Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Физика для студентов ГГФ. В 2 частях. Ч.1. Механика, термодинамика и молекулярная физика. Учебное пособие
.pdf
Поделив на 𝑑𝑡 уравнение связи дифференциалов трех радиус-векторов, получим
𝜐 =𝑉 + 𝜔 ×𝑟′,
где 𝜐 – скорость точки 𝐴 в системе отсчета 𝐾,𝑉 – скорость точки 𝑂′в системе
отсчета 𝐾, а 𝜔 – угловая скорость точки 𝐴 в системе отсчета 𝐾′. Отметим, что
в общем случае произвольного движения твердого тела вектор угловой скорости
будет непрерывно менять как направление, так и длину.
Покажем, что величина 𝜔 для твердого тела не будет зависеть от выбора
начала координат системы отсчета 𝐾′, то есть точки 𝑂′. Пусть 𝑟′= 𝑟
′
+𝑎, где 𝑎 –
1
некоторый произвольный вектор, обуславливающий сдвиг точки 𝑂′в другое
место. Тогда для скорости точки 𝐴 имеем следующее уравнение связи:
𝜐 =𝑉 + 𝜔 × (𝑟
′
+ 𝑎) =𝑉 + 𝜔 ×𝑎 + 𝜔 ×𝑟
1
′
.
1
Вектор 𝜔 × 𝑎 одинаков для любой точки твердого тела и в этом смысле
эквивалентен вектору скорости точки 𝑂′в лабораторной системе отсчета 𝐾.
Объединим эти векторы, обозначив их сумму𝑉1,
𝜐 =𝑉1+ 𝜔 × 𝑟
′
. (8.1)
1
Соответственно, угловая скорость действительно не зависит от выбора начала
координат системы 𝐾′, то есть точки 𝑂′. Иначе говоря, угловая компонента
скорости твердого тела будет одинаковой относительно любой точки отсчета.
Далее мы будем рассматривать только частный случай плоского движения
твердых тел. При таком движении траектории любых точек тела лежат в параллельных друг другу плоскостях. Такое движение будет реализовано, например,
при суперпозиции вращения относительно некоторой оси и поступательного
движения этой оси, то есть не меняющего ее наклона, в лабораторной системе
отсчета 𝐾. Примером такого движения является качение колеса вдоль прямой
линии. В таком случае и векторы𝑉 и𝑉1произвольной точки тела можно
расположить в одной плоскости, в отличие от общего случая произвольного
движения твердого тела. Уравнение связи между ними:
𝑉1=𝑉 + 𝜔 ×𝑎 ,
где последнее слагаемое есть вектор, также лежащий в одной плоскости
с векторами𝑉 и𝑉1в силу этого равенства. Поскольку мы свободны в выборе
направления и длины вектора 𝑎, то мы всегда можем выбрать его таким, что
в некоторый момент времени𝑉1= 0. То есть скорость движения выбранной
точки 𝑂′в лабораторной системе отсчета 𝐾 в этот момент времени равна нулю,
а движение тела можно представить в виде только лишь вращения вокруг этой
точки.
Ось вращения, проходящая через эту точку, называется мгновенной осью
вращения. Для поиска положения этой оси необходимо найти такой вектор 𝑎,
чтобы
𝑉 = −𝜔 × 𝑎 .
Исходя из правил векторного произведения имеем, что𝑉 перпендикулярен
и 𝜔, и 𝑎. Поскольку вектор 𝜔 перпендикулярен плоскости движения, то
101
вектор 𝑎 лежит в плоскости движения. Его модуль |𝑎| есть длина отрезка от
мгновенной оси вращения до точки тела, имеющей скорость𝑉 , а сам этот отрезок
перпендикулярен вектору𝑉 . В случае неизвестной 𝜔 достаточно выбрать две
точки тела с известными направлениями скоростей, тогда точка пересечения
перпендикуляров к векторам скоростей, проведенных через эти точки, будет
лежать на мгновенной оси вращения. Заметим, что в другой момент движения
тела мгновенная ось вращения может оказаться уже в другом положении.
Отметим также, что мгновенная ось вращения не привязана к какой-либо точке
тела, то есть она не является материальным объектом.
