Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Физика для студентов ГГФ. В 2 частях. Ч.1. Механика, термодинамика и молекулярная физика. Учебное пособие
.pdf
Таким образом, мы можем записать уравнения кинематики в общем виде
𝜐 =
𝑑𝑟
, 𝑎 =
𝑑𝑡
𝑑𝜐
𝑑𝑡
𝑑2𝑟
=
. (1.3)
2
𝑑𝑡
При этом производные берутся отдельно от каждой компоненты векторов.
Функция 𝑟 (𝑡) определяет положение тела в пространстве в любой момент
времени, иначе говоря, она же является и траекторией движения тела. Если
движение тела возможно вдоль всех трех осей координат, то оно имеет три
степени свободы.
1.3.3. Прямая и обратная задачи кинематики
В практических задачах кинематики приходится, как правило, решать одно из
уравнений (1.3) или же сразу оба. Если нам известна функция 𝑟 (𝑡) (или 𝜐 (𝑡)),
а необходимо найти 𝜐 (𝑡) (𝑎 (𝑡)), то эта задача решается дифференцированием.
Такая задача называется прямой задачей кинематики. Она имеет однозначное
решение.
Обратная задача кинематики заключается в нахождении функции 𝑟 (𝑡) (𝜐 (𝑡))
по известной 𝜐 (𝑡) (𝑎 (𝑡)). В этом случае придется решать дифференциальное
уравнение. Решение будет содержать одну или две произвольные константы, то
есть не будет являться однозначным. Для того чтобы получить точное решение,
необходимо будет использовать начальные данные или другую априорную
информацию.
Для примера рассчитаем траекторию движения тела, брошенного под углом 𝛼
к горизонту, с небольшой начальной скоростью 𝜐0. Ускорение свободного падения
в этом случае можно считать постоянным. Нам необходимо по известному
ускорению тела рассчитать сначала зависимость скорости тела от времени,
а затем и его координат. То есть мы имеем дело с обратной задачей кинематики,
для решения которой нам потребуются начальные данные.
Введем систему отсчета, начало координат которой связано с исходным
положением тела, оно считается неподвижным. По горизонтали направим ось 𝑋,
а ось 𝑌 – вертикально вверх (рис. 1.6). Проекции начальной скорости на
оси 𝑋 и 𝑌 равны 𝜐0cos 𝛼 и 𝜐0sin 𝛼 соответственно. Значения проекций скорости
и положение тела в момент времени 𝑡 = 0 и будут являться начальными данными.
В силу однородности пространства мы можем определять движение тела
по каждой из осей независимо. Кинематическое уравнение движения по оси 𝑋
можно записать в виде ¨𝑥 = 0, так как проекция ускорения свободного падения на
горизонтальную ось равна нулю. Сначала мы найдем выражение для скорости.
Исходя из (1.3), запишем уравнение ˙𝜐𝑥= 0, откуда очевидным образом
имеем общее решение для скорости в виде 𝜐𝑥= 𝐶1, где 𝐶1– произвольная
константа. Далее запишем уравнение ˙𝑥 = 𝜐𝑥= 𝐶1, которое решим, используя
метод разделения переменных, для чего перепишем его в виде 𝑑𝑥 = 𝐶1𝑑𝑡.
Интегрирование этого уравнения даст выражение 𝑥 = 𝐶1𝑡 + 𝐶2, содержащее
еще одну произвольную константу 𝐶2. Для нахождения этих констант нам
необходимо воспользоваться начальными данными. В исходный момент времени
тело находилось в начале координат, то есть 𝑥(𝑡 = 0) = 0, а проекция скорости
на ось 𝑋 составляла 𝜐𝑥(𝑡 = 0) = 𝜐0cos 𝛼. Подставляя значения констант в общее
11
y
x
~υ
0
α
~g
Рис. 1.6. Движение тела, брошенного под углом к горизонту
решение кинематического уравнения движения по оси 𝑋, получим
𝑥 = 𝜐0𝑡 cos 𝛼 .
При вычислении движения вдоль оси 𝑌 нам необходимо учесть ускорение
свободного падения 𝑔. Уравнение для проекции скорости, согласно (1.3), ˙𝜐𝑦= −𝑔.
