Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Физика для студентов ГГФ. В 2 частях. Ч.1. Механика, термодинамика и молекулярная физика. Учебное пособие
.pdf
каждая молекула в среднем испытает около 10 соударений с другими. При
S
x
Θ
R
dV
R cos Θ
этом среднее время между столкновениями будет не больше среднего времени
преодоления движущимися молекулами линейных размеров объема 𝑉 , то есть
каждой молекуле будет доступно любое пространственное положение в объеме.
Соответственно, и временем релаксации, то есть временем установлением
локального равновесия, можно считать 10−9секунд. Если характерные времена
процессов много больше времени релаксации, то принцип локального равновесия
будет вполне справедлив.
Учтя движения остальных молекул, мы получили, что длина свободного
пробега ⟨𝜆⟩ отличается от полученной ранее средней длины пробега в среде
неподвижных молекул 𝑙. Поэтому и вероятность столкновения одной молекулы
газа при движении остальных должна быть записана с учетом этой поправки.
Поскольку направление движения молекулы может быть произвольным, вместо
координаты вдоль случайного направления движения запишем расстояние 𝑟.
В итоге выражение для вероятности столкновения молекулы (18.4) принимает
вид
𝑟
1
−
𝑑𝑊 (𝑟) =
Определим количество ударов молекул о неподвижную стенку сосуда, опираясь теперь на длину свободного пробега. Пусть стенка сосуда есть плоскость 𝑌 𝑍,
слева от которой находится газ с концентрацией 𝑛0. Выделим на стенке сосуда
малую площадку 𝑆 (рис. 18.2). Выберем малый объем газа 𝑑𝑉 , содержащий 𝑛0𝑑𝑉
молекул, на расстоянии 𝑅 от площадки 𝑆, видимый со стороны площадки под
углом Θ. В результате теплового движения молекулы будут покидать объем 𝑑𝑉 ,
а на их место будут перемещаться молекулы из соседних объемов, которые,
впрочем, затем также покинут 𝑑𝑉 . Мы рассмотрим только те молекулы, которые
покидают объем 𝑑𝑉 после столкновения внутри него.
⟨𝜆⟩
⟨𝜆⟩
𝑒
𝑑𝑟 .
Рис. 18.2. Столкновение молекул с участком стенки сосуда 𝑆
251
В результате столкновений молекул внутри объема они будут покидать
его во всех возможных направлениях. Количество покидающих объем 𝑑𝑉
молекул пропорционально средней частоте столкновений ⟨𝜈⟩ = ⟨𝜐⟩/ ⟨𝜆⟩, согласно
формуле (18.6), и количеству молекул внутри объема 𝑛0𝑑𝑉 . Таким образом, за
время ∆𝑡 объем 𝑑𝑉 покинут
𝑑𝑁−=
⟨𝜐⟩
⟨𝜆⟩
∆𝑡𝑛0𝑑𝑉
молекул.
Часть из них может долететь до площадки 𝑆 без столкновения с другими.
Для этого они должны вылететь в направлении площадки 𝑆 и, не столкнувшись
с другими, преодолеть расстояние 𝑅. В соответствии с экспоненциальным
законом выбывания молекул из потока, согласно формуле (18.3), где вместо 𝑙 мы
должны подставить среднюю длину свободного пробега ⟨𝜆⟩, число таких молекул
будет равно
𝑑𝑁 =
𝑆 cos Θ
2
4𝜋𝑅
⟨𝜐⟩
∆𝑡𝑛0𝑑𝑉 𝑒
⟨𝜆⟩
𝑅
−
⟨𝜆⟩
,
где 𝑆 cos Θ – проекция площадки 𝑆 на поверхность сферы радиусом 𝑅 с центром
в объеме 𝑑𝑉 .
Перейдем в сферическую систему координат с центром в площадке 𝑆.
Элемент объема в сферических координатах 𝑑𝑉 = 𝑅2sin Θ𝑑𝑅𝑑𝜙𝑑Θ. Угол Θ
задает расстояние от объема 𝑑𝑉 до стенки сосуда (𝑅 cos Θ) и меняется в
пределах [0, 𝜋/2], так как газ находится только слева от стенки. Угол 𝜙 меняется
в пределах от [0, 2𝜋], так как отвечает за положение 𝑑𝑉 в плоскости 𝑌 𝑍 на
окружности радиусом 𝑅 sin Θ, отмеченном на рис. 18.2 пунктирной линией.
