Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Физика для студентов ГГФ. В 2 частях. Ч.1. Механика, термодинамика и молекулярная физика. Учебное пособие
.pdf
Если сжат – давлением
𝑃 = −
𝐹
,
𝑆
откуда очевидно, что 𝑃 = −𝑇 .
Изменение длины стержня ∆𝑙 под действием внешних сил называют удлинением, которое может быть и отрицательным при сжимающих стержень силах.
Величину
∆𝑙
𝜀 =
𝑙
0
называют относительным удлинением. При малых деформациях напряжение
и относительное удлинение пропорциональны друг другу:
𝑇 = 𝐸
∆𝑙
, или 𝑃 = −𝐸
𝑙
0
∆𝑙
, (10.1)
𝑙
0
где коэффициент пропорциональности 𝐸 называют модулем Юнга.
Чтобы сжать стержень, необходимо совершить работу. Сжатый стержень,
напротив, может совершить работу, то есть обладает запасом потенциальной
энергии, которую называют упругой. То же самое справедливо и в случае
растяжения стержня. Для реальных процессов деформации степень сжатия
или растяжения тел зависит не только от величины приложенной силы, но
и от скорости деформирования. При движении материала тела в процессе
деформирования возникают так называемые силы внутреннего трения, работа
которых переходит в тепло. Собственно переход механической энергии в тепло
и свидетельствует о наличии пластических деформаций. Поэтому мы будем
рассматривать квазистатический случай деформаций.
Пусть, для определенности, растягивающая сила, приложенная к закрепленному на противоположном торце стержню, медленно растет в виде некоторой
функции 𝑓(𝑥) от нуля до 𝐹 , где 𝑥 – координата точки приложения силы.
Будем считать, что под действием силы 𝑓(𝑥) длина стержня увеличивается
на бесконечно малую величину 𝑑𝑥. Тогда приращение упругой энергии можно
записать как
𝑑𝑈 = −𝑓(𝑥)𝑑𝑥 .
Полную энергию определим интегрированием с учетом 𝑓(𝑥) = −𝑘𝑥, согласно
закону Гука.
Δ𝑙
𝑈 =
ˆ
𝑘𝑥 𝑑𝑥 =
0
1
𝑘(∆𝑙)2.
2
Так как в конечном состоянии величина деформации ∆𝑙, то 𝐹 = 𝑘∆𝑙, а
1
𝑈 =
𝐹 ∆𝑙 .
2
Если бы мы сразу приложили силу 𝐹 = 𝑘∆𝑙, то ее работа по растяжению
стержня на ∆𝑙 оказалась бы в два раза больше: 𝐴 = 𝑘(∆𝑙)2. Но упругая
энергия стержня осталась бы той же самой. Поскольку мы считаем деформации
упругими, то оставшаяся часть работы может перейти только в кинетическую
131
энергию материала стержня. Таким образом, стержень продолжит растягиваться, но величина его натяжения 𝑇 превысит приложенную силу, что породит
колебательное движение материала стержня в результате неквазистатического
воздействия. В конечном счете, под действием сил внутреннего трения, избыточная кинетическая энергия перейдет в тепловую.
Пусть однородный стержень имеет площадь поперечного сечения 𝑆. Плотность упругой энергии на единицу объема
𝑈
𝑆𝑙
𝐹 ∆𝑙
=
2𝑆𝑙
,
𝑢 =
где 𝑙 – длина деформированного стержня. В случае растянутого стержня имеем
𝑇 =
𝐹
∆𝑙
= 𝐸
𝑆
𝑙
0
= 𝐸𝜀 .
Пренебрегая отличием длины стержня после деформации 𝑙 от исходной 𝑙0, то
есть считая деформации малыми, получим
1
𝑢 =
𝐸𝜀2.
2
Из опыта мы знаем, что при растяжении или сжатии стержней деформации
возникают не только в направлении действия сил, но и в поперечном направлении. Обозначим характерный поперечный размер до деформации 𝑎0, а после – 𝑎,
также считая различия между ними малыми. Величину
∆𝑎
𝜀⊥=
∆𝑎
≈
𝑎
𝑎
0
называют относительной поперечной деформацией. При этом относительная
продольная деформация (удлинение) и 𝜀⊥имеют разный знак, за исключением
таких экзотических материалов, как ауксетики. Параметр
𝜀
𝜇 = −
⊥
𝜀
(10.2)
называют коэффициентом Пуассона. При малых деформациях его также можно
считать постоянным.
