Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Физика для студентов ГГФ. В 2 частях. Ч.1. Механика, термодинамика и молекулярная физика. Учебное пособие
.pdf
МИНИСТЕРСТВО НАУКИ И ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ РФ
НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
Физический факультет
Кафедра общей физики
Геолого-геофизический факультет
А. О. Кашкаров
Физика для студентов ГГФ
Часть I
Механика, термодинамика и молекулярная физика
Учебное пособие
Новосибирск
2025
УДК 535:537(075.8)
ББК В33+В34я73-1
К313
Рецензент
канд. физ.-мат. наук Д. И. Карпов
Кашкаров, А. О.
K313 Физика для студентов ГГФ : учеб. пособие : в 2 ч. Ч. 1 :
Механика, термодинамика и молекулярная физика / А. О. Кашкаров ;
Новосиб. гос. ун-т. — Новосибирск : ИПЦ НГУ, 2025. — 284 с.
ISBN 978-5-4437-1719-7 (ч. 1)
ISBN 978-5-4437-1584-1
В учебном пособии изложен материал первой части курса лекций по
физике, читаемых автором студентам геолого-геофизического факультета НГУ,
а именно: кинематика и динамика материальных точек и твердых тел, введение
в специальную теорию относительности, механика упругих тел, жидкостей
и газов, основы равновесной термодинамики, фазовые переходы и поверхностные
явления, начала молекулярно-кинетической теории и явления переноса в газах.
Пособие рекомендуется в качестве основной учебной литературы для студентов ГГФ НГУ, обучающихся по профилям: геофизика в нефтепромысловом
и горном деле, общая и региональная геология, геохимия, геология и геохимия
горючих ископаемых. Для студентов других естественно-научных направлений
обучения пособие может быть рекомендовано в качестве дополнительной литературы.
Рекомендовано к печати кафедрой общей физики ФФ НГУ
(протокол № 2 от 16.10.2024 г.)
ISBN 978-5-4437-1719-7 (ч. 1)
ISBN 978-5-4437-1584-1
УДК 535:537(075.8)
ББК В33+В34я73-1
c
○ Новосибирский государственный
университет, 2025
Лекция 1
Кинематика
1.1. Введение. Что и как изучает физика?
Физика изучает наиболее общие закономерности окружающего нас мира. В основе этого изучения лежит наблюдение в целях объяснения и количественного
описания явлений природы, а также открытия и осмысления новых, ранее неизвестных процессов. Многообразие наблюдаемых явлений сводится к небольшому
количеству аксиом, с помощью них и логических построений можно решать
конкретные задачи. Эти аксиомы называют фундаментальными физическими
законами.
На основе этих фундаментальных законов мы строим физические модели –
отображение реальности, которое, конечно же, передает истинную картину мира
лишь с некоторой точностью. Выделяя наиболее существенные наборы факторов,
составляющих изучаемое явление, и отбрасывая второстепенные, мы и получаем
различные физические модели, каждая из которых может быть применена для
получения количественной информации в зависимости от требуемой точности.
Все, с чем мы сталкиваемся, разворачивается в пространстве и во времени,
однако сами эти понятия невозможно определить и объяснить. Представления
о пространстве и времени каждый получает, используя свой жизненный опыт,
который ограничен в силу невозможности осуществить «взгляд сверху» на
них. Это приводит к возникновению всякого рода мысленных парадоксов,
например о том, что Ахиллес никогда не догонит черепаху, если в начале
движения она находится впереди него1. Неопределенность понятий пространства
и времени, в частности, является причиной больших затруднений в изучении
релятивистской механики, где рассматривается движение тел со скоростями,
близкими к световой. Линейные размеры и временные интервалы в разных
системах отсчета в рамках этой теории уже не являются абсолютными величинами, а преобразуются по определенным правилам, не наблюдаемым в обычной
практике.
Физика дает количественное описание, в основе которого лежит измерение –
сравнение с эталоном. Ранее эталонами являлись конкретные предметы, а время
сопоставлялось с периодом обращения Земли. Теперь используют значения
1
Одна из четырех апорий древнегреческого философа Зенона Элейского.
3
скорости света и прочих фундаментальных постоянных, разность частот колебаний излучения специализированных источников. Такие эталоны не зависят от
внешних условий и сохраняются постоянными в пространстве и времени. Однако
и это не решило многие проблемы, связанные с проведением измерений.
