Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Физика для студентов ГГФ. В 2 частях. Ч.1. Механика, термодинамика и молекулярная физика. Учебное пособие
.pdf
через пространственные координаты и время:
′
𝑑𝑥
′
𝜐
=
𝑑𝑡
, 𝜐
′
𝑥
′
𝑑𝑦
′
=
𝑑𝑡
.
′
𝑦
Поделим числитель и знаменатель на 𝑑𝑡, а величины 𝑑𝑥′и 𝑑𝑡′выразим через 𝑑𝑥
и 𝑑𝑡 согласно преобразованиям Лоренца:
′
𝑑𝑥
′
𝑑𝑡
𝜐
=
𝑥
𝑑𝑡
𝑑𝑡
=
′
𝑑(𝛾(𝑥 − 𝑉 𝑡))
𝑑𝑡
𝑑𝛾𝑡 −
𝑉 𝑥
𝑐
2
=
𝜐𝑥− 𝑉
1 −
𝜐𝑥𝑉
𝑐
,
2
𝑑𝑡
и, аналогично,
′
𝜐
=
𝑦
1 −
1 −
𝑉
𝜐𝑥𝑉
𝑐
2
2
𝑐
𝜐𝑦.
2
Эти формулы выражают релятивистский закон преобразования скоростей, или
преобразования Лоренца для компонент скоростей. Обратные преобразования
получаются заменой знака взаимной скорости 𝑉 . Если имеет место 𝑉 ≪ 𝑐, то
в предельном переходе получим преобразования Галилея.
Пусть в лабораторной системе отсчета 𝐾 есть два тела, движущихся
навстречу друг другу вдоль оси 𝑋 с одинаковыми по модулю скоростями 𝜐.
Перейдем в систему отсчета 𝐾′, связанную с одним из них. Тогда скорость
второго тела в этой системе отсчета составит величину
1 +
2𝜐
.
2
𝜐
2
𝑐
𝜐′= −
Соответственно, при любых возможных значениях скоростей тел 𝜐 их взаимная
скорость 𝜐′не превысит скорость света.
5.9. Световая аберрация
Пусть в системе отсчета 𝐾′тело имеет скорость 𝜐′в плоскости 𝑋 𝑌 , а ее
направление составляет угол Θ′с осью 𝑋′. Определим величину угла между
направлением скорости этого же тела в системе отсчета 𝐾 и осью 𝑋, считая
взаимную скорость систем отсчета 𝐾 и 𝐾′вдоль оси 𝑋 равной 𝑉 . Итак,
′
𝜐
= 𝜐′cos Θ′, 𝜐
𝑥
Применяя формулы преобразования скоростей, имеем
𝜐′cos Θ′+ 𝑉
𝜐𝑥=
1 +
𝜐′cos Θ′𝑉
2
𝑐
, 𝜐𝑦=
61
′
= 𝜐′sin Θ′.
𝑦
1 −
𝜐′cos Θ′𝑉
1 +
𝑉
𝑐
2
𝑐
2
2
𝜐′sin Θ′,
откуда tg Θ = 𝜐𝑦/𝜐𝑥.
Пусть вместо движущегося тела у нас будет луч света, скорость которого
в каждой из систем отсчета 𝜐 = 𝜐′= 𝑐. Тогда преобразование углов будет
даваться следующими выражениями:
cos Θ =
𝑉
𝑐
𝑉
𝑐
cos Θ
, sin Θ =
′
𝜐
𝑦
=
𝑐
cos Θ′+
𝜐
𝑥
=
𝑐
1 +
sin Θ
1 +
′
𝑉
𝑐
1 −
cos Θ
2
𝑉
2
𝑐
.
′
Обратное преобразование получается заменой знака взаимной скорости 𝑉 .
Мы видим, что при переходе между инерциальными системами отсчета
будет изменяться направление светового луча. Это явление получило название световой аберрации. Оно было открыто астрономом Джеймсом Бредли
в 1725 году. Он заметил, что в разное время года угол между направлением
на звезду и горизонтом имеет разные значения, что связано с орбитальным
движением Земли. С ростом взаимной скорости системы Земля – звезда
положение звезды на небе приближается к горизонту, и наоборот. Таким образом,
при гипотетическом движении космического корабля со скоростью, близкой
к скорости света, видимое с его борта звездное небо будет сжиматься в узкий
конус.
