Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Специальные разделы высшей математики. Практикум по математической статистике. Учебно-методическое пособие.pdf
1.3. Примеры типовых задач с решением 31
Пример 1.3. Вывести формулу для математического ожидания слу-
чайной величины X, которая имеет равномерное распределение на отрезке
[
a; b].
Решение. Плотность распределения случайной величины X ∼ U(a; b
равна
(x)
f
X
1
=
, x ∈[a; b];
b−a
0, x /∈[a; b].
Тогда согласно формуле (1.5) имеем
M(X)=
Z
+∞
−∞
xf
X
(x)
dx =
Z
b
a
x
b − a
dx =
b2− a
2(b − a
2
a + b
=
)
2
Пример 1.4. При обработке деталей на станке автомате вероятность
выхода размеров обрабатываемых деталей за границы «допуска» постоянна и равна 0,2. Для контроля качества отбирают 2 детали. Составить ряд и
функцию распределения F(x) случайной величины X — числа нестандартных деталей.
)
Решение. Случайная величина X может принимать значения: 0, 1 или
2. Рассмотрим события
X A1— первая деталь нестандартна,
X A2— вторая деталь нестандартна.
По условию задачи P(A
)
= P(A
1
)
= 0,2; PA
2
= PA
1
= 1 − 0,2 = 0,8.
2
Следовательно,
P{X = 0}= PA1A
= PA
2
P{X = 1}= 0,8 · 0,8 = 0,64 PA1A2+ A1A
= P(A
P{X = 2}= P(A1A
)
1
PA
)
= P(A
2
2
P
1
+ PA
)P(
1
1
A
;
2
= PA1A
2
)
= 0,2 · 0,8 + 0,8 · 0,2 = 0,32;
2
)
= 0,2 · 0,2 = 0,04.
A
P(A
2
+ PA1A
2
=
2
По сути мы получили биномиальное распределение с параметрами
n = 2 и p = 0,2. Построим, ряд распределения случайной величины X.
32 Глава 1. СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ
ξ 0 1 2
p 0,64 0,32 0,04
Для построения функции распределения, добавим в ряд распределения
строку накопленных вероятностей.
ξ 0 1 2
p 0,64 0,32 0,04
н.в. 0 0,64 0,96 1
Тогда функция распределения имеет вид.
0; x 6 0;
0,64; 0 < x 6 1;
F(x)=
0,96; 1 < x 6 2;
1; x > 2.
Пример 1.5. Число сообщений Y, поступающих на пульт диспетчера в
течение часа, подчиняется закону Пуассона с параметром λ = 5 (сообщений
в час). Найти вероятности следующих событий:
а) Вероятность, что за следующий час не поступит ни одного сообщения:
P{Y = 0};
б) Вероятность, что за следующий час поступит больше трех сообщений:
P{Y > 3}.
Решение. Так как Y подчиняется закону Пуассона, то
−λ
P{ξ = n}=
λne
.
n!
Следовательно
−5
P{ζ = 0}=
50e
= e−5,
0!
P{ζ > 3}= 1 − P{ζ = 0}− P{ζ = 1}− P{ζ = 2}− P{ζ = 3}=
= 1 −
50e
0!
−5
−
51e
1!
−5
−
52e
2!
−5
−
53e
3!
−5
.
1.3. Примеры типовых задач с решением 33
Пример 1.6. Предприятие производит детали, срок службы которых
нормально распределён со средним значением 1000 и стандартным отклонением 200 часов. Для случайно отобранной детали вычислить вероятность
того, что её срок службы будет
а) менее 900 часов;
б) более 1050;
в) не менее 900 часов, но не более 1050.
Решение. Используем формулу (1.36) для нахождения вероятности попадания нормальной случайной величины (срок службы детали X ) в интервал и таблицу А.1 функции распределения стандартного нормального
закона.
900 − 1000
а) P(−∞< X < 900)= F
0,1
200
− F
0,1
(
−∞)=
= F
(
−0,5)− 0 = 1 − F
0,1
(
0,5)= 1 − 0,6915 = 0,3085
0,1
1050 − 1000
б) P(1050 6 X < +∞)= F
(
+∞)− F
0,1
0,1
= 1 − F
200
=
(
0,25)= 1 − 0,5987 = 0,4013.
