Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Физика для студентов ГГФ. В 2 частях. Ч.1. Механика, термодинамика и молекулярная физика. Учебное пособие
.pdf
Лекция 4
Работа и энергия. Закон
сохранения энергии
Рассмотрим замкнутую систему взаимодействующих тел. При известных силах
взаимодействия между телами мы можем записать для каждого из тел свое
уравнение движения. В общем случае это будет система дифференциальных
уравнений второго порядка, которую можно разрешить аналитически или
численно. Однако конкретный вид сил взаимодействия между телами часто нам
неизвестен. Фундаментальный закон сохранения импульса открывает возможность определять состояние системы в последующие моменты времени и в этом
случае. Математически это выражается в возможности проинтегрировать уравнение движения центра масс замкнутой системы тел по времени, так как
неизвестные силы взаимодействия между телами не входят в это уравнение.
Если же система тел не замкнута, но внешние силы известны, то в уравнение
закона сохранения импульса войдет импульс внешних сил за рассматриваемый
промежуток времени.
В этой лекции мы рассмотрим интегрирование уравнения движения по
пространству. Возможность выполнения этой операции есть следствие другого
фундаментального закона – закона сохранения энергии.
4.1. Работа и кинетическая энергия
Пусть на материальную точку массой 𝑚 действует результирующая сила𝐹 .
Уравнение движения материальной точки:
𝑑𝜐
𝑚
=𝐹 .
𝑑𝑡
Решая это уравнение с учетом начальных условий, мы можем определить траекторию движения материальной точки. Предположим теперь, что траектория
движения материальной точки нам известна и без решения уравнения движения.
Под действием силы𝐹 за бесконечно малое время 𝑑𝑡 перемещение материальной точки вдоль траектории движения составит 𝑑𝑟. Домножим уравнение
41
движения материальной точки на это бесконечно малое ее перемещение:
𝑑𝜐
𝑚
𝑑𝑟 =𝐹 𝑑𝑟 .
𝑑𝑡
Заметим, что
𝑑𝑟
= 𝜐 ,
𝑑𝑡
а тогда полученное уравнение сводится к виду
𝑚𝜐𝑑𝜐 =
𝑚
𝑑𝜐2=𝐹 𝑑𝑟 .
2
Проинтегрируем его вдоль траектории движения от некоторого положения 𝑟1,
в котором материальная точка имела модуль скорости 𝜐1, до положения 𝑟2, где
ее скорость обозначим 𝜐2:
𝑚
𝜐
2
ˆ
𝑑𝜐2=
2
𝜐
1
𝑚𝜐
2
𝑚𝜐
2
−
2
𝑟
2
ˆ
2
1
2
=
𝐹 𝑑𝑟 . (4.1)
𝑟
1
Интеграл в правой части, взятый вдоль траектории движения, называется работой силы𝐹 , совершенной при перемещении материальной точки из положения 𝑟
в!положение 𝑟2:
𝑟
2
ˆ
𝐴12=
𝐹 𝑑𝑟 . (4.2)
𝑟
1
Функции, которые зависят не только от начального и конечного состояний
системы, но и от пути их соединяющего, называют функциями процесса.
Выражение для элементарной работы на бесконечно малом участке траектории
записывают как
𝛿𝐴 =𝐹 𝑑𝑟 , (4.3)
где символом 𝛿 вместо дифференциала подчеркивают, что интегрировать
придется с учетом конкретного пути между начальной и конечной точкой,
а функция 𝐴 является функцией процесса. От этого пути может зависеть результат интегрирования и, соответственно, работа, затраченная на перемещение
материальной точки.
Единицей измерения работы в СИ является джоуль (Дж). Работа силы в 1 Дж
соответствует перемещению материальной точки на расстояние в один метр под
действием силы в один ньютон, 1 Дж = 1 Н·м, при этом направление силы
должно совпадать с направлением перемещения.
Скорость совершения работы
1
𝑁 =
𝛿𝐴
𝑑𝑡
=𝐹
𝑑𝑟
𝑑𝑡
=𝐹 𝜐
называют мощностью. Единицей измерения мощности в СИ является ватт (Вт).
Один ватт соответствует работе в один джоуль, совершаемой в одну секунду, 1 Вт = 1 Дж/с. Если известна мощность, развиваемая под действием какойлибо силы, например мощность двигателя, то, интегрируя ее по времени, можно
определить работу за интересующий промежуток времени.
