Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Физика для студентов ГГФ. В 2 частях. Ч.1. Механика, термодинамика и молекулярная физика. Учебное пособие
.pdf
Совместное решение полученной системы уравнений, состоящей из законов
сохранения импульса, момента импульса, энергии и выражения для момента
инерции стержня 𝐼0= 𝑀𝐿2/12, дает
𝐿
𝑀
√
𝑥 = ±
Заметим, что решение существует лишь при 𝑚 < 𝑀. В противном случае
не существует такой точки удара тел, чтобы шар массой 𝑚 имел после удара
нулевую скорость.
12
𝑚
− 1 .
9.3. Элементы статики
В этом параграфе мы рассмотрим условия равновесия механических систем под
действием приложенных сил. В состоянии равновесия мы должны иметь не
только равенство нулю векторной суммы всех внешних сил, но и равенство нулю
векторной суммы моментов этих сил.
Выделяют прямую и обратную задачи статики. Прямая задача статики
состоит в нахождении величин неизвестных сил, приложенных к известным
точкам находящегося в равновесии тела. Обратная задача статики – определение
неизвестных положений точек приложения известных сил для уравновешивания
тела. Рассмотрим эти задачи на примерах.
9.3.1. Равновесие протяженного тела на наклонной
плоскости
Пусть тело покоится на наклонной плоскости (рис. 9.3). На него действуют 3
силы: тяжести, реакции опоры и трения. В покое сумма этих сил равна нулю.
Если тело протяженное, то мы должны требовать равенства нулю и суммы
моментов этих сил.
Перейдем в систему отсчета, связанную с проходящей через центр масс тела
осью вращения. Сила тяжести приложена к центру масс тела, и потому ее
момент равен нулю. Сила трения приложена вдоль поверхности касания тела
с наклонной плоскостью, и ее момент не равен нулю. В то же время, исходя из
условия равновесия, суммарный момент сил должен равняться нулю. Равенство
его нулю обеспечивается неравномерностью действия силы реакции опоры вдоль
поверхности касания. Соответственно, неравномерно действует и сила трения
вдоль этой поверхности. Не углубляясь в детали, отметим, что действие этих сил
можно представить в виде средней равномерной силы трения и результирующей
силы реакции опоры, выбор точки приложения которой и обеспечивает равенство
нулю момента сил.
В общем случае сила трения покоя нам неизвестна, поэтому мы рассмотрим
предельный случай равновесия тела, когда она равна силе трения скольжения.
Тогда в выбранной системе координат имеем
𝑚𝑔 cos 𝛼 = 𝑁
121
x
y
α
~
N
~
F
тр
m~g
α
x
Рис. 9.3. Равновесие протяженного тела на наклонной плоскости
x
~
N
1
m~g
α
~
F
тр1
~
F
тр2
~
N
2
y
и
𝑚𝑔 sin 𝛼 = 𝐹тр= 𝜇𝑁 .
Баланс моментов сил запишем относительно оси, проходящей через центр масс
тела, считая тело однородным и имеющим высоту 𝑑,
0 = 𝑀 = 𝑁𝑥 − 𝐹
Отсюда имеем, что результирующая сила реакции опоры приложена к телу на
расстоянии
от его середины.
тр
𝑥 = 𝜇
𝑑
= 𝑁𝑥 − 𝜇𝑁
2
𝑑
2
𝑑
.
2
9.3.2. Равновесие лестницы, прислоненной к стенке
Пусть лестница длиной 𝐿 и массой 𝑚 прислонена к вертикальной стенке, как
указано на рис. 9.4. Коэффициент трения лестницы о пол 𝜇1, а о стенку – 𝜇2.
Найдем предельный угол 𝛼, при котором лестница еще может стоять неподвижно
и не падать.
Рис. 9.4. Равновесие лестницы, прислоненной к стенке
Запишем баланс сил по осям 𝑋 и 𝑌 :
𝑁2= 𝐹
122
тр1
,
𝑚𝑔 = 𝑁1+ 𝐹
тр2
.
