Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Физика для студентов ГГФ. В 2 частях. Ч.1. Механика, термодинамика и молекулярная физика. Учебное пособие
.pdf
P
V
P = const
V = const
T = const
Рис. 12.1. Процессы в газах
газа, есть 𝐹 = 𝑃 𝑆. Пусть под действием этой силы поршень смещается из
положения 𝑥1в положение 𝑥2. Будем считать, что это смещение происходит
достаточно медленно, то есть состояние газа под поршнем все время является
равновесным. В процессе движения поршня будет изменяться объем газа,
а значит, может изменяться его давление и действующая на поршень сила.
Разобьем проходимое поршнем расстояние на бесконечно малые участки 𝑑𝑥,
на каждом из которых давление газа можем считать постоянным и равным 𝑃 (𝑥),
где 𝑥 – координата конкретного участка 𝑑𝑥. Тогда совершаемая газом работа
будет равна
𝐴 =
𝑥
2
ˆ
𝐹 (𝑥) 𝑑𝑥 =
𝑥
1
𝑥
2
ˆ
𝑃 (𝑥)𝑆 𝑑𝑥 =
𝑥
1
𝑉
2
ˆ
𝑃 (𝑉 ) 𝑑𝑉 ,
𝑉
1
где 𝑆𝑑𝑥 есть изменение объема цилиндра 𝑑𝑉 . Согласно закону Паскаля
создаваемое поршнем давление газа в сосуде не зависит от ориентации его стенок,
поэтому полученный результат можно обобщить на произвольную форму сосуда.
Любой равновесный процесс мы можем изобразить в виде линии на
𝑃 𝑉 -диаграмме, соединяющей начальное и конечное состояния газа 𝑃1, 𝑉1и 𝑃2, 𝑉2.
Тогда работа газа при таком процессе есть просто площадь под этой линией. Знак
этой работы будет положительным при расширении газа и отрицательным при
сжатии.
При изобарическом процессе давление есть постоянная величина, а потому
работа газа будет равна
𝐴𝑃= 𝑃 (𝑉2− 𝑉1) .
При изохорическом процессе положение поршня не изменяется, следовательно, и работа газа равна нулю:
𝐴𝑉= 0 .
Рассмотрим изотермический процесс. Выразим давление через объем из
уравнения Клапейрона – Менделеева (12.2) и подставим в выражение для работы:
𝑉
2
ˆ
𝐴𝑇=
Заметим, что идеальный газ как механическая система имеет только кинети-
𝜈𝑅𝑇
𝑑𝑉 = 𝜈𝑅𝑇 ln
𝑉
𝑉
1
𝑉
2
.
𝑉
1
ческую энергию, соответственно, и температура его есть некоторая функция
161
этой кинетической энергии. Из постоянства температуры следует неизменность
кинетической энергии молекул газа, но работа была совершена. Очевидно, что
газ получил какую-то энергию извне и она целиком пошла на совершение работы
по перемещению поршня, но не на изменение кинетической энергии газа под
поршнем. При других процессах газ также может получать энергию извне,
но в случае, например, изохорического процесса полученная энергия целиком
осталась бы у газа – она была бы потрачена на изменение его внутренней
энергии. Отметим, что количество энергии, получаемое газом при различных
процессах, начальным и конечным состоянием которых являются одинаковые
значения 𝑃1, 𝑉1и 𝑃2, 𝑉2, может быть различным.
Таким образом, закон сохранения энергии, или первое начало термодинамики,
имеет следующий вид:
𝛿𝑄 = 𝑑𝐸 + 𝑃 𝑑𝑉 , (12.3)
где 𝑑𝐸 – это изменение внутренней энергии, а 𝛿𝑄 – полученная термодинамической системой энергия. Исторически эта величина получила название теплоты
или количества тепла. Заметим, что внутренняя энергия есть функция состояния,
то есть ее изменение зависит лишь от конечного и начального состояний термодинамической системы и может быть записано в виде полного дифференциала.
Количество тепла же будет зависеть от того, какой конкретно процесс проводится
с термодинамической системой, поэтому мы не можем записать ее в виде
полного дифференциала. Аналогично записывают и 𝛿𝐴 = 𝑃 𝑑𝑉 , подчеркивая, что
и работа есть функция процесса.