42
Входящие в левую часть уравнения (4.1) слагаемые называют кинетической
энергией тела
𝑇 =
𝑚𝜐
2
.
2
Единицей измерения кинетической энергии в СИ также является джоуль.
Кинетической энергией в один джоуль обладает материальная точка массой 1 кг
при движении со скоростью один метр в секунду.
Используя введенные обозначения, полученный нами результат мы можем
записать как
𝐴12= 𝑇2− 𝑇1, (4.4)
или работа силы по перемещению материальной точки равна изменению ее
кинетической энергии. Это уравнение позволяет определить изменение скорости материальной точки, если мы можем вычислить работу силы (4.2), то
есть проинтегрировать силу по траектории движения материальной точки.
Эффективность такого подхода заключается в том, что решить аналитически
дифференциальное уравнение движения в случае сложного вида функции𝐹 (𝑟)
часто не представляется возможным, тогда как взять от нее интеграл при
известной траектории движения, как правило, удается довольно легко.
Полученный результат можно обобщить на случай системы взаимодействующих материальных точек. Записав уравнения движения каждой из материальных точек, мы можем получить уравнения вида (4.1) для каждой из них, а потом
их сложить. Отсюда получим, что кинетической энергией системы материальных
точек будет являться алгебраическая сумма кинетических энергий каждой из
них, а работа будет складываться из работы внешних и внутренних сил системы.
Заметим, что действие внутренних сил системы на изменение импульса
и кинетической энергии системы различно. Импульс замкнутой системы взаимодействующих материальных точек не изменяется со временем, тогда как
с кинетической энергией дело обстоит иначе. Рассмотрим в качестве примера
систему, состоящую из двух изначально неподвижных материальных точек,
между которыми действует сила притяжения. В результате действия этой силы
материальные точки начнут двигаться навстречу друг другу, и кинетическая
энергия системы будет расти. Это приращение кинетической энергии будет
обусловлено работой внутренних сил системы. Суммарный же импульс системы
с течением времени изменяться не будет.
Пусть теперь система состоит из двух невзаимодействующих материальных
точек, причем на каждую из них действуют внешние силы так, что результирующая сила, действующая на систему целиком, равна нулю. Суммарный
импульс такой системы также не меняется со временем. Но ее кинетическая
энергия будет изменяться. Действие внешних сил, пусть и скомпенсированных,
может привносить энергию в систему или, напротив, отнимать ее. Иначе говоря,
мы будем иметь ненулевой поток энергии в систему со стороны окружающего
пространства. Если этот поток энергии равен нулю, например все внешние силы
не только скомпенсированы, но и равны нулю по отдельности, такую систему
называют изолированной. Поток импульса в систему со стороны окружающего
пространства равен нулю как в случае изолированной, так и в случае замкнутой
системы.
43
4.2. Консервативные силы. Потенциальная
энергия
Пусть сила, действующая на материальную точку, зависит от ее положения
в пространстве. Это означает, что для каждой точки пространства мы можем
задать вектор𝐹 (𝑟), иначе говоря векторное поле сил. В этом случае говорят, что
материальная точка находится в силовом поле𝐹 (𝑟). Снабдим пространство де-
картовой системой координат. Тогда элементарная работа силы по перемещению
материальной точки на бесконечно малое расстояние, согласно выражению (4.3),
может быть записана как
𝛿𝐴 = 𝐹𝑥𝑑𝑥 + 𝐹𝑦𝑑𝑦 + 𝐹𝑧𝑑𝑧 .
Предположим теперь, что проекции силы на соответствующие оси могут быть
выражены через некоторую функцию координат 𝑈 (𝑥, 𝑦, 𝑧) следующим образом:
𝑑𝑥 −
𝜕𝑈
, 𝐹𝑧= −
𝜕𝑦
𝜕𝑈
𝑑𝑦 −
𝜕𝑦
𝜕𝑈
𝐹𝑥= −
Подставим эти выражения в уравнение для элементарной работы
Выражение справа есть полный дифференциал функции −𝑈 (𝑥, 𝑦, 𝑧), то есть
Если такая функция 𝑈 может быть введена, то работа по перемещению
материальной точки из положения 1 в положение 2
𝐴12= −
не будет зависеть от конкретного пути между начальным и конечным
положениями.