8.2. Момент импульса вращающегося тела.
Момент инерции тела
Пусть твердое тело вращается вокруг неподвижной в лабораторной системе
отсчета оси, то есть все его точки двигаются по круговым траекториям. Тогда для
каждой из точек тела справедливо 𝜐 = 𝜔×𝑟, где расстояние |𝑟| от расположенного
на оси вращения начала координат до любой из точек тела остается постоянным.
Рассмотрим сначала тело, состоящее только из одной материальной точки
массой 𝑚. Центральный момент импульса такой материальной точки есть
𝐿 = 𝑚𝑟 × [𝜔 × 𝑟] = 𝑚𝜔𝑟2− 𝑚𝑟(𝑟 · 𝜔) , (8.2)
где использовано 𝑎 ×
Заметим, что вектор 𝑟 в общем случае не лежит в одной плоскости
с траекторией материальной точки, как и направление вектора центрального
момента импульса𝐿 в каждый момент времени не совпадает с направлением
вектора угловой скорости, то есть𝐿 не коллинеарен 𝜔.
Найдем проекцию вектора𝐿 на ось, совпадающую с вектором угловой
скорости. В выражении для центрального момента (8.2) первое слагаемое уже
направлено вдоль оси вращения 𝜔, поэтому осталось только взять проекцию
вектора 𝑟 на ось вращения. Обозначим через 𝑟⊥= 𝑟 sin 𝛼 расстояние от оси
вращения до рассматриваемой материальной точки (рис. 8.2). Имеем
𝑏 × 𝑐=𝑏(𝑎 · 𝑐) −𝑐(𝑎 ·𝑏).
𝑟2=
2
𝑟
⊥
, 𝑟·𝜔 = 𝑟𝜔 cos 𝛼 , 𝑚𝑟𝑟𝜔 cos 𝛼|𝜔= 𝑚𝑟2𝜔 cos2𝛼 = 𝑚
sin2𝛼
2
𝑟
⊥
sin2𝛼
𝜔 cos2𝛼 .
Тогда выражение для проекции𝐿 на ось 𝜔 принимает вид
𝐿
= 𝑚𝜔
𝜔
2
𝑟
⊥
sin2𝛼
− 𝑚𝜔
2
𝑟
⊥
sin2𝛼
cos2𝛼 = 𝑚𝜔
2
𝑟
⊥
(1 −cos2𝛼) = 𝑚𝜔𝑟
sin2𝛼
2
.
⊥
Компоненты вектора𝐿, направленные вдоль каких-либо осей, называют осевыми
моментами импульса. Соответственно, мы получили величину осевого момента
импульса для рассмотренной материальной точки.
Далее мы будем иметь дело только с осевыми моментами, поэтому индекс «⊥»
будем опускать и под 𝑟 иметь в виду расстояние от оси вращения до материальной
102
O
~r
~r
⊥
b
A
~ω
α
b
Рис. 8.2. Проекция радиус-вектора на ось вращения
точки. То есть осевой момент импульса материальной точки будем записывать
как
𝐿 = 𝑚𝑟2𝜔 .
Для системы, состоящей из 𝑁 материальных точек, вращающихся относительно
общей оси, но с различными в общем случае угловыми скоростями, суммарный
осевой момент импульса
𝐿 =
𝑖
𝑚𝑖𝑟
2
𝑖
𝜔𝑖.
Разобьем твердое тело на бесконечно малые объемы. Движение каждого
из них по отдельности мы можем рассматривать как движение материальной
точки. В рамках модели твердого тела 𝜔𝑖должны быть одинаковы для всех
бесконечно малых объемов тела. Поскольку этих объемов бесконечно много, мы
должны перейти от суммирования к интегрированию. Выберем произвольный
малый объем 𝑑𝑉 , находящийся на некотором расстоянии 𝑟 от оси вращения.
Масса этого объема будет определяться плотностью тела на этом участке, то
есть 𝑑𝑚 = 𝜌(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑑𝑉 . Тогда осевой момент импульса этого бесконечно малого
объема тела
𝑑𝐿 = 𝜌𝑟2𝜔𝑑𝑉 .
