Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Специальные разделы высшей математики. Практикум по математической статистике. Учебно-методическое пособие.pdf
Подставим вычисленные значения в формулы (6.29)–(6.31), сократив на
*
n − 1. Получим оценки β
0
, β
*
1
и β
*
коэффициентов регрессии
2
301
β
β
β
*
=
1
*
=
2
*
= m
0
cov
cov
*
y
*
(
*
(
−β
X,Y)S
2
S
X
Z,Y)S
2
S
S
X
*
*
m
1
x
1
2
Z
2
S
Z
2
X
2
−[cov
Z
−β
− cov
−[cov
*
(
Z,Y)cov
*
(
X,Z
)]
*
(
)
X,Z
2
=
−21,175 · 1593,854 − (−157,8125) · 232,375
=
35,75 · 1593,854 − 232,375
− cov
(
X,Y)cov(X,Z
*
(
X,Z
)]
2
)
=
*
−157,8125 · 35,75 − (−21,175) · 232,375
=
35,75 · 1593,854 − 232,375
*
*
m
2
= 16,58−0,9798·3,25−(−0,2419)·13,5417 = 16,6664.
x
2
2
2
= 0,9798,
= −0,2419,
Таким образом, оцененная линейная модель двухфакторной регрессии
имеет вид
Y*= 16,6664 + 0,9798X − 0,2419Z.
Выполнив обратную замену переменной Z, получим окончательную
оценку квадратичной регрессионной модели
Y*= 16,6664 + 0,9798X − 0,2419X2.
Определим адекватность квадратичной модели в целом, для этого вычислим два показателя: среднюю ошибку аппроксимации A и коэффициент детерминации R2. Но прежде найдем прогнозные значения y
*
, а по
i
ним — остатки eiмодели. Результаты вычислений представим в виде таблицы.
302 Глава 8. РЕШЕНИЕ СИГНАЛЬНОГО ВАРИАНТА
e
i
y
i
x y y
*
e = y − y
n
*
2
e
P
i=1
0,5 16,5 17,0958 -0,5958 0,35498 0,0361
1,0 17,4 17,4043 -0,0043 0,00002 0,0002
1,5 18,1 17,5918 0,5082 0,25827 0,0281
2,0 18,4 17,6584 0,7416 0,54997 0,0403
2,5 17,8 17,6040 0,1960 0,03842 0,0110
3,0 17,2 17,4287 -0,2287 0,05230 0,0133
3,5 16,5 17,1324 -0,6324 0,39993 0,0383
4,0 16,6 16,7152 -0,1152 0,01327 0,0069
4,5 16,4 16,1770 0,2230 0,04973 0,0136
5,0 15,0 15,5179 -0,5179 0,26822 0,0345
5,5 14,8 14,7378 0,0622 0,00387 0,0042
6,0 14,2 13,8368 0,3632 0,13191 0,0256
Сумма 2,12089 0,2521
По формуле (6.19) вычислим среднюю относительную ошибку аппроксимации:
e
i
y
i
· 100%=
0,2521
· 100%= 2,1%< 7%.
12
A =
1
n
n
X
i=1
Вычислим коэффициент детерминации R2по формуле (6.20)
P
R2= 1 −
P
n
i=1
n
i=1
(
yi− y
yi− m
*
i
*
y
2
)
= 1 −
2
2,12089
3316,31 − 12 · 16,58
= 0,8915.
2
Таким образом, регрессионная модель объясняет 89,15%изменчивости
независимой переменной Y.
Так как средняя относительная ошибка аппроксимации у квадратичной модели меньше, чем у логарифмической(2,1%< 5,5
%), а соответствен-
но коэффициент детерминации больше(0,8915 > 0,3329), то можно сделать
вывод,что объясняющая способность у квадратичной модели выше.
ПРИЛОЖЕНИЯ:
СТАТИСТИЧЕСКИЕ ТАБЛИЦЫ
В настоящем приложении приведены таблицы вероятностных распределения, которые находят свое применение в статистических методах.
