
точки мы указывали значениями трех ее пространственных координат, например (𝑥, 𝑦, 𝑧). При этом мы допускали, что материальная точка может совершать
движение по каждой из этих координат, то есть она имеет 3 степени свободы. Для
твердого тела указания координат одной из его точек явно недостаточно, так как
оно может быть произвольным образом ориентировано относительно нее.
Выберем еще одну точку тела и проведем через эти две точки прямую.
Угол поворота твердого тела относительно этой прямой также может быть
произвольным. Зафиксировать этот угол позволяет указание еще одной точки
тела, не лежащей на проходящей через первые две точки прямой.
Таким образом, мы получаем набор из координат (𝑥𝑖, 𝑦𝑖, 𝑧𝑖), однозначно
определяющих положение твердого тела в пространстве. Далее, для описания
движения тела, нам нужен будет закон изменения этих координат. Заметим,
что не все из них могут изменяться независимо друг от друга. Из определения
твердого тела мы можем заключить, что расстояния между любыми парами из
этих трех точек остаются неизменными в процессе движения. Это позволяет
записать дополнительные 3 уравнения, связывающие координаты выбранных
точек. Итого мы получим только 6 независимых координат, полностью определяющих положение твердого тела в интересующие моменты времени. Таким
образом, твердое тело имеет 6 степеней свободы и его положение может быть
однозначно задано шестью независимыми координатами.
99
Чтобы задать эти координаты, введем две системы отсчета: 𝐾 и 𝐾′. Пусть 𝐾 –
~r
K
K
′
~
R
~r
′
A
b
O
O
′
лабораторная система отсчета, в которой радиус-вектор 𝑟 указывает на какую-
либо точку тела 𝐴. Начало координат системы отсчета 𝐾′свяжем с такой точкой,
относительно которой твердое тело будет только лишь вращаться. Далее мы
покажем, что такая точка существует. Начало координат системы отсчета 𝐾
не обязательно должно быть привязано к какой-либо конкретной точке твердого
тела, оно может находиться и вне его, а сама система отсчета 𝐾′может быть
и лишь мгновенно сопутствующей. Отметим только, что в общем случае система
отсчета 𝐾′может являться и неинерциальной. В результате имеем три степени
свободы движения начала координат системы отсчета 𝐾′вдоль трех координат
лабораторной системы отсчета 𝐾 и еще три – вращение тела в системе отсчета 𝐾
вокруг трех взаимно перпендикулярных осей.
Пусть радиус-вектор 𝑟′в 𝐾′указывает на ту же самую точку тела 𝐴. Через𝑅
обозначим радиус-вектор, указывающий на положение начала координат 𝐾
в 𝐾 (рис. 8.1). При движении тела все введенные радиус-векторы могут
Рис. 8.1. Положение твердого тела в пространстве
′
′
′
изменяться с течением времени, но они всегда будут связаны уравнением
𝑟(𝑡) =𝑅(𝑡) + 𝑟′(𝑡) .
Таким образом, мы задали положения трех точек и записали уравнение связи
между ними. Поскольку оно записано в векторной форме, то это на самом деле 3
уравнения связи по каждой из компонент векторов. Отметим, что выбранные 3
точки не будут находиться всегда на одинаковом расстоянии друг от друга,
но тем не менее заданная таким способом система координат также позволяет
однозначным образом задавать положение твердого тела в пространстве.
Возьмем дифференциал от левой и правой частей уравнения связи:
𝑑𝑟(𝑡) = 𝑑𝑅(𝑡) + 𝑑𝑟′(𝑡) .
Вектор 𝑟′задан в системе отсчета 𝐾′, в которой точка 𝐴 может только
вращаться. Соответственно, 𝑑𝑟′=𝑑𝜙 × 𝑟′, где вектор𝑑𝜙 совпадает по
направлению с угловой скоростью
𝑑𝜙
𝜔 =
Как и было введено ранее при рассмотрении движения по окружности, векторной
величиной является именно дифференциал угла поворота тела, а не сам угол.
100
𝑑𝑡
.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]