Поскольку нам известен осевой момент импульса для произвольного объема 𝑑𝑉 , то, проинтегрировав это выражение по всему объему тела, получим осевой
момент импульса для тела целиком:
ˆ
𝐿 = 𝜔
𝜌𝑟2𝑑𝑉 ,
𝑉
где 𝑟 – это все так же расстояние от оси вращения до соответствующего
объема 𝑑𝑉 . Установив функциональную зависимость между 𝜌, 𝑟, 𝑉 в выбранной
системе координат и задав пределы интегрирования, соответствующие размерам
тела, этот интеграл можно будет взять аналитически или численно. Величину
ˆ
𝐼 =
𝜌𝑟2𝑑𝑉
𝑉
103
называют осевым моментом инерции твердого тела.
~a
~r ~r
′
O A
dV
Производная по времени осевого момента импульса есть осевой момент
силы, а соответствующее уравнение, аналогично уравнению (7.2), называется
уравнением осевых моментов
𝐼
𝑑𝜔
𝑑𝑡
=𝑀 =
𝑟𝑖×𝐹𝑖, (8.3)
𝑖
где 𝑟𝑖×𝐹𝑖– осевая компонента момента силы, а 𝑟𝑖– вектор от выбранной оси
вращения до точки приложения силы.
Получим теперь выражение для кинетической энергии вращающегося вокруг
неподвижной оси твердого тела. Для бесконечно малого объема тела
2
𝑑𝑇 = 𝜌
𝜐
𝑑𝑉 ,
2
где модуль скорости можно выразить как
|𝜐| = |𝜔 ×𝑟| = 𝜔𝑟 ,
так как вектор 𝜔 и вектор расстояния 𝑟 от оси вращения до объема 𝑑𝑉
перпендикулярны друг другу. Интегрирование по всему объему тела даст полную
кинетическую энергию:
𝑇 =
ˆ
𝑉
𝜌
𝜔2𝑟
2
2
𝑑𝑉 =
2
𝜔
2
ˆ
𝜌𝑟2𝑑𝑉 =
𝑉
𝐼𝜔
2
2
𝐿
=
2𝐼
.
2
8.3. Теорема Гюйгенса – Штейнера
Найдем связь между осевыми моментами инерции твердого тела, определенными
относительно двух различных параллельных друг другу осей. Пусть одна из них
проходит через точку 𝑂, а параллельная ей ось – через точку 𝐴, причем обе они
перпендикулярны плоскости рисунка, как указано на рис. 8.3.
Моменты инерции тела относительно выбранных осей
Рис. 8.3. К теореме Гюйгенса – Штейнера
ˆ
𝐼𝑂=
𝜌𝑟2𝑑𝑉 ,
𝑉
104
ˆ
𝐼𝐴=
𝜌𝑟′2𝑑𝑉 ,
𝑉
где 𝑟′= 𝑟 −𝑎, a 𝑟′2= 𝑟2+ 𝑎2− 2𝑎 · 𝑟. Тогда
𝐼𝐴=
ˆ
𝜌𝑟2𝑑𝑉 + 𝑎
𝑉
ˆ
2
𝑉
𝜌 𝑑𝑉 − 2
ˆ
𝜌𝑎 · 𝑟 𝑑𝑉 = 𝐼𝑂+ 𝑚𝑎2− 2𝑎 ·
𝑉
ˆ
𝜌𝑟 𝑑𝑉 .
𝑉
Вычислим, чему равно третье слагаемое. Вспомним выражение (3.1) для центра
масс системы материальных точек:
𝑚𝑖𝑟
𝑅
=
ц.м.
𝑚
𝑖
.
𝑖
В случае непрерывного распределения массы переходим от суммирования
к интегрированию, заменяя 𝑚𝑖на 𝜌𝑑𝑉 :
ˆ
𝜌𝑟 𝑑𝑉 = 𝑚𝑅
𝑉
ц.м.
,
где 𝑚 – полная масса тела. Здесь за вектор 𝑟 принято расстояние от оси 𝑂
до элемента 𝑑𝑉 , а𝑅
указывает расстояние от оси 𝑂 до центра масс тела.
ц.м.
