Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Физика для студентов ГГФ. В 2 частях. Ч.1. Механика, термодинамика и молекулярная физика. Учебное пособие
.pdf
гораздо выше скорости движения самого стержня, но тем не менее она вполне
P = 0
A
P
B
A
′
∆l
l
u = 0u
наблюдаемая. Обозначим эту скорость 𝑐 и определим ее.
В момент удара по, для определенности, левому торцу стержня на него
действует продольная сила, осуществляющая продольное сжатие материала
стержня. Изменение поперечного сечения стержня при его продольном сжатии
обусловлено возникновением и поперечного давления. В однородных материалах,
не имеющих анизотропии упругих свойств, величина давления по всем трем
взаимно перпендикулярным направлениям одинакова. Иначе говоря, продольная сила обеспечивает возникновение всестороннего внутреннего давления 𝑃 ,
которое приводит к увеличению поперечного размера стержня. Но движение
материала стержня под действием этого давления происходит не по всей длине
одновременно, ведь, например, в правой части стержня это давление сначала
отсутствует. Рассмотрим участок стержня 𝐴𝐵 длиной 𝑙. Пусть слева от сечения 𝐴
материал стержня уже сжат, а справа еще нет (рис. 10.9). Соответственно,
справа от сечения 𝐴 давление и скорость равны нулю, а слева имеют некоторые
значения 𝑃, 𝑢.
Рис. 10.9. Распространения возмущения в стержне
Пусть через время 𝑡 граница сжатого материала стержня сместилась вправо
до положения 𝐵, то есть скорость ее распространения может быть задана как
𝑙
𝑐 =
.
𝑡
Поперечный слой материала стержня 𝐴 движется со скоростью 𝑢, а потому его
новое положение 𝐴′через время 𝑡 будет отстоять от исходного на расстояние
Таким образом, относительная осевая деформация участка стержня 𝐴𝐵 составит
∆𝑙 = 𝑢𝑡 .
𝜀 = −
∆𝑙
𝑢
= −
𝑙
.
𝑐
141
Давление, необходимое для такой деформации:
𝑃 = −𝜀𝐸 = 𝐸
При этом участок стержня 𝐴′𝐵 имеет скорость 𝑢, а его масса равна 𝑚 = 𝜌𝑙𝑆,
где 𝑆 – исходная площадь его поперечного сечения, то есть массе исходного
участка 𝐴𝐵, считая плотность стержня равной 𝜌. Иначе говоря, этот участок
за время 𝑡 приобрел импульс 𝑝 = 𝑚𝑢 под действием силы 𝐹 = 𝑃 𝑆, возникающей
в результате разности давлений слева и справа от него. Считая давление
постоянным, а изменение площади поперечного сечения стержня в результате
сжатия малым, имеем
𝑚𝑢 = 𝜌𝑙𝑆𝑢 = 𝜌𝑐𝑡𝑆𝑢 = 𝐹 𝑡 = 𝑃 𝑆𝑡 = 𝐸
откуда получаем скорость распространения объемных упругих возмущений
в стержне
𝑐 =
𝑢
.
𝑐
𝑢
𝑆𝑡 ,
𝑐
𝐸
. (10.4)
𝜌
10.8. Распространение продольных и поперечных
возмущений
При распространении возмущений в стержне помимо продольного движения
материала возникает и поперечное, в результате его осевой деформации. Для
чисто продольного движения материала стержня необходимо жестко зажать
его боковую грань. Тем самым будет реализован случай односторонней или
одноосной деформации. Рассматривая деформации стержня, мы отмечали, что
за время 𝑡 происходило сжатие материала стержня на масштабе 𝑙 (рис. 10.9),
при этом происходила и его поперечная деформация в сечении 𝑆. Для тонкого
стержня характерный масштаб 𝑙 можно считать сопоставимым с линейными
размерами сечения 𝑆. Соответственно, и продольные, и поперечные деформации
можно считать осуществляющимися за сопоставимые времена. Если же продольный масштаб мал по сравнению с поперечным, то сначала будет наблюдаться
только продольное движение материала, а поперечное будет происходить позже.