Тогда количество молекул, приобретающих после столкновений вектор скорости, направленный к участку площадки 𝑆 единичной площади, в единицу
времени и не испытывающих более соударений с другими молекулами вплоть
до столкновения с площадкой 𝑆, равное числу ударяющихся в единицу времени
о единицу площадки 𝑆, есть
𝜋/2
2𝜋
∞
ˆ
ˆ
ˆ
𝑛
0
2
0
4𝜋𝑅
0
0
⟨𝜐⟩
⟨𝜆⟩
𝑅
−
⟨𝜆⟩
𝑒
cos Θ𝑅2sin Θ 𝑑𝑅𝑑𝜙𝑑Θ =
1
𝑛0⟨𝜐⟩ , (18.9)
4
𝑗 =
´
𝑆∆𝑡
𝑑𝑁
=
то есть ровно такое же, как и полученное ранее (17.7).
18.3. Явления в разреженных газах
Если длина свободного пробега 𝜆 того же порядка, что и характерный размер
сосуда 𝑑, в котором заключен газ, то такое состояние газа называют вакуумом.
В зависимости от соотношения 𝜆/𝑑 вакуум подразделяют на низкий 𝜆/𝑑 / 1,
средний 𝜆/𝑑 ≈ 1 и высокий 𝜆/𝑑 ≫ 1. В достаточно разреженных газах столкновения между молекулами перестают играть существенную роль, молекулы
в основном сталкиваются со стенками сосуда.
Заметим, что состояние газа при атмосферном давлении в порах вещества размерами порядка длины свободного пробега ∼ 10−7метров можно
252
считать вакуумом. С другой стороны, в межзвездной среде концентрация
P1, T
1
P2, T
2
молекул 𝑛 ∼ 1/см3, а длина свободного пробега 𝜆 ∼ 1013метров. При этом
характерные расстояния между звездами порядка световых лет, то есть ∼ 9 ·10
15
метров. Поэтому, с учетом межзвездных расстояний, межзвездная среда может
вполне рассматриваться как достаточно плотный газ.
Рассмотрим сосуд с газом, в стенке которого имеется малое отверстие,
а плоскость отверстия нормальна оси 𝑋 . Согласно уравнению (17.7), или (18.9),
через единицу площади отверстия в единицу времени будут вылетать
1
𝑗𝑥=
𝑛 ⟨𝜐⟩
4
молекул. При выводе этой формулы мы полагали малость отверстия для
сохранения состояния термодинамического равновесия газа внутри сосуда, в том
числе и вблизи этого отверстия. Теперь, основываясь на понятии длины
свободного пробега, мы можем количественно определить необходимую степень
малости отверстия. Если средняя длина свободного пробега много меньше
характерного размера отверстия, то вблизи него будет возникать упорядоченное
движение газа, обусловленное разностью давлений внутри и снаружи сосуда.
В каждом малом объеме вблизи отверстия будет успевать устанавливаться
локальное равновесие за счет многократных соударений между молекулами,
поэтому изменение локального давления газа вблизи отверстия будет иметь
плавный характер. Такое истечение газа будет определяться уравнениями
газодинамических течений.
Если же размеры отверстия малы по сравнению с длиной свободного пробега,
то столкновения между молекулами вблизи отверстия перестают быть значимы.
Никаких промежуточных по давлению областей локального равновесия не будет.
Рассматриваемая формула становится справедливой. Такое истечение газа из
сосуда называют эффузионным потоком.
Пусть у нас имеются два наполненных идеальным газом сосуда, в каждом из
которых поддерживаются постоянные температуры 𝑇1и 𝑇2. Соединим эти сосуды
тонкой трубкой, поперечные размеры которой много меньше длин свободного
пробега молекул каждого из газов (рис. 18.3) в сосудах для равновесности
процесса. Также будем считать, что и продольные размеры трубки много меньше
длин свободного пробега молекул газа в трубке. Соответственно, потоки молекул
слева направо и справа налево независимы, столкновениями молекул в этих
потоках можно пренебречь.
Рис. 18.3. Тепловая эффузия
253
В состоянии равновесия число молекул в каждом из потоков будет
одинаковым:
1
𝑛1⟨𝜐1⟩ =
4
1
𝑛2⟨𝜐2⟩ .
