Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Физика для студентов ГГФ. В 2 частях. Ч.1. Механика, термодинамика и молекулярная физика. Учебное пособие
.pdf
Теперь осталось только проинтегрировать полученное выражение по всему
объему шара:
𝑅
ˆ
𝐼0=
4
2𝑚𝑟
𝑑𝑟 =
3
𝑅
0
2𝑚𝑅
5
2
.
8.5. Плоское движение твердого тела
Рассмотрим способы определения плоского движения твердых тел под действием
сил. Плоское движение тела представимо в виде суперпозиции поступательного
движения выбранной оси вращения, например проходящей через центр масс,
и вращательного движения тела относительно этой оси. Движение центра масс
системы взаимодействующих материальных точек под действием внешних сил
мы уже рассматривали ранее, а вращательное движение тела можно определить
из уравнения осевых моментов (8.3), записанного в связанной с выбранной
осью вращения системе отсчета. Заметим, что центр масс тела может двигаться
с ускорением в лабораторной системе отсчета, а тогда система отсчета, связанная
с проходящей через центр масс тела осью вращения, будет неинерциальной
по отношению к лабораторной и в уравнение осевых моментов должен войти
и момент сил инерции. При этом силы инерции в случае поступательного
движения оси вращения будут действовать на все участки тела однородным
образом, поэтому результирующую силу инерции можно считать приложенной
к центру масс тела. Тогда в системе отсчета, связанной с проходящей через центр
масс осью вращения, момент сил инерции будет равен нулю.
Еще один способ избежать вычисления момента сил инерции заключается в использовании мгновенно сопутствующей системы отсчета, движущейся
с некоторой постоянной скоростью относительно лабораторной в каждый момент
времени. Если ее скорость относительно лабораторной системы отсчета известна,
то это даст возможность записать уравнение кинематической связи, то есть
уравнение, связывающее скорость центра масс тела в лабораторной системе
отсчета с его же скоростью в мгновенно сопутствующей системе отсчета. Как
правило, наиболее удобной мгновенно сопутствующей системой отсчета является
неподвижная относительно лабораторной системы отсчета с центром координат
на мгновенной оси вращения. Во многих случаях положение мгновенной оси
вращения относительно центра масс тела известно в каждый момент времени,
а кинематическая связь следует из условия ее неподвижности.
Таким образом, для определения плоского движения твердого тела нам
необходимо будет выполнить следующие действия.
1. Ввести две системы отсчета, лабораторную и связанную с выбранной
нами осью вращения, проходящей через центр масс, или совпадающую
с мгновенной.
2. Определить все действующие на тело силы с учетом точек их приложения.
3. Записать уравнение движения центра масс.
4. Записать уравнение осевых моментов относительно выбранной оси.
111
Если все силы и их точки приложения известны, то ускорение центра
x
~
N
~
F
тр
m~g
A
O
α
y
z
масс и угловое ускорение тела относительно центра масс могут быть найдены
независимо друг от друга. При этом движение центра масс тела может и не
зависеть от вращения тела вокруг него. Например, мы бросаем тело под
углом к горизонту и при этом еще его подкручиваем. Пренебрегая силами
сопротивления среды, имеем, что центр масс тела движется по параболе вне
зависимости от величины угловой скорости вращения тела относительно центра
масс.
Если же на тело действует какая-либо неизвестная сила, то в общем случае
эти уравнения не могут быть решены независимо друг от друга. Они должны
быть дополнены уравнением кинематической связи движения центра масс тела
в лабораторной системе отсчета и вращением его относительно выбранной нами
оси. То же справедливо и если неизвестна точка приложения какой-либо из сил,
в этом случае не удастся независимо разрешить уравнение осевых моментов.
В ряде случаев, когда нас не интересуют подробности движения между
конкретными состояниями рассматриваемого тела, мы можем ограничиться
лишь законами сохранения энергии, импульса и момента импульса.
Рассмотрим пример. Пусть цилиндр радиусом 𝑅 и массой 𝑚 скатывается
с наклонной плоскости в поле тяжести без проскальзывания (рис. 8.9). Введем
лабораторную систему отсчета 𝐾 с декартовыми осями координат, как указано
на рис. 8.9. При таком выборе направлений осей координат движение центра масс
тела возможно только вдоль оси 𝑋.
Поскольку проскальзывания нет, то на цилиндр действует сила трения
покоя, величина которой нам неизвестна. Нам придется находить уравнение
кинематической связи между движением центра масс и вращением тела для
решения уравнений движения.