Рассчитаем относительное изменение объема стержня при его растяжении
или сжатии. Пусть до деформации его объем был равен 𝑉0= 𝑙0𝜋𝑎
2
/4. После
0
растяжения 𝑉 = 𝑙𝜋𝑎2/4. С учетом определений величин продольной и поперечной
деформаций имеем
=
2
(1 + 𝜀⊥)2/4 ≈ 𝑉0(1 + 𝜀 + 2𝜀⊥) ,
0
2
, 2𝜀𝜀⊥и 𝜀𝜀
⊥
𝑉 − 𝑉
0
≈ 𝜀 + 2𝜀⊥= 𝜀(1 −2𝜇) .
𝑉
0
2
. Тогда
⊥
𝑉 = 𝑙0(1 + 𝜀)𝜋𝑎
где мы пренебрегли малыми величинами 𝜀
∆𝑉
𝑉
0
При растяжении 𝜀 > 0, а объем не уменьшается. При сжатии 𝜀 < 0, а объем
не увеличивается. Поэтому значения коэффициента Пуассона для материалов
с нормальными свойствами лежат в диапазоне от нуля до 1/2.
132
10.3. Всестороннее и одностороннее сжатие
и растяжение
Пусть на прямоугольный параллелепипед действуют перпендикулярные его граням силы 𝐹𝑥, 𝐹𝑦и 𝐹𝑧, которые вызывают соответствующие им натяжения 𝑇𝑥, 𝑇
и 𝑇𝑧. Для определенности будем считать, что параллелепипед растягивается по
всем трем направлениям.
Рассмотрим направление вдоль оси 𝑋. Под действием натяжения 𝑇𝑥имеем
приращение
∆1𝑥
При этом растяжение параллелепипеда по оси 𝑋 приводит к изменению его
размеров по осям 𝑌 и 𝑍. Верно и обратное, натяжения по этим осям вызывают
дополнительные деформации и вдоль оси 𝑋 :
𝑇
𝑥
=
𝑥
.
𝐸
𝑦
∆2𝑥
𝑥
= −𝜇
𝑇
𝑦
𝐸
∆3𝑥
,
𝑥
= −𝜇
𝑇
𝑧
.
𝐸
В рамках линейной теории упругости результирующее удлинение будет даваться
алгебраической суммой
∆𝑥 = ∆1𝑥 + ∆2𝑥 + ∆3𝑥 ,
или
∆𝑥
𝑇
𝜇
𝜀𝑥≡
𝑥
𝑥
=
−
𝐸
(𝑇𝑦+ 𝑇𝑧) .
𝐸
Аналогично и для других осей:
∆𝑦
𝑇
𝜇
𝜀𝑦≡
𝜀𝑧≡
∆𝑧
𝑦
=
−
𝑧
−
(𝑇𝑥+ 𝑇𝑧) ,
𝐸
𝜇
(𝑇𝑥+ 𝑇𝑦) .
𝐸
𝑦
𝐸
𝑇
=
𝑧
𝐸
Рассмотрим случай всестороннего однородного воздействия сил, когда наш параллелепипед находится под внешним всесторонним давлением
𝑃 = −𝑇𝑥= −𝑇𝑦= −𝑇𝑧, так как технически реализовать однородное всестороннее
растяжение упругого тела достаточно затруднительно. Из приведенных выше
выражений очевидно, что относительные деформации по всем осям будут
одинаковы:
𝜀𝑥= 𝜀𝑦= 𝜀𝑧= −
𝑃
(1 −2𝜇) .
𝐸
Выразим изменение объема параллелепипеда через его деформации по осям. Из
выражения для объема параллелепипеда 𝑉 = 𝑥𝑦𝑧 имеем
или
𝑑𝑉 = 𝑦𝑧𝑑𝑥 + 𝑥𝑧𝑑𝑦 + 𝑥𝑦𝑑𝑧 ,
𝑑𝑉
𝑑𝑥
𝑑𝑦
=
𝑉
+
𝑥
𝑑𝑧
+
𝑦
.
𝑧
133
Так как деформации считаются малыми, то обозначения 𝑑𝑥 и ∆𝑥 эквивалентны.
∆𝑉
∆𝑥
∆𝑦
=
𝑉
+
𝑥
∆𝑧
+
𝑦
= 𝜀𝑥+ 𝜀𝑦+ 𝜀𝑧= −3
𝑧
𝑃
(1 −2𝜇) = −
𝐸
𝐾
𝑃
,
где величину
𝐾 =
𝐸
3(1 −2𝜇)
называют модулем всестороннего сжатия. Полученная формула вполне справедлива и для тел произвольной формы, так как мы можем разбить их на бесконечно
малые прямоугольные параллелепипеды, которые также будут находиться под
внешним давлением 𝑃 .
