Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Специальные разделы высшей математики. Практикум по математической статистике. Учебно-методическое пособие.pdf
6.4. Задачи 211
6.4 Задачи
Задача 6.1. Найти коэффициент корреляции между производительно-
стью труда Y (тыс. руб.) и энерговооруженностью труда X (кВт) (в расчете
на одного работающего) для 8 предприятий региона по следующим данным,
представленным в таблице
X 2,8 2,2 3,5 3,2 4,8 6,0 5,2 5,4
Y 6,7 6,9 7,3 8,4 9,8 10,6 11,1 11,8
Задача 6.2. Определить значим ли коэффициент парной корреляции,
вычисленный при решении задачи 6.1 на уровне α = 0,09.
Задача 6.3. Построить доверительный интервал для коэффициента
парной корреляции из задачи 6.1 при γ = 0,99.
Задача 6.4. Из двухмерной нормальной генеральной совокупности из-
влечена выборка объемом n = 100. Найден выборочный коэффициент корреляции rXY= 0,51. Проверить нулевую гипотезу о равенстве нулю теоре-
тического коэффициента корреляции при уровне значимости α = 0,05 и
конкурирующей гипотезе Н1: ρ = 0.
Задача 6.5. Исследуется три показателя X1, X2 и X3 технологического
процесса Y. По выборке, содержащей 25 одновременных наблюдений над
ними оценена их корреляционная матрица (матрица парных коэффициентов корреляции между ними).
Y X1 X2 X3
Y 1 0,9 0,7 -0,6
X1 0,9 1 -0,5 0,3
X2 0,7 -0,5 1 -0,2
X3 -0,6 0,3 -0,2 1
Вычислить выборочные коэффициенты частной корреляции r
r
Y,X1|X
3
, r
Y,X1|X2,X
.
3
Y,X1|X
,
2
212 Глава 6. КОРРЕЛЯЦИОННЫЙ И РЕГРЕССИОННЫЙ АНАЛИЗ
Задача 6.6. Проверить значимость коэффициентов частных корреля-
ции из задачи 6.5 на уровне α = 0,05. Какой вывод можно сделать, сравнивая коэффициенты парной и частной корреляции?
Задача 6.7. Оценить коэффициент множественной корреляции призна-
ка Y по данным задачи 6.5.
Задача 6.8. Проверить значимость коэффициент множественной кор-
реляции признака Y вычисленного в примере 6.7 на уровне α = 0,05.
Задача 6.9. По выборке одновременных наблюдений объема n = 25 оце-
*
нена линейная регрессионная модель Y = β
0
*
+b
X. В таблице представлены
1
не полные результаты регрессионного анализа
Коэффициенты Стандартная ошибка t-статистика
Константа -15,52 A -1,81
X 0,50 0,09 B
Закончите проведение регрессионного анализа. Для этого
a) допишите в таблицу результатов недостающие значения: A и B;
б) проверьте значимость коэффициентов регрессии β0и β1, выполнив
следующие шаги:
1) запишите нулевую и альтернативную гипотезу;
2) вычислите статистику и укажите какое распределение она имеет при
справедливости гипотезы H0;
3) определите критическое значение на уровне α = 0,01;
4) сделайте вывод относительно значимости коэффициента.
Задача 6.10. Для линейной регрессионной модели задачи 6.9 записаны
результаты дисперсионного анализа, таблица не полная.
Дисперсионный анализ df SS MS F-статистика
Регрессия A C 2495,71 E
Остаток B 1934,82 D
Итого 24 4430,53
6.4. Задачи 213
Проверить адекватность модели эмпирическим данным в целом для этого:
а) допишите в таблицу недостающие значения: A, B, C, D и E;
б) вычислите коэффициент детерминации R2, что он означает;
б) проверьте его значимость, выполнив следующие шаги:
1) запишите нулевую и альтернативную гипотезу;
2) вычислите статистику и укажите какое распределение она имеет при
справедливости гипотезы H0;
3) определите критическое значение на уровне α = 0,01;
4) сделайте вывод относительно значимости коэффициента.
Задача 6.11. При исследовании прочности (МПа) древесины (сосна)
при изгибе от длительности (мес.) нахождения в условиях повышенной
влажности получены следующие экспериментальные данные
X 1 2 3 4 5 6 7 8
Y 729,61 697,69 674,57 651,38 619,50 592,82 564,14 538,79
Оцените уравнение линейной регрессии Y = β
*
0
+ b
*
1
X.