Функция 𝑈 имеет размерность энергии, а ее убыль показывает необходимое
количество работы, совершаемой силовым векторным полем над материальной
точкой, для ее перемещения в конечное положение. Такую функцию 𝑈 называют
потенциальной энергией материальной точки.
Заметим, что совершаемая работа зависит от разности значений потенциальной энергии, а компоненты действующей на материальную точку результирующей силы – от ее производной, то есть тоже от разности значений. Поэтому потенциальная энергия определяется только с точностью до некоторой произвольной
константы. Как правило, значение потенциальной энергии материальной точки
в какой-нибудь точке пространства, например бесконечно удаленной от других
тел, принимают нулевым. Это позволяет определить потенциальную энергию
материальной точки однозначно для всех остальных точек пространства. Такая
процедура называется нулевой калибровкой потенциальной энергии.
𝜕𝑈
, 𝐹𝑦= −
𝜕𝑥
𝛿𝐴 = −
𝜕𝑈
𝜕𝑥
𝛿𝐴 = −𝑑𝑈 .
2
ˆ
𝑑𝑈 = 𝑈(𝑥1, 𝑦1, 𝑧1) −𝑈(𝑥2, 𝑦2, 𝑧2) (4.6)
1
𝜕𝑧
𝑑𝑧 .
𝜕𝑈
. (4.5)
𝜕𝑧
44
Заметим также, что если точки 1 и 2 являются одной и той же точкой
пространства, то работа силы по перемещению материальной точки по любой
траектории между ними, являющейся замкнутой линией, будет равняться нулю.
Полученный результат справедлив лишь в случае сил, которые могут быть
представлены указанным образом. Такие силы называют консервативными,
а поля таких сил – потенциальными. Если же действующие на тело силы не
допускают введения функции 𝑈 указанным образом, то такие силы называют
неконсервативными. Примером неконсервативной силы является сила трения
скольжения. Работа этой силы зависит от соединяющего точки 1 и 2 пути, и она
не будет равна нулю при движении по замкнутой траектории.
4.3. Закон сохранения энергии
Рассмотрим движение материальной точки в поле консервативных сил. Пусть
она перемещается из положения 1 в положение 2. Согласно уравнению (4.4),
работу со стороны силового поля можно записать как 𝐴12= 𝑇2− 𝑇1. С другой
стороны, согласно уравнению (4.6), имеем 𝐴12= 𝑈1− 𝑈2. Тогда
𝑇2− 𝑇1= 𝑈1− 𝑈2,
или
𝑇1+ 𝑈1= 𝑇2+ 𝑈2.
Суммарная энергия материальной точки, складывающаяся из кинетической
и потенциальной энергии в поле консервативных сил, остается постоянной. Это
уравнение есть математическая форма фундаментального закона сохранения
энергии. Если на тело действуют и неконсервативные силы, то в уравнение
закона сохранения энергии необходимо будет добавить и работу этих сил.
Соответственно, суммарная кинетическая и потенциальная энергия уменьшится
на величину работы неконсервативных сил. В этом случае говорят о наличии
диссипации механической энергии.
Полученное уравнение закона сохранения энергии также может быть обобщено на случай произвольного числа материальных точек. Как и в случае
с законом сохранения импульса, приведенные математические операции не
являются доказательством фундаментального закона, напротив, они возникли
под влиянием фундаментальных законов физики.
Стоит заметить, что при получении математической формы закона сохранения энергии мы полагали траекторию движения материальных точек известной,
а это далеко не всегда так. Это означает, что закон сохранения энергии, вообще
говоря, не доказывает, что система обязательно окажется в каком-то конкретном
состоянии, даже если оно и возможно исходя из баланса энергий. Тот факт,
что система окажется в состоянии 2 при исходном ее состоянии 1, мы должны
получить исходя из каких-либо других данных.
45
4.4. Потенциальная энергия в различных
силовых полях
Рассмотрим частные случаи движения взаимодействующих тел и найдем их
потенциальную энергию в поле соответствующих консервативных сил.