4
Используя уравнение состояния идеального газа в виде 𝑃 = 𝑛𝑘𝑇 и выражение
для среднего значения модуля скорости (17.5)
⟨𝜐⟩ =
8𝑘𝑇
𝜋𝑚
,
а также считая молекулы газа в сосудах одинаковыми, получим условие
равновесия в виде
√
𝑃
𝑃
1
𝑇
2
√
=
1
. (18.10)
𝑇
2
Отсюда следует, что при разных температурах 𝑇1и 𝑇2в сосудах равновесные
давления в них также не будут равны. Пусть температура более горячего сосуда
фиксирована. Тогда чем меньше температура более холодного сосуда, тем меньше
будет равновесное давление в этом сосуде и тем больше будет разность давлений
в сосудах.
Положим теперь, что газ находится в сосуде, разделенном на две части
тонкой пористой перегородкой, размеры пор которой можно считать малыми
по сравнению с длиной свободного пробега. Пористые перегородки могут
удовлетворять этому условию и при атмосферном давлении. Пусть изначально
давления газов слева и справа от перегородки одинаковы, а температуры
различны. В соответствии с условием (18.10), газ начнет перетекать из части
сосуда с более низкой температурой в часть с более высокой. Возникнет
направленный поток массы, вызванный разностью температур. Это явление
называется тепловой эффузией или эффектом Кнудсена.
18.4. Диффузия. Поток массы
Явление диффузии заключается в проникновении одного вещества в другое
в результате теплового движения их молекул. Пусть два вещества исходно
соприкасаются друг с другом, то есть их молекулы разделены в пространстве.
В результате диффузии молекулы веществ начнут перемешиваться. При этом
каждое из исходных веществ будет переходить из частей объема, где его
концентрация больше, в области с меньшей концентрацией.
Как правило, этот процесс достаточно медленный, а значит, локальное равновесие будет устанавливаться гораздо быстрее характерного времени изменения
концентраций отдельных компонент. Поэтому принцип локального равновесия
будет вполне применим, а процесс установления термодинамического равновесия,
которому соответствует однородное перемешивание компонент, можно считать
квазистационарным.
Рассмотрим сосуд, разделенный перегородкой на две части. Пусть в каждой из
частей имеются разные газы при одинаковых давлениях и температурах. Один из
них будем называть основным, а второй – примесным. Если убрать перегородку,
254
то газы начнут перемешиваться. Возникнет диффузионный поток молекул
n(x)
x
j−← → j
+
примесного газа в основной и наоборот. При этом, считая газы идеальными,
мы знаем, что ни температура, ни давление изменяться не будут. В конечном
результате концентрации примесного и основного газа станут однородными во
всем объеме сосуда.
Мы рассмотрим некоторый промежуточный интервал времени 𝜏 , когда
концентрация примесного газа еще неоднородна, но и не меняется значимо за
время 𝜏 . При этом время установления локального равновесия много меньше 𝜏 .
В этом случае концентрацию примесного газа можно представить в виде
монотонной зависимости 𝑛(𝑥) вдоль перпендикулярной исходному положению
перегородки оси 𝑋 , а давление и температуру считать постоянными (рис. 18.4).
Выделим перпендикулярную оси 𝑋 плоскость, отмеченную пунктиром. Потоки
молекул примесного газа в единицу времени слева направо и справа налево
через единицу площади плоскости будут зависеть от его концентрации слева
и справа от этой плоскости. Аналогичные рассуждения справедливы и для
молекул основного газа.
Рис. 18.4. Диффузионный поток
Ранее мы использовали выражение для количества ударов о стенку сосуда (17.7), где 𝐽𝑥= 𝑛 ⟨𝜐⟩/4, считая 𝑛 = const. В данном случае это не так.
Концентрации газов зависят от расстояния до плоскости.
Пусть примесный и основной газы практически одинаковы, то есть имеют
почти одинаковые средние скорости движения молекул и длины свободного
пробега, не зависящие от относительных концентраций газов в смеси. Впрочем,
дальнейшие выводы будут справедливы и для существенно различных газов, если
относительную концентрацию примесного газа можно считать малой величиной.
