Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Специальные разделы высшей математики. Практикум по математической статистике. Учебно-методическое пособие.pdf
3.4. Задачи 91
Задача 3.8. Распределение Вейбулла с плотностью
αλx
α−1e−λx
α
,x > 0,
f(x)=
0, x ≤ 0,
α > 0, λ > 0 используется для описания времени безотказной работы тех-
нических устройств.
По выборке{x1, x2, . . . , x
}
методом моментов найти оценку параметра
n
λ, считая α известным.
Задача 3.9. Найти минимальный объем выборки, при котором с доверительной вероятностью γ = 0,95 половина длины доверительного интервала
для математического ожидания mXгенеральной совокупности, если известно среднее квадратическое отклонение σ = 1,2 нормально распределенной
генеральной совокупности.
Задача 3.10. Предприятие коммунального хозяйства желает оценить
на основе выборки среднюю квартплату за квартиры определенного типа
так, что с доверительной вероятностью не менее γ = 0,99 доверительный
интервал для математического ожидания для квартплаты не превышал 9
ден. ед. Предполагая, что квартплата имеет нормальное распределение со
средним квадратическим отклонением, не превышающим 38 ден. ед., найти
минимальный объем выборки.
Задача 3.11. Из генеральной совокупности извлечена выборка объема
= 10:
x
2 1 2 3 4 5
i
ni2 1 2 2 2 1
Построить доверительный интервал для математического ожидания c
доверительной вероятностью γ = 0,95.
Задача 3.12. Для строительной отрасли, составлена случайная выборка из 19 предприятий. По выборке оказалось, что в фирме в среднем работают = 77,5 человека при среднем квадратичном отклонении S = 25 человек.
92 Глава 3. СТАТИСТИЧЕСКИЕ ОЦЕНКИ
Построить доверительный интервал для математического ожидания
число работающих на предприятии по всей отрасли c доверительной вероятностью γ = 0,95. Предполагается, что количество работников фирмы
имеет нормальное распределение.
Задача 3.13. Случайная величина X имеет нормальное распределение
с известным средним квадратическим отклонением σ = 8. Найти доверительные интервалы для оценки неизвестного математического ожидания
mXпо выборочному среднему m
*
= 42, если объем выборки n = 16 и дове-
X
рительная вероятность γ = 0,95.
Задача 3.14. Произведено 12 измерений одним прибором (без систематической ошибки) некоторой физической величины, причем исправленное
среднее квадратическое отклонение измерений оказалось равным s = 0,6.
Построить доверительный интервал для неизвестной дисперсии точности
измерений с доверительной вероятностью γ = 0,95 Предполагается, что результаты измерений распределены нормально.
Задача 3.15. Компания, занимающаяся пассажирскими автобусными
перевозками, предполагает открыть новый автобусный маршрут. Среди 50
пассажиров, выбранных в случайном порядке, 18 заявили, что будут регулярно пользоваться новым автобусным маршрутом. Постройте 90%-ный
доверительный интервал для генеральной доли пассажиров, которые будут
использовать новый автобусный маршрут.
ПРОВЕРКА СТАТИСТИЧЕСКИХ
ГИПОТЕЗ
Быть смелым, выдвигая гипотезы, и беспощадным,
опровергая их.
— Имре Лакатос, «Фальсификация и методология
научно–исследовательских программ»
4.1 Коротко о главном
Важной задачей математической статистики является проверка согла-
4
сованности выборки и некоторой гипотезы, возможно нескольких, о распределении генеральной совокупности. Хотя гипотезы и выдвигаются на
основании теоретических соображений, но по выборке конечного объема
трудно сделать безошибочный вывод о распределении.
Определение 4.1. Статистической гипотезой (или просто гипо-
тезой) называется любое утверждение о виде или свойствах распре-
деления, наблюдаемых в эксперименте случайных величин. Стати-
стическая гипотеза называется простой, если она однозначно зада-
ет распределение наблюдений. В противном случае гипотеза являет-
ся сложной.