В основе каждого измерения всегда лежит взаимодействие объектов. Поэтому
само измерение оказывает влияние на исследуемый процесс, то есть влечет его
изменение. Б´ольшую часть информации мы получаем через зрение. Как правило,
мы видим отраженные от наблюдаемого объекта фотоны. Для больших объектов
влияние взаимодействия с отдельными фотонами мало и обычно не может
быть зарегистрировано самыми точными приборами. В любой интересующий
нас момент времени мы можем определить положение большого объекта
в пространстве, его скорость, энергию и другие параметры. Именно такие
объекты и процессы с ними мы будем изучать в рамках нашего курса.
Если перейти в микромир, положение в корне меняется – измерение
может существенно повлиять на состояние объекта. Возникает неопределенность
положения в пространстве, скорости и других параметров объекта. Классическая
физика перестает адекватно описывать эту новую реальность.
Однако классическая физика сохранила свою эффективность для решения
многих важных задач, позволяя получать конечный количественный результат
с достаточной точностью.
Для точной формулировки фундаментальных законов и количественного
описания явлений в физике широко используется математический язык, причем
очень часто приходится иметь дело с производными. Это приводит к необходимости применять предельные переходы, то есть формально устремлять
к нулю размеры и временные интервалы. С точки зрения математики мы можем
сколь угодно стремиться к нулю, но с точки зрения физики ситуация иная.
Чтобы оставаться в рамках классической физики, мы будем полагать, что сколь
малыми бы ни были наши предельные масштабы, на них будут справедливы
аксиомы, или фундаментальные законы, классической физики, а малыми они
будут по сравнению с характерными масштабами рассматриваемых областей
пространства, объектов и временными интервалами их движения.
1.2. Необходимая математика
В этом разделе мы, не претендуя на полноту изложения, очень кратко
рассмотрим элементы математического анализа, необходимые для формулировки
фундаментальных законов и их применения для получения количественного
описания рассматриваемых явлений. Мы не будем задаваться вопросами доказательств существования и единственности решений уравнений, а также следовать
строгости изложения формулировок математических законов и теорем.
Для начала нам потребуется понятие производной. Математическая формулировка производной дается следующим выражением:
′
𝑓
(𝑥) =
𝑥
𝑑𝑓(𝑥)
𝑑𝑥
= lim
𝑓(𝑥 + ∆𝑥) − 𝑓(𝑥)
Δ𝑥→0
∆𝑥
= lim
Из последнего соотношения становится очевидным и геометрический смысл
производной: величина 𝑓′(𝑥) есть всего лишь тангенс угла наклона графика
4
Δ𝑥→0
∆𝑓
∆𝑥
.
функции 𝑓 (𝑥) в точке с координатой 𝑥. Если убрать требование ∆𝑥 → 0, то мы
получим среднее значение тангенса угла наклона графика функции 𝑓 на этом
промежутке.
Операции с производными:
(𝑓𝑔)′= 𝑓′𝑔 + 𝑓𝑔′,
′
𝑓
𝑔
𝑓′𝑔 − 𝑓𝑔
=
(𝑓 (𝑔 (𝑥)))′= 𝑓
′
,
2
𝑔
′
′
𝑔
.
𝑔
𝑥
Иногда полезным бывает прием с вычислением производной логарифма
функции
1
′
𝑓
,
𝑥
𝑓
откуда можно выразить
(ln 𝑓 (𝑥))′=
′
𝑓
= 𝑓 (ln 𝑓 )′.
𝑥
Определенный интеграл также вводится с использованием предельного
перехода к бесконечно малым величинам
𝑏
= 𝐹 (𝑏) −𝐹 (𝑎) ,
𝑎
lim
Δ𝑥→0
𝑥=𝑏
𝑓 (𝑥) ∆𝑥 =
𝑥=𝑎
𝑏
ˆ
𝑓 (𝑥) 𝑑𝑥 = 𝐹 (𝑥)
𝑎
где 𝐹 (𝑥) называется первообразной. Неопределенный интеграл может быть
вычислен только с точностью до произвольной константы:
ˆ
𝑓 (𝑥) 𝑑𝑥 = 𝐹 (𝑥) + const .