Потенциальная энергия тела в однородном поле тяжести
Пусть тело массой 𝑚 находится на высоте ℎ над поверхностью Земли, причем
эту высоту можно считать малой по сравнению с радиусом Земли. Тогда
можно считать, что тело находится в однородном поле тяжести𝐹 = 𝑚𝑔.
Под действием силы тяжести тело упадет на поверхность Земли, а работа,
которую совершит сила тяготения, составит величину 𝐴 = 𝑚𝑔ℎ. Если мы примем
значение потенциальной энергии находящегося на поверхности Земли тела за
нулевое (𝑈2= 0), то потенциальная энергия тела в верхней точке
𝑈 = 𝑚𝑔ℎ .
Потенциальная энергия растянутой пружины
При малых упругих деформациях пружины, например при ее растяжении или
сжатии на малую величину 𝑥, возникает сила упругости, которая, согласно
закону Гука, равна
𝐹 = −𝑘𝑥 .
Вычислим работу этой силы при возвращении пружины из деформированного
на 𝑥 состояния в недеформированное:
0
ˆ
𝐴 = −
𝑘𝑥 𝑑𝑥 = −
𝑥
Если получившуюся работу мы обозначим за функцию 𝑈 , то
𝑘𝑥
0
2
2
𝑥
2
𝑘𝑥
=
.
2
𝐹𝑥= −
𝜕𝑈
𝜕𝑥
.
Это означает, что сила упругости является потенциальной. Тогда, принимая
величину потенциальной энергии недеформированной пружины равной нулю,
потенциальная энергия деформированной на малую величину 𝑥 пружины и есть
2
𝑘𝑥
𝑈 =
.
2
Потенциальная энергия гравитационного притяжения двух
материальных точек
Исходя из закона всемирного тяготения, сила гравитационного притяжения двух
материальных точек есть
46
𝑚𝑀
2
𝑟
,
𝐹 = −𝐺
где 𝐺 – гравитационная постоянная, 𝑚 и 𝑀 – массы соответствующих
материальных точек, 𝑟 – расстояние между ними, а знак минус указывает,
что сила действует противоположно вектору относительного расстояния между
материальными точками. При их сближении от бесконечности до некоторого расстояния 𝑅 сила гравитационного притяжения, действующая на интересующую
нас материальную точку, совершит работу
𝐴 = −𝐺𝑚𝑀
𝑅
ˆ
1
𝑑𝑟 = 𝐺
2
𝑟
∞
𝑚𝑀
𝑟
𝑅
∞
= 𝐺
𝑚𝑀
𝑅
.
Эта работа равна убыли потенциальной энергии этой материальной точки:
𝐴 = 𝑈∞− 𝑈 (𝑅) .
Считая потенциальную энергию бесконечно удаленной материальной точки 𝑈∞= 0, для произвольного расстояния имеем
𝑈(𝑟) = −𝐺
𝑚𝑀
𝑟
.
4.5. Энергия в различных системах отсчета
Рассмотрим систему материальных точек, находящуюся в некотором потенциальном поле сил. Ее полную энергию в лабораторной системе отсчета 𝐾 можем
записать как
где 𝑈 – суммарная потенциальная энергия материальных точек. Для системы
отсчета 𝐾′, которая движется относительно лабораторной со скоростью 𝑢,
согласно преобразованию Галилея (2.1) имеем
′
где 𝜐
– скорость 𝑖-й материальной точки в системе отсчета 𝐾′. Потенциальная
𝑖
энергия материальных точек, зависящая только от их взаимных относительных
расстояний, в системе 𝐾′будет той же. Тогда полную энергию в системе
отсчета 𝐾 можно записать как
𝐸 =
1
2
𝑖
𝑚𝑖(𝜐
′
+ 𝑢)2+ 𝑈 =
𝑖
Полная энергия в системе отсчета 𝐾
𝐸 =
1
2
1
2
𝜐𝑖= 𝜐
𝑚𝑖𝜐
𝑖
′
2
𝑚𝑖𝜐
+ 𝑈 ,
𝑖
𝑖
′
+ 𝑢 ,
𝑖
′2
+
𝑖
𝑖
=
𝑚𝑖𝜐
1
2
′
𝑢 +
𝑖
𝑚𝑖𝜐
𝑖
𝑀𝑢
′2
+𝑃′𝑢 +
𝑖
2
2
+ 𝑈 =
𝑀𝑢
2
2
+ 𝑈 .