Проверка гипотез — это формальная процедура проверки согласованности статистической гипотезы и эмпирических данных. Проверяемая гипотеза называется основной или нулевой, обозначается H0. Предполагается,
что она верна. Альтернативное утверждение H1, которое считается верным,
94 Глава 4. ПРОВЕРКА СТАТИСТИЧЕСКИХ ГИПОТЕЗ
если нулевая гипотеза неверна, называют альтернативной или конкурирующей гипотезой.
Определение 4.2. Статистический критерий (или просто кри-
терий) — правило, согласно которому гипотеза H0принимается или
отвергается.
При его построении выбирается подходящая функция Q = Q(x1, . . . x
2
элементов выборки, которую называют статистикой критерия.
Определение 4.3. Множество S значений статистики Q, при ко-
торых принимается решение отклонить гипотезу H0, называется
критической областью.
Критическая область может быть трех видов
— правосторонняя S =[Q
— левосторонняя S =(−∞; Q
— двухсторонняя S =−∞; Q
крит
; +∞);
]
;
крит
∪
L
крит
Q
R
крит
; +∞.
Выбор критической области зависит от решаемой задачи.
Таким образом, критерий проверки статистических гипотез имеет вид:
H0, если Q /∈ S;
δ(X
)
=
n
H1, если Q ∈ S.
)
При принятии решения на основе конкретной выборки возможны следующие варианты (см. таб. 4.1): гипотеза H0является верной, и она принимается в соответствии с критерием; H0является ложной гипотезой и она
отвергается в соответствии с критерием. Эти решения являются верными.
Возможны варианты, когда принятое решение является ошибочным: H
отвергается, являясь истинной гипотезой, или принимается, хотя на самом
деле она является ложной. В первом случае ошибку в решении называют
ошибкой первого рода, во втором случае — ошибкой второго рода.
Определение 4.4. Вероятность ошибки первого рода
α = P{Q ∈ S/H
}
0
называют уровнем значимости (иногда размером) критерия.
0
4.1. Коротко о главном 95
Таблица 4.1 – Ошибки при проверке гипотез
H0 принимается H0 отвергается
H0 верна Верное решение Ошибка I рода
H0 неверна Ошибка II рода Верное решение
Определение 4.5. Мощностью критерия называют величину W =
1 − β, где β = P(Q /∈ S/H
терия.
Наиболее общий алгоритм различения статистических гипотез
состоит в следующем.
1. Формулируются гипотезы H0и H1.
2. Задается уровень значимости α.
3. Выбирается статистика Q, которая принимает малые значения, если
H0справедлива, и большие в противном случае.
4. Вычисляется значение статистики Q на данной реализации выборки.
)
— вероятность ошибки второго рода кри-
1
5. В зависимости от H1определяется вид критической области S.
6. Определяются одно или два критических значения.
7. Принимается статистическое решение:
X если Q /∈ S, то гипотеза H0принимается;
X если Q ∈ S, то гипотеза H0отвергается.
4.1.1 Проверка гипотез о параметрах нормального рас-
пределения
Критерии для проверки гипотез о параметрах одного распределения.
96 Глава 4. ПРОВЕРКА СТАТИСТИЧЕСКИХ ГИПОТЕЗ
Пусть генеральная совокупность имеет нормальное распределение с па-
раметрамиmX,σ
2
. Из нее извлечена выборка объема n: Xn=(x1,x2, . . . ,x
x
)
n
В рассматриваемых ниже критериях значимость равна α.
.
Гипотеза о среднем. Пусть дисперсия генеральной совокупности σ
известна. Выдвигается простая основная гипотеза
H0: mX= m
0
против сложной альтернативы (см. таблицу 4.2 ).