Тогда поток молекул примесного газа через выбранную плоскость можно
рассчитать, используя интеграл из уравнения (18.9). Диффузионный поток будет
складываться из потока молекул примесного газа слева направо и справа налево:
𝜋/2
2𝜋
∞
ˆ
ˆ
𝑗𝑀= 𝑗𝑀+− 𝑗𝑀−=
ˆ
𝑛(𝑥 − 𝑅 cos Θ)
2
0
0
0
𝜋/2
ˆ
ˆ
−
0
0
4𝜋𝑅
2𝜋
∞
ˆ
𝑛(𝑥 + 𝑅 cos Θ)
0
4𝜋𝑅
2
⟨𝜐⟩
⟨𝜆⟩
𝑅
−
⟨𝜆⟩
𝑒
cos Θ𝑅2sin Θ 𝑑𝑅𝑑𝜙𝑑Θ−
𝑅
⟨𝜐⟩
−
⟨𝜆⟩
𝑒
⟨𝜆⟩
cos Θ𝑅2sin Θ 𝑑𝑅𝑑𝜙𝑑Θ .
255
Преобразуем подынтегральное выражение следующим образом:
𝑛(𝑥 − 𝑅 cos Θ) − 𝑛(𝑥 + 𝑅cos Θ) =
𝑛(𝑥 − 𝑅 cos Θ) − 𝑛(𝑥 + 𝑅cos Θ)
2𝑅 cos Θ
≈ −2𝑅 cos Θ
2𝑅 cos Θ ≈
𝑑𝑛(𝑥)
𝑑𝑥
.
Вообще говоря, величина 2𝑅 cos Θ вовсе не обязательно будет малой. Молекулы
потока примесного газа могут достигать плоскость 𝑆 и после последнего
столкновения на большом расстоянии от нее. С другой стороны, согласно
экспоненциальному множителю под интегралом, их количество будет быстро
падать с ростом 𝑅, а потому можем их игнорировать и считать 2𝑅 cos Θ
сравнимой с длиной свободного пробега, то есть достаточно малой. Таким
образом, имеем
𝜋/2
2𝜋
∞
ˆ
ˆ
𝑗𝑀= −
ˆ
2𝑅 cos Θ
0
0
4𝜋𝑅
0
𝑑𝑛𝑑𝑥⟨𝜐⟩
2
⟨𝜆⟩
𝑅
−
⟨𝜆⟩
𝑒
cos Θ𝑅2sin Θ 𝑑𝑅𝑑𝜙𝑑Θ .
Исходя из принципа локального равновесия и квазистационарности процесса
диффузии можем полагать, что концентрация примесного газа также достаточно
мало меняется на масштабах порядка длины свободного пробега, то есть ее
производную по координате 𝑥, с учетом экспоненциального множителя под
интегралом, можно считать постоянной величиной при интегрировании. Отсюда
диффузионный поток молекул в положительном направлении оси 𝑋
𝑗𝑀= −
1
⟨𝜐⟩⟨𝜆⟩
3
𝑑𝑛
. (18.11)
𝑑𝑥
Параметр
1
𝐷 =
⟨𝜐⟩⟨𝜆⟩ (18.12)
3
называют коэффициентом диффузии, а уравнение
𝑗𝑀= −𝐷
𝑑𝑛
𝑑𝑥
(18.13)
есть закон Фика, согласно которому диффузионный поток пропорционален производной концентрации примеси. В общем случае произвольно ориентированной
поверхности вместо производной необходимо написать градиент скалярного поля
концентрации примесного газа.
Закон Фика изначально был получен экспериментально, и он справедлив для
процессов диффузии и в других средах, например в жидкостях. Если среда не
является идеальным газом, то значение коэффициента диффузии уже не будет
определяться выражением (18.12), но может быть получено экспериментально.
Умножив уравнение закона Фика на массу диффундирующих молекул,
получим уравнение переноса, или потока массы 𝑀 через единицу поверхности в
единицу времени,
𝑀 = −𝐷
𝑑𝜌
𝑑𝑥
,
256
где 𝜌 – плотность диффундирующего вещества. Соответственно, поток массы в диффузионных процессах обусловлен различием концентраций веществ
в пространстве.