5.10. Оптический эффект Доплера
Пусть в лабораторной системе отсчета 𝐾 установлен неподвижный приемник
света, а источник света движется вдоль соединяющей их линии со скоростью 𝑉 .
Для определенности будем считать, что источник света приближается к приемнику. Пусть источник света излучает периодические сигналы с промежутком
времени между ними, равным 𝑇0= 1/𝑓0в собственной системе отсчета 𝐾′,
где 𝑓0– собственная частота источника. Пространственный интервал между
периодическими сигналами составит 𝜆0= 𝑐𝑇0, а 𝑓0= 𝑐/𝜆0.
Так как источник движется со скоростью 𝑉 , то соответствующие промежутки
времени между излучением сигналов в лабораторной системе, согласно (5.1),
будут равны
∆𝑡 =
1 −
.
2
𝑉
2
𝑐
𝑇
0
Отметим, что за время ∆𝑡 источник сместится в лабораторной системе отсчета 𝐾
на расстояние 𝑉 ∆𝑡, поэтому пространственный интервал между сигналами
в системе отсчета 𝐾 составит величину
𝜆 = 𝑐∆𝑡 − 𝑉 ∆𝑡 = (𝑐 − 𝑉 )∆𝑡 = (𝑐 − 𝑉 )
𝑇
1 −
0
2
𝑉
2
𝑐
=1 −
𝑉
𝑐
𝜆
1 −
0
.
2
𝑉
2
𝑐
62
Тогда воспринимаемая приемником частота 𝑓 = 𝑐/𝜆 составит
𝑓 = 𝑓
0
1 −
1 −
2
𝑉
2
𝑐
.
𝑉
𝑐
Если теперь мы положим, что, напротив, в лабораторной системе отсчета
покоится источник света, а приемник движется со скоростью 𝑉 , то уравнение
для воспринимаемой частоты в системе отсчета приемника останется без
изменений в силу взаимности преобразования длины и времени, изменятся лишь
обозначения систем отсчета. В отличие от эффекта Доплера для звуковых
волн, изменение частоты воспринимаемого источником сигнала не меняется
в зависимости от того, что из них движется в одной и той же лабораторной
системе отсчета. Это свидетельствует о том, что для распространения света не
требуется наличия какой-либо среды, в отличие от звуковых волн.
Рассмотрим более общий случай, когда вектор скорости источника в лабораторной системе отсчета составляет некоторый угол 𝛼 с линией, соединяющей
его с приемником. Для определения воспринимаемой приемником частоты
достаточно в полученную ранее формулу подставить 𝑉 cos 𝛼 вместо 𝑉 в знаменателе (оставим этот вывод без доказательства).
𝑓 = 𝑓
0
1 −
𝑉
1 −
𝑉 cos 𝛼
𝑐
2
2
𝑐
.
Заметим, что и при 𝛼 = 𝜋/2 будет наблюдаться изменение частоты, при этом она
будет уменьшаться при любом знаке взаимной скорости источника и приемника:
2
𝑓⊥= 𝑓
0
1 −
𝑉
.
2
𝑐
Это явление называется поперечным эффектом Доплера.
5.11. Релятивистские импульс и энергия
Рассмотрим абсолютно упругое столкновение тела, которое можем считать
материальной точкой, с неподвижной в системе отсчета 𝐾′стенкой, плоскость
которой перпендикулярна оси 𝑋′. Пусть тело имеет ненулевые компоненты
скорости по осям 𝑋′и 𝑌′. Положим, что эти скорости достаточно малы
и мы можем оставаться в рамках классической механики и пользоваться ее
определениями и законами. Результатом столкновения будет изменение знака
компоненты скорости 𝜐
Соответственно, компонента импульса 𝑝
изменится. Перейдем в лабораторную систему отсчета 𝐾 , в которой система
отсчета 𝐾′движется с релятивистской скоростью 𝑉 вдоль оси 𝑋 , совпадающей
′
, а компонента скорости 𝜐
𝑥
′
𝑥
= 𝑚𝜐
63
′
останется без изменений.
