Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Специальные разделы высшей математики. Практикум по математической статистике. Учебно-методическое пособие.pdf
2.1. Коротко о главном 41
2.1.2 Графическое представление выборки
Одной из основных характеристик выборки является эмпирическая
функция распределения.
Определение 2.9. Функция выборки(x1, x2, . . . , x
)
, определяемая
n
формулой
*
(x)
F
=
n
, (2.1)
(x)
ν
n
где ν
n
(x)
— число значений среди x1,x2, . . . ,xn, меньших x(x ∈
R), на-
зывается эмпирической функцией распределения (функцией распре-
деления выборки).
Основываясь на понятии простого вариационного ряда, если в выборке нет повторяющихся элементов, эмпирическую функцию распределения
можно записать в виде:
0, x 6 x
k
n
, x
(k)
*
(x)
F
=
1, x > x
;
(1)
< x 6 x
.
(n)
(
k+1
;
)
*
Основные свойства эмпирической функции распределения F
*
1. 0 6 F
*
2. F
*
3. F
4.
lim
x→−∞
(x)
6 1.
(x)
— неубывающая функция.
(x)
— непрерывная слева функция.
*
(x)
F
= 0,
lim
x→+∞
*
(x)
F
= 1.
(x)
.
Эмпирическая функция распределения имеет ступенчатый (кусочно-постоянный) вид.
Определение 2.10. Накопленной частотой (частостью) вариан-
ты xiназывают суммарную частоту (частость) членов вариацион-
ного ряда со значением признака меньше или равного xi.
Определение 2.11. Полигоном частот называют ломаную, отрез-
ки которой соединяют точки с координатами(xi, n
*
стостей — с координатами(xi, p
)
, i = 1, m.
i
)
; полигоном ча-
i
42 Глава 2. ОСНОВЫ ВЫБОРОЧНОГО МЕТОДА
Полигон служит для графического представления дискретного вариационного ряда. Полигон частостей является аналогом многоугольника распределения дискретной случайной величины.
Пусть наблюдаемые значения непрерывной случайной величины представлены в виде интервального вариационного ряда. Полагая, что p
*
— ча-
i
стость попадания наблюдаемых значений в интервал(a
i−1
на i-го частичного интервала, выборочную функцию плотности f
]
, a
, где hi— дли-
i
*
(x)
мож-
но задать соотношением:
0, x ≤ α0,
*
*
(x)
f
=
p
i
h
i
0, x > αm;
, α
< x ≤ αi, i = 1, m,
i−1
где α0— начало первого интервала.
*
Так как функция f
(x)
является эмпирическим аналогом плотности
распределения вероятностей случайной величины, то площадь области под
графиком этой функции равна 1.
Определение 2.12. Гистограммой частот (частостей) называют
ступенчатую фигуру, состоящую из прямоугольников, основания ко-
торых расположены на оси Ox, и длины их равны длинам частичных
n
интервалов hi, а высоты равны отношению:
*
p
ты) — для гистограммы частот,
i
(приведенные частости) — для
h
i
i
(приведенные часто-
h
i
гистограмм частостей.
Площадь гистограммы частот равна n.
Для интервального вариационного ряда можно построить полигон, если
его преобразовать в дискретный ряд. В этом случае интервалы заменяют
их серединными значениями˜xiи ставят в соответствие интервальные частоты (частости). Полигон получим, соединив отрезками середины верхних
оснований прямоугольников гистограммы.
2.2. Вопросы для самоконтроля 43
2.2 Вопросы для самоконтроля
1. Что такое генеральная совокупность?
2. Что называется выборочной совокупностью (выборкой)?
3. Что называется объемом совокупности?
4. Что называют простым вариационным рядом выборки?
5. Что называют вариантами выборки?
6. Что называется частотой варианты выборки?
7. Что называется относительной частотой варианты выборки?
8. Какой вариационный ряд называется дискретным?
9. Какой вариационный ряд называется интервальным?
10. Как построить полигон частот для дискретного вариационного ряда?