Будем считать, что силы трения покоя достигают своих критических величин
и равны силам трения скольжения: 𝐹
= 𝜇1𝑁1, 𝐹
тр1
= 𝜇2𝑁2. Заметим, что это
тр2
условие будет выполнено одновременно для верхней и нижней точек, так как
двигаться эти точки лестницы могут только одновременно.
Баланс моментов сил запишем относительно неподвижной оси вращения,
проходящей через нижнюю точку лестницы.
𝐿
𝑚𝑔
cos 𝛼 − 𝑁2𝐿 sin 𝛼 − 𝜇2𝑁2𝐿 cos 𝛼 = 0 .
2
Решением получившейся системы уравнений будет значение угла
tg 𝛼 =
1 −𝜇1𝜇
2𝜇
2
,
1
соответствующего равновесию лестницы. Из этого выражения видно, что при
отсутствии трения о пол, или при 𝜇1= 0, лестница не сможет стоять наклонно
и при ненулевом значении 𝜇2.
9.4. Устойчивость положения равновесия
Рассмотрим кратко понятие устойчивости положения равновесия тела, сначала
ограничившись случаем отсутствия диссипативных, или неконсервативных сил.
Иначе говоря, рассмотрим такие системы, в которых мы вправе записать закон
сохранения энергии в виде
𝑇 + 𝑈 = const .
Предположим, что система находится в равновесном состоянии, когда кинетическая энергия неизменно равна нулю (𝑇 = 0). Сообщим теперь системе некоторое
количество кинетической энергии 𝛿𝑇 . Полная энергия системы увеличится, но
далее будет оставаться постоянной:
𝛿𝑇 + 𝑈 = const .
Пусть при смещении системы из исходного состояния ее потенциальная энергия
убывает. Тогда очевидно, что при движении из начального положения кинетическая энергия системы будет расти. Поэтому система все быстрее будет отдаляться
от своего начального положения.
Учтем теперь диссипативные силы. Рассматриваемая система уже не будет
иметь возможности вернуться в состояние с исходным значением потенциальной
энергии и нулевой кинетической энергией, поскольку ее потенциальная энергия
при движении из положения равновесия будет уменьшаться, а кинетическая –
переходить в работу диссипативных сил. Соответственно, имеем, что любое
бесконечно малое воздействие будет необратимо выводить систему из равновесного состояния. Такое равновесное состояние называется неустойчивым.
Потенциальная энергия системы в таком положении, очевидно, имеет максимум.
Теперь положим, что, наоборот, потенциальная энергия возрастает при
смещении относительно исходного состояния покоя. Тогда из закона сохранения
123
энергии имеем, что при сообщении системе малого количества кинетической
энергии она будет затрачена на малое увеличение потенциальной энергии. Таким
образом, система сместится из своего исходного состояния лишь на малое
расстояние и, в случае наличия диссипативных сил, может вернуться в свое
исходное состояние, если 𝛿𝑇 будет равна работе диссипативных сил. Такое
положение равновесия называется устойчивым. Потенциальная энергия системы
вблизи этого положения имеет минимум.
В качестве примера рассмотрим физический маятник (рис. 9.1), потенциальная энергия которого
𝑈 = 𝑚𝑔𝑟(1 − cos 𝜙) .
Найдем ее экстремумы:
𝑑𝑈
= 𝑚𝑔𝑟 sin 𝜙 = 0 .
𝑑𝜙
Соответственно, точками экстремума потенциальной энергии являются значения
углов 𝜙 = 0 или 𝜙 = 𝜋. Возьмем вторую производную:
𝑑2𝑈
= 𝑚𝑔𝑟 cos 𝜙 .
2
𝑑𝜙
При 𝜙 = 0 она положительна, следовательно, это точка минимума потенциальной
энергии, или положение устойчивого равновесия. При 𝜙 = 𝜋 имеем положение
неустойчивого равновесия.
9.5. Гироскопы
Гироскопом называют массивное и симметричное относительно оси вращения
твердое тело, вращающееся относительно нее с большой угловой скоростью.