Задача 6.12. Проверьте значимость коэффициентов β0и b1модели ре-
грессии из задачи 6.11, для этого
а) запишите нулевую и альтернативную гипотезу;
б) вычислите статистику и укажите какое распределение она имеет при
справедливости гипотезы H0;
в) определите критическое значение на уровне α = 0,05;
г) сделайте вывод относительно значимости коэффициента.
Задача 6.13. Проверить адекватность модели из задачи 6.11 эмпириче-
ским данным в целом для этого:
а) вычислите коэффициент детерминации R2, о чем говорит его значе-
ние;
б) проверьте его значимость, выполнив следующие шаги:
1) запишите нулевую и альтернативную гипотезу;
2) вычислите статистику и укажите какое распределение она имеет при
справедливости гипотезы H0;
3) определите критическое значение на уровне α = 0,05;
214 Глава 6. КОРРЕЛЯЦИОННЫЙ И РЕГРЕССИОННЫЙ АНАЛИЗ
4) сделайте вывод относительно значимости коэффициента детермина-
ции.
Задача 6.14. По выборке одновременных наблюдений объема n = 30
оценена линейная регрессионная модель
Y = β
*
0
+ b
*
X1+ b
1
*
X2+ b
2
*
X3+ b
3
*
X4+ b
4
*
5
X5.
В таблице представлены частичные результаты множественного линей-
ного анализа.
Коэффициенты Стандартная ошибка t-статистика
Константа 480,51 226,18 2,12
X1 B 0,25 1,79
X2 4,61 C 0,76
X3 0,03 0,00 D
X4 -0,88 0,30 E
X5 -14,51 4,80 I
Продолжите проведение регрессионного анализа. Для этого
при α = 0,05:
a) допишите в таблицу результатов недостающие значения: A, B, C, D,
E, H и I;
б) проверьте значимость коэффициентов регрессии βiи i = 0,6, выпол-
нив следующие шаги:
1) запишите нулевую и альтернативную гипотезу;
2) выпишите статистику и укажите какое распределение она имеет при
справедливости гипотезы H0;
3) запишите значение статистики при данной реализации выборки;
4) определите критическое значение;
5) сделайте вывод относительно значимости коэффициента.
Задача 6.15. Для линейной регрессионной модели задачи 6.14 записаны
результаты дисперсионного анализа, таблица не полная.
6.4. Задачи 215
Дисперсионный анализ df SS MS F-статистика
Регрессия A 135022,9720 E H
Остаток B D 750,5487
Итого C 153036,1417
Проверить адекватность модели эмпирическим данным в целом для этого:
а) допишите в таблицу недостающие значения: A, B, C, D, E и H;
б) вычислите коэффициент детерминации R2, что он означает;
б) проверьте его значимость, выполнив следующие шаги:
1) запишите нулевую и альтернативную гипотезу;
2) выпишите статистику и укажите какое распределение она имеет при
справедливости гипотезы H0;
3) запишите значение статистики при данной реализации выборки;
4) определите критическое значение на уровне α = 0,05;
5) сделайте вывод относительно значимости коэффициента.
Задача 6.16. По выборке одновременных наблюдений объема n = 35
оценена линейная регрессионная модель
Y = β
*
0
+ b
*
X1+ b
1
*
X2+ b
2
*
X3+ b
3
*
X4+ b
4
*
X5+ b
5
*
6
X6.
В таблице представлены частичные результаты множественного линей-
ного анализа.
Коэффициенты Стандартная ошибка t-статистика
Константа A 138,839 4,866
X1 -0,010 B -0,126
X2 -0,553 0,173 C
X3 0,036 0,259 D
X4 3,463 3,526 E
X5 0,024 0,003 H
X6 -1,924 0,261 I
Продолжите проведение регрессионного анализа. Для этого
при α = 0,01:
216 Глава 6. КОРРЕЛЯЦИОННЫЙ И РЕГРЕССИОННЫЙ АНАЛИЗ
a) допишите в таблицу результатов недостающие значения: A, B, C, D,
E, H и I;
б) проверьте значимость коэффициентов регрессии βiи i = 0,6, выпол-
нив следующие шаги:
1) запишите нулевую и альтернативную гипотезу;
2) выпишите статистику и укажите какое распределение она имеет при
справедливости гипотезы H0;
3) запишите значение статистики при данной реализации выборки;
4) определите критическое значение;
5) сделайте вывод относительно значимости коэффициента.