Минус перед значением ускорения свободного падения обусловлен нашим
выбором направления оси 𝑌 вверх. Воспользовавшись методом разделения
переменных (𝑑𝑡 переносим вправо, а 𝑑𝜐𝑦оставляем слева), получим теперь общее
решение для компоненты скорости по вертикальной оси в виде 𝜐𝑦= −𝑔𝑡 + 𝐶3= ˙𝑦,
откуда 𝑦 = −
После подстановки начальных данных получим
Полученные параметрические выражения для положения тела по координатам 𝑥, 𝑦 задают параболическую траекторию движения тела, приведенную
на рис. 1.6.
2
𝑔𝑡
+ 𝐶3𝑡 + 𝐶4, где 𝐶3, 𝐶4– пока еще произвольные константы.
2
2
𝑔𝑡
𝑦 = −
+ 𝜐0𝑡 sin 𝛼 .
2
1.3.4. Тангенциальное и нормальное ускорение. Движение
по окружности. Радиус кривизны траектории
Тангенциальное и нормальное ускорение
Рассмотрим общий случай криволинейного движения тела. Пусть в каждый
момент движения тела задан вектор его скорости 𝜐(𝑡). Ускорение тела, соот-
ветственно, дается уравнением
Введем вектор 𝜏 (𝑡), направленный в ту же сторону, что и вектор скорости, но
имеющий единичную длину |𝜏| = 1. При движении тела направление вектора 𝜏
𝑎 =
12
𝑑𝜐
𝑑𝑡
.
будет изменяться, а длина будет оставаться единичной. Тогда можем записать,
dϕ
~τ
~τ
~τ + d~τ
d~τ
dϕ
ds
~
R
~
R + d
~
R
dϕ
d~τ
~τ + d~τ
~τ
что 𝜐 = 𝜏 |𝜐| = 𝜏 𝜐, и подставить это выражение в уравнение для ускорения
𝑑 (𝜏𝜐)
𝑎 =
𝑑𝑡
Направление вектора, соответствующего первому слагаемому, нам понятно. Он
сонаправлен с вектором скорости тела в каждой точке его траектории, то есть
является касательным вектором. Определим, куда же направлен вектор 𝑑𝜏 .
Так как введенный нами вектор имеет единичную длину, то для любой точки
траектории мы имеем право записать
𝜏 · 𝜏 = 𝜏2= 1 .
Возьмем дифференциал:
𝑑 (𝜏 · 𝜏 ) = 𝑑𝜏
Отсюда следует, что скалярное произведение векторов 𝜏 и 𝑑𝜏 равно нулю, иначе
говоря, они перпендикулярны.
Касательная к траектории компонента вектора ускорения
𝑎𝜏= 𝜏
называется тангенциальным ускорением. Ненулевое значение тангенциального
ускорения приводит к изменению модуля вектора скорости. Нормальная к траектории компонента вектора ускорения
𝑎𝑛= 𝜐
называется, соответственно, нормальным ускорением и отвечает только за
изменение направления движения тела.
𝑑𝜐
𝑑𝑡
𝑑𝜐
𝑑𝑡
𝑑𝜏
𝑑𝑡
+ 𝜐
𝑑𝜏
𝑑𝑡
= 𝜏
2
= 2𝜏𝑑𝜏 = 𝑑1 = 0 .
.
(1.4)
Движение по окружности
Рис. 1.7. Движение тела по окружности
13
Частный случай криволинейного движения – движение по окружности. Пусть
за бесконечно малое время 𝑑𝑡 тело проходит бесконечно малый участок дуги
окружности 𝑑𝑠, как показано на рис. 1.7, то есть имеем 𝜐 =
𝑑𝑠
. При смещении
𝑑𝑡
тела на 𝑑𝑠 вектор 𝜏 изменится на малую величину 𝑑𝜏. Длина дуги связана
с угловым перемещением равенством 𝑑𝑠 = 𝑅𝑑𝜙, где 𝑅 – радиус окружности.
Тогда нормальную компоненту ускорения можно переписать в следующем виде:
2
𝜐
𝑑𝜏
=
.