Теперь рассмотрим только одноосную продольную деформацию. Реализовать
ее можно, например, если сжимать ограниченный с боков жесткими стенками
стержень. Пусть вдоль оси 𝑋 действует натяжение 𝑇𝑥, а деформации по другим
осям равны нулю. Это означает, что
𝑇
𝜇
𝑦
𝜀𝑦=
𝜀𝑧=
−
𝐸
𝑇
𝐸
(𝑇𝑥+ 𝑇𝑧) = 0 ,
𝐸
𝜇
𝑧
−
(𝑇𝑥+ 𝑇𝑦) = 0 .
𝐸
Отсюда имеем
𝜀𝑥=
𝑇𝑦= 𝑇𝑧=
𝑇
𝜇
𝑥
−
𝐸
(𝑇𝑦+ 𝑇𝑧) =
𝐸
𝑇
𝑥
𝐸
1 −
𝜇
1 −𝜇
2𝜇
1 −𝜇
2
𝑇𝑥,
𝑇
=
𝐸
1 −𝜇 − 2𝜇
𝑥
1 −𝜇
2
𝑇
𝑥
=
,
′
𝐸
где величину
𝐸′= 𝐸
1 −𝜇
1 −𝜇 − 2𝜇
2
называют модулем одностороннего сжатия. Из полученного выражения видно,
что 𝐸′> 𝐸, что и логично, так как чтобы укоротить зажатый с боковой
поверхности стержень, потребуется большее усилие, чем для сжатия свободного
стержня на ту же величину в случае сред с нормальными свойствами.
10.4. Деформация сдвига
Закрепим жестко нижнюю грань прямоугольного параллелепипеда, а к верхней
приложим сдвиговое напряжение 𝜏, равное отношению величины действующей
силы вдоль поверхности грани к ее площади. Все слои параллелепипеда,
параллельные закрепленной плоскости, будут сдвигаться так, что боковая грань
образует угол 𝛾 с исходным ее положением (рис. 10.3). Будем полагать, что при
деформации сдвига не происходит изменение объема тела, то есть площадь слоев
остается неизменной, а происходит лишь смещение их друг относительно друга.
134
γ
~τ
Рис. 10.3. Деформация сдвига
Так как мы полагаем деформации малыми, то и угол 𝛾 тоже будет мал
и пропорционален приложенному сдвиговому напряжению:
𝛾 ≈ tg 𝛾 =
где величину 𝐺 называют модулем сдвига. Связь между модулем сдвига 𝐺,
модулем Юнга 𝐸 и коэффициентом Пуассона 𝜇 мы выводить не будем, запишем
только ее вид:
𝐺 =
𝐺
𝐸
2(1 + 𝜇)
𝜏
,
. (10.3)
10.5. Деформации кручения
Рассмотрим кручение стержня на примере однородного кругового цилиндра
длиной 𝐿 и радиусом 𝑅. Пусть верхний торец цилиндра жестко закреплен,
а к нижнему приложено сдвиговое напряжение так, что результирующий момент
сил, действующих на нижнее основание, равен 𝑀 (рис. 10.4). Выберем точку 𝐵,
расположенную на верхнем торце цилиндра на некотором расстоянии 𝑟 от его оси.
Пока цилиндр не деформирован, этой точке соответствует точка 𝐴 на нижнем
его основании. То есть 𝑂𝐴 = 𝑟 и линия 𝐵𝐴 параллельна оси цилиндра.
Пусть при деформации кручения точка 𝐴 сдвинется в положение 𝐴′так, что
угол между лучами 𝑂𝐴 и 𝑂𝐴′составит 𝜙. Относительной величиной деформации
кручения называют отношение
𝜙
= 𝑐𝑀 ,
𝐿
где константа 𝑐 зависит от материала цилиндра и его размеров. В приближении малых упругих деформаций она не зависит от величины приложенного
момента 𝑀.
Рассмотрим деформацию кручения в виде послойного малого сдвига последовательных поперечных сечений цилиндра и свяжем значение константы 𝑐
с модулем сдвига 𝐺. При скручивании цилиндра отрезок 𝐵𝐴 поворачивается
на малый угол 𝜓, образуя отрезок 𝐵𝐴′. Исходя из определения модуля сдвига,
𝜓 = 𝜏/𝐺, где 𝜏 есть касательная сила на единицу поверхности нижнего торца
цилиндра, приложенная в точке 𝐴′, получим
𝜓 ≈ tg 𝜓 =
𝐴𝐴
𝐿
′
𝜙𝑟
≈
,
𝐿
135
b
A
B
O
A
′
ϕ
ψ
r
L
Рис. 10.4. Деформация кручения
где, в силу малости деформаций, считаем отрезок 𝐴𝐴′близким к дуге радиусом 𝑟,
ограниченной углом 𝜙. Соответственно,
𝜙𝑟
𝜏 = 𝐺
.
