Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Специальные разделы высшей математики. Практикум по математической статистике. Учебно-методическое пособие.pdf
1.1. Коротко о главном 21
Основные числовые характеристики случайной величины, имеющей
распределение Бернулли:
M(X)= p; D(X)= pq. (1.16)
Биномиальное распределение.
Определение 1.21. Говорят, что случайная величина X распреде-
лена по биномиальному закону, обозначают X ∼ B(n, p), если она мо-
жет принимать только целые неотрицательные значения от 0 до
n, а вероятности этих значений определяются формулой:
k
pk= P(X = k)= C
pkq
n
n−k
, k = 0, n, 0 < p < 1, q = 1 − p, (1.17)
где C
k
— биномиальные коэффициенты определяемые формулой
n
C
k
=
n
n!
, n! = 1 · 2 · . . . · n. (1.18)
k!(n − k)!
Основные числовые характеристики случайной величины, имеющей биномиальное распределение:
M(X)= np; D(X)= npq. (1.19)
Распределение Пуассона
Определение 1.22. Говорят, что случайная величина X распреде-
лена по закону Пуассона, обозначают X ∼ P(λ), если она может при-
нимать только целые неотрицательные значения, а вероятности
этих значений определяются формулой:
k
pk= P(X = k)=
λ
e−λ, k = 0, 1, 2, . . . , λ > 0. (1.20)
k!
Основные числовые характеристики случайной величины, имеющей
распределение Пуассона:
M(X)= λ; D(X)= λ. (1.21)
22 Глава 1. СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ
Геометрическое распределение (Фарри)
Определение 1.23. Говорят, что случайная величина X распределе-
на по закону Фарри или имеет геометрическое распределение, если ее
возможными значениями являются целые числа 0, 1, 2, 3, . . ., которые
она принимает с вероятностями
pk= P(X = k)= pqk, k = 0, 1, 2, . . . , 0 < p < 1, q = 1 − p. (1.22)
В этом случае пишут X ∼ G(p).
Основные числовые характеристики случайной величины, имеющей
геометрическое распределение:
M(X)=
q
; D(X)=
p
q
. (1.23)
2
p
1.1.4 Основные распределения абсолютно непрерывных
случайных величин
Равномерное распределение
Определение 1.24. Говорят, что случайная величина X распределе-
на равномерно на отрезке[a,b], обозначают X ∼ U(a,b)если её плот-
ность распределения вероятностей определяется формулой:
1
f(x)=
b − a
0, x /∈[a, b].
Ее функция распределения вероятностей определяется равенством:
, x ∈[a,b];
(1.24)
0, x 6 a;
F(x)=
x − a
, a < x 6 b;
b − a
1, x > b.
Основные числовые характеристики случайной величины, имеющей
равномерное распределение:
M(X)=
b + a
2
; D(X)=
(
b − a
12
2
)
. (1.26)
(1.25)
1.1. Коротко о главном 23
Экспоненциальное (показательное) распределение
Определение 1.25. Говорят, что случайная величина X распреде-
лена по экспоненциальному закону (обозначают X ∼ Exp(λ)), если её
плотность распределения вероятностей для λ > 0 определяется фор-
мулой:
0, x < 0;
f(x)=
−λx
λe
, x > 0.
Соответственно, ее функция распределения вероятностей имеет вид:
0, x 6 0;
F(x)=
1 − e
−λx
, x > 0.
Основные числовые характеристики случайной величины, имеющей
экспоненциальное распределение:
M(X)=
1
; D(X)=
λ
1
. (1.29)
2
λ
Нормальное распределение
(1.27)
(1.28)
Определение 1.26. Говорят, что случайная величина X распреде-
лена по нормальному закону, обозначают X ∼ Nm,σ
2
, если её плот-
ность распределения вероятностей определяется следующей форму-
лой:
f(x)=
√
1
−
e
(x−m)
2σ
2
2
. (1.30)
2π σ
Соответствующая функция распределения вероятностей имеет следующий вид:
x
F(x)=
√
1
−
e
Z
(y−m)
2
2σ
2
dy. (1.31)
2π σ
−∞
Основные числовые характеристики нормальной случайной величины:
M(X)= m; D(X)= σ2. (1.32)
Определение 1.27. Распределение случайной величины X ∼ N(0,1
)
называется стандартным нормальным.
24 Глава 1. СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ
Ее плотность и функция распределения вероятностей, соответственно,
имеют вид:
2
1
=
√
(x)
f
0,1
x
−
2
e
, (1.33)
2π
x
Z
1
=
√
(x)
F
0,1
2
y
−
2
e
dy. (1.34)
2π
−∞
Функция распределения нормальной случайной величины не выражается в элементарных функциях. Но ее значения табулированы (см., например, таблицу приложения А.1).