0,1
в) согласно пунктам а) и б) решения получим
P(900 6 X 6 1050)= 1 − P(900 < X)− P(X < 1050)=
= 1 − 0,3085 − 0,4013 = 0,2902.
Пример 1.7. Суточный расход воды в населенном пункте является случайной величиной X, среднее квадратическое отклонение которой равно
10 000 л. Оценить с помощью неравенства Чебышёва вероятность того, что
расход воды в этом населенном пункте в течение суток отклонится от математического ожидания более чем на 25 000 л.
Решение. Положим в неравенстве (1.40) X =|Y − m
ε = 25000. Тогда получим
P{|Y − m
|
> ε}= P{X > ε}≤
Y
MX
2
ε
=
σ
2
=
2
Y
=
ε
M
σ
Y
ε
(
Y − m
2
ε
2
=
)
Y
10 000
25 000
|
, g(x) = x2,
Y
2
)
D(Y
=
2
=
2
ε
= 0,42= 0,16.
34 Глава 1. СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ
Пример 1.8. Срок службы электрической лампы имеет показательное
распределение с математическим ожиданием 1000 часов. Найти вероятность того, что суммарный срок службы для 200 ламп составит не менее
180000 часов.
Решение. Пусть X1, X2, . . . , X
— случайные величины, которые описы-
200
вают срок службы соответственно первой, второй, и т. д. до двухсотой лампы. Эти случайные величины независимы и имеют одно и тоже показательное распределение с параметром λ. Математическое ожидание каждой из
этих случайных величин согласно (1.29) выражается формулой M(X
)
= 1/λ
i
и по условию задачи равно 1 тыс. часов. Следовательно λ = 1(тыс. час.)−1.
Также согласно (1.29) D(X
Введем обозначение S
)
= 1/λ2= 1, следовательно σ
i
= X1+ X2+ . . . + X
200
мости случайных величин X1, X2, . . . , X
σ
S
200
=√200.
. Тогда в силу независи-
200
получим, что M(S
200
=D(X
X
i
200
)
= 1.
i
)
= 200 и
Вычислим искомую вероятность P(Sn> 180). Преобразуем неравенство
под знаком вероятности к виду левой части (1.41). Имеем
P(Sn> 180)= 1 − P(Sn< 180)= 1 − P
Sn− M(S
D(S
)
n
)
n
180 − 200
√
<
200
=
= 1 − P
Sn− M(S
D(S
)
n
< −1,4142.
)
n
С помощью ЦПТ (1.41), продолжая последнее равенство, можем записать
P(Sn> 180)≈ 1 − F
(
−1,4142)= F
0,1
(
1,4142)= 0,9213.
0,1
Таким образом, искомая вероятность того, что суммарный срок службы
для 200 ламп составит не менее 180000 часов приблизительно равна 0,9213.
1.4 Задачи
Задача 1.1. Покажите, что математическое ожидание и дисперсия случайной величины X ∼ Bernulli(p), соответственно равны M(X)= p и
D(X)= p(1 − p).
1.4. Задачи 35
Задача 1.2. Покажите, что математическое ожидание и дисперсия
случайной величины X ∼ DU(i, j), соответственно равны M(X)=
D(X)=
(
j−i+1
12
2
)
−1
.
j+i
2
и
Задача 1.3. Среднее число автомобилей, проходящих таможенный досмотр в течение часа, равно 4. Предполагая, что количество автомобилей,
проходящих таможенный досмотр за единицу времени, подчинено закону
Пуассона, найти вероятность следующих событий:
а) за один час досмотр продут больше четырех автомобилей;
б) за три часа пройдут от 8 до 11 автомобилей;
в) за три четверти часа успеет пройти досмотр только 1 автомобиль.
Задача 1.4. На пути движения автомашины 4 светофора, каждый из
которых запрещает дальнейшее движение автомашины с вероятностью 0,4.
Найти ряд распределения числа светофоров, пройденных машиной до первой остановки. Чему равны математическое ожидание и дисперсия этой
случайной величины?
Задача 1.5. В нормально распределенной совокупности 15% значений
Х меньше 12 и 40% значений Х больше 16,2. Найти среднее значение и
стандартное отклонение данного распределения.
Задача 1.6. Дневная добыча угля в некоторой шахте распределена по
нормальному закону с математическим ожиданием 900 тонн и стандартным
отклонением 95 тонн.