𝑅
𝑑𝜙
𝑎𝑛= 𝜐
𝑑𝜏
𝑑𝑡
= 𝜐
𝑑𝜏𝑑𝑡𝑑𝑠
𝑑𝑠
= 𝜐
𝑑𝜏
2
𝑑𝑠
Нормальная компонента ускорения (или вектор 𝑑𝜏) перпендикулярна траектории
движения и, соответственно, направлена к центру окружности. Несоответствие
этому на рис. 1.7 кроется в схематичном изображении малых смещений.
Найдем модуль нормального ускорения. Поскольку угол 𝑑𝜙 мал,
а |𝜏 | = |𝜏 + 𝑑𝜏| = 1, то длина вектора 𝑑𝜏 близка к длине дуги единичной
окружности с углом 𝑑𝜙, как показано на рис. 1.7 справа, с любой наперед
заданной точностью, то есть можем записать
|𝑑𝜏| = |𝜏|𝑑𝜙 = 𝑑𝜙 . (1.5)
Отсюда выражение для модуля нормального ускорения при движении по
окружности:
|𝑎𝑛| =
2
𝜐
. (1.6)
𝑅
Движение по окружности происходит в одной плоскости, однако сама эта
плоскость может быть произвольным образом ориентирована в трехмерном
пространстве. Кроме этого, нам необходимо задать положительное или отрицательное направление движения по окружности.
Ориентацию плоскости в пространстве задают направлением вектора нормали к этой плоскости следующим образом. Пусть радиус-вектор𝑅 указывает
положение тела в начальный момент времени. Через время 𝑑𝑡 тело сместится
в положение с радиус-вектором𝑅 + 𝑑𝑅. Поскольку движение происходит по
окружности, длина радиус-вектора останется равной радиусу окружности 𝑅,
а сам радиус-вектор повернется на угол 𝑑𝜙. Введем вектор𝑑𝜙, нормальный к
плоскости окружности (рис. 1.8). Его направление выберем таким образом, чтобы
движение тела по окружности, при наблюдении со стороны положительного
направления вектора𝑑𝜙, происходило против часовой стрелки. Отметим, что
аналогичным образом выбираются направления орт правой декартовой системы
координат. Это направление движения и будет считаться положительным при соответствующем выборе направления вектора нормали к плоскости окружности.
При обратном выборе направления вектора нормали𝑑𝜙 направление движения
того же тела станет отрицательным. Длина вектора𝑑𝜙 такова, что справедливо
равенство
𝑑𝑅 =𝑑𝜙 ×𝑅 . (1.7)
Введенный таким способом вектор𝑑𝜙 называется вектором элементарного
углового перемещения. Отметим, что вектором является именно𝑑𝜙, а не сам
угол 𝜙. Заметим, что, с учетом введенного вектора элементарного углового
14
~
dϕ
~
R
~
R + d
~
R
d
~
R
Рис. 1.8. Вектор элементарного углового перемещения𝑑𝜙
перемещения, равенство (1.5) можно получить, взяв модуль от векторного
равенства
𝑑𝜏 =𝑑𝜙 × 𝜏 .
Пусть тело движется с постоянной по модулю скоростью 𝜐 по окружности
радиуса 𝑅, лежащей в некоторой плоскости. Центр этой окружности называется
центром вращения, проходящая через центр вращения и перпендикулярная
плоскости этой окружности прямая – осью вращения. Время полного оборота
2𝜋𝑅
𝑇 =
а количество полных оборотов в единицу времени
1
𝑓 =
𝑇
Величину 𝑓 называют частотой вращения и измеряют в герцах или обратных
секундах, 𝑇 – периодом. Вместо частоты вращения часто задают круговую
частоту
𝜔 = 2𝜋𝑓 =
имеющую размерность радиан в секунду и показывающую угол поворота
в единицу времени. При постоянной круговой частоте угол поворота линейно
растет со временем движения
𝜙 = 𝜔𝑡 .
,
𝜐
𝜐
=
2𝜋𝑅
𝜐
𝑅
.
,
Иначе говоря, при движении по окружности круговая частота есть угловая
скорость. Кинематическое уравнение движения в этом случае записывается
в виде
𝑑𝜙
≡ ˙𝜙 = 𝜔 ,
𝑑𝑡
или, в векторном виде,
𝑑𝜙
𝑑𝑡
= 𝜔 ,
15
где вектор угловой скорости 𝜔 сонаправлен с вектором𝑑𝜙, то есть нормален
y
x
~υ
ϕ
~r
υ
y
υ
x
к плоскости вращения.