Таблица 4.2 – Проверка гипотезы о среднем σ
Основная
Альтернативная
2
— известно
X
Критическая
Статистика
гипотеза
mX= m
0
гипотеза
mX= m
mX> m
mX< m
область
|Z|
0
0
0
Z =
√
n(m
*
X
σ
− m
x
)
0
> z
Z > z
Z 6 z
1−α/2
1−α
2
x
α
В таблице 4.2 zε— квантиль стандартного нормального распределения
уровня ε.
На рис. 4.1 изображен график плотности стандартного нормального
распределения и критическая область для альтернативы H1: mx= m0.
На рис. 4.2 показаны односторонние критические области.
Для случая неизвестной дисперсии генеральной совокупности статистики и критические области показаны в таблице 4.3
Таблица 4.3 – Проверка гипотезы о среднем σ
Основная
Альтернативная
2
— неизвестна
X
Критическая
Статистика
гипотеза
mX= m
0
гипотеза
mX= m
mX> m
mX< m
область
|T|
> t
T > t
T 6 tα(n − 1)
T =
√
n(m
S
*
X
X
− m
)
0
0
0
0
1−α/2
1−α
(n − 1)
(n − 1)
4.1. Коротко о главном 97
z
1−
α
2
α
2
S
−z
1−
α
2
α
2
S
1 − α
z
α
α
S
1 − α
z
1−α
α
S
1 − α
f(x)
x
Рис. 4.1 – Двусторонняя критическая область
f(x)
а) H1: mx< m
x
0
б) H1: mx> m
f(x)
x
0
Рис. 4.2 – Односторонние критические области
В таблице 4.3 tp(m) — квантиль распределения Стьюдента с m степенями свободы уровня p.
Плотность распределения Стьюдента, как и плотность стандартного
нормального распределения, является четной функцией, поэтому критические области получаются аналогично.
Гипотеза о дисперсии. Выдвигается гипотеза H0: σ2= σ
2
против
0
сложной конкурирующей гипотезы H1. В таблицах 4.4 и 4.5 приведены ста-
98 Глава 4. ПРОВЕРКА СТАТИСТИЧЕСКИХ ГИПОТЕЗ
тистики и критические области показаны в зависимости от альтернативной гипотезы для дисперсии при известном и неизвестном среднем соответственно.
Таблица 4.4 – Проверка гипотезы о дисперсии, mX— известно
Основная
Альтернативная
Критическая
Статистика
гипотеза
σ
2
x
= σ
2
0
гипотеза
σ
σ
σ
2
x
2
x
2
x
= σ
> σ
< σ
2
0
2
0
2
0
χ2=
n
X
i=1
(
xi− m
σ
область
χ2> h
2
)
X
2
0
или χ26 h
χ2> h
χ26 hα(n)
Таблица 4.5 – Проверка гипотезы о дисперсии, mX— неизвестно
Основная
Альтернативная
Критическая
Статистика
гипотеза
σ
2
x
= σ
2
0
гипотеза
σ
σ
σ
2
x
2
x
2
x
= σ
> σ
< σ
2
0
2
0
2
0
χ2=
(
n − 1)S
2
σ
0
χ2> h
2
или χ26 h
n
область
1−α/2
χ2> h
1−α
χ26 hα(n − 1)
(n)
1−α/2
α
/2
(n)
1−α
(n − 1)
(n − 1)
α
/2
(n − 1)
(n)
Критерии для проверки гипотез о параметрах двух независимых
распределений
2
x
2
x
= σ
Рассмотрим две независимые случайные величины X ∼ NmX,σ
Y ∼ NmY,σ
(
x1,x2, . . . ,x
2
, а также выборки наблюдений этих величин: X =
y
)
, Y =(y1,y2, . . . ,y
n
m
)
.
Гипотеза о равенстве дисперсий. Выдвигается гипотеза H0: σ
против конкурирующей гипотезы H1: σ
2
x
= σ
2
.
y
Если справедлива гипотеза H0, то статистика
2
S
F =
X
, (4.1)
2
S
Y
будет иметь F-распределение (Фишера) с(n − 1,m − 1)степенями свободы.