𝐿
Вообще говоря, при достаточной длине стержня углы 𝜙 и 𝜓 могут и не быть
малыми в случае упругого кручения, однако мы всегда можем разбить его на
стержни с малыми высотами и получить подобную связь для каждого их них,
а значит, она будет справедлива и для всего цилиндра.
Теперь свяжем величину 𝜏 с моментом сил. Рассмотрим подробнее нижний
торец цилиндра и выделим на нем произвольный элемент площади 𝑑𝑆 (рис. 10.5).
Сила, приложенная к этому элементу площади, равна 𝜏 𝑑𝑆, а ее момент
относительно оси цилиндра
𝑑𝑀 = 𝑟𝜏 𝑑𝑆 .
Получим выражение для площади 𝑑𝑆 из разности площадей секторов с углом
раствора 𝑑𝜃 и радиусами 𝑟 и 𝑟 + 𝑑𝑟:
𝑑𝑆 =
Тогда приложенный момент
𝑑𝜃
(𝑟 + 𝑑𝑟)2−
2
𝑑𝜃
𝑟2≈ 𝑟𝑑𝑟𝑑𝜃 .
2
136
𝐺𝜙
𝐿
𝑟3𝑑𝑟𝑑𝜃 .
𝑑𝑀 = 𝑟𝜏 𝑟𝑑𝑟𝑑𝜃 =
O
dθ
dS
R
r
θ
dr
Рис. 10.5. Определение приложенного момента к элементу площади поверхости
Полный момент мы получим, проинтегрировав полученное выражение по всей
площади нижнего торца цилиндра:
2𝜋
𝑅
ˆ
𝑀 =
𝐺𝜙
𝐿
ˆ
𝑑𝜃
𝑟3𝑑𝑟 =
0
0
𝜋𝐺𝑅
2𝜙𝐿
4
,
откуда имеем
2
𝑐 =
𝜋𝐺𝑅
.
4
Чтобы уменьшить угол кручения стержня при постоянном моменте сил 𝑀 ,
необходимо уменьшать его длину и увеличивать радиус. Заметим, что увеличение
радиуса гораздо эффективнее.
Пусть цилиндр удерживается в скрученном состоянии под действием момента
сил 𝑀 , приложенного к его нижнему торцу. Присоединим к нижнему торцу
массивное тело с моментом инерции относительно оси стержня 𝐼0и уберем
момент сил 𝑀. При этом момент упругих сил цилиндра никуда не денется и он
будет действовать на тело с моментом инерции 𝐼0. Запишем уравнение осевых
моментов для массивного тела:
4
= −
𝐷 =
𝜋𝐺𝑅
2𝐿
𝜋𝐺𝑅
2𝐿
𝜙 = −𝐷𝜙 ,
4
где величину
𝐼0¨𝜙 = −𝑀
упр
называют модулем кручения, который определяется модулем сдвига материала
цилиндра и размерами самого цилиндра.
Получившееся дифференциальное уравнение есть известное нам уравнение
малых гармонических колебаний. Соответственно, частота крутильных колебаний массивного тела
𝜔 =
137
𝐷
𝐼
,
0
а их период
A
B
N
A
′
B
′
N
′
l
0
A
B
N
A
′
B
′
N
′
b
α
𝑇 = 2𝜋
𝐼
0
.
𝐷
Таким образом, измеряя период или частоту крутильных колебаний закрепленного массивного тела, мы можем измерить величину модуля сдвига материала
цилиндра.
10.6. Деформации изгиба
Рассмотрим прямоугольный брус длиной 𝑙0(рис. 10.6). Изогнем его внешними
поперечными силами так, чтобы линейные размеры поперечного сечения бруса
не изменились. Такое возможно осуществить, если любая линия 𝑁 𝑁′после
деформации будет являться дугой окружности, а отрезки 𝐴𝐵 и 𝐴′𝐵′будут
лежать на радиальных линиях этих дуг и иметь исходную длину (рис. 10.7).
Рис. 10.6. Прямоугольный недеформированный брус
В результате такой деформации слой 𝐵𝐵′удлинился, но 𝐴𝐴′, напротив,
укоротился. Соответственно, должна существовать такая линия 𝑁 𝑁′, длина
которой при деформации изгиба не изменилась. Ее положение называют
нейтральным слоем.