В общем случае вращение материальной точки в пространстве можно
представить как суперпозицию вращений в трех плоскостях:
𝜔 =𝑖𝜔𝑥+𝑗𝜔𝑦+𝑘𝜔𝑧.
Для каждой из плоскостей вращения будет своя угловая скорость относительно
перпендикулярной этой плоскости оси.
Рассмотрим вращение вокруг оси 𝑍. Пусть вектор угловой скорости𝑘𝜔𝑧направлен по оси 𝑍 в положительном направлении, а вектор скорости в некоторый
момент времени принимает значение 𝜐 (рис. 1.9).
Рис. 1.9. Вращение в плоскости 𝑋 𝑌
Проекции скорости на оси 𝑋, 𝑌 соответственно
𝜐𝑥= −𝜐 sin 𝜙 = −𝜔𝑧𝑟 sin 𝜙 = −𝜔𝑧𝑦 ,
𝜐𝑦= 𝜐 cos 𝜙 = 𝜔𝑧𝑟 cos 𝜙 = 𝜔𝑧𝑥 .
Тогда вектор скорости можно записать в виде
𝜐𝑥𝑦= −𝑖𝜔𝑧𝑦 +𝑗𝜔𝑧𝑥 .
Аналогичные соотношения могут быть получены и при вращении вокруг осей 𝑋
и 𝑌 , а итоговое выражение для вектора скорости будет даваться векторным
произведением угловой скорости и радиус-вектора материальной точки:
𝑖
𝜐 =
𝜔𝑥𝜔𝑦𝜔
𝑥 𝑦 𝑧
𝑗𝑘
= 𝜔 ×𝑟 .
𝑧
Тот же результат может быть получен, если поделить левую и правую части
равенства (1.7) на 𝑑𝑡.
16
Если теперь продифференцировать полученное выражение по времени, то
R
1
R
2
получим
𝑎 =
𝑑𝜔
×𝑟 + 𝜔 ×
𝑑𝑡
𝑑𝑟
𝑑𝑡
𝑑𝜔
=
×𝑟 + 𝜔 × 𝜐 = 𝑎𝜏+ 𝑎𝑛,
𝑑𝑡
где производная вектора угловой скорости по времени есть вектор углового
ускорения 𝜀, также направленный вдоль оси вращения,
𝑑𝜔
𝜀 =
, а 𝑎𝜏= 𝜀 × 𝑟 .
𝑑𝑡
Для нормального ускорения имеем
2
𝑎𝑛= 𝜔 × 𝜐 или |𝑎𝑛| =
𝜐
.
𝑅
Радиус кривизны траектории
Движение по окружности, как частный случай произвольного криволинейного
движения, имеет важное значение, поскольку любую гладкую кривую в малой
окрестности произвольной точки можно представить в виде окружности. Пусть
в произвольный момент времени 𝑡 тело находится в некоторой точке своей траектории движения. Возьмем еще две точки траектории тела, соответствующие
моментам времени 𝑡 − ∆𝑡 и 𝑡 + ∆𝑡, и проведем окружность через эти три точки.
Заметим, что через любые три точки можно провести окружность, и только одну.
Выполняя предельный переход ∆𝑡 → 0, получим радиус кривизны траектории
движения тела в выбранной точке (рис. 1.10). В общем случае радиус кривизны
траектории может быть различен во всех точках траектории движения.
Рис. 1.10. Радиус кривизны произвольной траектории
Связь ускорения с радиусом кривизны можно получить разложением ускорения на тангенциальную и нормальную компоненты:
𝑎 = 𝑎𝜏+ 𝑎𝑛= 𝜏
𝑑𝜐
𝑑𝑡
+ 𝑛
2
𝜐
.
𝑅
Основные итоги
В общем виде связь между кинематическими параметрами движения дается
уравнениями
𝑎 =˙𝜐 =¨𝑟 .
17
Решение задач кинематики заключается в нахождении решений этих уравнений.
В силу однородности и изотропности пространства их можно записать в виде отдельных уравнений по каждой из координат. Во многих случаях они могут быть
решены независимо. При решении обратных задач потребуются дополнительные
априорные данные, обычно являющиеся начальными условиями движения.