Стоит заметить, что продольный масштаб определяется характером воздействия,
а именно скоростью нарастания напряжения в материале или частотой упругих
возмущений, если они периодические. Поэтому то, какой стержень можно считать тонким, а для какого изначальные деформации можно считать одноосными,
будет определяться параметрами воздействия и свойствами самого материала.
При промежуточных размерах анализ распространения упругих возмущений
будет существенно сложнее.
Рассматривая чисто продольные возмущения вещества, в выражении для скорости распространения возмущений (10.4) модуль Юнга следует заменить на модуль одноосного сжатия 𝐸′, откуда скорость одноосных продольных возмущений
𝑐‖=
′
𝐸
.
𝜌
142
Заметим, что эта скорость выше скорости волн сжатия в незакрепленном
γ
ut
c
⊥
t
с боковых граней стержне, так как 𝐸′> 𝐸.
Рассмотрим теперь поперечное движение материала. Движение в поперечном
направлении рассматриваемого тела будет передаваться вдоль материала под
действием сдвигового напряжения 𝜏, или силы на единицу площади поперечного
сечения. Приложим сдвиговое напряжение 𝜏 к торцу участка стержня длиной 𝑙
и массой 𝑚 = 𝜌𝑙𝑆. Пусть через время 𝑡 этот участок стержня приобретет
поперечную скорость 𝑢, или импульс 𝜌𝑙𝑆𝑢 под действием силы 𝜏 𝑆
𝜏𝑆𝑡 = 𝜌𝑙𝑆𝑢 ,
тогда как оставшийся участок стержня пока будет неподвижным.
Обозначая 𝑙/𝑡 = 𝑐⊥, где 𝑐⊥– скорость распространения поперечных упругих
колебаний, получим
𝜏 = 𝜌𝑐⊥𝑢 .
Отметим, что 𝑐⊥направлена вдоль стержня, а 𝑢 – поперек.
Определим деформацию сдвига рассматриваемого участка. За время 𝑡
поперечное возмущение распространяется вдоль стержня на расстояние 𝑙 = 𝑐⊥𝑡,
а материал левого торца этого участка стержня смещается на расстояние 𝑢𝑡 (рис. 10.10). Таким образом, имеем угол сдвига
𝛾 ≈ tg 𝛾 =
𝑢
,
𝑐
⊥
где мы учли, что деформации малы.
Рис. 10.10. Деформация сдвига при поперечном возмущении
В то же время 𝜏 = 𝐺𝛾, а тогда
𝑐⊥=
𝐺
.
𝜌
Учитывая связь модуля сдвига 𝐺 с модулем Юнга 𝐸 и коэффициентом
Пуассона 𝜇
𝐺 =
𝐸
2(1 + 𝜇)
и тот факт, что в обычных средах 𝜇 6 1/2, имеем 𝐺 6 𝐸 и 𝑐⊥6 𝑐 для тонких
незакрепленных с боковой поверхности стержней. Также учитывая, что 𝐸′> 𝐸,
имеем 𝐺 < 𝐸′и 𝑐⊥< 𝑐‖для жестко зажатого с боковой поверхности стержня или
143
в случае неограниченной упругой среды. Примером поперечных волн в стержнях
являются волны кручения. В силу разных скоростей продольных и поперечных
волн наблюдается расщепление и сейсмических волн. Изучение распространения
этих волн позволило установить, что Земля состоит из коры, мантии и ядра,
имеющего жидкую оболочку.
Таким образом, в обладающих упругостью средах могут распространяться
упругие возмущения с различными скоростями. Эти возмущения называют
звуковыми волнами, а их скорость – скоростью звука. В зависимости от упругих
свойств среды различия между объемной, продольной и поперечной скоростями
звука могут быть весьма существенны.
10.9. Поперечные волны в натянутом шнуре
Поперечные волны в упругих телах существуют благодаря силам сопротивления деформациям сдвига и возвращению тела под их действием в исходное
состояние после прекращения действия внешних сил. Рассмотрим тонкий шнур.
Если он просто лежит на горизонтальном гладком столе, то он нисколько
не сопротивляется поперечным смещениям. Однако стоит его натянуть до
некоторого натяжения 𝑇 , это сопротивление возникнет. Соответственно, теперь
по нему смогут распространяться упругие поперечные волны. Определим, какая
величина выступает в роли модуля сдвига в натянутом шнуре.