Заметим, что коэффициенты диффузии примесного и основного газа,
зависящие от средних скоростей и длин свободного пробега молекул, при
выводе уравнения закона Фика принимались одинаковыми, но для существенно
различных газов полученная формула будет давать разные их значения. При
этом помимо диффузии примесного газа будет возникать и самодиффузия
основного, которая может влиять на диффузию примесного, если молекулы
примесного и основного газов имеют существенно различные средние скорости
и средние длины свободного пробега. Согласно выражениям для средних
длин свободного пробега для смеси газов (18.7) и (18.8), они будут зависеть
и от относительной концентрации компонент. Так как при равенстве давлений
концентрации основного газа слева и справа от плоскости будут различны, то
будут различаться и потоки 𝑗𝑀−, 𝑗
для основного газа, рассчитанные по
𝑀+
формуле (18.11). Чем сильнее будут отличаться величины ⟨𝜐⟩ и ⟨𝜆⟩ основного
газа слева и справа от рассматриваемой плоскости, тем сильнее в расчетах будут
отличаться эти потоки от потоков примесного газа.
В результате использование полученного выражения для расчета диффузионных потоков приведет к разности давлений слева и справа от рассматриваемой
плоскости. В то же время установление равновесия по давлению происходит
гораздо быстрее, чем процесс диффузии. Поэтому реальные экспериментально
измеренные коэффициенты диффузии различных газов все же будут равны,
но они будут зависеть от относительных концентраций примесного и основного
газа. Если концентрация примесного газа мала, то этой зависимостью можно
пренебречь. При значительных концентрациях примесных газов полученное
выражение для коэффициента диффузии будет справедливо лишь для слабо
различающихся газов, например для смеси изотопов. Если один из изотопов радиоактивен, то такую, по сути, самодиффузию, можно наблюдать по излучению
радиоактивного газа.
Из соображений размерности среднеквадратичное смещение молекулы в заданном направлении в результате диффузии𝑥
2
∼ 𝐷𝑡, а более строгое
рассмотрение дает выражение
2
𝑥
= 2𝐷𝑡 .
В трехмерном случае, учитывая, что𝑅
тичное смещение есть
2
𝑅
= 6𝐷𝑡 .
=
2
𝑥
+
2
𝑦
+
2
2
𝑧
, среднеквадра-
18.5. Связь между коэффициентами подвижности
и диффузии
Пусть идеальный газ находится в поле действия постоянной силы𝐹 . В промежутках между столкновениями молекулы газа будут приобретать добавочную
257
среднюю скорость в направлении действия силы
⟨𝜐0⟩ =
𝐹
⟨𝜏⟩ = 𝐵𝐹 , (18.14)
𝑚
где ⟨𝜏 ⟩ – среднее время свободного пробега, а величину 𝐵 называют коэффициентом подвижности молекулы. Выберем ось 𝑋 против направления действия
силы. Каждая молекула газа в поле действия постоянной силы 𝐹 будет иметь
потенциальную энергию 𝑈 = −𝐹 𝑥. Тогда, в соответствии с распределением Больцмана (17.11), распределение концентрации молекул в пространстве
𝐹 𝑥
−
𝑛 = 𝑛0𝑒
𝑘𝑇
.
Поток молекул, вызванный действием силы𝐹 , в соответствии с (18.14),
составит величину
𝑗𝐹= 𝑛 ⟨𝜐0⟩ = 𝐵𝐹 𝑛
в отрицательном направлении оси 𝑋. С другой стороны, из-за переменной
концентрации возникнет и противоположно направленный диффузионный поток
массы
𝑗𝑀= −𝐷
𝑑𝑛
𝑑𝑥
.
В состоянии равновесия их сумма, очевидно, должна быть равна нулю.
−𝐵𝐹 𝑛 − 𝐷
𝑑𝑛
= −𝐵𝐹 𝑛 − 𝐷−
𝑑𝑥
𝐹
𝑘𝑇
𝐹 𝑥
−
𝑘𝑇
𝑛0𝑒
= −𝐵𝐹 𝑛 − 𝐷−
𝐹
𝑘𝑇
𝑛 = 0 .
Отсюда имеем
𝐷 = 𝑘𝑇 𝐵 .
Это соотношение было установлено Эйнштейном, поэтому и носит его имя.
18.6. Вакуумный диффузионный насос
В качестве примера рассмотрим процесс откачки сосуда до глубокого вакуума.
Пусть механический вакуумный насос обеспечивает разрежение воздуха до
концентрации 𝑛1. Подключим его через трубу длиной 𝑙 к откачиваемому
объему (рис. 18.5). Через некоторое время насос обеспечит концентрацию
воздуха 𝑛1и в сосуде. Теперь направим со стороны сосуда по направлению
к насосу параллельный поток атомов ртути.