11. Как строится полигон частот для интервального вариационного ряда?
12. Что называется приведенной частотой варианты выборки?
13. Как строится гистограмма частот для интервального вариационного
ряда?
14. Что называется эмпирической функцией распределения?
15. Как построить эмпирическую плотность распределения?
2.3 Примеры типовых задач с решением
Пример 2.1. Записать выборку X = (5, 3, 9, 10, 5, 9, 2, 10, 9, 2, 9, 9, 4, 2, 4)
в виде а) простого вариационного ряда и б) дискретного вариационного
ряда (частот и частостей).
44 Глава 2. ОСНОВЫ ВЫБОРОЧНОГО МЕТОДА
Решение. а) По условию задачи объем выборки n = 15. Упорядочив
элементы выборки по возрастанию значений ее элементов, получим вариационный ряд X
= (2, 2, 2, 3, 4, 4, 5, 5, 9, 9, 9, 9, 9, 10, 10).
(15)
б) Вариантами, т.е. различными значениями элементами в выборке, являются x1= 2, x2= 3, x3= 4, x4= 5, x5= 9, x6= 10;. Их частоты, сколько
раз варинты встречаются в выборке, соответственно равны n1= 3, n2= 1,
n3= 2, n4= 2, n5= 5, n6= 2. Таким образом, дискретный вариационный
ряд частот имеет вид
P
x
n
2 3 4 5 9 10
i
3 1 2 2 5 2 15
i
Последний столбец в таблице больше нужен для контроля вычислений,
сумма частот niдискретного вариационного ряда равна объему выборки n.
Разделив частоты niна объем выборки n, получим частости (относительные частоты) p
p
1
*
=
5
, p
1
1
*
=
15
, p
2
*
вариант xiвыборки, которые соответственно равны
i
2
*
=
15
, p
3
2
*
=
15
, p
4
1
*
=
3
, p
5
2
*
=
6
. Следовательно вариацион-
15
ный ряд частостей имеет вид
P
x
p
2 3 4 5 9 10
i
1
*
i
5
1
15
2
15
2
15
1
2
1
3
15
Как и в случае дискретного вариационного ряда частот, последний столбец в таблице нужен для контроля вычислений, сумма частостей p
*
i
дискретного вариационного ряда всегда равна 1. Поэтому если при вычислении
относительных частот требуется выполнить округления результатов, то его
необходимо выполнять с учетом этого правила.
Пример 2.2. Представить выборку
2,21 0,95 0,40 0,47 0,59 1,04 0,35 0,19 0,21 1,10
3,45 2,34 0,30 0,62 0,14 0,44 0,11 0,32 0,58 0,82
0,24 1,44 3,91 1,52 0,89 0,41 1,34 3,36 0,17 0,26
1,46 0,08 1,57 0,22 0,82 0,98 4,72 0,10 2,91 0,27
0,34 0,79 3,14 0,50 0,86 0,40 1,62 0,13 2,23 1,54
2.3. Примеры типовых задач с решением 45
в виде интервального вариационного ряда частот и частостей, количество
интервалов разбиение определить по формуле Стерджесса.
Решение.
1. Объем выборки n = 50. Определим число интервалов разбиения по
формуле Стерджесса
k =[log2(n)]+ 1 =[log2(50)]+ 1 = 5 + 1 = 6.
2. Построим простой вариационный ряд, упорядочив выборку по воз-
растанию значений ее элементов
0,08 0,10 0,11 0,13 0,14 0,17 0,19 0,21 0,22 0,24
0,26 0,27 0,30 0,32 0,34 0,35 0,40 0,40 0,41 0,44
0,47 0,50 0,58 0,59 0,62 0,79 0,82 0,82 0,86 0,89
0,95 0,98 1,04 1,10 1,34 1,44 1,46 1,52 1,54 1,57
1,62 2,21 2,23 2,34 2,91 3,14 3,36 3,45 3,91 4,72
3. Определим длину частичного интервала h. Минимальный и мак-
симальный элементы выборки соответственно равны x
x
= x50= 4,72. Следовательно размах выборки равен
max
R = x
max
− x
= 4,72 − 0,08 = 4,64.
min
= x1= 0,08 и
min
Таким образом, длина частичного интервала разбиения равна
R
h =
4,64
=
k
≈ 0,773333333 ≈ 0,8.