Рис. 8.9. Цилиндр на наклонной плоскости
Способ 1. Перейдем в мгновенно сопутствующую систему отсчета 𝐾′,
связанную с мгновенной осью вращения, проходящей вдоль линии касания
цилиндра и плоскости, которую изобразим точкой 𝐴 на рис. 8.9. Так как
проскальзывания нет, то эта точка является неподвижной в каждый момент
времени. Иначе говоря, система отсчета 𝐾′имеет нулевую скорость относительно
лабораторной. В то же время положение точки 𝐴 в каждый момент времени будет
различным, соответственно, и система отчета 𝐾′для каждого момента времени
будет своя.
Запишем уравнение осевых моментов в этой системе отсчета. Точка 𝐴
является точкой приложения силы реакции опоры и силы трения покоя,
а следовательно, их моменты будут равны нулю. Тогда в уравнение осевых
112
моментов войдет только момент силы тяжести
𝑑𝜔
𝐼
= 𝐼𝐴𝜀 = 𝑟′× 𝑚𝑔 ,
𝐴
𝑑𝑡
где вектор 𝑟′направлен из точки 𝐴 в точку 𝑂. Поскольку в это уравнение не
входит неизвестная сила трения покоя, его можно решить независимо. Исходя из
правил векторного произведения имеем, что и момент сил, и угловое ускорение
будут направлены вдоль оси 𝑍. Проекцию на нее и запишем.
При использовании правой тройки декартовых координат направление
момента силы можно определять по следующему правилу. Если действующая
сила стремится вращать тело против часовой стрелки в плоскости 𝑋𝑌 при
наблюдении со стороны положительного направления оси 𝑍, то ее момент
будет направлен в положительном направлении оси 𝑍. В противном случае –
в отрицательном.
Поскольку сила тяжести стремится вращать тело по часовой стрелке, то ее
момент будет отрицательным:
𝐼𝐴𝜀 = −𝑅𝑚𝑔 sin 𝛼 .
Так как мгновенная ось вращения не проходит через центр масс тела, то, согласно
теореме Гюйгенса – Штейнера, имеем
𝐼𝐴= 𝐼0+ 𝑚𝑅2.
Таком образом, угловое ускорение тела в системе отсчета 𝐾
𝑑𝜔
𝑑𝑡
= 𝜀 = −
𝑅𝑚𝑔 sin 𝛼
𝐼0+ 𝑚𝑅
.
2
′
Отрицательное значение углового ускорения означает, что вектор 𝜀 направлен
противоположно оси 𝑍.
Отсюда получим и выражение для угловой скорости
𝑅𝑚𝑔 sin 𝛼
𝜔 = −
𝐼0+ 𝑚𝑅
𝑡 + 𝐶 ,
2
где константа 𝐶 определяется из начальных условий.
Теперь определим движение центра масс цилиндра. В уравнение движения
центра масс в лабораторной системе отсчета 𝐾 в виде проекции на ось 𝑋 входит
неизвестная сила трения покоя
𝑚𝑎 = 𝑚𝑔 sin 𝛼 − 𝐹тр,
поэтому решить его независимо не представляется возможным. Для его решения
необходимо получить уравнение кинематической связи. Заметим, что проекция
ускорения центра масс цилиндра на ось 𝑋 в лабораторной системе отсчета 𝐾
является тангенциальной компонентой ускорения этой же точки при ее вращении
вокруг точки 𝐴 в мгновенно сопутствующей системе отсчета 𝐾′. Тогда связь
113
углового ускорения с ускорением центра масс дается уравнением кинематической
связи
𝑎 = 𝜀 ×𝑟′,
что, с учетом направления векторов 𝑟′и 𝜀, дает положительную проекцию
ускорения центра масс цилиндра на ось 𝑋:
𝑎 = −𝜀𝑅 .
Отсюда уже может быть определена и зависимость скорости центра масс от
времени, и величина неизвестной силы трения покоя.
Способ 2. Выбираем систему отсчета 𝐾′, связанную с проходящей через центр
масс осью вращения, направления осей координат которой выберем аналогично
лабораторной системе отсчета 𝐾. Система отсчета 𝐾′не является инерциальной
по отношению к лабораторной, но момент сил инерции, приложенных к центру
масс, будет равен нулю. Моменты сил тяжести и реакции опоры также будут
равны нулю, поэтому в уравнение осевых моментов войдет только неизвестная
сила трения покоя
𝐼0𝜀 = 𝑟′×𝐹тр,
где теперь вектор 𝑟′направлен от точки 𝑂 к точке приложения силы трения
покоя 𝐴. Исходя из направлений векторов 𝑟′и𝐹тр, момент сил будет направлен
вдоль оси 𝑍 , поэтому и рассмотрим только проекцию на ось 𝑍 :
𝐼0𝜀 = −𝑅𝐹тр,
откуда
𝑅𝐹
𝜀 = −
тр
.