Таблица А.1 Функция распределения стандартного нормального
закона . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 305
Таблица А.2 Квантили стандартного нормального
распределения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .306
Таблица Б.1 Квантили распределения Стьюдента c n степенями
свободы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 308
Таблица В.1 Распределение Фишера. Квантиль уровня 0,9 . . . . . . . . . 310
Таблица В.2 Распределение Фишера. Квантиль уровня 0,95 . . . . . . . .311
Таблица В.3 Распределение Фишера. Квантиль уровня 0,99 . . . . . . . .312
Таблица Г.1 Квантили χ2–распределения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 314
Таблица Д.1 Критические значения для статистики Dn. . . . . . . . . . . . 315
Таблица Д.2 Критические значения для статистики Dn(n > 36) . . . 315
Таблица Д.3 Критические значения Лиллиефорса
для статистики Dn. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 316
Таблица Д.4 Критические значения Лиллиефорса для
статистики Dn(n > 30) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 316
Таблица Е.1 Критические значения статистики Кохрена
(G-критерия) уровень значимости α = 0,05 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 317
Таблица Е.2 Критические значения статистики Кохрена
(G-критерия) уровень значимости α = 0,01 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 318
304 СТАТИСТИЧЕСКИЕ ТАБЛИЦЫ
F(x)
А Стандартное нормальное распределение
В таблице А.1 приведены значения функции стандартного нормального
распределения
+∞
Z
1
F(x) =
√
2π
x
для значений аргумента в интервале от 0 до 3,09 с шагом 0,01. Значения F(X)
2
u
−
2
e
du
равно площади криволинейной трапеции ограниченной графиками плотно-
2
u
1
−
сти стандартного нормального распределения F(x) =
√
2π
2
e
, u = x и осью
абсцисс (см. рис. А.1).
f(u)
x
u
Рис. А.1 – Стандартное нормальное распределение
Каждый элемент таблицы А.1 представляет собой значение функции
F(x) в точке x, равной сумме заголовков строки и столбца. Например, для
нахождения значения F(1,25), необходимо взять число из пересечения строки 1,2 и столбца 0,05, т. е. F(1,25) = 0,8944.
Для для значений x < 0 значение функции F(x) в силу симметрии
плотности f(u) относительно оси ординат, вычисляют по формуле F(x) =
1 − F(−x). Например, F(−1.96) = 1 − F(1,96) = 1 − 0,9750 = 0,0250.
В практических расчетах значения F(x) при x > 3,1 можно считать 1.
А. Стандартное нормальное распределение 305
Таблица А.1 – Функция распределения стандартного нормального закона
x 0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09
0,0 0,5000 0,5040 0,5080 0,5120 0,5160 0,5199 0,5239 0,5279 0,5319 0,5359
0,1 0,5398 0,5438 0,5478 0,5517 0,5557 0,5596 0,5636 0,5675 0,5714 0,5753
0,2 0,5793 0,5832 0,5871 0,5910 0,5948 0,5987 0,6026 0,6064 0,6103 0,6141
0,3 0,6179 0,6217 0,6255 0,6293 0,6331 0,6368 0,6406 0,6443 0,6480 0,6517