а) Найдите вероятность того, что в определенный день будут добыты
по крайней мере 950 тонн угля;
б) определите долю рабочих дней, в которые будет добыто от 860 до 940
тонн угля;
в) найдите вероятность того, что в данный день добыча угля окажется
ниже 750 тонн.
Задача 1.7. Диаметр подшипников, изготовленных на заводе, представляет собой случайную величину, распределенную нормально с математическим ожиданием 2,5 см и средним квадратическим отклонением 0,04 см.
Найти вероятность того, что размер наугад взятого подшипника
36 Глава 1. СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ
а) меньше 2,3 см
б) больше 2,8 см
в) лежит в пределах от 2,3 до 2,8 см.
Задача 1.8. Случайная величина X ошибки взвешивания распределена
по нормальному закону с нулевым математическим ожиданием и стандартным отклонением σ = 4 грамма. Найти вероятность того, что очередное
взвешивание будет проведено с ошибкой, не превышающей по модулю 6
грамм.
Задача 1.9. Диаметр валика — нормально распределенная случайная
величина, среднее квадратическое отклонение ее равно 6 мм. Найти длину интервала, симметричного относительно математического ожидания, в
который с вероятностью 0,9545 попадет длина диаметра валика.
Задача 1.10. В осветительную сеть параллельно включено 20 ламп.
Вероятность того, что за время Т лампа будет включена, равна 0,8. Пользуясь неравенством Чебышёва, оценить вероятность того, что абсолютная
величина разности между числом включенных ламп и средним числом (математическим ожиданием) включенных ламп за время Т окажется:
а) меньше трех;
б) не меньше трех.
Задача 1.11. Вероятность наступления события в каждом испытании
равна 0,3. Применяя неравенство Чебышёва, найти число испытаний, необходимых для того, чтобы вероятность отклонения частоты события от его
вероятности по абсолютной величине меньше чем на 0,01, была бы не меньше 0,99.
Задача 1.12. Доходы жителей города имеют доход в месяц с математическим ожиданием 40 тыс. руб. и средним квадратичным отклонением
4 тыс. руб. Найти вероятность того, что доход 100 случайно выбранных
жителей составит от 38 до 43 тыс. руб.
Задача 1.13. В продукции цеха детали отличного качества составляют
70%. Детали укладываются в коробки по 200 шт. в каждой. Какова вероятность того, что в партии из 300 таких коробок число деталей отличного
качества будет лежать в пределах от 40000 до 43000?
ОСНОВЫ ВЫБОРОЧНОГО
МЕТОДА
— Cтатистика это — наука, она не тер-
пит приблизительности.
К/ф «Служебный роман»
2.1 Коротко о главном
Определение 2.1. Генеральная совокупность — это значения изу-
2
чаемого признака всех существующих или мысленно возможных объ-
ектов данного вида, вероятностные характеристики которых подле-
жат оценке.
В дальнейшем, будем отождествлять генеральную совокупность со случайной величиной, например X, распределение которой нам, вообще говоря,
неизвестно.
Генеральная совокупность может быть конечной или бесконечной в зависимости от того, конечна или бесконечна совокупность составляющих ее
объектов.
Определение 2.2. Выборочной совокупностью (выборкой) называ-
ется множество Xn=(x1, x2, . . . , x
из генеральной совокупности для непосредственного анализа ее ста-
)
случайно отобранных объектов
n
тистических свойств с целью выявления вероятностных характе-
ристик всей генеральной совокупности.
38 Глава 2. ОСНОВЫ ВЫБОРОЧНОГО МЕТОДА
Определение 2.3. Объем выборки — это число элементов выбороч-
ной совокупности.
2.1.1 Аналитическое представление выборки
Определение 2.4. Простым вариационным рядом называют по-
следовательность элементов выборки Xn=(x1, x2, . . . , x
)
, записанных
n
в порядке неубывания их значений
X
где x
(1)
=
min
(
x1,x2, . . . ,x
n
(n)
)
=x
и x
(n)
(1)
, x
=
, . . . , x
(2)
max
,
(n)
(
x1, x2, . . . , x
)
. Элементы про-
n
стого вариационного ряда называют порядковыми статистиками.
Определение 2.5. Разность между наибольшим и наименьшим
значениями измерений называют размахом варьирования выборки.
Определение 2.6. Различные значения элементов выборки называ-
ются вариантами.
Определение 2.7. Число, которое показывает сколько раз встре-
чается соответствующая варианта xiв выборке называется часто-
той (абсолютной) варианты xiи обозначается ni.