6
При нахождении h округление производится вверх, для того, чтобы
размах выборки был не меньше длины общего интервала разбиения
Q = αk− α0= α0+ hk − α0= hk.
4. При вычислении границ частичных интервалов, построим общий интервал разбиения так, чтобы его границы слева и справа симметрично выходили за границы x
min
α0= x
и x
max
min
, т. е.
− δ, α0= x
max
+ δ,
46 Глава 2. ОСНОВЫ ВЫБОРОЧНОГО МЕТОДА
где
Q − R
δ =
.
2
Остальные границы частичных интервалов находятся по формулам
αi= α
h, i = 1, k.
i−1
Тогда α0= 0,0, α1= 0,8, α2= 1,6, α3= 2,4, α4= 3,2, α5= 4,0, α6= 4,8
5. Вычислим частоты попадания элементов выборки в интервалы разбиения, при этом в частичный интервал(α
i−1
борки, значения которых больше нижней границы α
]
; α
включают элементы вы-
i
интервала и меньше
i−1
или равны верхней границы αi(можно в принципе и наоборот):
n1= 26, n2= 14, n3= 4, n4= 2, n5= 3, n6= 1.
6. Подводя итог, составим искомый интервальный вариационный ряд
частот, записав интервалы группировки и соответствующие им частоты в
таблицу
Номер
1 2 3 4 5 6
интервала
Интервал
(
α
; α
i−1
Частота
(
0,0; 0,8
]
i
] (
0,8; 1,6
] (
1,6; 2,4
] (
2,4; 3,2
] (
3,2; 4,0
] (
4,0; 4,8
26 14 4 2 3 1 50
7. Найдем частости интервалов полученного вариационного ряда, для
этого частоты niразделим на объем выборки n. Получим
*
p
= 0,2, p
1
*
= 0,28, p
2
*
= 0,08, p
3
*
= 0,04, p
4
*
= 0,06, p
5
*
= 0,02.
6
Следовательно, интервальный ряд частостей для данной выборки мож-
P
]
но записать в виде
2.3. Примеры типовых задач с решением 47
Номер
P
1 2 3 4 5 6
интервала
Интервал
(
α
; α
i−1
Частота
(
0,0; 0,8
]
i
0,52 0,28 0,08 0,04 0,06 0,02 1
] (
0,8; 1,6
] (
1,6; 2,4
] (
2,4; 3,2
] (
3,2; 4,0
] (
4,0; 4,8
]
Пример 2.3. Задана выборка случайной величины X = (1,2; 0,8; 0,2; 0,4; 0,6).
*
Записать эмпирическую функцию распределения вероятностей F
(x)
и по-
строить ее график.
Решение. Запишем выборку в виде простого вариационного ряда: X
(5)
=
(0,2; 0,4; 0,6; 0,8; 1,2). По условию объем выборки n = 5. Согласно формуле
(2.1) получаем
0
X F*(x) =
5
1
X F*(x) =
5
одно);
2
X F*(x) =
5
два);
3
X F*(x) =
5
три);
4
X F*(x) =
5
четыре);
= 0 при x 6 0,2 (ν
n
(x)
= 0, наблюдений меньше 0,2 нет);
= 0,2 при 0,2 < x 6 0,4 (ν
= 0,4 при 0,4 < x 6 0,6 (ν
= 0,6 при 0,6 < x 6 0,8 (ν
= 0,8 при 0,8 < x 6 1,2 (ν
(x)
n
n
n
n
= 1, наблюдений меньше 0,4
(x)
= 2, наблюдений меньше 0,6
(x)
= 3, наблюдений меньше 0,8
(x)
= 4, наблюдений меньше 1,2
5
X F*(x) =
= 1 при x > 1,2 (ν
5
n
(x)
= 5, наблюдений меньше или равных
1,2 пять).
