Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Специальные разделы высшей математики. Практикум по математической статистике. Учебно-методическое пособие.pdf
2.3. Примеры типовых задач с решением 51
F*(x)
1
0,9
0,5
0,2
2 5 8 11
x
Рис. 2.3 – Эмпирическая функция распределения
Пример 2.6. Построить полигон относительных частот для выборки из
примера 2.4.
Решение. Дискретный вариационный ряд относительных часто из примера 2.4 имеет вид
x
p
i
*
i
1 3 4 6 7
0,1 0,2 0,4 0,1 0,2
Построив ломаную линию (рис. 8.1), отрезки которой соединяют точки
(xi; p
*
), получим требуемый полигон относительных частот.
i
*
p
i
0,4
0,2
0,2
0,1
0,1
x
1 3 4 6 7
i
Рис. 2.4 – Полигон относительных частот
52 Глава 2. ОСНОВЫ ВЫБОРОЧНОГО МЕТОДА
Пример 2.7. Построить полигон приведенных частостей и гистограмму
относительных частот для интервального ряда из примера 2.5.
Решение. Интервальный вариационный ряд и соответствующий ему
дискретный (для середин интервалов) относительных частот примера 2.5
имеет вид:
(
α
i−1
p
; α
x
i
*
i
] (
i
0; 4
] (
4; 6
] (
6; 10
] (
2 5 8 11
0,2 0,3 0,4 0,1 1
Добавим в таблицу строку приведенных частостей
частичного интервала.
(
α
i−1
p
h
] (
; α
i
x
i
*
i
i
*
p
i
h
i
0; 4
] (
4; 6
] (
6; 10
] (
2 5 8 11
0,2 0,3 0,4 0,1
4 2 4 2
0,05 0,15 0,1 0,05
10; 12
10; 12
]
Σ
*
p
i
, где hi— длина i-го
h
i
]
Построив ломанную отрезки которой соединяют точки (xi; p
*
), получим
i
требуемый полигон приведенных относительных частот (рис. 2.5).
*
p
i
/h
i
0,15
0,1
0,05
x
2 5 8 11
i
Рис. 2.5 – Полигон приведенных относительных частот
2.3. Примеры типовых задач с решением 53
При построении гистограммы частостей для интервального вариационного ряда на оси абсцисс отметим границы интервалов(α
i−1
]
; α
. И на них
i
построим прямоугольники с высотами равными приведенным частостям,
*
p
т. е. отношениям
будет равна p
*
i
i
/hi(рис. 2.6). При этом площадь i-го прямоугольника
, а общая сумма их площадей окажется равной единице.
*
p
/h
0,15
0,10
0,05
0 2 4 6 10 12
x
Рис. 2.6 – Гистограмма частостей
Пример 2.8. С целью выяснения механической прочности сварного шва
было изготовлено 85 опытных образцов. Результаты испытаний (МПа) отражены в таблице
34,4 36,9 40,6 31,4 37,8 35,7 38,2 40,5 36,5 34,7 29,9 35,1
37,4 31,3 36,1 36,0 36,2 35,4 34,6 31,5 39,3 26,5 39,5 36,8
33,1 25,7 27,4 34,8 41,9 39,4 46,1 34,5 37,2 37,9 26,5 31,2
41,7 33,7 33,4 37,6 36,7 27,8 35,9 33,9 36,8 34,6 37,0 32,6
33,9 31,6 41,1 34,2 32,2 31,2 38,1 39,9 40,3 27,1 33,4 33,7
Для данной выборки
а) записать интервальный вариационный ряд частот и частостей, коли-
чество интервалов разбиение определить по формуле Стерджесса;
б) записать и построить эмпирическую функцию распределения;
54 Глава 2. ОСНОВЫ ВЫБОРОЧНОГО МЕТОДА
в) построить гистограмму частостей;
г) на основании гистограммы, предложить распределение вероятностей,
которому подчиняется механическая прочность сварного шва.
Решение. а) Объем выборки n = 60, тогда согласно формуле Стер-
джесса число частичных интервалов разбиения равно
k =[log2(n)]+ 1 =[log2(60)]+ 1 = 5 + 1 = 6.
В данном примере минимальное и максимальное значение выборки соответственно равны x
= 25,7 и xm= 46,1. Откуда следует, что размах
min
выборки равен
R = x
max
− x
= 46,1 − 25,7 = 20,4.
min
Таким образом, длина частичного интервала разбиения равна
R
h =
20,4
=
k
= 3,4
6
В данном случае размах выборки равен длине общего интервала разбиения R = Q = hk
Определим границы интервалов разбиения по формулам
α0= x
, αi= α
min
h, i = 1, k.
i−1
Таким образом,
α0= 25,7; α1= 25,7 + 3,4 = 29,1; α2= 29,1 + 3,4 = 32,5;
α3= 32,5 + 3,4 = 35,9; α4= 35,9 + 3,4 = 39,3;
α5= 39,3 + 3,4 = 42,7; α6= 42,7 + 3,4 = 46,1.