Пусть гироскоп с моментом инерции 𝐼0имеет большую угловую скорость 𝜔,
а моменты всех внешних сил равны нулю. Его момент импульса, совпадающий
по направлению с угловой скоростью,
𝐿 = 𝐼0𝜔 ,
очевидно, также составляет очень большую величину.
Пусть теперь на гироскоп действуют внешние силы. Изменение момента
импульса гироскопа под действием момента внешних сил
𝜏
ˆ
0
𝑀 𝑑𝑡 .
∆𝐿 =
Если время действия внешней силы 𝜏 мало, то даже воздействие очень больших
сил, возникающих, например, в результате удара, будет слабо сказываться на вращательном движении гироскопа и положении его оси вращения в пространстве.
Теперь положим, что на гироскоп действует постоянная сила, момент которой
не равен нулю. Реализовать это можно, например, установив ось вращения
гироскопа под некоторым углом Θ к вертикали (рис. 9.5). Тогда такой силой
будет являться сила тяжести.
124
~r
m~g
Θ
~ω
Рис. 9.5. Гироскоп
Опыт показывает, что гироскоп не будет сразу падать, поскольку он обладает
большим моментом импульса. При этом, опять же из опыта, мы знаем, что
положение оси вращения гироскопа все же меняется в пространстве так,
что вектор его осевого момента импульса описывает в пространстве конус
с вершиной в точке опоры гироскопа на горизонтальную плоскость. Таким
образом, наблюдается вращение гироскопа не только вокруг собственной оси
с угловой скоростью 𝜔, но и вокруг вертикальной оси с некоторой угловой
скоростью Ω. Такое движение называется прецессионным. Причем чем выше 𝜔,
тем меньше угловая скорость Ω относительно вертикальной оси.
Рассмотрим это вращение в приближении 𝜔 ≫ Ω. В этом случае можно
пренебречь вкладом в величину полного момента импульса гироскопа от
его прецессионного движения и считать его всегда направленным вдоль оси
гироскопа. Момент силы тяжести относительно точки касания
𝑀 = 𝑚𝑔𝑟 sin Θ
перпендикулярен плоскости векторов 𝑟 и 𝑔. В указанной на рис. 9.5 схеме он будет
направлен от нас, поскольку сила тяжести стремится вращать тело по часовой
стрелке. Запишем уравнение осевых моментов
𝑑𝐿 =𝑀𝑑𝑡 .
Таким образом, сила тяжести будет стремиться повернуть направление момента
импульса гироскопа, как раз и вызывая прецессионное смещение его оси
вращения в направлении, перпендикулярном направлению действия самой силы
тяжести (рис. 9.6).
Пусть момент импульса гироскопа изменился на величину 𝑑𝐿. Из рис. 9.6
имеем
Угловая скорость прецессии связана с углом 𝜙 равенством
𝑑𝐿
= 𝐿 sin Θ𝑑𝜙 .
𝑑𝜙
𝑑𝑡
= Ω .
125
dϕ
L sin Θ
d~L
~
Ω
~
L + d
~
L
~
L
Θ
Рис. 9.6. Прецессия гироскопа
Подставляя 𝑑𝜙 в уравнение изменения момента импульса гироскопа, имеем
𝑑𝐿 = 𝐿Ω sin Θ𝑑𝑡 = 𝑚𝑔𝑟 sin Θ𝑑𝑡.
Так как
Отсюда видно, что чем выше скорость вращения гироскопа, тем меньше скорость
его прецессии. Так как 𝜔 ≫ Ω, имеем, что 𝐼0𝜔 ≫ 𝑚𝑔𝑟. Кинетическая энергия
вращения гироскопа много больше его потенциальной энергии. Заметим, что Ω
не зависит от угла наклона гироскопа.
тикальной оси, не падает. Дело тут в грубости нашего приближения. Мы
не учитывали вклад прецессионного движения в момент импульса гироскопа,
но это и довольно затруднительно сделать математически. Очень схематично
рассмотреть этот вклад можно рассуждая следующим образом. Увеличение
угла наклона оси гироскопа Θ приводит к уменьшению проекции его момента
импульса вращательного движения на вертикальную ось, которое компенсируется увеличением момента импульса прецессионного движения. Мы помним, что
поменять суммарную величину момента импульса гироскопа быстро невозможно.