Таким образом, искомая функция распределения имеет вид:
48 Глава 2. ОСНОВЫ ВЫБОРОЧНОГО МЕТОДА
0; x 6 0,2;
0,2; 0,2 < x 6 0,4;
*
(x)
F
=
0,4; 0,4 < x 6 0,6;
0,6; 0,6 < x 6 0,8;
0,8; 0,8 < x 6 1,2;
1; x > 1,2.
А ее график изображен на рисунке 2.1.
F*(x)
1
0,8
0,6
0,4
0,2
0,2 0,4 0,6 0,8 1,2
x
Рис. 2.1 – Эмпирическая функция распределения
Пример 2.4. Записать и построить эмпирическую функцию распреде-
ления выборки представленной в виде дискретного вариационного ряда
x
n
1 3 4 6 7
i
1 2 4 1 2
i
Решение. Найдем объем выборки
n = n1+ n2+ n3+ n = n4+ n = n5= 1 + 2 + 4 + 1 + 2 = 10.
Вычислим частости вариант, разделив соответствующие частоты на
объем выборки:
p
=
1
= 0,1; p
10
*
1
2
*
=
2
= 0,2; p
10
4
*
=
3
= 0,4; p
10
1
*
=
4
= 0,1; p
10
2
*
=
5
10
После чего запишем дискретный вариационный ряд частостей
= 0,2
2.3. Примеры типовых задач с решением 49
P
p
x
i
*
i
1 3 4 6 7
0,1 0,2 0,4 0,1 0,2 1
В третью строку таблицы запишем накопленные частости ωi, т. е. отношение числа значений, которые попали в i-й интервал и все предшествующие, к объему выборки: ωi= p
*
1
+ p
*
+ . . . + p
2
*
.
i
P
p
x
i
*
i
1 3 4 6 7
0,1 0,2 0,4 0,1 0,2 1
ω
0 0,1 0,3 0,7 0,8 1
i
В итоге, согласно формуле (2.1) получаем, что искомая функция распределения имеет вид:
0; x 6 1;
0,1; 1 < x 6 3;
*
(x)
F
=
0,3; 3 < x 6 4;
0,7; 4 < x 6 6;
0,8; 6 < x 6 7;
1; x > 7.
Ее график изображен на рисунке 2.2.
F*(x)
1
0,8
0,7
0,3
0,1
1 3 4 6 7
x
Рис. 2.2 – Эмпирическая функция распределения
50 Глава 2. ОСНОВЫ ВЫБОРОЧНОГО МЕТОДА
Пример 2.5. Для выборки представленной в виде интерального вариационного ряда
(
α
i−1
n
; α
i
] (
i
0; 4
] (
4; 6
] (
6; 10
] (
10; 12
2 3 4 1
]
записать эмпирическую функцию распределения.
Решение. Перейдем от интервального вариационного ряда к дискретному: в качестве его вариант выберем серединыxiинтервалов(α
(
α
i−1
n
; α
x
i
i
] (
i
0; 4
] (
4; 6
] (
6; 10
] (
10; 12
]
2 5 8 11
2 3 4 1 10
Σ
i−1
Дополним таблицу уже дискретного вариационного ряда строками: частостей p
*
и накопленных частостей ωi.
i
; α
]
i
(
α
i−1
n
p
ω
; α
x
i
i
*
i
i
] (
i
0; 4
] (
4; 6
] (
6; 10
2 5 8 11
2 3 4 1 10
0,2 0,3 0,4 0,1 1
0 0,2 0,5 0,9 1
] (
10; 12
]
Тогда эмпирическая функция распределения примет вид:
0; x 6 2;
0,2; 2 < x 6 5;
*
(x)
F
=
0,5; 5 < x 6 8;
0,9; 8 < x 6 11;
1; x > 11.
Σ
Ее график изображен на рисунке 2.7.