Если число вариант в выборке невелико, то сгруппировав одинаковые
элементы, получим дискретный вариационный ряд:
P
Варианта x
Частота n
x
i
n
i
x
1
n
1
2
2
. . . x
. . . n
r
n
r
В таблице xi, i = 1,r — варианты выборки, ni— частоты соответствующих вариант, при этом n1+ n2+ . . . + nr= n.
Определение 2.8. Отношение частоты данной варианты к общей
сумме частот называется частостью (относительной частотой)
соответствующей варианты и обозначается p
*
i
i
=
. Частость яв-
n
n
ляется статистической вероятностью появления варианты xi.
2.1. Коротко о главном 39
Дискретный вариационный ряд частостей можно записать в виде:
P
Варианта x
x
i
x
1
2
. . . x
r
Частость p
*
i
p
*
1
p
*
2
. . . p
*
1
r
Если распределение генеральной совокупности X является непрерывным или число значений ее достаточно велико, то пользоваться простым и
дискретным вариационными рядами становится неудобно.
В этом случае используют интервальный вариационный ряд. Его строят следующим образом. Интервал всех возможных значений распределения
генеральной совокупности (варьирования выборки) разбивают на m, в зависимости от объема выборки n, частичных интервалов(α
i−1
; α
i
]
. Затем
определяют длину частичного интервала h:
x
− x
h =
(n)
(1)
,
m
где h — шаг, m — число интервалов разбиения. Если длина интервала окажется бесконечной дробью, то ее округляют с заданной точностью, при
этом округление производится в большую сторону. Обычно берут интервалы одинаковые по длине, но могут быть интервалы и разной длины.
Затем подсчитывается число элементов ni, попавших в i-й интервал
i = 1,m. При этом в интервал включают значения, большие нижней границы интервала, и меньшие или равные – верхней границе.
В случае необходимости, вычисляют и заносят в таблицу середины интервалов, частости и другую информацию, которую представляют в виде
таблицы произвольной формы. Пример такой таблицы представлен ниже.
P
Номер интервала i 1 2 . . . m
Интервал
(
α
i−1
Длина интервала h
Середина интервала˜xi=
; α
i
α
i−1+αi
i
2
] [
α0; α
h
1
˜
x
1
1
] (
α1; α
h
2
˜
x
2
]
. . .(α
2
. . . h
. . .
m−1
˜
x
m
m
; α
m
]
Частота n
Частость p
i
*
i
n
p
1
*
1
n
p
2
*
2
. . . n
. . . p
m
n
*
r
1
40 Глава 2. ОСНОВЫ ВЫБОРОЧНОГО МЕТОДА
При решении практических задач для удобства строки и столбцы таблицы можно поменять местами.
Если остановиться на вопросе о количестве интервалов разбиения, то
здесь возникают два противоречия:
X с одной стороны число интервалов не должно быть слишком большим,
иначе ряд становится невыразительным, а частоты в нем обнаруживают незакономерные колебания;
X с другой стороны интервалов не должно быть слишком мало — ста-
тистический ряд будет слишком грубым, и не будет описывать закономерности присущие выборке.
На практике для определения оптимального числа интервалов, когда
статистический ряд не будет слишком громоздким, но и в нем не исчезнут особенности изучаемого явления, могут быть использованы различные
формулы, которые определяют количество интервалов разбиения в зависимости от объема выборки. Все эти формулы для оценки числа интервалов
m носят эмпирический характер. Рассмотрим некоторые из них.
1. Формула Стерджесса m = 1+[log2n]— самая распространенная фор-
мула, фигурирующая во многих учебниках по статистике, где[x]—
целая часть x, т. е. наибольшее целое число, не превосходящее x.
√
2. Формула квадратного корня m =
n.
Следующие альтернативные формулы определяют длину интервала,
после чего уже вычисляется число требуемых интервалов.
3,5S
x
3. Формула Скотта h =
√
, где h — длина интервала разбиения, Sx—
3
n
выборочное среднее квадратическое отклонение.
2IQ
4. Формула Фридмана—Диакониса h =
√
, где h — длина интервала,
3
n
IQ — интерквартильный размах, т. е. разность между верхним (вы-
борочной квантилью уровня 0,75) и нижним квартилем (выборочной
квантилью уровня 0,25).