𝐼
0
Запишем уравнение движения центра масс вдоль оси 𝑋 лабораторной системы
отсчета 𝐾:
𝑚𝑎 = 𝑚𝑔 sin 𝛼 − 𝐹тр.
Далее необходимо установить уравнение кинематической связи, или связь
между ускорением центра масс и угловым ускорением. Так как тело скатывается
без проскальзывания, скорость точки 𝐴 в лабораторной системе отсчета 𝐾 равна
нулю. Эта скорость складывается из скорости точки 𝐴 в связанной с проходящей
через центр масс осью вращения системе отсчета 𝐾′и скорости самого центра
масс в системе отсчета 𝐾 (8.1):
0 = 𝜐 + 𝜔 × 𝑟′,
где 𝑟′также направлен из центра масс в точку 𝐴. Поскольку оба вектора
направлены вдоль оси 𝑋 имеем
𝜐 = −𝜔𝑅 ,
или, продифференцировав по 𝑡,
𝑎 = −𝜀𝑅 .
114
Отметим, что уравнение связи оказалось точно таким же, как и при решении
способом 1, что и неудивительно. Угловые скорости, равно как и угловые
ускорения, относительно параллельных осей равны.
Далее выражаем силу трения покоя:
𝐹тр= 𝑚𝑔 sin 𝛼 + 𝑚𝜀𝑅,
подставляем ее в уравнение осевых моментов и получаем
𝑅𝑚𝑔 sin 𝛼
𝜀 = −
𝐼0+ 𝑚𝑅
.
2
Способ 3. Решим теперь задачу, воспользовавшись законами сохранения.
Для этого положим, что изначально в лабораторной системе отсчета 𝐾
цилиндр покоился на некоторой высоте ℎ0, чтобы задать начальную энергию
системы, а в последующий интересующий нас момент времени он оказался на
высоте ℎ1= 0. Так как проскальзывание отсутствует, то работа силы трения
покоя равна нулю и в закон сохранения энергии войдет только кинетическая
энергия движущегося цилиндра и его потенциальная энергия в однородном поле
тяжести.
Запишем уравнение закона сохранения энергии в мгновенно сопутствующей
системе отсчета 𝐾′, связанной с мгновенной осью вращения. Так как система
отсчета 𝐾′всегда покоится относительно лабораторной системы отсчета 𝐾 ,
то кинетическая энергия цилиндра будет одинакова в этих системах отсчета.
Соответственно, имеем
𝑚𝑔ℎ =
𝐼𝐴𝜔
2
2
,
куда подставим ℎ = 𝑥 sin 𝛼 и уравнение кинематической связи 𝜐 = −𝜔𝑅, а также
воспользуемся теоремой Гюйгенса – Штейнера:
2
.
2
𝑚𝑔𝑥 sin 𝛼 =
(𝐼0+ 𝑚𝑅2)𝜐
2𝑅
Продифференцируем полученное выражение по 𝑡:
𝑚𝑔𝜐 sin 𝛼 =
(𝐼0+ 𝑚𝑅2)2𝜐𝑎
2
2𝑅
,
откуда
𝑅2𝑚𝑔 sin 𝛼
𝑎 =
𝐼0+ 𝑚𝑅
,
2
или, учитывая уравнение кинематической связи 𝑎 = −𝜀𝑅, получаем то же самое
выражение для углового ускорения:
𝑅𝑚𝑔 sin 𝛼
𝜀 = −
𝐼0+ 𝑚𝑅
.
2
115
Лекция 9
A
′
h
A
C
b
b
b
r
ϕ
Движение твердых тел.
Элементы статики
9.1. Физический маятник
Физическим маятником называют твердое тело, которое может совершать
колебательное движение относительно закрепленной оси вращения. При таком
движении твердого тела расстояние между неподвижной осью 𝐴 и произвольной
точкой 𝐴′будет постоянным, а следовательно, траектория точки 𝐴′будет дугой
окружности радиусом 𝐴𝐴′. Проследим за движением центра масс такого тела
в точке 𝐶, обозначив 𝐴𝐶 = 𝑟 (рис. 9.1).
Рис. 9.1. Физический маятник
Положение физического маятника в пространстве можно задать лишь
одной переменной – углом отклонения 𝜙 отрезка 𝐴𝐶 от вертикали. Иначе
говоря, физический маятник имеет лишь одну степень свободы. Рассмотрим его
движение в лабораторной системе отсчета, в которой ось вращения физического
маятника неподвижна.