0,4 0,6554 0,6591 0,6628 0,6664 0,6700 0,6736 0,6772 0,6808 0,6844 0,6879
0,5 0,6915 0,6950 0,6985 0,7019 0,7054 0,7088 0,7123 0,7157 0,7190 0,7224
0,6 0,7257 0,7291 0,7324 0,7357 0,7389 0,7422 0,7454 0,7486 0,7517 0,7549
0,7 0,7580 0,7611 0,7642 0,7673 0,7704 0,7734 0,7764 0,7794 0,7823 0,7852
0,8 0,7881 0,7910 0,7939 0,7967 0,7995 0,8023 0,8051 0,8078 0,8106 0,8133
0,9 0,8159 0,8186 0,8212 0,8238 0,8264 0,8289 0,8315 0,8340 0,8365 0,8389
1,0 0,8413 0,8438 0,8461 0,8485 0,8508 0,8531 0,8554 0,8577 0,8599 0,8621
1,1 0,8643 0,8665 0,8686 0,8708 0,8729 0,8749 0,8770 0,8790 0,8810 0,8830
1,2 0,8849 0,8869 0,8888 0,8907 0,8925 0,8944 0,8962 0,8980 0,8997 0,9015
1,3 0,9032 0,9049 0,9066 0,9082 0,9099 0,9115 0,9131 0,9147 0,9162 0,9177
1,4 0,9192 0,9207 0,9222 0,9236 0,9251 0,9265 0,9279 0,9292 0,9306 0,9319
1,5 0,9332 0,9345 0,9357 0,9370 0,9382 0,9394 0,9406 0,9418 0,9429 0,9441
1,6 0,9452 0,9463 0,9474 0,9484 0,9495 0,9505 0,9515 0,9525 0,9535 0,9545
1,7 0,9554 0,9564 0,9573 0,9582 0,9591 0,9599 0,9608 0,9616 0,9625 0,9633
1,8 0,9641 0,9649 0,9656 0,9664 0,9671 0,9678 0,9686 0,9693 0,9699 0,9706
1,9 0,9713 0,9719 0,9726 0,9732 0,9738 0,9744 0,9750 0,9756 0,9761 0,9767
2,0 0,9772 0,9778 0,9783 0,9788 0,9793 0,9798 0,9803 0,9808 0,9812 0,9817
2,1 0,9821 0,9826 0,9830 0,9834 0,9838 0,9842 0,9846 0,9850 0,9854 0,9857
2,2 0,9861 0,9864 0,9868 0,9871 0,9875 0,9878 0,9881 0,9884 0,9887 0,9890
2,3 0,9893 0,9896 0,9898 0,9901 0,9904 0,9906 0,9909 0,9911 0,9913 0,9916
2,4 0,9918 0,9920 0,9922 0,9925 0,9927 0,9929 0,9931 0,9932 0,9934 0,9936
2,5 0,9938 0,9940 0,9941 0,9943 0,9945 0,9946 0,9948 0,9949 0,9951 0,9952
2,6 0,9953 0,9955 0,9956 0,9957 0,9959 0,9960 0,9961 0,9962 0,9963 0,9964
2,7 0,9965 0,9966 0,9967 0,9968 0,9969 0,9970 0,9971 0,9972 0,9973 0,9974
2,8 0,9974 0,9975 0,9976 0,9977 0,9977 0,9978 0,9979 0,9979 0,9980 0,9981
2,9 0,9981 0,9982 0,9982 0,9983 0,9984 0,9984 0,9985 0,9985 0,9986 0,9986
3,0 0,9987 0,9987 0,9987 0,9988 0,9988 0,9989 0,9989 0,9989 0,9990 0,9990
306 СТАТИСТИЧЕСКИЕ ТАБЛИЦЫ
Для вычисления значения функции F(x) в точках, не попавших в сетку таблицы, можно использовать линейную аппроксимацию. Если точка x
лежит между точками сетки x1< x2, где x1и x2два соседних значения
аргумента сетки таблицы, то используют формулу
F(x) = F(x1) +
x − x
x2− x
1
[
F(x2) − F(x1)
1
]
Например, для x = 0.653 выбираем ближайшие точки сетки x1= 0.65,
x2= 0.66, между которыми лежит x. Тогда, используя линейную ап-
проксимацию, получим F(0.653) = F(0.65) +
0,653−0,65
0,66−0,65
[
F(0,66) − F(0,65)]=
0.7F(0.65) + 0.3F(0.66) = 0.7 · 0.7422 + 0.3 · 0.7454 = 0.7432.
Значения функции распределения F
X ∼ Nm,σ
2
вычисляются по формуле
2
(x) случайной величины
m,σ
x − m
2
F
m,σ
(x) = F
σ
.
Так, например, если X ∼ N(1, 4), то
1,8 − 1
F
(1,8) = F
1,4
2
= F(0,4) = 0,6554.