12.6. Теплоемкость
Наблюдения показывают, что различные тела нагреваются по-разному при
сообщении им одинакового количества тепла. Это свойство тел называют теплоемкостью. Величина теплоемкости тела определяется необходимым количеством
подводимого тепла для изменения его температуры на один градус:
∆𝑄
𝐶 =
Устремляя изменение температуры к бесконечно малой величине, имеем
𝐶 =
Так как величина 𝛿𝑄 зависит от процесса, то и теплоемкость тела также
зависит от конкретного процесса с ним. Поскольку необходимое количество
тепла очевидным образом зависит и от количества вещества, обычно используют
удельную или молярную теплоемкости.
.
∆𝑇
𝛿𝑄
. (12.4)
𝑑𝑇
12.6.1. Теплоемкость при изотермическом процессе
При изотермическом процессе теплоемкость, очевидно, равна бесконечности. Вне
зависимости от количества подведенного тепла температура тела не изменяется,
то есть ∆𝑇 = 0 при любом ненулевом значении ∆𝑄.
162
12.6.2. Теплоемкость при изохорическом процессе
Работа при изохорическом процессе равна нулю, а потому уравнение первого
начала термодинамики (12.3) принимает вид
𝛿𝑄 = 𝑑𝐸 .
Поделим левую и правую его части на 𝑑𝑇. Тогда, с учетом определения
теплоемкости (12.4), имеем
𝑑𝐸
𝐶𝑉=
где 𝐶𝑉– теплоемкость при постоянном объеме тела.
Экспериментальные измерения теплоемкости достаточно разреженных газов,
которые можно считать идеальными, показали, что ее величина, приходящаяся
на 1 моль вещества, зависит от строения молекул газа. Например, для
одноатомного газа молярная теплоемкость 𝐶𝑉= 3/2𝑅, для двухатомного, при
относительно невысоких температурах, 𝐶𝑉= 5/2𝑅.
Далее, при рассмотрении молекулярно-кинетической теории, мы покажем,
что теплоемкость зависит от количества степеней свободы молекул газа. Так,
если молекула газа состоит из одного атома, например как у гелия при
нормальных условиях, то она имеет только 3 поступательные степени свободы, то
есть может перемещаться лишь в трех направлениях пространства. Состоящая
из двух атомов молекула, например молекула кислорода при нормальных
условиях, может дополнительно вращаться в двух плоскостях, поэтому она
имеет 5 степеней свободы. При высоких температурах могут появляться еще
и колебательные степени свободы молекул, но эти вопросы мы обсудим позднее
в рамках молекулярно-кинетической теории. В классической термодинамике
значение теплоемкости идеального газа при постоянном объеме принимается как
эмпирический, то есть определенный экспериментальным путем, параметр.
Выражение для внутренней энергии идеального газа, если принять ее равной
нулю при 𝑇 = 0, можно записать в виде
𝑑𝑇
,
𝐸 = 𝜈𝐶𝑉𝑇 ,
где 𝜈 – число молей идеального газа, а 𝐶𝑉– молярная теплоемкость при
изохорическом процессе. Так как внутренняя энергия есть функция состояния,
то полученное выражение для нее будет справедливо и в случае любых других
равновесных процессов над идеальным газом, в которых соответствующая
теплоемкость газа может и не быть равна 𝐶𝑉.
12.6.3. Теплоемкость при изобарическом процессе
Определив выражение для внутренней энергии идеального газа, первое начало
термодинамики теперь можем записать в следующем виде:
𝛿𝑄 = 𝜈𝐶𝑉𝑑𝑇 + 𝑃 𝑑𝑉 .
Поделим левую и правую части на 𝑑𝑇 и, обозначив молярную теплоемкость
изобарического процесса 𝐶𝑃, получим
𝜈𝐶𝑃= 𝜈𝐶𝑉+ 𝑃
163
𝑑𝑉
𝑑𝑇
.
Выражая 𝑉 из уравнения Клапейрона – Менделеева (12.2) и учитывая, что
𝑃 = const, получим 𝑑𝑉 = 𝜈𝑅𝑑𝑇 /𝑃 и
𝜈𝐶𝑃= 𝜈𝐶𝑉+ 𝜈𝑅
откуда
𝐶𝑃= 𝐶𝑉+ 𝑅.
Полученное равенство называется формулой Майера.