Имея дело с бесконечно малыми величинами, нам придется иметь дело
и с дифференциальными уравнениями. Рассмотрим некоторые способы решения
обыкновенных дифференциальных уравнений, то есть таких, где искомая
функция зависит только от одной переменной. Чаще всего это будет зависимость
от времени.
Простейший случай – это уравнения с разделяющимися переменными. Для их
решения используется метод разделения переменных. Пусть дифференциальное
уравнение может быть записано в виде
𝑑𝑥
𝑔 (𝑡)
𝑑𝑡
=
𝑓 (𝑥)
.
Перенесем влево все функции от 𝑥, включая дифференциал 𝑑𝑥, а справа оставим
функции от 𝑡 и туда же перенесем 𝑑𝑡:
𝑓 (𝑥) 𝑑𝑥 = 𝑔 (𝑡) 𝑑𝑡 .
5
Теперь можно интегрировать
ˆ
𝑓 (𝑥) 𝑑𝑥 =ˆ𝑔 (𝑡) 𝑑𝑡 .
Заметим, что подынтегральные функции зависят только от переменных интегрирования. В этом и заключается суть метода разделения переменных.
В зависимости от условий задачи интегралы могут быть как определенными,
так и неопределенными. В случае неопределенных интегралов в решение
войдет произвольная константа интегрирования. В некоторых случаях удобно
представлять ее в виде известной функции от произвольной константы, например
натурального логарифма.
После взятия интегралов слева и справа получим общее решение дифференциального уравнения в виде
𝐹 (𝑥) = 𝐺 (𝑡) + const .
Константа может быть найдена из начальных условий задачи. Например, нам
известно, что при 𝑡 = 𝑡0выполняется 𝑥 = 𝑥0. Тогда, подставляя эти значения
в общее решение, получим
const = 𝐹 (𝑥0) −𝐺 (𝑡0) .
Другой вид уравнений, с которыми тоже часто будем иметь дело, – уравнения
с постоянными коэффициентами. Как правило, это будут уравнения, в которые
входят и первая, и вторая производные. Их называют дифференциальными
уравнениями второго порядка. По историческим причинам производную по
времени принято обозначать точкой над функцией ˙𝑥 =
𝑑𝑥
, такого обозначения
𝑑𝑡
мы и будем придерживаться для краткости записи. Пусть нам необходимо
решить уравнение вида
𝐴¨𝑥 + 𝐵 ˙𝑥 + 𝐶𝑥 = 0 ,
где 𝐴, 𝐵, 𝐶 – постоянные коэффициенты. Такое уравнение называется однородным, оно не содержит слагаемых без искомой функции 𝑥 (𝑡). Тривиальное
решение 𝑥 = 0 не всегда удовлетворяет начальным данным, поэтому необходимо
найти остальные. Решение будем искать в виде функции 𝑥 ∼ 𝑒𝜆𝑡. Подставляя эту
функцию в исходное уравнение, получим
𝐴𝜆2+ 𝐵𝜆 + 𝐶 = 0 ,
где экспонента и коэффициент пропорциональности сокращены. Нахождение
корней этого квадратного уравнения и даст вид функции 𝑥, являющейся общим
решением исходного дифференциального уравнения. Дискриминант уравнения 𝐷 = 𝐵2− 4𝐴𝐶 может принимать как положительное, так и отрицательное
значение или быть равным нулю. Рассмотрим отдельно эти случаи.
Если 𝐷 > 0, то мы будем иметь два различных действительных корня
1,2
− 𝐵 ±√𝐷
=
2𝐴
,
𝜆
6
а общее решение однородного дифференциального уравнения запишется в виде
𝑥 = 𝐶1𝑒
𝜆1𝑡
+ 𝐶2𝑒
𝜆2𝑡
,
где 𝐶1, 𝐶2– произвольные константы.
В случае 𝐷 = 0 будет два одинаковых действительных корня 𝜆1= 𝜆2= 𝜆,
и общее решение однородного уравнения примет вид
𝑥 = 𝐶1𝑒𝜆𝑡+ 𝐶2𝑡𝑒𝜆𝑡.
Если же 𝐷 < 0, то решением квадратного уравнения будут два комплексно
сопряженных корня, которые можно представить в виде 𝜆
= 𝛼 ± 𝑖𝛽. Общее
1,2
решение однородного уравнения будет даваться следующим выражением:
𝑥 = 𝐶1𝑒𝛼𝑡cos(𝛽𝑡) + 𝐶2𝑒𝛼𝑡sin(𝛽𝑡) .