Положим теперь, что ось 𝑂 проходит через центр масс тела. Тогда искомое третье
слагаемое будет равно нулю. В итоге получим связь осевых моментов инерции
тела относительно параллельных осей, одна из которых проходит через центр
масс тела, в виде
𝐼𝐴= 𝐼𝑂+ 𝑚𝑎2. (8.4)
Это уравнение является математической формой теоремы Гюйгенса – Штейнера,
которую мы только что доказали. Обычно осевой момент инерции относительно
проходящей через центр масс тела оси обозначают 𝐼0.
8.4. Вычисление моментов инерции
До вычисления моментов инерции конкретных тел приведем предварительные
рассуждения. Пусть точка 𝑂 системы с твердым телом является началом системы
отсчета декартовых координат с осями 𝑋, 𝑌, 𝑍. Относительно каждой из этих
осей мы можем рассчитать соответствующие осевые моменты инерции твердого
тела:
𝐼𝑥=ˆ𝜌(𝑦2+ 𝑧2) 𝑑𝑉 ,
𝐼𝑦=ˆ𝜌(𝑥2+ 𝑧2) 𝑑𝑉 ,
𝐼𝑧=ˆ𝜌(𝑥2+ 𝑦2) 𝑑𝑉 .
А теперь сложим все эти выражения и получим
𝐼𝑥+ 𝐼𝑦+ 𝐼𝑧=ˆ𝜌(2𝑥2+ 2𝑦2+ 2𝑧2) 𝑑𝑉 = 2Θ , (8.5)
105
где Θ – центральный момент инерции твердого тела относительно точки 𝑂.
dxO x
L
2
L
2
y
Повернем нашу систему координат на некоторый угол относительно произвольной оси, проходящей через точку 𝑂. Расстояния от точки 𝑂 до элементов
тела 𝑑𝑉 при преобразовании координат не изменятся, а значит, не изменится и величина центрального момента инерции. Соответственно, сумма осевых моментов
инерции, вычисленных относительно любых трех взаимно перпендикулярных
осей, пересекающихся в одной точке, будет постоянной величиной.
Рассмотрим частный случай плоского тела, лежащего в плоскости 𝑧 = 0
декартовой системы координат. Тогда
𝐼𝑥+ 𝐼𝑦+ 𝐼𝑧=ˆ𝜌(2𝑥2+ 2𝑦2) 𝑑𝑉 = 2𝐼𝑧,
или
𝐼𝑥+ 𝐼𝑦= 𝐼𝑧. (8.6)
Заметим, что конкретные направления осей 𝑋 и 𝑌 здесь не важны, достаточно лишь, чтобы они были перпендикулярны оси 𝑍, а также взаимно
перпендикулярны.
8.4.1. Момент инерции тонкого стержня относительно
перпендикулярной оси
Найдем момент инерции тонкого однородного стержня длиной 𝐿 и массой 𝑚
относительно оси вращения 𝑌 , проходящей перпендикулярно стержню через его
центр масс (рис. 8.4).
Рис. 8.4. К нахождению момента инерции стержня
Момент инерции относительно оси 𝑌
ˆ
𝐼0𝑦=
𝜌(𝑥2+ 𝑧2) 𝑑𝑉 ,
𝑉
где, не нарушая общности рассмотрения, можно положить 𝑧2= 0 соответствующим выбором начала отсчета и осей системы координат. Выберем произвольный
участок стержня длиной 𝑑𝑥, координаты краев которого есть 𝑥 и 𝑥 + 𝑑𝑥. Масса
этого участка 𝜌𝑑𝑉 = κ𝑑𝑥, где κ = 𝑚/𝐿 – масса стержня на единицу длины, или
его линейная плотность. Чтобы учесть все участки стержня при вычислении его
момента инерции, необходимо выбрать пределы интегрирования от −𝐿/2 до 𝐿/2.
106
В результате получим
b
y
a
z
x
𝐼0𝑦=
𝐿
2
ˆ
𝐿
−
2
κ𝑥2𝑑𝑥 =
𝑚𝐿𝑥
𝐿
2
3
3
𝐿
−
2
2
𝑚𝐿
=
12
.