Для построения доверительных интервалов и проверки статистических
гипотез для параметров нормального распределения, используются квантили zαстандартного распределения, т. е. решения уравнения F(z
α
)
= α.
Они приведены в таблице А.2.
Таблица А.2 – Квантили стандартного нормального распределения
α 0,01 0,05 0,1 0,9 0,95 0,975 0,99 0,995
z
-2,3263 -1,6449 -1,2816 1,2816 1,6449 1,9600 2,3263 2,5758
α
В некотором смысле таблицы А.1 и А.2 обратны.
Б. Распределение Стьюдента 307
α
Б Распределение Стьюдента
В таблице Б.1 приведены квантили tα(n) распределения Стьдента (tраспределения) c n степенями свободы, которые являются решением уравнения
+∞
Z
f(u)du = α
tα(n)
(см. рис. Б.1), где f(u) — плотность распределения Стьдента c n степенями
свободы:
в этой формуле Γ(k)=
f(u) =
R
+∞
0
Γ
√
nπ Γ
k−1e−y
y
n+1
2
u
1 +
n
2
n
n+1
−
2
2
,
dy — гамма-функция Эйлера.
f(u)
t
α
u
Рис. Б.1 – Квантиль распределения Стьюдента
Распределение Стьюдента симметрично. Следовательно, справедливо
равенство tα(n) = −t
1−α
(n).
Распределение Стьюдента сходится к стандартному нормальному при
n →∞, поэтому при больших значениях n квантили t-распределения можно приближенно находить используя таблицу А.2 квантилей стандартного
распределения.
Для нахождения квантилей распределения Стьюдента со степенями
свободы, не входящими в сетку таблицы можно воспользоваться линейной
интерполяцией.
308 СТАТИСТИЧЕСКИЕ ТАБЛИЦЫ
Таблица Б.1 – Квантили распределения Стьюдента c n степенями свободы
Уровень (α)
n
0,95 0,975 0,99 0,995 0,95 0,975 0,99 0,995
1 6,3138 12,7062 31,8205 63,6567 31 1,6955 2,0395 2,4528 2,7440
2 2,9200 4,3027 6,9646 9,9248 32 1,6939 2,0369 2,4487 2,7385
3 2,3534 3,1824 4,5407 5,8409 33 1,6924 2,0345 2,4448 2,7333
4 2,1318 2,7764 3,7469 4,6041 34 1,6909 2,0322 2,4411 2,7284
5 2,0150 2,5706 3,3649 4,0321 35 1,6896 2,0301 2,4377 2,7238
6 1,9432 2,4469 3,1427 3,7074 36 1,6883 2,0281 2,4345 2,7195
7 1,8946 2,3646 2,9980 3,4995 37 1,6871 2,0262 2,4314 2,7154
8 1,8595 2,3060 2,8965 3,3554 38 1,6860 2,0244 2,4286 2,7116
9 1,8331 2,2622 2,8214 3,2498 39 1,6849 2,0227 2,4258 2,7079
10 1,8125 2,2281 2,7638 3,1693 40 1,6839 2,0211 2,4233 2,7045
11 1,7959 2,2010 2,7181 3,1058 41 1,6829 2,0195 2,4208 2,7012
n
Уровень (α)
12 1,7823 2,1788 2,6810 3,0545 42 1,6820 2,0181 2,4185 2,6981
13 1,7709 2,1604 2,6503 3,0123 43 1,6811 2,0167 2,4163 2,6951