116
Угловая скорость вращения физического маятника
𝑑𝜙
𝜔 =
𝑑𝑡
.
Кинетическая энергия в системе отсчета 𝐾′, связанной с неподвижной осью
вращения,
𝑇 =
𝐼𝐴𝜔
2
2
2
𝐼𝐴˙𝜙
=
.
2
Поскольку взаимная скорость систем отсчета 𝐾 и 𝐾′равна нулю, то и в лабораторной системе отсчета кинетическая энергия будет принимать то же значение.
Потенциальная энергия
𝜙
𝑈 = 𝑚𝑔ℎ = 𝑚𝑔𝑟(1 − cos 𝜙) = 2𝑚𝑔𝑟 sin
2
.
2
Считая, что диссипативных сил нет, имеем 𝑇 + 𝑈 = const, или
2
𝐼𝐴˙𝜙
2
+ 2𝑚𝑔𝑟 sin
𝜙
2
2
= const .
Рассмотрим случай малых углов отклонения, когда можно положить
sin(𝜙/2) ≈ 𝜙/2, и продифференцируем уравнение закона сохранения энергии,
записанное с учетом этого приближения,
𝑚𝑔𝑟
˙𝜙2+
𝜙2= const
𝐼
𝐴
по времени:
2 ˙𝜙 ¨𝜙 + 2
𝑚𝑔𝑟
𝐼
𝐴
𝜙 ˙𝜙 = 0 .
Это равенство должно выполняться при любых значениях ˙𝜙, поэтому на него
можно поделить. В результате получим уравнение малых колебаний физического
маятника
𝑚𝑔𝑟
¨𝜙 +
𝐼
𝐴
𝜙 = 0 .
Уравнение такого вида мы уже получали ранее, поэтому сразу можем заключить,
что частота малых колебаний физического маятника есть величина
𝜔 =
𝑚𝑔𝑟
𝐼
𝐴
.
Сравним ее с частотой колебаний математического маятника 𝜔0=𝑔/𝑙. Центр
масс математического маятника находится на расстоянии 𝑙 от точки подвеса.
Если мы всю массу физического маятника сосредоточим в точке на расстоянии
𝐼
𝐴
𝑙 =
𝑚𝑟
,
117
то частоты колебаний физического и математического маятника совпадут. Эту
точку называют центром качения физического маятника.
Она обладает еще одним примечательным свойством. Если мы нанесем удар
по физическому маятнику на этом расстоянии 𝑙 от оси вращения по нормали
к линии 𝐴𝐶, то дополнительная сила реакции связи, приложенная к точке
подвеса и возникающая в результате удара, будет равна нулю. Поэтому эту точку
еще иногда называют центром удара. Покажем это. Пусть на свободно висящий
физический маятник действует кратковременная горизонтальная сила 𝐹 , приложенная на расстоянии 𝑙 от оси вращения и направленная вправо. Уравнение
осевых моментов имеет вид
𝑑𝜔
𝐼
= 𝐹 𝑙 .
𝐴
𝑑𝑡
Движение центра масс по горизонтальной оси под действием этой силы
определяется уравнением
𝑑𝜐
𝑚
= 𝐹 ,
𝑑𝑡
где мы пренебрегаем всеми другими силами в момент удара, считая их малыми,
и считаем дополнительную силу реакции связи со стороны точки подвеса равной
нулю. Поскольку сила 𝐹 в общем случае нам неизвестна, то для разрешения
получившейся системы уравнений нам необходимо уравнение связи, которое
в этом случае имеет вид
𝜐 = 𝜔𝑟 .
Подставим эту связь в уравнение движения центра масс:
𝑑𝜔
𝑚𝑟
= 𝐹 .
𝑑𝑡
Подставляя теперь 𝐹 в уравнение осевых моментов и сокращая 𝑑𝜔/𝑑𝑡, получим 𝑙 = 𝐼𝐴/𝑚𝑟, то есть именно точку удара.
9.2. Столкновение тел при плоском движении
Возникающие при столкновении тел силы обычно являются короткодействующими по времени, а по своей величине существенно превышают все прочие внешние
силы, например силу тяготения. Поэтому для определения последующих состояний системы взаимодействующих тел, как и ранее, могут использоваться законы
сохранения импульса и энергии без учета влияния прочих относительно слабых
внешних сил. В случае протяженных тел к этим двум законам добавляется закон
сохранения момента импульса. Рассмотрим их применение на примерах.
Пример 1
Пусть два диска вращаются на общей оси с угловыми скоростями 𝜔1и 𝜔2.