𝑦
′
сменит знак, а 𝑝
𝑥
′
= 𝑚𝜐
𝑦
′
не
𝑦
по направлению с осью 𝑋′. Обратим внимание на компоненту скорости 𝜐𝑦до
x
y
и после столкновения:
𝜐
𝑦 до столкновения
=
1 +
1 −
2
𝑉
2
′
𝑐
𝜐
, 𝜐
𝑦
′
𝜐
𝑉
𝑥
2
𝑐
𝑦 после столкновения
=
1 −
1 −
2
𝑉
2
′
𝑐
𝜐
.
𝑦
′
𝜐
𝑉
𝑥
2
𝑐
Она изменилась после столкновения со стенкой, но, согласно принципу относительности, физические законы должны быть одинаковы в различных системах
отсчета. Закон сохранения импульса должен быть справедлив вне зависимости
от выбираемой нами инерциальной системы отсчета. Соответственно, имеем, что
𝜐
𝑦 до столкновения
= 𝜐
𝑦 после столкновения
,
но
𝑝
𝑦 до столкновения
= 𝑝
𝑦 после столкновения
.
Отсюда очевидно, что классическое выражение для импульса при релятивистских скоростях неверно, оно является лишь результатом предельного перехода
при устремлении скорости тел к нулю. Получим релятивистское выражение для
импульса.
Пусть два одинаковых тела движутся навстречу друг другу в плоскости 𝑋 𝑌
в лабораторной системе отсчета 𝐾 (рис. 5.5). В силу симметрии можно
заключить, что их суммарный импульс в этой системе отсчета равен нулю. Более
того, его равенство нулю выполняется отдельно по проекциям на ось 𝑋 и на
ось 𝑌 . Запишем это равенство для оси 𝑌 :
𝑝1𝑦= 𝑝2𝑦.
Рис. 5.5. К определению выражения импульса
Положим, что тела испытывают абсолютно неупругое центральное соударение. Образовавшееся тело, в силу закона сохранения импульса и симметрии
постановки задачи, будет иметь нулевые импульс и скорость в системе отсчета 𝐾.
Перейдем теперь в систему отсчета 𝐾′, которая движется относительно
лабораторной вдоль оси 𝑋 вправо со скоростью 𝜐𝑥, равной по модулю проекции
скорости одного из тел на ось 𝑋 в системе отсчета 𝐾. В системе отсчета 𝐾
′
64
образовавшееся в результате столкновения тело будет иметь вдоль оси 𝑋
компоненту скорости 𝜐𝑥, а поперечная компонента скорости вдоль оси 𝑌
останется равной нулю. Следовательно, будет равна нулю и сумма проекций
импульсов исходных тел на ось 𝑌
′
′
1𝑦
= 𝑝
′
2𝑦
.
𝑝
Перейдем теперь в систему отсчета 𝐾′′, движущуюся влево относительно 𝐾
с той же скоростью 𝜐𝑥вдоль оси 𝑋 . В ней аналогично можем записать
′′
1𝑦
= 𝑝
′′
2𝑦
.
𝑝
В силу выбора систем отсчета 𝐾′и 𝐾′′, а они различаются только знаком
взаимной скорости, можем заключить, что
′
1𝑦
= 𝑝
′′
2𝑦
,
𝑝
′
′
что аналогично
′
2𝑦
= 𝑝
′′
2𝑦
.
𝑝
Поскольку исходная скорость тел в лабораторной системе отсчета 𝐾 была
произвольной, то мы можем заключить, что величина поперечной компоненты
импульса тела не меняется при переходе между инерциальными системами
отсчета.
Рассмотрим свободное тело в такой системе отсчета 𝐾′, что 𝜐
′
= 0, а 𝜐
𝑥
′
𝑦
≪ 𝑐.
Поскольку скорость тела мала, то мы вправе использовать классическое выражение для импульса и записать 𝑝
′
𝑦
= 𝑚𝜐
′
. Перейдем в лабораторную систему
𝑦
отсчета 𝐾, в которой система отсчета 𝐾′движется с релятивистской скоростью 𝑉
вдоль оси 𝑋. Согласно преобразованиям скоростей, для рассматриваемого тела
имеем
𝜐𝑥= 𝑉 ,
2
𝜐
𝑥
𝜐𝑦=1 −
′
𝜐
.