Задача 6.17. Для линейной регрессионной модели задачи 6.16 записаны
результаты дисперсионного анализа, таблица не полная.
Дисперсионный анализ df SS MS F-статистика
Регрессия A D 27614,3261 H
Остаток B 19208,6705 E
Итого C 184894,6269
Проверить адекватность модели эмпирическим данным в целом для этого:
а) допишите в таблицу недостающие значения: A, B, C, D, E и H;
б) вычислите коэффициент детерминации R2, что он означает;
б) проверьте его значимость, выполнив следующие шаги:
1) запишите нулевую и альтернативную гипотезу;
2) выпишите статистику и укажите какое распределение она имеет при
справедливости гипотезы H0;
3) запишите значение статистики при данной реализации выборки;
4) определите критическое значение на уровне α = 0,05;
5) сделайте вывод относительно значимости коэффициента.
Задача 6.18. Исследуется зависимость признака Y от двух факторов
X1 и X2 технологического процесса. Построить линейную модель множе-
ственной регрессии Y = β
*
0
+ b
*
X1+ b
1
*
X2по следующим статистическим
2
данным.
6.4. Задачи 217
X1 5 8 8 5 6 6 4 8 10 8
X2 9 11 5 7 11 9 6 9 10 7
Y 33 46 56 23 41 33 22 51 58 61
Найти коэффициент детерминации оцененной модели.
Задача 6.19. При исследовании прочности (МПа) древесины (сосна)
при сжатии поперек волокон от длительности (мес.) нахождения в условиях
повышенной влажности получены следующие экспериментальные данные
X 1 2 3 4 4,5 5 6 6,5 7
Y 8,05 11,91 8,37 4,97 10,61 11,24 -2,60 6,57 2,85
Оцените уравнение линейной регрессии Y = β
*
0
+ b
*
X + b
1
*
X2.
2
Задача 6.20. По данным задачи 6.19 Оцените уравнение логарифмиче-
ской регрессии Y = β
*
0
+ b
*
ln
(X).
1
Задача 6.21. По данным задачи 6.19 Оцените уравнение степенной ре-
*
*
b
грессии Y = β
1
X
.
0
Задача 6.22. По данным задачи 6.19 Оцените уравнение экспоненци-
*
*
b
X
альной регрессии Y = β
1
e
.
0
ИНДИВИДУАЛЬНЫЕ ДОМАШНИЕ
ЗАДАНИЯ
Тема 1. Случайные величины
Задание 1. Для случайной величины X с заданным законом распреде-
ления, согласно данных номера своего варианта, найти.
а) M(X); б) D(X); в) P(X 6 a); г) P(X > b); д) P(a < X 6 b).
7
№ X a b № X a b № X a b
1 X ∼ B(6; 0,4
2 X ∼ B(7; 0,5
3 X ∼ B(8; 0,6
4 X ∼ B(9; 0,7
5 X ∼ B(10; 0,3
6 X ∼ B(6; 0,5
7 X ∼ B(7; 0,6
8 X ∼ B(8; 0,5
9 X ∼ B(9; 0,3
10 X ∼ B(10; 0,4
Задание 2. Для независимых величин X ∼ Exp(λ)и Y ∼ Nm, σ
используя данные согласно номеру своего варианта, вычислить
)
2 4 11 X ∼ P(1
)
3 5 12 X ∼ P(2
)
4 6 13 X ∼ P(3
)
5 7 14 X ∼ P(0,5)4 5 24 X ∼ G(0,5) 2 5
)
6 8 15 X ∼ P(1,5)1 4 25 X ∼ G(0,55) 3 5
)
1 3 16 X ∼ P(2,5)2 4 26 X ∼ G(0,6) 2 6
)
2 4 17 X ∼ P(0,8)3 4 27 X ∼ G(0,65) 3 6
)
3 5 18 X ∼ P(1,8)4 6 28 X ∼ G(0,7) 3 7
)
4 6 19 X ∼ P(2,8)3 6 29 X ∼ G(0,75) 4 7
)
5 7 20 X ∼ P(0,3)2 6 30 X ∼ G(0,8) 5 7
)
)
)
1 5 21 X ∼ G(0,3) 1 3
2 5 22 X ∼ G(0,4) 2 4
3 5 23 X ∼ G(0,45) 1 4
2
,
а) P(X 6 a); б) P(X > b); в) P(a < X 6 b);
219
г) P(Y 6 a); д) P(Y > b); е) P(a < Y 6 b);
ж) M(X); з) D(X); и) M(Y);
к) D(Y); л) M(2X + 3Y − XY + 2); м) D(3X − 2Y + 4).