Моменты инерции дисков 𝐼01, 𝐼02. В некоторый момент времени диски приводят
в контакт друг с другом. В результате работы сил трения между ними угловая
скорость вращения дисков становится одинаковой. Перед нами стоит задача
найти эту установившуюся угловую скорость и работу сил трения.
118
Запишем закон сохранения момента импульса в виде проекции на ось
x
2VV
y
вращения дисков:
𝐼01𝜔1+ 𝐼02𝜔2= (𝐼01+ 𝐼02)𝜔 ,
откуда установившаяся угловая скорость
𝐼01𝜔1+ 𝐼02𝜔
𝜔 =
𝐼01+ 𝐼
2
.
02
Работу сил трения определим из закона сохранения энергии. Она будет равна
изменению суммарной кинетической энергии:
𝐴 =
𝐼01𝜔
2
2
1
+
𝐼02𝜔
2
2
(𝐼01+ 𝐼02)𝜔
2
−
2
2
𝐼01𝐼
=
2(𝐼01+ 𝐼02)
02
(𝜔1− 𝜔2)2.
По сути, такое взаимодействие вращающихся дисков аналогично абсолютно
неупругому удару.
Пример 2
Пусть две одинаковые гантели, каждую из которых можно представить в виде соединенных жестким невесомым стержнем небольших шаров, движутся навстречу
друг другу со скоростями 𝑉 и 2𝑉 , как указано на рис. 9.2. Пусть масса каждого
из шаров 𝑚, а расстояние между центрами шаров 𝑙. Считая столкновение шаров
абсолютно неупругим, необходимо определить движение получившегося тела.
Рис. 9.2. Сталкивающиеся гантели
Движение центра масс всей системы в результате столкновения не меняется,
а потому определим его из закона сохранения импульса вдоль оси 𝑌 :
4𝑚𝑉
= 2𝑚2𝑉 − 2𝑚𝑉 ,
ц.м.
откуда
ц.м.
1
=
𝑉 .
2
𝑉
Перейдем в связанную с проходящей через центр масс осью вращения
систему отсчета. В этой системе отсчета обе гантели до столкновения двигаются
навстречу друг другу с одинаковой скоростью 3/2𝑉 . Суммарный момент
119
импульса гантелей определяется только лишь дальними от оси вращения шарами, поскольку радиус-векторы, проведенные к ближним шарам, коллинеарны
с векторами их скоростей. Соответственно,
𝐿 = 𝑙𝑚
3
𝑉 2 = 3𝑙𝑚𝑉 .
2
После абсолютно неупругого столкновения ближние шары образуют новое тело,
геометрический центр которого совпадает с положением центра масс. Размеры
этого нового тела мы также можем считать небольшими, а потому его моментом
импульса можем пренебречь. Тогда и после столкновения момент импульса
определяется только движением дальних шаров, которые будут вращаться
вокруг центра масс с неизвестной пока угловой скоростью 𝜔.
𝐿 = 2𝑚𝑙2𝜔 .
Из закона сохранения момента импульса имеем для получившегося тела угловую
скорость относительно центра масс
3𝑉
𝜔 =
,
2𝑙
а сам центр масс так и будет двигаться в лабораторной системе отсчета со
скоростью 𝑉/2.
Пример 3
Пусть на гладком столе лежит однородный стержень длиной 𝐿 и массой 𝑀.
Перпендикулярно стержню по столу движется небольшой шарик массой 𝑚.
После абсолютно упругого удара он останавливается. Нужно найти расстояние 𝑥
от точки удара до центра масс стержня.
Запишем сначала закон сохранения импульса для центра масс стержня
и шарика в лабораторной системе отсчета, связанной со столом:
𝑚𝜐 = 𝑀𝑉 .
Рассмотрим перпендикулярную плоскости стола ось вращения, проходящую
через центр масс исходно неподвижного стержня. В связанной с ней системе
отсчета перед столкновением момент импульса шарика 𝐿 = 𝑚𝜐𝑥, а стержень
неподвижен. После столкновения положение центра масс стержня будет смещаться со скоростью 𝑉 вдоль прямой линии, проходящей через центр системы
отсчета, а потому его момент импульса будет определяться лишь вращением
стержня относительно движущегося центра масс. Тогда закон сохранения
момента импульса может быть записан в виде
𝐼0𝜔 = 𝑚𝜐𝑥 .
Теперь запишем закон сохранения энергии для случая абсолютно упругого удара:
𝑚𝜐
2
=
2
𝑀𝑉
2
2
2
𝐼0𝜔
+
.
2
120
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]