𝑦
2
𝑐
Учтем, что поперечная компонента импульса, как было показано выше, в системе
отсчета 𝐾 останется той же самой. А тогда
𝑚𝜐
𝑝𝑦= 𝑝
′
=
𝑦
1 −
𝑦
.
2
𝜐
𝑥
2
𝑐
Полученное выражение для импульса не вполне соответствует принципу однородности пространства, поскольку в знаменателе имеем компоненту скорости тела
только вдоль оси 𝑋. Иначе говоря, при взятии проекции векторной величины
на ось 𝑌 возникает необходимость и отдельного определения квадрата скорости
вдоль оси 𝑋, что в случае произвольной ориентации осей координат и влечет за
собой нарушение принципа однородности пространства. Заметим, что при 𝑉 → 𝑐
величина 𝜐𝑦≪ 𝜐𝑥, а результирующая скорость тела в системе отсчета 𝐾
𝜐 =𝜐
2
2
+ 𝜐
𝑥
≈ 𝜐𝑥.
𝑦
65
Тогда поперечная компонента импульса свободного тела может быть переписана
в соответствующем принципу однородности пространства виде
𝑝𝑦=
1 −
.
2
𝜐
2
𝑐
𝑚𝜐
𝑦
Изначально мы рассматривали тело, которое имеет малую поперечную
скорость в системе отсчета 𝐾′, движущейся со скоростью 𝑉 вдоль оси 𝑋
относительно системы отсчета 𝐾. Покажем теперь, что полученное выражение
для поперечной компоненты импульса остается инвариантным для любых
возможных значений поперечной скорости. Для этого запишем выражение
′
для 𝑝
и воспользуемся релятивистским законом преобразования скоростей при
𝑦
переходе в систему отсчета 𝐾, не ограничивая величину 𝜐𝑦:
𝑚
′
𝑚𝜐
1 −
𝑦
′2
𝜐
+ 𝜐
𝑥
2
𝑐
⎯
=
′2
⎸
𝑦
⎸
⎸
⎸
⎸
⎸
⎸
⎷
⎛
⎜
⎜
⎝
1 −
′
𝑝
=
𝑦
1 −
𝜐𝑥− 𝑉
𝜐𝑥𝑉
𝑐
1 −
2
1 −
⎞
⎟
⎟
⎠
𝜐𝑥𝑉
2
2
𝑉
2
𝑐
𝜐
𝑦
2
𝑐
⎛
⎜
⎜
+
⎝
1 −
2
𝑐
1 −
𝑉
𝜐𝑥𝑉
2
𝑐
2
2
𝑐
⎞
⎟
⎟
⎠
.
2
2
𝜐
𝑦
После раскрытия скобок и сокращения числителя и знаменателя на общие
множители придем к 𝑝𝑦= 𝑝
′
. Иначе говоря, полученное выражение для
𝑦
поперечной компоненты импульса не изменяется при переходе между системами
отсчета с продольными относительными скоростями, а также удовлетворяет
закону сохранения импульса. Так как выбор направлений осей координат систем
отсчета является свободным и у нас нет необходимости выделять какую-либо
ось, проекция скорости на которую должна быть мала, то выражение для
релятивистского импульса в общем случае принимает вид
𝑝 =
. (5.4)
2
𝜐
1 −
2
𝑐
𝑚𝜐
Если положить скорость тела 𝜐 ≪ 𝑐, то выражение для релятивистского
импульса примет классический вид.
Опыт предыдущих рассуждений показывает, что и классическое выражение
для кинетической энергии тела может оказаться не вполне пригодным в релятивистском случае, поэтому получим его исходя из определения этой величины.
Рассмотрим случай прямолинейного движения, когда направления скорости тела
и действующей на него силы коллинеарны. Тогда приращение кинетической
энергии будет равно
𝑑𝑇 = 𝐹 𝜐𝑑𝑡 ,
66
где, согласно второму закону Ньютона,
𝑑𝑝
𝑑𝑡
Подставим выражение для импульса:
⎛
⎞
=𝐹 .