Выполнив замену переменной интегрирования в (1.34), можно получить
2
связь между значениями функций F
m,σ
(x)
и F
0,1
(x)
:
x − m
2
m,σ
(x)
= F
0,1
σ
. (1.35)
F
Используя соотношение (1.35) и таблицу А.1 значений функции распределения стандартной нормальной случайной величины, можно найти
вероятность попадания случайной величины X ∼ Nm,σ
2
в интервал(α,β
по формуле:
P(α < X < β)= F
β − m
0,1
σ
− F
0,1
α − m
. (1.36)
σ
1.1.5 Распределения связанные с нормальным
Следующие распределения, наряду с нормальным, находят широкое применение в математической статистике. Итак, пусть X0, X1, . . . , Xn,
Y1, . . . , Ym— независимые случайные величины, имеющие стандартное нор-
)
мальное распределение.
χ2-распределение (хи квадрат)
Определение 1.28. Говорят, что случайная величина, определяе-
мая соотношением
χ2=
n
X
i=1
X
2
i
имеет χ2-распределение с n степенями свободы.
(1.37)
1.1. Коротко о главном 25
Квантили этого распределения приведены в таблице Г.1 приложения.
Распределение Стьюдента (t-распределение)
Определение 1.29. Распределение случайной величины t, где
X
t =
0
, (1.38)
n
P
1
n
i=1
X
2
i
называется распределением Стьюдента с n степенями свободы, за-
писывают t ∼t(n) .
Квантили этого распределения приведены в таблице Б.1 приложения.
Распределение Фишера (F-распределение)
Определение 1.30. Распределение случайной величины F, где
n
P
F =
1
n
1
m
i=1
m
P
j=1
2
X
i
, (1.39)
2
Y
j
называется распределением Фишера с(n, m)степенями свободы, за-
писывают F ∼F(n, m) .
Квантили этого распределения приведены в таблицах В.1–В.3 приложения.
1.1.6 Предельные теоремы
Предельные теоремы делятся на две группы:
1. закон больших чисел (ЗБЧ);
2. центральная предельная теорема (ЦПТ).
26 Глава 1. СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ
Неравенство Чебышёва
Теорема 1.1 (Неравенство Чебышёва). Пусть g(x)— неотрицатель-
ная неубывающая на множестве значений случайной величины X
функция. Предположим, что существует Mg(X). Тогда для каждого
ε > 0 справедливо неравенство
P{X > ε}≤ Mg(X
)
/
g(ε). (1.40)
Определение 1.31. Говорят, что последовательность случайных
величин X1, . . . ,Xn, . . . сходится по вероятности к X, если для любого
ε > 0 справедливо
lim
P(|Xn− X|> ε)= 0,
n→∞
в этом случае пишут X
p
−−→X.
n
Закон больших чисел. Это обобщенное название цикла теорем, формулирующих условия, при которых разность среднего арифметического
случайных величин и среднего арифметического их математических ожиданий сходится по вероятности к нулю.
Теорема 1.2 (Закон больших чисел в форме Чебышёва). Пусть{X
n
}
— последовательность независимых случайных величин, для которых
существуют D(X
)
, причем D(X
n
n
X
1
n
k=1
X
k
Следствие из теоремы Чебышёва. Пусть{X
независимых случайных величин такая, что M(X
n
p
−−→
)
≤ c при всех n. Тогда
n
X
1
n
M(X
k=1
)
.
k
}
— последовательность
n
)
= m, D(X
n
)
≤ c при
n
всех n. Тогда для каждого ε > 0
lim
n→∞
P
n
X
1
n
Xk− m
k=1
> ε= 0.
Этот частный случай теоремы Чебышёва дает обоснование правилу
среднего арифметического в теории обработки результатов измерений.
1.1. Коротко о главном 27
Рассмотрим последовательность независимых испытаний, в каждом из
которых может быть только два исхода — успех (У) с постоянной вероятностью p и неудача (Н) с вероятностью q = 1 − p. Назовем такую последовательность испытаний схемой Бернулли. Тогда для νn— частоты появления
успеха в первых n испытаниях справедлива следующая теорема, которая
является следствием теоремы Чебышёва.
Теорема 1.3 (Закон больших чисел в форме Бернулли). В схеме Бер-
нулли для любого ε > 0 справедливо равенство
lim
n→∞
{ |
P
νn− p|> ε}= 0.
Оказывается, что для независимых одинаково распределенных случайных величин закон больших чисел справедлив и без требования ограниченности дисперсий, и тем более требования существования дисперсий. А
именно, имеет место следующее утверждение.
Теорема 1.4 (Закон больших чисел в форме Хинчина). Пусть{X
}
—
n
последовательность независимых одинаково распределенных величин,
имеющих конечное математическое ожидание M(X
)
= m. Тогда для
n
каждого ε > 0 справедливо
lim
n→∞
P
n
X
1
n
Xk− m
k=1
> ε= 0.
Обобщение закона больших чисел для зависимых случайных величин
было получено А. А. Марковым.
Теорема 1.5 (Закон больших чисел в форме Маркова). Если последо-
вательность произвольных случайных величин удовлетворяет усло-
вию
lim
n→∞
n
n
1
2
X
D
k=1
X
= 0,
k
тогда для любого ε > 0 имеет место
lim
n→∞
P
n
X
1
n
Xk−
k=1
1
n
n
X
k=1
M(X
)
> ε= 0.
k
28 Глава 1. СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ
Центральная предельная теорема. Это цикл теорем посвященный
изучением условий, при которых закон распределения суммы большого
числа случайных величин неограниченно приближается к нормальному закону.