Считая поперечные деформации малыми, будем полагать, что натяжение 𝑇
не изменит своего направления, но поперечное сечение шнура при деформации
повернется на малый угол 𝛾. Тогда касательная к поперечному сечению часть
силы составит 𝑇 sin 𝛾 ≈ 𝑇 𝛾. Отсюда касательное напряжение, или сила на
единицу площади,
𝑇
𝛾 .
𝜏 =
𝑆
Учитывая, что для деформации сдвига справедливо 𝜏 = 𝐺𝛾, роль модуля
сдвига выполняет величина 𝑇 /𝑆. Поэтому скорость распространения упругих
поперечных волн в натянутом шнуре есть
𝑐⊥=
𝑇
𝑆𝜌
.
144
Лекция 11
Механика жидкостей и газов
Положение абсолютно твердого тела в пространстве мы задавали, например,
указанием пространственных координат каких-либо трех его точек, не лежащих
на одной прямой. Для упруго деформируемого тела нам дополнительно необходимо было задать его относительные деформации, сжатие или растяжение
вдоль каких-либо направлений, угол сдвига, кручения или изгиба. Причем
изменения формы упругого тела или смещения составляющих его атомов
считались малыми.
В случае жидкостей и газов такой подход будет неприменим. Жидкость
принимает форму заполненной части сосуда, а газ занимает объем сосуда
целиком. Атомы и молекулы жидкости или газа относительно свободно могут
перемещаться по всему занимаемому объему. Тем не менее в жидкостях и газах
в общем случае также имеют место взаимодействия между различными их
участками, в результате которых возникают внутренние напряжения.
Мы будем рассматривать механику жидкости и газа с точки зрения движения
сплошной среды. Любой малый элемент объема такой среды будем считать
и достаточно большим, то есть содержащим большое число атомов и молекул,
и имеющим в целом те же физические свойства, что и остальная часть
этой среды. Движение таких элементов объема под действием каких-либо сил
называют течением.
Проводя аналогию с механикой, такие объемы называют жидкими частицами,
имея в виду, что уравнения их движения в целом аналогичны механическим
уравнениям движения материальных точек.
11.1. Идеальная несжимаемая жидкость
Опыт показывает, что большинство жидкостей практически не изменяют
своего объема вне зависимости от величины приложенных сил в довольно
широком диапазоне их значений. Тем не менее это не означает, что можно
пренебрегать внутренними напряжениями. При попытке сближения соседних
молекул жидкости силы отталкивания между ними быстро возрастают, то
есть возникают внутренние напряжения. Как правило, жидкость находится под
действием сжимающих ее сил, поэтому эти напряжения называют давлением.
145
Во многих случаях мы можем считать, что перемещение одних слоев жидко-
P
x
P
y
сти относительно других происходит без возникновения сдвиговых напряжений.
Иначе говоря, не возникает сил внутреннего трения, отвечающих за такую
характеристику жидкостей, как вязкость.
Соответственно, идеальной несжимаемой жидкостью называют абсолютно
несжимаемую и невязкую жидкость.
11.2. Гидростатика идеальной жидкости
11.2.1. Закон Паскаля
Рассмотрим элемент объема неподвижной жидкости, имеющий форму куба. Со
стороны каждой грани, нормальной к осям 𝑋, 𝑌, 𝑍 , на этот объем действуют
давления 𝑃𝑥, 𝑃𝑦, 𝑃𝑧, а также возможно и действие какой-нибудь массовой силы,
например 𝑚𝑔, где 𝑚 – масса этого объема. Учитывая, что 𝑃 = 𝐹/𝑆, с
уменьшением размеров элемента объема силы, действующие на его грани, будут
убывать пропорционально его площади, а массовая сила – пропорционально
объему. Следовательно, мы можем считать элемент объема достаточно малым,
чтобы пока пренебречь действием массовых сил.
Пусть перпендикулярная оси 𝑋 грань куба находится на поверхности
жидкости. Из условия неподвижности следует, что величина нормального
давления на элемент жидкости со стороны ее поверхности равна давлению 𝑃
на противоположную грань куба со стороны жидкости. Теперь разрежем куб по
диагонали, как указано на рис. 11.1.