𝐸′=
1
2
′2
𝑚𝑖𝜐
+ 𝑈 .
𝑖
𝑖
47
Если система отсчета 𝐾′связана с центром масс системы материальных
точек, то𝑃′= 0. Тогда полная энергия системы материальных точек в системе
отсчета 𝐾 может быть записана как
2
ц.м.
𝑀𝑢
+
.
2
𝐸 = 𝐸
Для кинетической энергии будет справедливо аналогичное выражение:
2
ц.м.
𝑀𝑢
+
.
2
𝑇 = 𝑇
4.6. Абсолютно неупругий удар
Рассмотрим движение взаимодействующих тел, когда сила взаимодействия не
является консервативной, то есть будет наблюдаться диссипация механической
энергии тел. Примером такого движения является абсолютно неупругий удар,
в результате которого тела соединяются и движутся далее как единое целое.
Рассматривать тела в виде материальных точек в такой постановке будет не
вполне корректным, так как для нас принципиальным будет факт их деформации
при столкновении. Более того, эти деформации, очевидно, будут зависеть и от
формы тел, и от их взаимной ориентации в пространстве перед ударом. Для
простоты рассмотрения мы будем полагать, что тела имеют форму однородных
шаров как до, так и после столкновения.
Пусть в лабораторной системе отсчета два шара массами 𝑚1и 𝑚2до
соударения движутся так, что их центры масс перемещаются вдоль соединяющей
их прямой со скоростями 𝜐1и 𝜐2. В таком случае удар называют центральным.
Это означает, что прямая, соединяющая центры масс шаров, является осью
симметрии, а центр масс системы, состоящей из этих двух шаров, движется вдоль
нее. Если считать время соударения малым, то изменением импульса центра масс
системы в результате действия каких-либо внешних сил за это время можно
пренебречь. Следовательно, скорость центра масс системы после удара будет не
только направлена вдоль этой же прямой, которая теперь будет являться осью
симметрии тела, образованного в результате неупругого столкновения, но и иметь
ту же величину. Это позволяет записать уравнение закона сохранения импульса
в виде проекций скоростей тел только на ось симметрии.
Скорость центра масс образовавшегося в результате удара тела массой (𝑚1+ 𝑚2) обозначим 𝜐. Закон сохранения импульса, записанный для
моментов времени непосредственно перед ударом и после, в виде проекции на
ось симметрии в лабораторной системе отсчета имеет вид
𝑚1𝜐1+ 𝑚2𝜐2= (𝑚1+ 𝑚2)𝜐 .
Отсюда имеем, что
𝑚1𝜐1+ 𝑚2𝜐
𝜐 =
𝑚1+ 𝑚
Кинетические энергии тел до удара и после
𝑇1=
𝑚1𝜐
2
2
1
+
𝑚2𝜐
2
2
2
, 𝑇2=
48
2
.
2
(𝑚1+ 𝑚2)𝜐
2
2
,
очевидно, не равны друг другу. Диссипация исходной кинетической энергии тел
в результате абсолютно неупругого удара составит
𝑇1− 𝑇2=
12𝑚1𝑚
𝑚1+ 𝑚
2
(𝜐1− 𝜐2)2=
2
1
𝜇(𝜐1− 𝜐2)2,
2
где 𝜇 – приведенная масса двух тел. В силу закона сохранения энергии именно
эта часть исходной энергии тел и будет равна работе неконсервативных сил,
направленной на образование единого тела. Заметим, что если исходно центр
масс двух тел будет неподвижен, а значит, и 𝜐 = 0 и 𝑇2= 0, то диссипация
кинетической энергии тел будет максимальной, вся исходная кинетическая
энергия тел перейдет в работу неконсервативных сил.
4.7. Абсолютно упругий удар
Пусть теперь силы взаимодействия между шарами массами 𝑚1и 𝑚2консервативны, то есть в результате их столкновения диссипации механической
энергии не происходит. Сначала рассмотрим центральный удар, когда исходные
скорости центров масс шаров 𝜐1и 𝜐2направлены вдоль соединяющей их
прямой, являющейся осью симметрии. Поскольку исходная постановка обладает
осевой симметрией, то и после столкновения движение шаров будет симметрично
относительно этой же прямой, а значит, и их скорости после столкновения 𝜐
будут также направлены вдоль нее. Запишем закон сохранения импульса в виде
проекции на эту прямую
𝑚1𝜐1+ 𝑚2𝜐2= 𝑚1𝜐
′
1
+ 𝑚2𝜐
′
2
и закон сохранения энергии
′
и 𝜐
1
′
2
𝑚1𝜐
2
2
1
+
𝑚2𝜐
2
2
2
=
𝑚1𝜐
2
′2
1
+
𝑚2𝜐
2
′2
2
.