Рис. 10.7. Деформация изгиба
138
Пусть 𝑅 – радиус дуги 𝑁 𝑁′. Радиус произвольной дуги, лежащей между 𝐴𝐵
и 𝐴′𝐵′, определим как (𝑅 + 𝜉), где 𝜉 > 0 для участка выше нейтрального слоя,
и наоборот. Длина такой дуги 𝑙 = (𝑅 + 𝜉)𝛼, а ее удлинение
∆𝑙 = 𝑙 − 𝑙0= 𝜉𝛼 ,
где 𝑙0= 𝛼𝑅, так как длина нейтрального слоя не меняется. При этом мы считаем
деформации малыми, то есть 𝜉 ≪ 𝑅.
Натяжение вдоль каждой из дуг
𝑇 = 𝐸
∆𝑙
𝑙
0
= 𝐸
𝜉
𝑅
линейным образом зависит от параметра 𝜉. Выше нейтрального слоя оно
положительно, ниже – отрицательно.
Пусть брус покоится в деформированном состоянии под действием внешних
поперечных сил. Рассмотрим участок бруса, находящийся сбоку от какогонибудь произвольного поперечного сечения. Этот участок бруса будет находиться
под действием продольных внутренних сил, действующих со стороны соседнего
с ним участка. Заметим, что в рассмотренном случае деформации внешними
поперечными силами внешние продольные силы, действующие на брус, отсутствуют. Поскольку рассматриваемый участок бруса покоится, то сумма всех
продольных сил, перпендикулярных его сечению, должна равняться нулю. Так
как поперечные сечения бруса не деформированы, то в баланс сил войдут только
натяжения отдельных слоев:
ˆ
𝑇 𝑑𝑆 = 0 ,
или же, так как 𝐸 – константа,
ˆ
𝜉 𝑑𝑆 = 0 .
А тогда получаем, что нейтральный слой проходит через середину бруса.
Так как мы положили, что поперечные сечения не деформированы, то
равновесие в поперечном направлении будет достигаться балансом внешних сил.
Кроме этого, необходимо чтобы и момент сил, действующий на любой участок
бруса, был равен нулю. Найдем момент сил натяжения, действующих на участок
бруса сбоку от какого-нибудь произвольного поперечного сечения, относительно
оси, проходящей через нейтральный слой перпендикулярно плоскости рис. 10.7.
Так как эти силы перпендикулярны радиальному лучу, имеем
𝑑𝑀 = 𝜉𝑇 (𝜉)𝑑𝑆 ,
или, подставляя зависимость натяжения дуги 𝑇 от 𝜉,
ˆ
𝐸
𝑀 =
𝜉2𝑑𝑆 .
𝑅
Вычислим его для бруса прямоугольного сечения высотой ℎ и шириной 𝑏 (рис. 10.8). Элемент площади такого сечения
𝑑𝑆 = 𝑑𝑥𝑑𝜉 .
139
A
B
b
ξ
0
h
Рис. 10.8. Поперечное сечение бруса
Проинтегрируем выражение для момента по сечению бруса:
ℎ
𝑏
𝑀 =
ˆ
𝐸
𝑅
0
𝑑𝑥
ˆ
−
2
𝜉2𝑑𝜉 =
ℎ
2
112𝐸
𝑅
𝑏ℎ3.
Свяжем его с прочностью бруса на изгиб. Разрушение бруса начнется с наиболее
растянутого слоя, когда натяжение в нем примет некоторое предельное значение,
определяемое свойствами материала,
𝑇пр= 𝐸
2𝑅
ℎ
,
пр
которое связано с модулем Юнга и радиусом изгиба нейтрального слоя бруса.
Выразим отсюда 𝐸/𝑅при подставим в уравнение для момента
2
𝑀пр= 𝑇
пр
𝑏ℎ
.
6
Соответственно, это и есть максимальный возможный момент внешних поперечных сил, который может быть скомпенсирован моментом сил натяжения
бруса без его разрушения. Заметим, что увеличение высоты бруса существенно
эффективнее увеличения его ширины при одинаковой длине.
10.7. Распространение упругих возмущений
в стержнях
Пусть длинный стержень покоится на гладком горизонтальном столе. Нанесем по
его торцу слабый удар вдоль оси симметрии. Из опыта мы знаем, что в результате
стержень придет в движение с небольшой скоростью 𝑢. При этом, как правило,
мы сможем обнаружить разновременность начала движения его торцов, только
используя специальные приборы, например скоростную видеокамеру. Отсюда мы
заключаем, что скорость вовлечения различных сечений стержня в движение
140
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]