𝑥
Рис. 11.1. К выводу закона Паскаля
Поскольку сдвиговые напряжения отсутствуют, то на диагональную грань
может действовать только нормальное давление. А тогда из условия равновесия
верхней половины куба следует, что 𝑃𝑥= 𝑃𝑦. Действуя аналогичным образом,
можно показать, что
𝑃𝑥= 𝑃𝑦= 𝑃𝑧.
Полученное равенство есть математическая форма закона Паскаля. Внешние
силы, действующие на поверхность жидкости, опосредовано воздействуют на
любой элемент объема этой жидкости через давление. Исходя из равенства
146
давлений по всем трем осям, давление, вызываемое действием внешней силы,
одинаково передается по всем направлениям и по всему объему жидкости.
11.2.2. Закон Архимеда
Пусть теперь рассматриваемый элемент объема жидкости не является малым
и мы не можем пренебречь массовой силой тяжести, действующей на него.
В условиях равновесия результирующая сила со стороны окружающей жидкости
на элемент ее объема должна быть в точности равна силе тяжести. Пусть
плотность жидкости 𝜌ж, а ее объем 𝑉 . Тогда сила, с которой действует
окружающая жидкость на рассматриваемый элемент объема, равна 𝜌ж𝑔𝑉 .
Допустим теперь, что рассматриваемый объем жидкости мы заменили какимлибо телом. Результирующая сила со стороны жидкости на тело, обусловленная
внутренними напряжениями в ней, не изменилась, поэтому если плотность
тела будет меньше плотности жидкости, то оно будет выталкиваться наверх.
Это утверждение есть закон Архимеда: если тело, погруженное в жидкость,
удерживается в механическом равновесии, то со стороны окружающей жидкости
на него действует выталкивающая сила, численно равная весу жидкости
вытесненного телом объема.
Заметим, что выталкивающая сила приложена к центру масс вытесненного
объема жидкости, тогда как сила тяжести, действующая на тело, приложена
к центру масс тела. В общем случае эти точки не совпадают. Для того чтобы тело
находилось в равновесии, необходимо, чтобы равнялась нулю не только сумма
всех сил, но и суммарный момент этих сил относительно какой-либо точки. Это
означает, что центры масс и вытесненного объема жидкости, и погруженного в
жидкость тела должны находиться на вертикальной прямой.
Если центр масс тела выше центра масс объема жидкости, то такое
равновесие не будет устойчивым. Случайное малое изменение ориентации тела
в пространстве будет приводить к возникновению момента сил, направленного на
дальнейшее отклонение центра масс тела от исходного положения. В случае же
когда центр масс тела будет находиться ниже центра масс вытесненного объема
жидкости, возникающий момент сил будет стремиться вернуть тело в исходное
положение, которое будет являться положением устойчивого равновесия.
В случае плавающих тел их центр масс, как правило, находится выше центра
масс вытесненного объема жидкости. Их устойчивость, при необходимости,
достигается формой поверхности погруженной части тела и обуславливается
тем, что центр масс вытесняемого объема жидкости смещается в направлении
наклона тела.
11.2.3. Гидростатическое давление
Равновесие рассмотренного элемента жидкости в поле сил тяжести достигается
за счет равенства силы тяжести и суммы сил, действующих на его верхнюю
и нижнюю поверхности со стороны окружающей жидкости. Это означает, что
давление жидкости будет расти с глубиной. Найдем зависимость давления
покоящейся жидкости в поле тяжести от глубины. Рассмотрим столб жидкости
высотой ℎ. Со стороны окружающей жидкости на него будет действовать
147
выталкивающая сила ∆𝑃 𝑆, где 𝑆 – площадь поперечного сечения столба. Сила
тяжести, действующая на столб жидкости объемом 𝑉 = 𝑆ℎ и плотностью 𝜌,
есть 𝜌𝑆ℎ𝑔. Откуда имеем ∆𝑃 𝑆 = 𝜌𝑆ℎ𝑔, или
∆𝑃 = 𝜌𝑔ℎ .