Две неизвестные константы должны быть определены исходя из начальных
условий задачи. Это могут быть как значения функции 𝑥(𝑡) в различные моменты
времени, так и значения производной этой функции в какие-либо другие или те
же самые моменты времени.
Для решения неоднородного уравнения 𝐴¨𝑥+𝐵 ˙𝑥+𝐶𝑥+𝐷 = 0 необходимо найти
общее решение однородного уравнения 𝑥о(𝑡, 𝐶1, 𝐶2) и некоторое частное решение
неоднородного. Например, в случае 𝐷 = const частное решение 𝑥ч= −𝐷/𝐶. Если
неоднородное слагаемое является некоторой функцией времени, то, как правило,
частное решение неоднородного уравнения можно найти в виде функции
того же вида, что и 𝐷 (𝑡). Например, полиномиальной, экспоненциальной,
тригонометрической и др. Общее решение неоднородного уравнения тогда можно
записать в виде
𝑥 (𝑡) = 𝑥о(𝑡, 𝐶1, 𝐶2) + 𝑥ч,
после чего необходимо определить значения констант, используя начальные
данные задачи.
В последующих лекциях мы будем дополнительно рассматривать различные
математические приемы, методы и теоремы по мере необходимости.
1.3. Кинематика. Скорость и ускорение
Кинематика – это раздел механики, изучающий движение тел по отношению
к другим телам безотносительно причин его порождающих. Движение характеризуется только изменением положения некоторого тела относительно других
тел. Понятие абсолютного движения лишено смысла. В классической механике
полагается, что пространство и время обладают следующими фундаментальными свойствами.
1. Пространство однородно. Это означает, что все точки в нем равноправны.
2. Пространство изотропно. Все направления в нем равноправны.
3. Пространство евклидово. Значит, можно ввести евклидову систему
координат.
7
4. Во всем пространстве можно ввести единое время, текущее равномерно
x
z
y
~
i
~
j
~
k
~r(x, y, z)
y
z
x
~
j
~
i
~
k
~r(x, y, z)
и одинаково.
Снабженную часами совокупность тел, которую условно считают неподвижной и по отношению к которой определяют движение других тел, называют
системой отсчета. Минимальное количество тел (или количество чисел), необходимых для однозначного задания положения любой точки в пространстве,
называется размерностью пространства. С точки зрения классической механики
мы живем в трехмерном пространстве. Часто при решении конкретных задач
можно ограничиться одной или двумя размерностями.
1.3.1. Системы координат
Для количественного описания положения тел в системе отсчета необходимо
ввести систему координат. Чаще всего мы будем использовать прямоугольную (или декартову) систему координат. В зависимости от расположения осей
их разделяют на правую и левую (рис. 1.1, 1.2). Различить их можно, выполнив
следующую процедуру: со стороны положительного направления оси 𝑍 мы
посмотрим на плоскость 𝑋 𝑌 и мысленно повернем ось 𝑋 так, чтобы она совпала
по направлению с осью 𝑌 . При этом поворачивать будем на 90∘, а не на 270∘. Если
такой поворот осуществляется против часовой стрелки, то выбранная декартова
система координат является правой, в противном случае – левой. В рамках
нашего курса мы будем пользоваться правой декартовой системой координат.
Рис. 1.1. Правая система
координат
Положение каждой точки в выбранной системе отсчета можно задавать тремя
числами: координатами точки 𝑥, 𝑦, 𝑧. Три координаты можно объединить в один
направленный отрезок, или радиус-вектор 𝑟, проведенный из начала координат
в интересующую нас точку. Величины 𝑥, 𝑦, 𝑧 являются длинами его проекций на
оси, а потому
𝑟 =𝑖𝑥 +𝑗𝑦 +𝑘𝑧 ,
8
Рис. 1.2. Левая система
координат
где𝑖,𝑗,𝑘 – орты координат, или единичные векторы, направленные вдоль
x
z
y
~r(r, ϕ, z)
ϕ
r
z
x
z
y
~r(r, ϕ, θ)
ϕ
r
θ
координатных осей.