Приведем эти уравнения к виду
𝑚1(𝜐1− 𝜐
2
𝑚1(𝜐
− 𝜐
1
′
) = 𝑚2(𝜐
1
′2
) = 𝑚2(𝜐
1
′
− 𝜐2) ,
2
′2
− 𝜐
2
2
) ,
2
и поделим второе на первое, что даст
′
1
= 𝜐
′
+ 𝜐2.
2
𝜐1+ 𝜐
Полученное уравнение и уравнение закона сохранения импульса образуют
систему линейных уравнений, решение которой дается выражениями
′
𝜐
= −𝜐1+ 2
1
𝑚1𝜐1+ 𝑚2𝜐
𝑚1+ 𝑚
2
2
, 𝜐
′
= −𝜐2+ 2
2
𝑚1𝜐1+ 𝑚2𝜐
𝑚1+ 𝑚
2
2
.
Рассмотрим теперь нецентральный абсолютно упругий удар. Скорости центров шаров до удара уже не направлены вдоль соединяющей их прямой. Поэтому
49
закон сохранения импульса мы вынуждены записывать в векторной форме.
Проекции его только на одну ось будет недостаточно. Введем такую систему
координат, чтобы одна из ее осей совпадала с линией, соединяющей центры шаров
в момент удара. Эта ось будет перпендикулярна к поверхностям шаров в точке
контакта, поэтому компоненты векторов скоростей шаров, направленные вдоль
нее, назовем нормальными. Оставшиеся компоненты векторов скоростей шаров
касательны к этой поверхности, поэтому их назовем тангенциальными. Тогда
законы сохранения импульса и энергии примут вид
𝑚1(𝜐1𝑛+ 𝜐1𝜏) + 𝑚2(𝜐2𝑛+ 𝜐2𝜏) = 𝑚1(𝜐
𝑚1𝜐
2
1𝑛
+
2
𝑚1𝜐
2
1𝜏
+
2
𝑚2𝜐
2
2𝑛
+
2
𝑚2𝜐
2
2𝜏
2
′
+ 𝜐
+
) + 𝑚2(𝜐
1𝜏
𝑚1𝜐
2
′2
1𝜏
1𝑛
′2
𝑚1𝜐
=
1𝑛
2
′
′
+ 𝜐
2𝑛
𝑚2𝜐
2𝑛
+
2
) ,
2𝜏
′2
+
𝑚2𝜐
′2
2𝜏
.
2
′
Число неизвестных величин, отмеченных штрихами, явно больше числа уравнений. Рассмотрим тангенциальные компоненты скорости. Их изменение возможно
под действием тангенциальной неконсервативной силы трения скольжения шаров. В случае же абсолютно упругого столкновения мы должны полагать шары
гладкими, чтобы сила их взаимодействия была консервативной. Собственно, это
уже и так отражено в уравнении закона сохранения энергии, в него не входит
работа неконсервативных сил. Таким образом, тангенциальные компоненты
скоростей шаров не могут измениться, и мы вправе записать 𝜐1𝜏= 𝜐
и 𝜐2𝜏= 𝜐
′
. В итоге, после сокращения тангенциальных компонент, уравнения
2𝜏
′
1𝜏
законов сохранения импульса и энергии, с точностью до обозначений, примут
вид, аналогичный рассмотренному ранее центральному удару.
На практике, конечно, изготовить абсолютно гладкие шары весьма проблематично. Из опыта мы знаем, что при ударе изменяется и вращение шаров
в результате действия силы трения между ними. Помимо обмена кинетической
энергией поступательного движения шаров, происходит обмен и кинетической
энергией их вращательного движения, а также часть механической энергии
переходит в работу сил трения. К вопросу о кинетической энергии вращательного
движения мы вернемся в последующих лекциях.
50
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]