Теплоемкость при изобарическом процессе оказывается выше изохорической
теплоемкости, так как только часть тепла идет на изменение температуры
идеального газа и, соответственно, его внутренней энергии, остальная часть
расходуется на совершение газом работы.
𝑑𝑇
𝑑𝑇
,
12.7. Адиабатический процесс
Равновесные термодинамические процессы, которые идут без отвода или подвода
тепла к рассматриваемой термодинамической системе, называют адиабатическими. Поскольку полностью избежать переноса тепла, как правило, невозможно,
такой процесс должен протекать достаточно быстро. В то же время он должен
оставаться квазистатическим. Если эти условия выполнены с достаточной точностью, то мы можем положить 𝛿𝑄 = 0 и записать первое начало термодинамики
в виде
𝜈𝐶𝑉𝑑𝑇 + 𝑃 𝑑𝑉 = 0 .
Выразим 𝑑𝑇 из уравнения Клапейрона – Менделеева:
𝑑(𝑃 𝑉 )
𝑑𝑇 =
и подставим в первое начало термодинамики:
𝜈𝑅
𝑃 𝑑𝑉
=
𝜈𝑅
+
𝑉 𝑑𝑃
𝜈𝑅
,
𝐶𝑉𝑃 𝑑𝑉 + 𝐶𝑉𝑉 𝑑𝑃 + 𝑅𝑃 𝑑𝑉 = 0 .
Выразим 𝑅 из формулы Майера и, введя обозначение 𝛾 = 𝐶𝑃/𝐶𝑉, получим
𝛾𝑃 𝑑𝑉 + 𝑉 𝑑𝑃 = 0 .
Поделим левую и правую части на 𝑃 𝑉 :
𝑑𝑉
𝛾
𝑉
и проинтегрируем:
𝛾 ln 𝑉 + ln𝑃 = const,
или
𝑃 𝑉𝛾= const .
Полученное уравнение есть уравнение адиабатического процесса. Параметр 𝛾
называют показателем адиабаты. Поскольку показатель адиабаты больше единицы, то график адиабатического процесса на 𝑃 𝑉 -диаграмме будет идти круче,
= −
164
𝑑𝑃
𝑃
,
чем изотерма. Воспользовавшись еще раз уравнением Клапейрона – Менделеева,
уравнение адиабатического процесса можем записать и в виде
𝛾−1
𝑇 𝑉
= const .
Совершаемая газом при адиабатическом процессе работа, согласно первому
началу термодинамики, равна взятому с обратным знаком изменению внутренней
энергии газа
𝐴𝑄= −𝐶𝑉(𝑇2− 𝑇1) .
Поскольку при адиабатическом процессе тело не получает тепло извне, то
и теплоемкость при таком процессе равна нулю.
Воспользовавшись уравнением Клапейрона – Менделеева и формулой Майера, энергию идеального газа можно выразить через его показатель адиабаты:
𝐸 = 𝜈𝐶𝑉𝑇 = 𝜈𝐶
𝑃 𝑉
= 𝐶
𝑉
𝜈𝑅
𝑉
𝐶𝑃− 𝐶
𝑃 𝑉
𝑃 𝑉
=
𝑉
𝛾 − 1
.
12.8. Политропический процесс
Рассмотренные выше равновесные процессы в идеальном газе являются частными случаями более общего политропического процесса. Политропическим
называют процесс, который протекает при постоянном значении теплоемкости
𝐶 = const. Для политропического процесса имеем
𝛿𝑄 = 𝜈𝐶𝑑𝑇 = 𝜈𝐶𝑉𝑑𝑇 + 𝑃 𝑑𝑉 .
Выражаем 𝑑𝑇 из уравнения Клапейрона – Менделеева:
𝑑(𝑃 𝑉 )
𝑑𝑇 =
𝜈𝑅
и подставляем:
𝐶
𝑃 𝑑𝑉
𝑅
+ 𝐶
𝑉 𝑑𝑃
𝑅
= 𝐶
Отсюда имеем
(𝐶 − 𝐶𝑉− 𝑅)𝑃 𝑑𝑉 = (𝐶𝑉− 𝐶 )𝑉 𝑑𝑃 ,
что, используя формулу Майера, приводим к виду
(𝐶 − 𝐶𝑃)
𝑑𝑉
или, после интегрирования,
𝑃 𝑉𝑛= const ,
где
𝑛 =
называют показателем политропы.