Часто мы имеем дело не с произвольным движением тел, а с движением,
для которого имеется некоторая дополнительная информация. Например, нам
может быть известна траектория движения. Использование этой априорной
информации не только позволяет упростить вычисления необходимых величин,
но и во многих случаях делает возможным их нахождение в принципе.
В случае плоского кругового движения уравнения кинематики можно свести
к виду
𝜀 = ˙𝜔 = ¨𝜙 .
Связь векторов угловых скоростей и ускорений с поступательными дается
равенствами
𝜐 = 𝜔 × 𝑟 , 𝑎 = 𝜀 × 𝑟 + 𝜔 ×𝜐 . (1.8)
18
Лекция 2
Динамика. Законы движения
Ньютона
2.1. Первый закон Ньютона. Инерциальные
системы отсчета
Динамика изучает изменение движения тел под действием внешних факторов.
Наблюдение за природой позволило установить, что тела взаимодействуют друг
с другом и движение их вследствие этого взаимно изменяется. Замечено также,
что по мере удаления тел друг от друга их взаимодействие ослабевает. Исходя
из этих наблюдений было введено понятие свободного тела. Если тело находится
достаточно далеко от других тел, иначе говоря его взаимодействием с другими
телами, или взаимным влиянием на движение друг друга, можно пренебречь, то
такое тело и называют свободным.
Если мы свяжем систему отсчета с одним из свободных тел, то движение других свободных тел в этой системе отсчета не будет изменяться. Соответственно,
оно должно быть равномерным и прямолинейным. Связанные со свободными
телами системы отсчета называются инерциальными.
Взаимодействие двух тел мы воспринимаем через величину, называемую
силой. Понятие силы не может быть определено каким-либо иным способом,
и представление об этом понятии, как и о пространстве и времени, мы получаем
из нашего жизненного опыта.
На основе этих гипотез и был сформулирован первый закон Ньютона.
В исторической редакции Ньютона он был записан следующим образом: «Всякое
тело продолжает удерживаться в своем состоянии покоя или равномерного
прямолинейного движения, пока и поскольку оно не понуждается приложенными
силами изменить это состояние». С учетом введенного понятия инерциальной
системы отсчета, его можно сформулировать более кратко: «Инерциальные
системы отсчета существуют».
19
2.2. Принцип относительности Галилея
~r
K
K
′
~r
0
~r
′
A
b
Формулировка первого закона Ньютона не выделяет какой-либо одной особенной
инерциальной системы отсчета, а справедлива для каждой из них. Такой подход
был основан на принципе относительности Галилея. В соответствии с ним все
законы природы имеют одинаковый вид во всех инерциальных системах отсчета,
в этом смысле эквивалентных между собой.
Инерциальную систему отсчета, связанную с той точкой пространства,
где находится наблюдатель, или мы с вами, называют обычно лабораторной
и обозначают буквой 𝐾. Любая другая инерциальная система отсчета 𝐾
должна быть привязана к какому-либо свободному телу в системе 𝐾 и, в силу
первого закона Ньютона, может двигаться относительно лабораторной только
равномерно и прямолинейно с постоянной скоростью, например 𝑢.
′
Рис. 2.1. Принцип относительности Галилея
Пусть в лабораторной системе отсчета 𝐾 материальная точка 𝐴 движется
со скоростью 𝜐, а радиус-вектор, указывающий ее положение в пространстве,
обозначим 𝑟. В движущейся системе отсчета 𝐾′положение точки 𝐴 обозначим 𝑟′,
а положение начала координат системы отсчета 𝐾′в лабораторной системе
отсчета – 𝑟0(рис. 2.1).
С учетом введенных обозначений будет выполняться векторное равенство
𝑟′= 𝑟 −𝑟0.
Продифференцируем его по времени и получим связь скоростей точки 𝐴 в
лабораторной и движущейся системах отсчета
Эти два равенства называют преобразованиями Галилея для координат и скоростей при переходе между инерциальными системами отсчета.
Повторное дифференцирование по времени, с учетом равномерности и прямолинейности движения системы отсчета 𝐾′, даст равенство ускорений точки 𝐴
в этих системах отсчета
𝜐′= 𝜐 − 𝑢 . (2.1)
𝑎 = 𝑎′.
20
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]