В тех случаях, когда в движении тел прослеживается осевая симметрия,
более удобной может оказаться цилиндрическая система координат (рис. 1.3),
где координаты точки задаются уже значениями 𝑟,𝜙, 𝑧. Переход из декартовой
системы в цилиндрическую дается выражениями
𝑥 = 𝑟 cos 𝜙 ,
𝑦 = 𝑟 sin 𝜙,
𝑧 = 𝑧 ,
где угол 𝜙 отсчитывается от оси 𝑋 против часовой стрелки. В случае плоского
движения нам будет достаточно использовать только координаты 𝑟, 𝜙. Такая
система координат называется полярной.
Для описания обладающего центральной симметрией движения тел используют сферическую систему координат (рис. 1.4). Преобразования координат в этом
случае даются выражениями
𝑥 = 𝑟 sin 𝜃 cos 𝜙,
𝑦 = 𝑟 sin 𝜃 sin 𝜙,
𝑧 = 𝑟 cos 𝜃,
где угол 𝜃 изменяется в диапазоне от 0∘до 180∘. В этом случае угол 𝜙 задает
положение точки в экваториальной плоскости сферы, а угол 𝜃 – положение ее
в соответствующей меридианной плоскости.
Рис. 1.3. Цилиндрическая
1.3.2. Скорость и ускорение
Перейдем к непосредственному описанию движения тел и сначала рассмотрим
частный случай, когда тело движется по прямой линии. Будем пока полагать,
система координат
9
Рис. 1.4. Сферическая система
координат
что размеры тела не важны для описания его движения, то есть тело можно
x
O
A
1
A
2
x ∆x
представить как материальную точку, не имеющую внутренней структуры,
размеров или поверхности. Отличие материальной точки от математической
заключается лишь в том, что первая имеет массу. Впрочем, в рамках кинематики
это различие не существенно.
Для описания движения представляющего собой материальную точку тела
вдоль прямой линии достаточно введения лишь одной оси координат, направленной вдоль этой прямой. В этом случае говорят, что тело имеет одну
степень свободы. Пусть ось 𝑋 направлена вдоль этой прямой линии, тогда
положение тела в любой момент времени может быть задано функцией 𝑥 = 𝑥 (𝑡).
Пусть в фиксированный момент времени 𝑡 тело находится в положении 𝐴
с координатой 𝑥 (𝑡) (рис. 1.5). За время ∆𝑡 тело переместится в положение 𝐴
с координатой 𝑥 (𝑡 + ∆𝑡), отстоящее от исходного на расстояние ∆𝑥.
Рис. 1.5. Положение материальной точки на координатной оси
Отношение перемещения ∆𝑥 к промежутку времени ∆𝑡 называется средней
скоростью
∆𝑥
𝜐ср=
Устремив ∆𝑡 к нулю, мы получим значение мгновенной скорости точки в момент
времени 𝑡:
𝑥 (𝑡 + ∆𝑡) − 𝑥 (𝑡)
=
∆𝑡
∆𝑡
.
1
2
𝜐 (𝑡) = lim
Таким образом, мгновенная скорость является производной координаты точки
по времени. Поскольку выбор точки 𝐴1(или начального момента времени 𝑡) был
произвольный значит полученное выражение мгновенной скорости справедливо
для любого положения и момента времени движения рассматриваемого тела.
Отметим, что выполнение предельного перехода означает, что материальная
точка имеет мгновенную скорость именно в каждый конкретный момент времени.
Мгновенная скорость (1.1) является функцией времени. Изменение мгновенной скорости также определяется через производную по времени, которую
называют ускорением:
Также отметим, что и ускорение материальной точки является функцией
времени и может быть определено или задано для конкретного момента времени.
В силу однородности и изотропности пространства понятия скорости и ускорения обобщаются на случай движения и вдоль остальных координатных осей.
Δ𝑡→0
∆𝑥
= lim
∆𝑡
𝑎 = ˙𝜐 =
𝑥 (𝑡 + ∆𝑡) − 𝑥 (𝑡)
Δ𝑡→0
𝑑𝜐
=
𝑑𝑡
10
𝑑𝑥
=
∆𝑡
𝑑2𝑥
= ¨𝑥 . (1.2)
2
𝑑𝑡
= ˙𝑥 . (1.1)
𝑑𝑡
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]