При 𝐶 = 0 имеем 𝑛 = 𝛾, то есть адиабатический процесс. Изотермическому
процессу соответствует 𝐶 = ∞, изохорическому и изобарическому – 𝐶 = 𝐶
и 𝐶 = 𝐶𝑃.
𝑃 𝑑𝑉
=
𝜈𝑅
𝑃 𝑑𝑉
𝑉
𝑅
= −(𝐶 − 𝐶𝑉)
𝑉
𝐶 − 𝐶
𝐶 − 𝐶
+
+ 𝐶
𝑃
𝑉
𝑉 𝑑𝑃
𝜈𝑅
𝑉 𝑑𝑃
𝑉
,
𝑅
𝑑𝑃
𝑃
+ 𝑃𝑑𝑉 .
,
𝑉
165
Основные итоги
Для математического описания термодинамически равновесных процессов мы
имеем первое начало термодинамики и уравнение процесса, а также уравнение состояния и выражение для внутренней энергии. Каждому процессу
соответствует своя теплоемкость, которая может быть определена из известного
уравнения процесса, и наоборот. Пока мы рассматриваем только идеальный газ
с уравнением состояния Клапейрона – Менделеева.
166
Лекция 13
P
V
b
b
P
1
P
2
V
1
V
2
Термодинамические циклы.
Второе начало
термодинамики. Энтропия.
Термодинамические
потенциалы
13.1. Циклические процессы
Термодинамический процесс называется циклическим, если после его выполнения термодинамическая система возвращается в исходное состояние, которое
поэтому должно быть равновесным. На 𝑃 𝑉 -диаграмме такой процесс изображается замкнутой линией, имеющей определенное направление обхода. Рассмотрим
произвольный равновесный циклической процесс, состоящий из двух участков
с граничными состояниями 𝑃1, 𝑉1и 𝑃2, 𝑉2(рис. 13.1).
Рис. 13.1. Циклический процесс
167
Рассчитаем работу, совершаемую термодинамической системой в результате
выполнения такого циклического процесса.
𝐴 =
𝑉
2
ˆ
𝑃
1→2
𝑉
1
𝑑𝑉 +
𝑉
1
ˆ
𝑃
𝑑𝑉 .
2→1
𝑉
2
Первое слагаемое есть площадь под линией процесса, приводящего термодинамическую систему из состояния 𝑃1, 𝑉1в состояние 𝑃2, 𝑉2. Второе слагаемое –
площадь под линией обратного процесса. Так как объем во втором процессе
уменьшается, то эта работа будет отрицательной. Итого полная работа термодинамической системы есть интеграл по замкнутому контуру
𝐴 =˛𝑃 𝑑𝑉 ,
или просто площадь фигуры, ограниченной линиями процессов на
𝑃 𝑉 -диаграмме.
Поскольку в результате циклического процесса термодинамическая система
возвращается в исходное состояние, изменение ее внутренней энергии как
функции состояния равно нулю. Тогда, согласно первому началу термодинамики,
вся совершенная работа определяется разностью количеств тепла, полученного
термодинамической системой 𝑄1и переданного окружающим объектам 𝑄2,
𝐴 = 𝑄1− 𝑄2.
Отметим, что это равенство будет справедливо и в случае неравновесных
циклических процессов.
Если изменить направление обхода, то для осуществления обратного циклического процесса, если таковой возможен, потребуется уже, напротив, совершение
работы 𝐴 над термодинамической системой. В результате термодинамическая
система получит тепло 𝑄2, а тепло 𝑄1= 𝐴 + 𝑄2будет отдано.
13.1.1. Тепловая машина
Термодинамическая система, выполняющая циклический процесс и совершающая механическую работу за счет полученного тепла, называется тепловой
машиной. Источник тепловой энергии для тепловой машины называют нагревателем, резервуар для сброса избыточной тепловой энергии – холодильником.
Совершающую работу и теплообмен с нагревателем и холодильником часть
тепловой машины – рабочим телом. Принципиальная схема тепловой машины
приведена на рис. 13.2. Рабочее тело получает от нагревателя тепло 𝑄Н,
совершает работу 𝐴 и передает остаток тепла 𝑄Хв холодильник.