Полученное изменение давления жидкости с глубиной в поле сил тяжести
называют гидростатическим давлением. При постоянной плотности жидкости
эта формула позволяет измерять давление в единицах длины, например в миллиметрах ртутного столба. В международной системе единиц (СИ) единица
измерения давления – паскаль (1 Па = 1 Н/м2). Величина нормального
атмосферного давления составляет примерно 1, 013 ·105Па.
Пусть верхний торец столба жидкости совпадает с ее поверхностью, на
которую могут действовать какие-либо постоянные силы, например сила атмосферного давления. Тогда полученное уравнение, согласно закону Паскаля,
можно записать в виде
𝑃 (ℎ) = 𝑃0+ 𝜌𝑔ℎ , (11.1)
где 𝑃0есть величина давления со стороны атмосферы на поверхность жидкости.
Величина гидростатического давления не зависит от формы сосуда, поэтому
уровни идеальной жидкости в сообщающихся сосудах одинаковы.
11.2.4. Жидкость во вращающемся сосуде
Пусть жидкость помещена в цилиндрический сосуд, который равномерно
вращается с угловой скоростью 𝜔 вокруг своей оси симметрии. Так как реальные
жидкости все же обладают вязкостью, в них будут возникать сдвиговые напряжения, приводящие к тому, что жидкость будет увлекаться во вращательное
движение. Через некоторое время угловая скорость жидкости станет равна 𝜔.
Рассмотрим установившееся движение жидкости, вращающейся вместе с сосудом
с одинаковой угловой скоростью.
Перейдем во вращающуюся систему отсчета, в которой жидкость будет
покоиться. На каждый элемент жидкости 𝑑𝑉 будет действовать центробежная
сила инерции (7.8), равная
𝐹 = 𝜌𝑑𝑉 𝜔2𝑟 ,
где 𝑟 – расстояние до элемента 𝑑𝑉 от оси вращения. Поскольку жидкость
находится в равновесии, то эта сила должна быть скомпенсирована давлением
жидкости. Найдем добавку к гидростатическому давлению жидкости, обусловленному центробежной силой инерции. Рассмотрим элемент объема жидкости
с площадью поперечного к радиальному направлению сечения 𝑑𝑆 и длиной 𝑑𝑟
вдоль радиального направления, то есть 𝑑𝑉 = 𝑑𝑟𝑑𝑆.
Условие равновесия по горизонтали:
(𝑃 (𝑟 + 𝑑𝑟) − 𝑃 (𝑟))𝑑𝑆 = 𝜌𝑑𝑟𝑑𝑆𝜔2𝑟 .
Поделив на 𝑑𝑟𝑑𝑆, получим
𝑑𝑃
= 𝜌𝜔2𝑟 ,
𝑑𝑟
148
откуда после интегрирования имеем
1
𝑃 =
𝜌𝜔2𝑟2+ const,
2
где произвольная константа должна равняться нулю, так как при 𝑟 = 0 никакой
центробежной силы инерции не возникает, а потому и не должно быть добавки
к давлению.
Подставляя найденную добавку к давлению для каждого элемента жидкости
в выражение для гидростатического давления, записанного для вертикальной
оси, получим, что оно теперь зависит и от расстояния до оси вращения:
𝑃 (ℎ, 𝑟) = 𝑃0+ 𝜌𝑔ℎ +
Заметим, что при 𝑃 (ℎ, 𝑟) = const мы получим уравнение параболы. В силу
симметрии относительно поворота поверхность одинакового давления в жидкости будет являться параболоидом вращения. Таким образом, и поверхность
вращающейся жидкости в сосуде, где выполнено условие 𝑃 = 𝑃0, будет
представлять собой параболоид вращения, что и наблюдается на практике.
1
𝜌𝜔2𝑟2.
2
11.3. Движение несжимаемой жидкости
11.3.1. Линии и трубки тока
Пусть сумма сил, действующих на какой-либо элемент объема жидкости или
жидкую частицу, не равна нулю. Очевидно, что этот элемент объема придет
в движение. Равновесное состояние жидкости нарушится, за счет сил взаимодействия между соседними элементами объема они также будут вовлекаться
в движение, которое называют течением. Каждой жидкой частице в общем
случае присуща зависящая от ее местоположения своя скорость движения 𝜐.