14 1,7613 2,1448 2,6245 2,9768 44 1,6802 2,0154 2,4141 2,6923
15 1,7531 2,1314 2,6025 2,9467 45 1,6794 2,0141 2,4121 2,6896
16 1,7459 2,1199 2,5835 2,9208 46 1,6787 2,0129 2,4102 2,6870
17 1,7396 2,1098 2,5669 2,8982 47 1,6779 2,0117 2,4083 2,6846
18 1,7341 2,1009 2,5524 2,8784 48 1,6772 2,0106 2,4066 2,6822
19 1,7291 2,0930 2,5395 2,8609 49 1,6766 2,0096 2,4049 2,6800
20 1,7247 2,0860 2,5280 2,8453 50 1,6759 2,0086 2,4033 2,6778
21 1,7207 2,0796 2,5176 2,8314 51 1,6753 2,0076 2,4017 2,6757
22 1,7171 2,0739 2,5083 2,8188 52 1,6747 2,0066 2,4002 2,6737
23 1,7139 2,0687 2,4999 2,8073 53 1,6741 2,0057 2,3988 2,6718
24 1,7109 2,0639 2,4922 2,7969 54 1,6736 2,0049 2,3974 2,6700
25 1,7081 2,0595 2,4851 2,7874 55 1,6730 2,0040 2,3961 2,6682
26 1,7056 2,0555 2,4786 2,7787 56 1,6725 2,0032 2,3948 2,6665
27 1,7033 2,0518 2,4727 2,7707 57 1,6720 2,0025 2,3936 2,6649
28 1,7011 2,0484 2,4671 2,7633 58 1,6716 2,0017 2,3924 2,6633
29 1,6991 2,0452 2,4620 2,7564 59 1,6711 2,0010 2,3912 2,6618
30 1,6973 2,0423 2,4573 2,7500 60 1,6706 2,0003 2,3901 2,6603
В. Распределение Фишера 309
α
В Распределение Фишера
Распределение Фишера (Фишера–Снедекора, F-распределение) — абсо-
лютно непрерывное распределение с плотностью
0, x 6 0;
f(u)=
f(u) =
R
+∞
где Γ(k)=
0
k−1e−y
y
В таблицах В.1–В.3 приведены квантили fα(n) распределения Фишера
c (n,m) степенями свободы, уровней 0,9, 0,95, 0,99.
Γ
n+m
2
Γ
n
2
n
Γ
n
m
/2
/2
m
m
2
u
n
−1
2
(
nu + m
dy — гамма-функция Эйлера.
n+m
−
2
)
, x > 0,
f(u)
f
α
u
Рис. В.1 – Квантиль распределения Фишера
При нахождении квантили распределения Фишера, необходимо учитывать, что n — число степеней свободы, которое соответствует числителю (большей оценки дисперсии), m — число степеней свободы знаменателя
(меньшей оценки дисперсии).
Например, квантиль f
(
6,10)F-распределения уровня 0,05 со степенями
α
свободы 6 и 10 находится в таблице В.2 на пересечении столбца со значением
6 (числитель) и строки со значением 10 (знаменатель): f
(
6,10)= 3,22.
α
310 СТАТИСТИЧЕСКИЕ ТАБЛИЦЫ
Таблица В.1 – Распределение Фишера. Квантиль уровня 0,9
n
m
10 3,29 2,92 2,73 2,61 2,52 2,46 2,41 2,38 2,35 2,32 2,13 2,11 2,09 2,09 2,06
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40 60 80 100 ∞
1 39,9 49,5 53,6 55,8 57,2 58,2 58,9 59,4 59,9 60,2 62,5 62,8 62,9 63,0 63,3
2 8,53 9,00 9,16 9,24 9,29 9,33 9,35 9,37 9,38 9,39 9,47 9,47 9,48 9,48 9,49