Уменьшение потенциальной энергии гироскопа вызывает увеличение кинетической энергии прецессионного движения, происходит вынужденный поворот
направления вектора момента импульса вращательного движения гироскопа, то
есть и самого гироскопа вокруг вертикальной оси.
угловой скоростью Ω системе отсчета. При увеличении наклона гироскопа его
центр масс отдаляется от оси вращения во вращающейся системе отсчета,
и возникает кориолисова сила, заставляющая вращаться центр масс гироскопа
вокруг вертикальной оси. То есть растет Ω гироскопа. Иначе говоря, у центра
масс гироскопа появляется угловая скорость во вращающейся системе отсчета,
𝐿
= 𝐼0𝜔, получим величину скорости прецессии
𝑚𝑔𝑟
Ω =
Остается невыясненным, почему раскрученный гироскоп, наклоненный к вер-
Рассмотрим это движение во вращающейся с постоянной прецессионной
𝐼0𝜔
.
126
а следовательно, возникает и кориолисова сила, направленная к оси вращения.
В результате центр масс обратно приближается к оси вращения, а избыточная
кинетическая энергия прецессионного движения возвращается в потенциальную.
Соответственно, кориолисовы силы вызывают рост прецессионной угловой
скорости гироскопа Ω и стремятся придвинуть ось 𝜔 к осиΩ. В случае гироскопа
эти кориолисовы силы часто называют гироскопическими. Они стремятся
совместить направление момента импульса вращения гироскопа с направлением
угловой скорости вынужденного поворота, то есть прецессионного движения.
Получаем аналог движения по кругу под действием центростремительного
ускорения. В итоге траектория верхней точки гироскопа будет описывать более
сложную фигуру, чем окружность, но чем меньше будет угол наклона, тем
меньше она будет отличаться от окружности.
Заметим, что момент силы тяжести пропорционален Ω, то есть угловой
скорости, а не ускорению. Тогда если мы сможем мгновенно убрать внешние
силы, то и прецессия гироскопа прекратится. Таким образом, прецессионное
движение является безынерционным, а прецессия гироскопа позволяет определить изменение внешних сил. При движении с ускорением системы, содержащей
гироскоп, ее ускорение может быть измерено лишь посредством определения
скорости прецессии гироскопа.
127
Лекция 10
Механика упругих тел
Во многих случаях движения механических систем использование модели
твердого тела будет недостаточно точным. Под действием приложенных сил
форма тел может претерпевать изменения, которые называют деформациями.
Деформации тел можно условно разделить на два типа: упругие и пластические. Упругими деформациями называют такие, которые исчезают полностью после прекращения действия вызвавших их сил, то есть они являются
обратимыми. Пластические деформации, наоборот, полностью или частично
остаются после прекращения действия сил. Их еще называют остаточными или
необратимыми. В рамках нашего курса мы ограничимся рассмотрением лишь
упругих деформаций.
10.1. Упругие тела
Рассмотрим кратко деформацию тел с точки зрения атомистического подхода.
Пусть два уединенных атома находятся на расстоянии 𝑟 друг от друга. Схематичная зависимость потенциальной энергии взаимодействия атомов от расстояния
между ними, которую далее будем называть потенциалом взаимодействия,
приведена на рис. 10.1. При квазистатическом сближении атомов на малое
расстояние их электронные оболочки начинают деформироваться и существенно
возрастает сила электростатического отталкивания. На больших расстояниях
притяжение обусловлено спонтанной (и/или постоянной в молекулах) неоднородностью распределения электрических зарядов атомов, при этом соответствующая
электростатическая сила невелика. Расстояние 𝑟0соответствует положению
равновесия, то есть ситуации, когда эти взаимодействия компенсируют друг
друга. Вклад гравитационного взаимодействия считается пренебрежимо малым.
Именно вблизи этого положения равновесия и находятся атомы и молекулы
в реальных телах. В зависимости от вида потенциала в этой области реализуются
те или иные химические связи и структура кристаллических тел. Отметим, что
на рис. 10.1 область графика вблизи координаты 𝑟0непропорционально шире
реальной картины взаимодействия атомов.