Иначе говоря, мы имеем функцию 𝜐(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡), определенную в каждой точке
занятого жидкостью пространства, или векторное поле скоростей течения.
Мы ограничимся рассмотрением случая стационарного, или установившегося,
течения, когда 𝜐 зависит от пространственных координат, но не от времени.
Заметим, что выполнение условия стационарности течения может зависеть от
выбора системы отсчета.
Проведем линии, которые в каждой точке пространства являются касательными к вектору скорости 𝜐. Такие линии называются линиями тока. В случае
стационарного течения они будут совпадать с траекториями жидких частиц.
Заметим, что линии тока не могут иметь точек пересечений, так как в противном
случае у нас окажется неопределенным направление вектора скорости в таких
точках.
Часть объема жидкости, ограниченную с боковых поверхностей линиями
тока, называют трубкой тока. Заметим, что находящиеся внутри трубки тока
жидкие частицы при своем движении не могут пересечь ее боковых поверхностей,
равно как и те, что находятся снаружи. Рассмотрим трубку тока с бесконечно малым поперечным сечением, чтобы считать скорость жидких частиц одинаковой
149
по всей площади любого сечения такой трубки тока. Выберем два поперечных
dS
1
υ
1
υ
2
dS
2
сечения этой трубки тока 𝑑𝑆1и 𝑑𝑆2, в которых скорость жидкости принимает
значения 𝜐1и 𝜐2(рис. 11.2).
Рис. 11.2. Трубка тока
В случае стационарного течения масса жидкости, протекающей через сечение 𝑑𝑆1в единицу времени, равна протекающей через сечение 𝑑𝑆2за тот
же промежуток времени. Для несжимаемой жидкости одинаковыми будут
и плотности жидкости в этих сечениях. Следовательно, принимая за 𝑑𝑉 объем
протекающей через сечение трубки тока жидкости в единицу времени, имеем
𝜌𝑑𝑉 = 𝜌𝜐1𝑑𝑡𝑑𝑆1= 𝜌𝜐2𝑑𝑡𝑑𝑆2,
откуда имеем
𝜐1𝑑𝑆1= 𝜐2𝑑𝑆2.
Так как это условие справедливо для любых двух сечений, то для одного
произвольного сечения трубки тока его можно записать как
𝜐𝑑𝑆 = const .
Это условие называется уравнением неразрывности.
При стационарном течении идеальной жидкости по какой-нибудь действительной трубе объем этой трубы можно рассматривать как трубку тока. В местах,
где труба шире, жидкость течет медленнее, а где ´уже – быстрее.
11.3.2. Уравнение Бернулли
Рассмотрим более подробно уравнение неразрывности. Пусть, для определенности, рассматриваемый участок трубки тока является сужающимся, то есть на
выходе из него скорость жидкости оказывается выше, чем на входе. Это означает,
что на втекающую в более узкую часть трубки тока жидкость действует сила со
стороны жидкости, находящейся в более широкой ее части. Поскольку никаких
массовых сил, действующих на жидкость, мы не вводили, эта сила определяется
разностью давлений жидкости, находящейся снаружи от рассматриваемого
участка трубки тока с широкого и узкого его сечений. Найдем работу этой силы.
Пусть кинетическая энергия жидкости в трубке тока, ограниченной сечениями 𝑑𝑆1и 𝑑𝑆2, равна 𝐾. За бесконечно малое время 𝑑𝑡 из трубки вытечет масса
воды 𝑑𝑚2= 𝜌𝜐2𝑑𝑡𝑑𝑆2, а ее кинетическая энергия 𝑑𝐾2= 𝑑𝑚2𝜐
самое время в трубку тока, в силу стационарности течения, поступит ровно
та же самая масса воды 𝑑𝑚1= 𝑑𝑚2. Запишем ее как 𝑑𝑚1= 𝜌𝜐1𝑑𝑡𝑑𝑆1. Она
будет иметь кинетическую энергию 𝑑𝐾1= 𝑑𝑚1𝜐
150
2
/2, причем 𝑑𝐾2> 𝑑𝐾1. В силу
1
2
/2. В то же
2
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]