⎛
⎞
𝑑𝑇 =
𝑑𝑝
𝜐𝑑𝑡 = 𝜐𝑑
𝑑𝑡
⎜
⎜
⎝
= 𝜐
𝑚𝜐
1 −
𝑚𝑑𝜐
1 −
⎟
⎟
⎠
2
𝜐
2
𝑐
2
𝜐
2
𝑐
= 𝜐
−
𝑚𝜐
1 −
=
𝑚𝑑𝜐
1 −
2
2
𝜐
2
𝑐
𝜐
𝑐
𝑚𝜐
1 −
+ 𝜐𝑚𝜐𝑑
2
2
1
1 −
𝜐
2
𝑐
⎜
⎜
⎝
2𝜐
−
2
2
𝜐
2
𝑐
2
𝑐
⎛
⎜
⎜
⎝
1 +
𝜐
𝑐
1 −
1
1 −
𝑑𝜐 =
2
2
2
𝜐
2
𝑐
⎞
⎟
⎟
⎠
⎟
⎟
=
⎠
2
𝜐
2
𝑐
𝑚𝜐𝑑𝜐
=
𝜐
1 −
𝑐
.
3/2
2
2
Если тело разгонялось из состояния покоя, то его кинетическая энергия составит
𝜐
𝑇 =
ˆ
𝑚𝜐𝑑𝜐
1 −
𝜐
𝑐
0
=
3/2
2
2
𝑚𝑐
1 −
2
𝜐
𝑐
− 𝑚𝑐2.
2
2
Если устремить 𝜐 → 0 и разложить 𝑇 в ряд Тэйлора, то первый член разложения
как раз будет соответствовать классическому выражению для кинетической
энергии.
Последнее слагаемое 𝐸0= 𝑚𝑐2называют энергией покоя тела массой 𝑚.
Полная энергия тела тогда может быть записана как
2
𝑚𝑐
𝐸 = 𝑇 + 𝐸0=
. (5.5)
2
𝜐
1 −
2
𝑐
Подставляя 𝜐2из выражения для релятивистского импульса (5.4) в полную
энергию, получим
𝐸2− 𝑝2𝑐2= 𝑚2𝑐4. (5.6)
Заметим, что слева в этом уравнении записаны импульс и энергия в какойлибо лабораторной системе отсчета, а справа – в собственной, где тело имеет
только энергию покоя. Иначе говоря, выражение слева является инвариантом
при переходе между инерциальными системами отсчета.
В физике элементарных частиц часто используют пространство энергии –
импульса. Преобразования Лоренца для импульса и энергии имеют аналогичный
преобразованиям координат и времени вид, впрочем, мы оставим это без
доказательства и выводить их не будем.
67
Связь между импульсом и энергией, исходя из (5.4) и (5.5), дается формулой
𝐸𝜐
𝑝 =
.
2
𝑐
Предположим, что элементарная частица движется со скоростью света. Тогда
ее импульс 𝑝 = 𝐸/𝑐. Подстановка этого значения в уравнение (5.6) дает
значение массы частицы, равное нулю. Иначе говоря, со скоростью света
могут двигаться только имеющие нулевую массу частицы, например фотоны.
Чтобы разогнать имеющую ненулевую массу элементарную частицу до скорости
света, потребовалось бы сообщить ей бесконечную кинетическую энергию, что
невозможно.
Рассмотрим систему невзаимодействующих тел. Масса каждого из тел
связана с его энергией и импульсом уравнением (5.6). Энергия и импульс, в силу
законов сохранения, аддитивны. Определим теперь полную массу системы тел
из уравнения (5.6):
𝑚2=
⎛
1
⎝
4
𝑐
𝑖
2
𝐸
𝑖
−
𝑖
𝑝𝑖𝑐
⎞
2
⎠
.