и
2
y
4.1. Коротко о главном 99
Так как распределение Фишера не является симметричным, то можно
построить критерий с двусторонней критической областью, правило принятия решения которого имеет вид:
— если F
(
n − 1,m − 1)< F < F
α/2
1−α/2
(
n − 1,m − 1), то гипотеза H0при-
нимается,
— если F ≤ F
(
n − 1,m − 1)или F ≥ F
α/2
1−α/2
(
n − 1,m − 1)то гипотеза
H0отвергается.
Здесь F
(
n,m)— квантиль распределения Фишера с(n,m)степенями сво-
p
боды, который находится по таблицам В.1–В.3.
Но на практике удобнее строить критерий с односторонней критической областью. Для этого в статистике, аналогичной (4.1), рассматривают
отношение большей оценки дисперсии к меньшей, т. е.
F =
max
min
S
S
2
2
,S
X
Y
2
X
. (4.2)
2
,S
Y
В этом случае значения F всегда будут больше единицы, поэтому в левом
критическом значении необходимость отпадает.
Введем обозначения S
max
S
2
=
k
1
2
2
,S
X
Y
и S
2
=
k
2
min
S
2
2
,S
X
. Тогда прави-
Y
ло принятия решения, для одностороннего критерия примет вид:
X если F < F
X если F ≥ F
(
k1− 1,k2− 1), то гипотеза H0принимается,
1−α
(
k1− 1,k2− 1), то гипотеза H0отвергается.
1−α
Гипотеза о равенстве средних. Выдвигается гипотеза H0: mX= m
против двусторонней альтернативы H1: mX= mY(или односторонней H1:
mX> mY, а может быть H1: mX< mY).
Дисперсии известны. Если значения σ
2
x
и σ
2
известны из каких-то
y
теоретических или практических соображений, то в качестве статистики
критерия можно выбрать
z =
m
*
X
− m
S
*
Y
, S =
σ
n
2
x
+
2
σ
y
. (4.3)
m
Y
100 Глава 4. ПРОВЕРКА СТАТИСТИЧЕСКИХ ГИПОТЕЗ
Случайная величина z из (4.3), в случае, если справедлива гипотеза H0,
имеет стандартное нормальное распределение. Критерии проверки этой гипотезы представлены таблице 4.5. В этой таблице zp— квантиль стандартного нормального распределения уровня p.
Таблица 4.6 – Гипотезы о равенстве средних, дисперсии известны
Гипотеза H
mX= m
mX> m
mX< m
Y
Y
Y
1
Правило принятия статистического решения
|z|
< z
|z|
≥ z
z < z
z ≥ z
1−α
1−α
, гипотеза H0принимается,
1−α/2
, гипотеза H0отвергается.
1−α/2
, гипотеза H0принимается,
, гипотеза H0отвергается.
z > zα, гипотеза H0принимается,
z ≤ zα, гипотеза H0отвергается.
Дисперсии равны, но не известны. Пусть теперь значения дисперсий генеральных совокупностей σ
они равны, т. е. гипотеза H0: σ
2
x
2
x
= σ
2
и σ
неизвестны, но предполагается, что
y
2
не отвергается. Тогда статистика
y
(
n − 1)S
n + m − 2
2
+(m − 1)S
X
2
Y
, (4.4)
T =
m
*
X
− m
S
*
Y
nm
, где S =
n + m
при справедливости гипотезы H0, будет распределена по закону Стьюдента
с(n + m − 2)степенями свободы. Критерии проверки этой гипотезы представлены таблице 4.7.
Дисперсии не известны и не равны. Если гипотеза о равенстве
дисперсий H0: σ
2
x
= σ
2
отвергается, то в качестве статистики критерия
y
используют случайную величину
T =
m
*
X
− m
S
*
Y
, S =
2
S
X
n
+
2
S
Y
. (4.5)
m
Эта статистика при справедливости гипотезы H0имеет распределение
Стьюдента с df степенями свободы, где