Воздух состоит в основном из молекул азота и кислорода, а средний молярный
вес молекул воздуха можно принять за 29 г/моль. Молярный вес ртути –
около 200 г/моль. Поэтому можно считать, что при столкновениях атомов ртути
с молекулами воздуха последние будут увлекаться в направлении механического
насоса. Атомы ртути, в свою очередь, практически не будут изменять своего
направления движения и модуля скорости в результате столкновений с легкими
молекулами воздуха. В результате возникнет разность концентраций воздуха
в сосуде и в трубе возле насоса. Оценим необходимую скорость паров ртути,
для того чтобы обеспечить концентрацию воздуха в сосуде 𝑛0< 𝑛1.
258
x
Hg
n0, вакуум
j
дифф
n1, насос
l
Рис. 18.5. Диффузионный вакуумный насос
Конвективный поток молекул воздуха в трубе будет пропорционален концентрации воздуха и скорости паров ртути, а коэффициент пропорциональности
будет зависеть от концентрации паров ртути. Для оценки примем этот коэффициент за единицу.
𝑗
= 𝑛𝜐 .
конв
Поскольку концентрации воздуха в сосуде и в трубе будут различны, то
возникнет и встречный диффузионный поток
= −𝐷
𝑑𝑛
𝑑𝑥
.
𝑗
дифф
В состоянии равновесия концентрации 𝑛0и 𝑛1будут принимать постоянное
значение, поэтому суммарный поток будет равен нулю:
𝑗
конв
+ 𝑗
дифф
= 𝑛𝜐 − 𝐷
𝑑𝑛
𝑑𝑥
= 0 .
Решая это уравнение методом разделения переменных и учитывая граничное
условие
𝑛|
= 𝑛0,
𝑥=0
получим
𝐷
𝜐 =
𝑛
ln
𝑥
.
𝑛
0
Так как при 𝑥 = 𝑙 концентрация воздуха принимает значение 𝑛 = 𝑛1, то искомая
скорость паров ртути
𝐷
𝑛
𝜐 =
1
ln
𝑙
.
𝑛
0
Необходимый численный коэффициент пропорциональности между левой и правой частями этого уравнения, для простоты принятый ранее за единицу, может
быть определен экспериментальным путем.
Вакуумные насосы подобной конструкции называются диффузионными.
Помимо ртути часто используют специальные диффузионные масла. Недостатком такой конструкции насоса является возможность попадания ртути или
диффузионного масла в сосуд, поэтому в ряде случаев, в том числе и когда
требуется получение сверхглубокого вакуума, используют направленный поток
электронов с высокой энергией.
259
Лекция 19
Явления переноса в газах.
Перенос импульса и энергии.
Вязкость. Теплопроводность.
Излучение
19.1. Вязкость
Рассмотрим локально равновесное состояние идеального газа, в котором распределение среднего значения импульса молекул неоднородно в пространстве,
а концентрация и температура газа однородны и имеют постоянные значения.
Такая ситуация возможна при наличии частично упорядоченного движения
молекул газа. Иначе говоря, движение молекул газа можно представить в виде
суперпозиции теплового хаотического движения с одинаковой ⟨𝜐⟩ по всему
объему и упорядоченного движения с некоторой добавочной скоростью 𝑢(𝑟).
Пусть скорость упорядоченного движения газа направлена вдоль оси 𝑋, а ее
величина меняется в зависимости от координаты вдоль оси 𝑍 (рис. 19.1).
Рассмотрим перпендикулярную оси 𝑍 плоскость, отмеченную пунктирной
линией, и посчитаем поток импульса в единицу времени через единицу площади
плоскости. Будем полагать, что скорость упорядоченного движения мала по
сравнению со средней скоростью теплового движения молекул. Тогда поток
молекул через единицу площади плоскости в каждую из сторон можно вычислить
по формуле (18.9):
𝜋/2
2𝜋
∞
ˆ
ˆ
ˆ
𝑗 =
0
0
а для расчета потока импульса необходимо подынтегральное выражение домножить на величину импульса направленного движения вылетающих из объема 𝑑𝑉
𝑛
2
4𝜋𝑅
0
⟨𝜐⟩
⟨𝜆⟩
𝑅
−
⟨𝜆⟩
𝑒
cos Θ𝑅2sin Θ 𝑑𝑅𝑑𝜙𝑑Θ =
260
1
𝑛 ⟨𝜐⟩ ,
4
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]