128
ϕ
r
0
r
Рис. 10.1. Потенциал взаимодействия
Сила взаимодействия между атомами выражается через потенциал взаимодействия, аналогично (4.5),
𝑑𝜙
𝐹 = −
В положении равновесия эта сила равна нулю. Переход к приближенной упругой
силе заключается в аппроксимации потенциала взаимодействия вблизи точки 𝑟
с помощью параболы
𝜙 ∼ (𝑟 − 𝑟0)2,
а тогда для упругой силы можем записать
𝑑𝜙
𝐹 = −
Если мы зафиксируем один из атомов, а ко второму приложим небольшую
внешнюю силу, стремящуюся сократить или увеличить расстояние между ними
на малую величину, то результатом будет смещение положения равновесия
в ту или иную сторону. Причем это смещение будет пропорционально величине
приложенной силы.
Иначе говоря, деформация тела, состоящего в нашем случае всего из
двух атомов, пропорциональна величине приложенной силы. Обобщая этот
вывод на случай большого числа взаимодействующих атомов, мы приходим к
формулировке закона Гука: изменение линейного размера тела пропорционально
величине приложенной силы. Модель упругости тел, основанная на линейной
связи в виде закона Гука, называется линейной теорией упругости.
Такое простое соотношение возможно лишь для идеально упругих тел
в случае малых деформаций. С ростом приложенных сил и, соответственно,
величины деформации тел линейное приближение будет недостаточно точным.
При этом деформации могут все еще считаться упругими. Для их описания
используют нелинейную теорию упругости. Для реальных тел вводят понятие
предела упругости (или текучести) – максимальной величины приложенной
силы, при которой еще можно с достаточной точностью считать деформации
упругими. Понятно, что эта величина достаточно условна. Она определяется,
в частности, требуемой точностью расчетов, а также может зависеть и от
скорости деформации тела. То же самое справедливо и для границы между
𝑑𝑟
.
𝑑𝑟
∼ (𝑟 − 𝑟0) .
0
129
областями применимости линейной и нелинейной теорий, она задается исходя
C
b b
C
A A
B B
F
F
F
F
из практической целесообразности.
Тела, для которых коэффициент пропорциональности между величиной
приложенной силы и деформацией неодинаков в различных направлениях
приложения силы, называются анизотропными. Такими свойствами обладают
большинство кристаллов. Мы ограничимся лишь рассмотрением деформаций
изотропных тел. В принципе, они могут быть составлены из большого числа
малых анизотропных участков, например поликристаллы, если, в силу их хаотичной ориентации, анизотропными свойствами всего тела можно пренебрегать.
10.2. Растяжение и сжатие стержней
Пусть к основаниям однородного исходно неподвижного стержня вдоль его оси
симметрии приложены две силы величиной 𝐹 каждая (рис. 10.2). В зависимости
от направления сил стержень будет либо сжат, либо растянут. Мысленно выделим
перпендикулярное оси стержня произвольное сечение 𝐶 и рассмотрим отдельно
участок стержня 𝐴𝐶. Так как силы величиной 𝐹 уравновешивают друг друга,
то стержень целиком покоится, равно как и покоится его участок 𝐴𝐶 . Отсюда
мы понимаем, что со стороны участка стержня 𝐵𝐶 на участок 𝐴𝐶 должна
действовать точно такая же сила 𝐹 , возникающая в результате того, что
участок стержня 𝐵𝐶 тоже сжат либо растянут. Аналогичные рассуждения
можно провести и для участка стержня 𝐵𝐶.
Соответственно, упругие деформации стержня вблизи сечения 𝐶 вызваны
наличием внутренних сил, называемых внутренним напряжением или просто
напряжением. Величина напряжения определяется отношением приложенной
силы к поперечной площади стержня. Если стержень растянут, это напряжение
называют натяжением и обозначают
Рис. 10.2. Растяжение и сжатие однородного стержня
𝐹
𝑇 =
.
𝑆
130
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]