Одним из важнейших примеров применения результатов теории вероятностей в технике, экономике и естествознании является следующий: пусть
некоторый процесс, будь то экономический или физический, протекает под
влиянием большого числа независимых случайных факторов, каждый из
которых мало влияет на изменение наблюдаемого процесса. Исследователя
интересует поведение процесса в целом, а не воздействие отдельных факторов. Таким образом, возникает задача изучения закономерностей, свойственных суммам большого числа независимых случайных величин, каждая из которых оказывает лишь малое влияние на сумму. Вместо того,
чтобы изучать суммы очень большого, но конечного числа слагаемых, мы
будем рассматривать последовательность сумм со все большим и большим
числом слагаемых и считать, что решения интересующих нас задач даются
предельными функциями распределения для последовательности функций
распределения таких сумм.
Теорема 1.6 (Классическая ЦПТ). Пусть X1, . . . ,Xn, . . . — последова-
тельность независимых одинаково распределенных случайных вели-
P
чин с конечной дисперсией D(X
)
= σ2< ∞и Sn=
k
n
Xk. Тогда для
k=1
любого x ∈ R при n →∞.
Sn− M(S
P
D(S
)
n
)
n
< x
→
√
1
2π
x
Z
−∞
−
e
2
u
2
du = F
0,1
(x)
. (1.41)
1.2 Вопросы для самоконтроля
1. Что называют случайным экспериментом?
2. Что называют пространством элементарных исходов случайного эксперимента?
3. Что называется случайными событиями?
1.2. Вопросы для самоконтроля 29
4. Что называется случайной величиной?
5. В чём различие дискретной и непрерывной случайных величин?
6. Что называется законом распределения вероятностей случайной величины?
7. Какими способами можно задать дискретную случайную величину?
8. Что такое функция распределения случайной величины?
9. Каковы основные свойства функции распределения случайной величины?
10. Что такое плотность распределения случайной величины?
11. Каковы основные свойства плотности распределения случайной величины?
12. Как определяется математическое ожидание дискретной случайной
величины?
13. Как определяются математическое ожидание абсолютно непрерывной
случайной величины?
14. Как определяется дисперсия дискретной случайной величины?
15. Как определяется дисперсия абсолютно непрерывной случайной величины?
16. Какие две группы предельных теорем вам знакомы?
17. О чём говорит закон больших чисел?
18. В чем состоит смысл сходимости по вероятности?
19. О чем говорит неравенство Чебышёва?
20. Что называют законом больших чисел в форме Чебышёва?
21. О чем говорит следствие из теоремы Чебышёва?
30 Глава 1. СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ
22. В чем состоит смысл закона больших чисел в форме Бернулли?
23. В чем состоит смысл закона больших чисел в форме Маркова?
24. В чем состоит смысл закона больших чисел в форме Хинчина?
25. Что такое центральная теорема?
1.3 Примеры типовых задач с решением
Пример 1.1. Вычислим математическое ожидание случайной вели-
чины, которая имеет биномиальное распределение. Пусть P{X = k}=
C
k
n
n−k
pkq
MX =
= np
= np
, тогда
∞
X
xkpk=
k=1
n
X
k=1
n−1
X
l=0
n
X
k=0
((
n − 1)−(k − 1))!(k − 1)!
(
n − 1)!
kC
(
k
n−k
pkq
n
n − 1)!
plq
((
n − 1)− l)!l!
X
=
k=0
(
n−1)−l
n
kn!
(
n − k)!k!
(
p
k−1
n−1)−(k−1
q
=np(p + q
pkq
n−1
)
n−k
=
)
={l = k − 1}=
= np.
Пример 1.2. Покажем, что для биномиальной случайной величины
справедлива формула D(X)= npq. Используя формулу (1.9)
M(X)=
n
X
=
k=0
n
X
=
k=1
n
X
=
k=2
n
X
k=0
2
k
k2C
k
n
n!
p
k
(
1 − p
k!(n − k)!
(
k − 1)n!
(
k − 1)!(n − k)!
n!
(
k − 2)!(n − k)!
= n(n − 1)p
n
X
+ np
k=1
n−k
)
k
(
p
1 − p
k
(
p
1 − p
k
(
p
1 − p
n
X
2
k=2
(
n − 1)!
(
k − 1)!(n − k)!
n
X
=
n−k
)
(
k − 2)!(n − k)!
k=0
=
n−k
)
n−k
)
(
n − 2)!
k
2
X
k=1
+
+
n!
k!(n − k)!
n
(
k − 1)!(n − k)!
n
X
(
k=1
n
X
(
k=1
k−1
p
k
p
(
1 − p
)
kn!
p
n!
k − 1)!(n − k)!
n!
k − 1)!(n − k)!
k−2
p
(
1 − p
)
(
n−k
1 − p
)
= n(n − 1)p2+ np.
n−k
k
p
p
n−k
=
(
1 − p
k
(
1 − p
k
(
1 − p
+
n−k
)
)
)
n−k
n−k
=
=
=