Вычислим частоты попадания элементов выборки в интервалы разбиения, при этом в частичный интервал(α
i−1
значения которых больше нижней границы α
]
; α
включим элементы выборки,
i
интервала и меньше или
i−1
равны верхней границы αi, при этом α0= 25,7 включим в первый интервал.
В результате получим: n1= 6, n2= 8, n3= 19, n4= 17, n5= 9, n6= 1.
Для контроля правильности вычисления частот найдем сумму:
6
X
ni= 6 + 8 + 19 + 17 + 9 + 1 = 60.
i=1
2.3. Примеры типовых задач с решением 55
Составим интервальный вариационный ряд частот, записав интервалы
группировки и соответствующие им частоты в таблицу
i 1 2 3 4 5 6
(
α
i−1
n
i
; α
] [
25,7; 29,1
i
] (
29,1; 32,5
] (
32,5; 35,9
] (
35,9; 39,3
] (
39,3; 42,7
] (
42,7; 46,1
6 8 19 17 9 1
Найдем частости интервалов полученного вариационного ряда, для этого частоты niразделим на объем выборки n. Получим
p
6
*
=
1
60
*
p
=
4
=
17
60
1
, p
10
, p
8
*
=
2
60
9
*
=
5
=
60
=
3
20
2
, p
15
, p
19
*
=
3
*
=
6
60
,
60
1
.
Следовательно, интервальный ряд частостей для данной выборки можно записать в виде
]
i 1 2 3 4 5 6
(
α
i−1
p
*
i
; α
] [
25,7; 29,1
i
1
10
] (
29,1; 32,5
2
15
] (
32,5; 35,9
19
60
] (
35,9; 39,3
17
60
] (
39,3; 42,7
20
] (
42,7; 46,1
3
1
]
60
б) Для построения эмпирической функцию распределения, перейдем от
интервального вариационного ряда к дискретному: в качестве его вариант
выберем серединыxi=
i−1+αi
2
интервалов(α
i−1
; α
]
.
i
α
i 1 2 3 4 5 6
p
x
i
*
i
27,4 30,8 34,2 37,6 41,0 44,4
1
10
2
15
19
60
17
60
3
20
1
60
56 Глава 2. ОСНОВЫ ВЫБОРОЧНОГО МЕТОДА
Найдем накопленные частости ωi= p
ω0= 0, ω1= ω0+ p
1
ω2= ω1+ p
ω3= ω2+ p
ω4= ω3+ p
ω5= ω4+ p
ω6= ω5+ p
*
=
2
*
=
3
*
=
4
*
6
*
5
=
10
7
30
11
20
=
+
60
19
+
60
+
5
+
6
59
+
60
*
1
8
17
60
+ p
=
=
9
60
1
60
*
1
=
*
2
=
14
60
33
60
50
60
=
=
+ . . . + p
1
,
10
7
=
,
30
11
=
,
20
5
=
,
6
59
,
60
60
= 1.
60
*
i
Дополним последнюю таблицу строкой накопленных частостей ωi.
i 1 2 3 4 5 6
p
ω
x
i
*
i
i
0
27,4 30,8 34,2 37,6 41,0 44,4
1
10
1
10
2
15
7
30
19
60
11
20
17
60
5
6
3
20
59
60
Тогда эмпирическая функция распределения примет вид:
0; x 6 27,4;
1
*
(x)
F
=
; 27,4 < x 6 30,8;
10
7
; 30,8 < x 6 34,2;
30
11
; 34,2 < x 6 37,6;
20
5
; 37,6 < x 6 41,0;
6
59
; 41,0 < x 6 44,4;
60
1; x > 44,4.
1
60
1
Ее график изображен на рисунке 2.7.
2.3. Примеры типовых задач с решением 57
F*(x)
1
5
6
11
20
7
30
1
10
27.4 30.8 34.2 37.6 41 44.4
x
Рис. 2.7 – Эмпирическая функция распределения
в) Чтобы построить гистограмму частостей, вычислим приведенные частости, для этого разделим p
*
p
1
=
h
*
p
4
=
h
*
на длину частичного интервала h = 3,4:
i
1
34
1
12
*
p
2
,
h
*
p
5
,
h
2
=
51
3
=
68
*
p
3
,
h
*
p
6
,
h
=
=
19
,
204
1
,
204
После чего добавим их в интервальный вариационный ряд частостей.
i 1 2 3 4 5 6
(
α
i−1
p
Потом отметим на оси абсцисс границы интервалов(α
] [
; α
*
i
*
p
i
h
25,7; 29,1
i
1
10
1
34
] (
29,1; 32,5
2
15
2
51
] (
32,5; 35,9
19
60
19
204
] (
35,9; 39,3
17
60
12
] (
39,3; 42,7
3
20
1
3
68
i−1
] (
42,7; 46,1
]
; α
разбиения
i
]
1
60
1
204
вариационного ряда. На этих интервалах построим прямоугольники с высо-
*
p
тами равными приведенным частостям
i
/hi. Таким образом, мы построили
требуемую гистограмму частостей (рис. 2.8).