Момент инерции относительно оси, проходящей через торец стержня и параллельной оси координат 𝑌 , найдем с использованием теоремы Гюйгенса –
Штейнера (8.3):
𝐼𝑦=
𝑚𝐿
12
2
+ 𝑚
2
𝐿
2
2
𝑚𝐿
=
.
3
8.4.2. Момент инерции однородной прямоугольной
пластины
Пусть прямоугольная однородная пластина размером 𝑎 × 𝑏 лежит в плоскости 𝑋𝑌 , а ось 𝑍 проходит через ее центр масс (рис. 8.5).
Рис. 8.5. К вычислению момента инерции прямоугольной пластины
Вычисление моментов инерции относительно осей 𝑋, 𝑌 проводится так же,
как для тонкого стержня
𝐼0𝑥=
2
𝑚𝑏
, 𝐼0𝑦=
12
𝑚𝑎
12
2
.
Поскольку рассматриваемое тело плоское, то, согласно (8.6),
𝐼0𝑧= 𝐼0𝑥+ 𝐼0𝑦=
𝑚(𝑎2+ 𝑏2)
12
.
Для оси, проходящей через угол пластины и параллельной оси координат 𝑍,
согласно теореме Гюйгенса – Штейнера (8.3), имеем
𝐼𝑧=
𝑚(𝑎2+ 𝑏2)
12
𝑚(𝑎2+ 𝑏2)
+
𝑚(𝑎2+ 𝑏2)
=
4
.
3
8.4.3. Момент инерции бесконечно тонкого кольца
Пусть бесконечно тонкое однородное кольцо, имеющее радиус 𝑅 и массу 𝑚, лежит
в плоскости 𝑋𝑌 (рис. 8.6).
107
x
z
y
R
Рис. 8.6. К вычислению момента инерции бесконечно тонкого кольца
x
z
y
r
Момент инерции относительно оси 𝑍
𝐼0𝑧=
ˆ
𝜌(𝑥2+ 𝑦2) 𝑑𝑉 = 𝑅
𝑉
ˆ
2
𝜌 𝑑𝑉 = 𝑚𝑅2.
𝑉
Ввиду симметрии 𝐼0𝑥= 𝐼0𝑦. Тогда, учитывая, что кольцо является плоским
телом, воспользовавшись (8.6), имеем
𝐼0𝑥= 𝐼0𝑦=
1
𝐼0𝑧=
2
𝑚𝑅
2
2
.
8.4.4. Момент инерции диска
Пусть ось 𝑍 проходит перпендикулярно плоскости однородного диска с радиусом 𝑅 и массой 𝑚 (рис. 8.7). Вычислим момент инерции диска относительно этой
оси:
𝐼0𝑧=ˆ𝜌(𝑥2+ 𝑦2) 𝑑𝑉 .
Рис. 8.7. К моменту инерции диска
Выделим из диска бесконечно тонкое кольцо радиусом 𝑟 шириной 𝑑𝑟. Масса
этого участка диска 𝜎𝑑𝑆, где
𝑚
𝜎 =
поверхностная плотность диска, то есть масса на единицу площади поверхности,
а 𝑑𝑆 – его площадь. Тогда 𝜌𝑑𝑉 = 𝜎𝑑𝑆. Так как площадь круга радиусом 𝑟 есть
𝜋𝑅
2
108
𝑆 = 𝜋𝑟2, то 𝑑𝑆 = 2𝜋𝑟𝑑𝑟. Отсюда имеем
~ω
zz
x
b
𝑅
𝐼0𝑧=
ˆ
𝑚
𝑟22𝜋𝑟 𝑑𝑟 =
2
𝜋𝑅
0
2
𝑚𝑅
. (8.7)
2
Момент инерции относительно проходящей через диаметр диска оси вычисляется так же, как для тонкого кольца по формуле (8.6),
2
𝑚𝑅
. (8.8)
4
𝐼0𝑥= 𝐼0𝑦=
1
𝐼0𝑧=
2
Теперь положим, что вместо тонкого диска имеем цилиндр некоторой высоты.