Важной характеристикой тепловой машины является ее коэффициент полезного действия, который определяется отношением совершенной работы
к затраченному на это теплу:
𝐴
𝜂 =
𝑄Н− 𝑄
=
𝑄
Н
Х
𝑄
Н
168
= 1 −
𝑄
Х
, (13.1)
𝑄
Н
Н. Р.Т. Х.
Q
Н
Q
Х
A
Рис. 13.2. Тепловая машина
где 𝑄Хсчитаем положительной величиной. Отсюда видно, что коэффициент
полезного действия тем выше, чем меньше отношение теплот 𝑄Х/𝑄Н.
Если бы нам удалось создать тепловую машину, которая не отдает тепло
холодильнику вовсе, а лишь производит работу за счет получения тепла от
нагревателя, то ее коэффициент полезного действия равнялся бы единице.
Однако обобщение экспериментальных данных показало невозможность существования такой тепловой машины, несмотря на то что она не нарушала бы закон
сохранения энергии. Этот эмпирический результат получил название второго
начала термодинамики. Мы обсудим его позднее.
Хотя построить тепловую машину с коэффициентом полезного действия,
равным единице, невозможно, стремиться увеличивать его значение вполне
целесообразно. Заметим, что 𝑄Н, 𝑄Хи совершаемая рабочим телом тепловой
машины работа 𝐴 являются функциями процесса. Они зависят от конкретных
путей, соединяющих точки 1 и 2 на рис. 13.1. Изменяя эти пути, можно создавать
тепловые машины с различными коэффициентами полезного действия.
13.1.2. Цикл Карно
Тепловая машина, использующая лишь один нагреватель и один холодильник
с заданными температурами, имеет максимально возможный коэффициент
полезного действия, если она работает по циклу Карно, состоящему из двух
адиабат и двух изотерм. Это утверждение мы докажем позже. Вычислим сначала
коэффициент полезного действия тепловой машины Карно, считая, что рабочее
тело является идеальным газом.
Рассмотрим 𝑃 𝑉 -диаграмму цикла Карно (рис. 13.3). На изотерме 1 −2
идеальный газ совершает работу, а изменение его внутренней энергии, зависящей
только от температуры, равно нулю. Тогда, согласно первому началу термодинамики, тепло в этом процессе есть работа, совершаемая газом при изотермическом
процессе:
𝑉
𝑄12= 𝜈𝑅𝑇12ln
Так как 𝑉2> 𝑉1, величина 𝑄12больше нуля. Следовательно, на этом участке
рабочее тело получает тепло от нагревателя, температура которого есть 𝑇Н= 𝑇12.
На изотерме 3−4 ситуация обратная, рабочее тело отдает тепло холодильнику.
Величина
𝑄34= 𝜈𝑅𝑇34ln
2
.
𝑉
1
𝑉
4
< 0
𝑉
3
169
P
V
1
2
3
4
Рис. 13.3. Цикл Карно
является отрицательной, что и означает отвод тепла от рабочего тела к
холодильнику, имеющему температуру 𝑇Х= 𝑇34.
На адиабатах 2 − 3 и 4 −1 теплового контакта рабочего тела с нагревателем
или холодильником нет.
Соответственно,
𝑄Н= 𝑄12, 𝑄Х= −𝑄34.
Коэффициент полезного действия отсюда
𝑉
3
𝑉
4
,
𝑉
2
𝑉
1
𝜂 = 1 −
𝑄
𝑄
Х
Н
𝑇Хln
= 1 −
𝑇Нln
где знак минус при 𝑄34внесен под логарифм.
Состояния 2, 3 и 4, 1 лежат на соответствующих адиабатах, а потому связаны
уравнением адиабатического процесса, которое запишем в виде 𝑇𝑉
и получим
𝑇Н𝑉
𝛾−1
2
= 𝑇Х𝑉
𝛾−1
3
и 𝑇Х𝑉
𝛾−1
4
= 𝑇Н𝑉
𝛾−1
1
.
𝛾−1
Поделив первое уравнение на второе крест-накрест, придем к уравнению
𝑉
𝑉
2
3
=
𝑉
1
,
𝑉
4
а тогда итоговое выражение для коэффициента полезного действия тепловой
машины, работающей по циклу Карно,
= const
𝑇
𝜂 = 1 −
Х
. (13.2)
𝑇
Н
Таким образом, коэффициент полезного действия тепловой машины Карно
зависит только лишь от температур нагревателя и холодильника. Заметим,
170
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]