№ m σ
2
λ a b № m σ
2
λ a b
1 3 1 0,30 1 5 16 2,5 8 0,30 1 4
2 4 2 0,25 2 6 17 3,5 7 0,35 2 5
3 5 3 0,20 3 7 18 4,5 6 0,20 3 6
4 6 4 0,16 4 8 19 5,5 5 0,15 4 7
5 7 5 0,14 5 9 20 6,5 4 0,20 5 8
6 8 6 0,12 6 10 21 7,5 3 0,40 6 9
7 9 7 0,10 7 11 22 8,5 2 0,35 7 10
8 3 2 0,30 1 4 23 9,5 1 0,10 8 11
9 4 3 0,25 2 5 24 8,5 2 0,40 8 10
10 5 4 0,20 3 6 25 7,5 3 0,30 7 10
11 6 5 0,16 4 7 26 6,5 4 0,10 6 9
12 7 6 0,15 5 8 27 5,5 5 0,25 5 8
13 8 7 0,40 6 9 28 4,5 6 0,35 4 7
14 9 1 0,20 7 10 29 3,5 7 0,20 3 6
15 2 4 0,50 1 3 30 2,5 8 0,45 2 5
Задание 3. С помощью неравенства Чебышева оценить вероятность то-
го, что доля бракованных изделийk/n отклонится от соответствующей ве-
роятности p = 0,1 + 0,01v, где v — последняя цифра номера варианта, не
более чем на величину ε. Параметры n и ε выбрать согласно номеру своего
варианта.
№ n ε № n ε № n ε № n ε № n ε
1 100 0,040 7 70 0,050 0,19 98 0,060 19 68 0,054 25 96 0,070
2 95 0,039 8 65 0,049 14 93 0,059 20 63 0,053 26 91 0,069
3 90 0,038 9 60 0,048 15 88 0,058 21 58 0,052 27 86 0,068
4 85 0,037 10 55 0,047 16 83 0,057 22 53 0,051 28 81 0,067
5 80 0,038 11 50 0,048 17 78 0,056 23 48 0,050 29 76 0,066
6 75 0,039 12 45 0,049 18 73 0,055 24 43 0,055 30 71 0,065
220 Глава 7. ИНДИВИДУАЛЬНЫЕ ДОМАШНИЕ ЗАДАНИЯ
Тема 2. Основы выборочного метода
Задание 4. Дана выборка объема n = 100, которая представлена в таб-
лице,
Согласно статистическим данным своего варианта:
а) построить дискретный вариационный ряд частот;
б) построить дискретный вариационный ряд частостей;
в) построить полигон частостей;
б) построить дискретный вариационный ряд накопленных частостей;
г) записать и построить эмпирическую функцию распределения.
Вариант 1
3 5 4 1 2 1 2 6 3 1 1 4 2 1 3 2 3 5 4 3
5 1 3 3 5 4 3 0 4 6 6 4 1 6 4 4 2 2 2 4
3 3 3 0 2 5 3 5 3 1 3 1 1 1 2 3 1 3 5 1
4 2 5 5 3 4 4 4 1 2 2 2 4 4 4 3 4 1 3 2
5 1 3 4 2 1 1 3 6 4 4 2 4 3 3 1 3 2 5 4
Вариант 2
3 3 3 4 5 5 2 2 6 4 5 2 4 4 5 4 4 5 5 5
3 5 7 3 3 5 3 4 5 4 5 3 1 3 5 3 5 3 4 7
4 4 6 4 4 4 5 7 3 5 5 6 2 2 6 7 3 6 2 6
4 7 4 3 3 4 6 4 2 5 3 5 5 3 3 5 4 6 6 5
3 5 3 4 4 4 6 6 4 6 7 3 6 3 4 3 4 3 4 4
Вариант 3
5 6 2 4 4 4 6 6 6 6 5 7 4 4 3 5 4 6 4 2
8 7 2 6 6 4 4 4 7 5 5 5 6 5 5 2 4 4 6 4
6 5 4 4 7 7 3 5 4 5 6 7 6 6 3 3 4 6 4 4
8 5 6 3 3 5 3 3 4 3 6 5 4 6 3 3 7 6 3 3
4 4 8 4 5 5 6 7 7 2 6 4 5 5 5 6 8 4 5 6