Если цилиндр однородный, его размеры по оси 𝑍 войдут в итоговое значение
момента инерции относительно оси 𝑍 только в виде его массы, так как расстояния
до оси 𝑍 не зависят от координаты 𝑧. А потому момент инерции цилиндра
относительно его продольной оси 𝑍 будет также даваться выражением (8.7).
8.4.5. Момент инерции однородного сплошного цилиндра
относительно поперечной оси
Протяженный цилиндр не является плоским телом, поэтому для нахождения его
момента инерции относительно оси, проходящей через диаметр его основания,
разобьем его на бесконечно тонкие диски толщиной 𝑑𝑧, каждый из которых
можно считать плоским телом. Рассмотрим произвольный из них, находящийся
на расстоянии 𝑧 от основания цилиндра (рис. 8.8).
Рис. 8.8. К моменту инерции сплошного цилиндра
Пусть радиус цилиндра 𝑅, масса 𝑚, а длина 𝐿. Плотность на единицу длины
цилиндра κ = 𝑚/𝐿. Тогда масса выбранного диска составит величину 𝑑𝑚 = κ 𝑑𝑧.
Момент инерции этого бесконечно тонкого диска относительно оси 𝑋 (или 𝑌 ),
с учетом теоремы Гюйгенса – Штейнера и выражения (8.8),
𝑑𝐼𝑥=
𝑑𝑚𝑅
4
2
+ 𝑑𝑚𝑧2=
2
κ𝑅
𝑑𝑧 + κ𝑧2𝑑𝑧 .
4
Поскольку мы знаем момент инерции каждого диска, то для нахождения момента
инерции цилиндра мы должны просто сложить их все, то есть проинтегрировать
109
полученное выражение по длине цилиндра:
𝐼𝑥=
𝐿
ˆ
2
κ𝑅
4
0
𝑑𝑧 +
𝐿
ˆ
κ𝑧2𝑑𝑧 =
0
𝑚𝑅
4
2
2
𝑚𝐿
+
.
3
Момент инерции относительно оси, проходящей через центр масс вдоль диаметра
нормального сечения цилиндра, можно получить, например, удвоением торцевого момента инерции цилиндра половинной длины и, соответственно, половинной
массы.
𝐼0𝑥(𝐿) = 2𝐼0𝑥(𝐿/2) =
𝑚𝑅
4
2
2
𝑚𝐿
+
12
.
Заметим, что 𝐼𝑥и 𝐼0𝑥при 𝑅 → 0 стремятся к соответствующим моментам
инерции тонкого стержня, как и должно быть.
8.4.6. Момент инерции сферы
Пусть однородная сфера имеет радиус 𝑅 и массу 𝑚. Очевидно, что ее
центральный момент инерции относительно центра сферы Θ0= 𝑚𝑅2, так
как любой участок сферы равноудален от ее центра на расстояние 𝑅. Связь
центрального момента с осевыми дается выражением (8.5)
𝐼0𝑥+ 𝐼0𝑦+ 𝐼0𝑧= 2Θ0,
где, в силу симметрии сферы, все осевые моменты равны друг другу. Тогда
2
𝐼0𝑥= 𝐼0𝑦= 𝐼0𝑧=
2𝑚𝑅
3
.
8.4.7. Момент инерции однородного шара
Разобьем однородный шар массой 𝑚 и радиусом 𝑅 на бесконечно тонкие
сферические слои толщиной 𝑑𝑟 и выберем произвольный из них радиусом 𝑟.
Объем сферы радиусом 𝑟 равен
4
𝑉 =
𝜋𝑟3,
3
а изменение ее объема при увеличении 𝑟 на величину 𝑑𝑟, или объем нашего
сферического слоя, есть
𝑑𝑉 = 4𝜋𝑟2𝑑𝑟 .
Тогда масса сферического слоя есть
4
3𝑚𝑟
𝑑𝑟 .
2
𝑑𝑟 ,
3
𝑅
𝑑𝑚 = 𝜌𝑑𝑉 =
4
3
𝑚
𝜋𝑅
4𝜋𝑟2𝑑𝑟 =
3
где 𝜌 – плотность шара. Момент инерции одного бесконечно тонкого сферического слоя
𝑑𝐼0=
2𝑟2𝑑𝑚
3
2𝑚𝑟
=
3
𝑅
110
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]