3 5,54 5,46 5,39 5,34 5,31 5,28 5,27 5,25 5,24 5,23 5,16 5,15 5,15 5,14 5,13
4 4,54 4,32 4,19 4,11 4,05 4,01 3,98 3,95 3,94 3,92 3,80 3,79 3,78 3,78 3,76
5 4,06 3,78 3,62 3,52 3,45 3,40 3,37 3,34 3,32 3,30 3,16 3,14 3,13 3,13 3,10
6 3,78 3,46 3,29 3,18 3,11 3,05 3,01 2,98 2,96 2,94 2,78 2,76 2,75 2,75 2,72
7 3,59 3,26 3,07 2,96 2,88 2,83 2,78 2,75 2,72 2,70 2,54 2,51 2,50 2,50 2,47
8 3,46 3,11 2,92 2,81 2,73 2,67 2,62 2,59 2,56 2,54 2,36 2,34 2,33 2,32 2,29
9 3,36 3,01 2,81 2,69 2,61 2,55 2,51 2,47 2,44 2,42 2,23 2,21 2,20 2,19 2,16
11 3,23 2,86 2,66 2,54 2,45 2,39 2,34 2,30 2,27 2,25 2,05 2,03 2,01 2,01 1,97
12 3,18 2,81 2,61 2,48 2,39 2,33 2,28 2,24 2,21 2,19 1,99 1,96 1,95 1,94 1,90
13 3,14 2,76 2,56 2,43 2,35 2,28 2,23 2,20 2,16 2,14 1,93 1,90 1,89 1,88 1,85
14 3,10 2,73 2,52 2,39 2,31 2,24 2,19 2,15 2,12 2,10 1,89 1,86 1,84 1,83 1,80
15 3,07 2,70 2,49 2,36 2,27 2,21 2,16 2,12 2,09 2,06 1,85 1,82 1,80 1,79 1,76
16 3,05 2,67 2,46 2,33 2,24 2,18 2,13 2,09 2,06 2,03 1,81 1,78 1,77 1,76 1,72
17 3,03 2,64 2,44 2,31 2,22 2,15 2,10 2,06 2,03 2,00 1,78 1,75 1,74 1,73 1,69
18 3,01 2,62 2,42 2,29 2,20 2,13 2,08 2,04 2,00 1,98 1,75 1,72 1,71 1,70 1,66
19 2,99 2,61 2,40 2,27 2,18 2,11 2,06 2,02 1,98 1,96 1,73 1,70 1,68 1,67 1,63
20 2,97 2,59 2,38 2,25 2,16 2,09 2,04 2,00 1,96 1,94 1,71 1,68 1,66 1,65 1,61
21 2,96 2,57 2,36 2,23 2,14 2,08 2,02 1,98 1,95 1,92 1,69 1,66 1,64 1,63 1,59
22 2,95 2,56 2,35 2,22 2,13 2,06 2,01 1,97 1,93 1,90 1,67 1,64 1,62 1,61 1,57
23 2,94 2,55 2,34 2,21 2,11 2,05 1,99 1,95 1,92 1,89 1,66 1,62 1,61 1,59 1,55
24 2,93 2,54 2,33 2,19 2,10 2,04 1,98 1,94 1,91 1,88 1,64 1,61 1,59 1,58 1,53
25 2,92 2,53 2,32 2,18 2,09 2,02 1,97 1,93 1,89 1,87 1,63 1,59 1,58 1,56 1,52
30 2,88 2,49 2,28 2,14 2,05 1,98 1,93 1,88 1,85 1,82 1,57 1,54 1,52 1,51 1,46
40 2,84 2,44 2,23 2,09 2,00 1,93 1,87 1,83 1,79 1,76 1,51 1,47 1,45 1,43 1,38
50 2,81 2,41 2,20 2,06 1,97 1,90 1,84 1,80 1,76 1,73 1,46 1,42 1,40 1,39 1,33
60 2,79 2,39 2,18 2,04 1,95 1,87 1,82 1,77 1,74 1,71 1,44 1,40 1,37 1,36 1,29
70 2,78 2,38 2,16 2,03 1,93 1,86 1,80 1,76 1,72 1,69 1,42 1,37 1,35 1,34 1,27
80 2,77 2,37 2,15 2,02 1,92 1,85 1,79 1,75 1,71 1,68 1,40 1,36 1,33 1,32 1,24
90 2,76 2,36 2,15 2,01 1,91 1,84 1,78 1,74 1,70 1,67 1,39 1,35 1,32 1,30 1,23
∞ 2,71 2,30 2,08 1,94 1,85 1,77 1,72 1,67 1,63 1,60 1,30 1,24 1,21 1,18 1,00