Отсюда мы видим, что полная масса рассматриваемой системы тел не является
алгебраической суммой масс отдельных тел в силу векторного сложения их
импульсов. При этом ее полная масса не будет изменяться при переходе между
системами отсчета в силу инвариантности выражения справа. Если система
изолирована, то есть потоки энергии и импульса извне и наружу равны нулю,
то ее полная масса не будет изменяться со временем. В качестве примера
рассмотрим систему, состоящую из двух фотонов. Каждый из них по отдельности
имеет нулевую массу, но, исходя из выражения выше, полная масса системы
двух фотонов вполне себе может принимать ненулевое значение. В частности,
это означает, что эти два фотона могли образоваться при распаде частицы
соответствующей массы. Возможна и обратная ситуация, когда в результате
столкновения частиц, в том числе и безмассовых фотонов, возникает новая
частица, масса которой больше массы исходных по отдельности, если их
кинетической энергии достаточно для образования частицы соответствующей
массы покоя. Таким образом, кинетическая энергия может быть потрачена на
образование массы, и наоборот. В рамках классической физики не рассматриваются высокоэнергетические процессы, а потому изменение кинетической энергии
тел не дает прироста или убыли полной массы системы.
Рассмотрим теперь систему взаимодействующих тел, то есть помимо энергии
покоя и кинетической энергии эти тела обладают еще и некоторой потенциальной
энергией. Чтобы такая система тел не разлеталась на бесконечность, иначе
говоря была устойчивой, сумма потенциальной и кинетической энергий должна
быть отрицательной. В системе отсчета центра масс системы тел ее импульс
равен нулю, а полная энергия состоит из энергии покоя и отрицательной суммы
кинетической и потенциальной энергий
𝐸 =
𝑖
𝐸𝑜𝑖+
(𝑇𝑖+ 𝑈𝑖) .
𝑖
68
Отсюда следует, что полная масса устойчивой системы тел меньше алгебраической суммы масс ее составляющих, поскольку к суммарной энергии покоя тел мы
добавляем сумму кинетической и потенциальной, которая отрицательна. Таким
образом, полная масса системы взаимодействующих тел может изменяться при
изменении их потенциальной энергии. Иначе говоря, потенциальная энергия
также может переходить в массу, и наоборот. Это явление называется дефектом
масс. Результат этого явления легко видеть в таблице Менделеева, где определяемая по углероду атомная единица массы элементов с номером больше 6 меньше
алгебраической суммы масс составляющих их элементарных частиц, а для массы
элементов с номером меньше 6 ситуация обратная. В классической физике не
рассматриваются явления, происходящие на атомарных и меньших масштабах,
на которых потенциальная энергия элементарных частиц может быть сравнима
с их энергией покоя. Поэтому, с учетом аналогичной ситуации для кинетической
энергии, в классической физике масса системы тел считается постоянной, если
отсутствуют потоки массы, движущиеся из системы или внутрь нее.
69
Лекция 6
Колебания
Многие физические явления представляют собой ограниченное движение вблизи
некоторого положения, называемого положением равновесия. Это может быть
как перемещение тела в пространстве, так и изменение свойств среды или
материала во времени. Например, течения жидкостей, деформации тел, электромагнитные явления, гравитационные волны и так далее. Если движение имеет
повторяющийся или приблизительно повторяющийся во времени характер, то его
называют колебательным.
Для того чтобы породить колебательное движение, необходимо приложить
внешнее воздействие, иначе говоря сообщить энергию. Если это воздействие
кратковременное и далее энергия колебательной системе не сообщается, то колебания называют свободными. Частота таких колебаний зависит от свойств самого
колеблющегося объекта и называется собственной частотой. В идеальном случае
такие колебания продолжаются бесконечно долго. В реальных же условиях они
будут затухающими, например вследствие диссипации механической энергии
колеблющегося тела.
Действие диссипативных сил может быть частично или полностью скомпенсировано непрерывным привнесением энергии в колебательную систему. Если на
систему действуют какие-либо периодические внешние силы и частота колебаний
системы определяется частотой внешних сил, то такие колебания называют
вынужденными, а саму внешнюю силу – вынуждающей.
6.1. Малые гармонические колебания
В общем случае колебания можно представить в виде зависящей от времени
периодической функции, дающей значения некоторой физической величины.
Из курса высшей математики мы знаем, что любую функцию можно с любой
наперед заданной точностью разложить в ряд. Один из них – ряд Фурье,
являющийся рядом тригонометрических функций, косинусов или синусов,
с различными аргументами. Колебания физической величины, которые можно
представить в виде лишь одного члена этого ряда, называют гармоническими.
Обычно это возможно лишь в случае малых изменений физических величин,
например малого отклонения тела от положения устойчивого равновесия.
70
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]