58 Глава 2. ОСНОВЫ ВЫБОРОЧНОГО МЕТОДА
*
p
/h
19
/204
1
/12
3
/68
2
/51
1
/34
1
/204
25,7 29,1 32,5 35,9 39,3 42,7 46,1
x
Рис. 2.8 – Гистограмма частостей
г) На основании визуального анализа гистограммы вариационного ряда
выборки можно предположить, что механическая прочность сварного шва
подчиняется нормальному закону распределения вероятностей. Да гистограмма не является совершенно симметричной, как должно быть в идеале
при нормальном законе, но нельзя забывать, что выборка случайна. Также
рекомендации о числе интервалов носят эмпирический характер, и по этому на практике строят несколько гистограмм с разным числом частичных
интервалов разбиения. А для того, чтобы сделать окончательный вывод
о принятии или отвержении нашего предположения о теоретическом законе распределения вероятностей эмпирических данных, необходимо будет
воспользоваться методами проверки статистических гипотез, которые мы
рассмотрим пятой главе.
Пример 2.9. При анализе числа отказов оборудования в течении смены
были получены следующие данные
1 2 2 0 2 1 2 3 4
1 4 1 1 2 1 1 0 2
1 5 0 2 0 1 2 1 0
2.3. Примеры типовых задач с решением 59
Дя данных эмпирических данных:
а) составте простой вариационный ряд;
б) составте дискретный вариационный ряд частот;
в) составте дискретный вариационный ряд частотей;
г) составте дискретный вариационный ряд накопленных частостей;
д) запишите и постройте эмпирическую функцию распределения;
е) постройте полигон частот дискретного вариационного ряда.
Решение. а) По условию задачи объем выборки n = 27. Упорядочив
элементы выборки по неубыванию значений ее элементов, получим простой
вариационный ряд
X
= (0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 3, 4, 4, 5).
(15)
б) Вариантами выборки являются x1= 0, x2= 1, x3= 2, x4= 3, x5= 4,
x6= 5. Их частоты соответственно равны n1= 5, n2= 10, n3= 8, n4= 1,
n5= 2, n6= 1. Таким образом, дискретный вариационный ряд частот имеет
вид
P
x
n
0 1 2 3 4 5
i
5 10 8 1 2 1 27
i
в) Разделив частоты niна объем выборки n = 27, получим частости p
вариант xiвыборки, которые соответственно равны p
p
1
*
=
27
, p
4
2
*
=
27
, p
5
1
*
=
6
. Следовательно вариационный ряд частостей имеет
27
5
*
=
27
, p
1
10
*
=
2
27
вид
P
p
x
i
*
i
0 1 2 3 4 5
5
27
10
27
8
27
1
27
2
27
1
1
27
, p
*
i
8
*
=
27
,
3
60 Глава 2. ОСНОВЫ ВЫБОРОЧНОГО МЕТОДА
в) Вычислим накопленные частости накопленные частости ωi= p
*
p
+ . . . + p
2
ω1= p
ω3= ω2+ p
ω5= ω4+ p
*
:
i
5
*
=
1
, ω2= ω1+ p
27
15
*
=
3
27
24
*
=
5
27
+
+
8
27
2
27
=
=
23
, ω4= ω3+ p
27
26
, ω6= ω5+ p
27
5
*
=
2
27
23
*
=
4
27
26
*
=
6
27
+
+
+
10
27
1
27
1
27
15
=
27
24
=
27
27
=
27
Таким образом, вариационный ряд накопленных частостей имеет вид
x
i
0 1 2 3 4 5
=
=
= 1.
*
+
1
5
,
9
8
,
9
ω
5
i
27
5
23
8
26
1
9
27
9
27
д) Используя вариационный ряд относительных частостей и формулу
(2.1) запишем эмпирическую функцию.
0; x 6 0;
5
*
(x)
F
=
; 0 < x 6 1;
27
5
; 1 < x 6 2;
9
23
; 2 < x 6 3;
27
8
; 3 < x 6 4;
9
26
; 4 < x 6 5;
27
1; x > 1.
Построим ее график.