Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Специальные разделы высшей математики. Теория вероятностей и математическая статистика для инженера-исследователя. Учебное пособие
.pdf
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ
ДОНЕЦКОЙ НАРОДНОЙ РЕСПУБЛИКИ
ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО
ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «ДОНБАССКАЯ
НАЦИОНАЛЬНАЯ АКАДЕМИЯ СТРОИТЕЛЬСТВА И АРХИТЕКТУРЫ»
Кафедра высшей математики и информатики
А. А. Симогин
СПЕЦИАЛЬНЫЕ
РАЗДЕЛЫ ВЫСШЕЙ
МАТЕМАТИКИ
ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА ДЛЯ
ИНЖЕНЕРА–ИССЛЕДОВАТЕЛЯ
Учебное пособие
МАКЕЕВКА – 2019
ББК 22.17я17
УДК 519.2(075)
С37
Рекомендовано к печати Ученым советом ГОУ ВПО «Донбасская националь-
ная академия строительства и архитектуры» (протокол № 9 от 23.04.2019 г.)
Рецензенты:
А. А. Дзундза, доктор педагогических наук, профессор кафедры теории вероятностей
и математической статистики, ГОУ ВПО «Донецкий национальный университет»;
А. В. Мазнев, доктор физико–математических наук, профессор кафедры высшей ма-
тематики и методики преподавания математики, ГОУ ВПО «Донецкий национальный уни-
верситет»;
В. М. Левин , доктор технических наук, заведующий кафедрой железобетонных кон-
струкций, ГОУ ВПО «Донбасская национальная академия строительства и архитектуры».
Симогин А.А.
С37 Специальные разделы высшей математики. Теория вероятностей и ма-
тематическая статистика для инженера-исследователя [Текст]: учеб.
пособие / А. А. Симогин. — Макеевка: ДонНАСА, 2019. — 168 с.
Приведены вероятностные распределения, которые находят широкое применение на
практике, их числовые характеристики и свойства. Рассмотрены основы выборочного ме-
тода. Приведены методы оценки статистических параметров генеральной совокупности, по-
строения доверительных интервалов. Изложены вопросы проверки статистических гипотез.
Освещаются методы дисперсионного, корреляционного и регрессионного анализа. В пособии
кратко рассматривается теоретический материал, который проиллюстрирован множеством
примеров. Может быть использовано для подготовки к практическим занятиям, а также для
самостоятельной работы.
Предназначено как для студентов направления 08.04.01 Строительство всех форм обу-
чения, изучающих дисциплину «Специальные разделы высшей математики», и преподава-
телей, так и для всех, кто интересуется методами обработки эмпирических данных.
c
○Симогин А. А., 2019
c
○ГОУ ВПО «ДонНАСА», 2019
Оглавление
ВВЕДЕНИЕ 6
1 СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ 7
1.1 Определение и виды случайных величин . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2 Основные числовые характеристики случайных величин . . . . . 9
1.2.1 Числовые характеристики центральной тенденции . . . . . 10
1.2.2 Числовые характеристики рассеяния . . . . . . . . . . . . . 11
1.3 Моменты случайных величин. Асимметрия и эксцесс. Квантили . 12
1.4 Примеры дискретных случайных величин . . . . . . . . . . . . . . 16
1.4.1 Дискретное равномерное распределение. . . . . . . . . . . . 16
1.4.2 Распределение Бернулли . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.4.3 Биномиальное распределение . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.4.4 Распределение Пуассона . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.5 Геометрическое распределение (Фарри) . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.6 Примеры абсолютно непрерывных случайных величин . . . . . . 21
1.6.1 Равномерное распределение . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.6.2 Экспоненциальное (показательное) распределение . . . . . 22
1.6.3 Нормальное распределение . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.7 Многомерные случайные величины . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
1.8 Числовые характеристики многомерных случайных величин . . . 30
1.9 Предельные теоремы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
1.9.1 Закон больших чисел . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
1.9.2 Центральная предельная теорема . . . . . . . . . . . . . . . 35
Контрольные вопросы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2 ОСНОВЫ ВЫБОРОЧНОГО МЕТОДА 38
2.1 Задачи математической статистики . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
2.2 Выборка . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
2.3 Вариационные ряды . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
2.3.1 Простой вариационный ряд . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
2.3.2 Дискретный вариационный ряд . . . . . . . . . . . . . . . . 42
2.3.3 Интервальный вариационный ряд . . . . . . . . . . . . . . 43
2.4 Графические представления выборки . . . . . . . . . . . . . . . . 46
2.4.1 Эмпирическая функция . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
2.4.2 Полигон . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
2.4.3 Гистограмма . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
Контрольные вопросы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
3 СТАТИСТИЧЕСКИЕ ОЦЕНКИ 53
3.1 Точечные оценки параметров . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
3.2 Выборочные числовые характеристики . . . . . . . . . . . . . . . 54
3.3 Методы нахождения оценок . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
3.3.1 Метод моментов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
3.3.2 Метод максимального правдоподобия . . . . . . . . . . . . 63
3.4 Доверительные интервалы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
3.4.1 Общие положения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
3.4.2 Доверительные интервалы для параметров нормального
закона . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
3.4.3 Доверительный интервал для вероятности события . . . . 72
Контрольные вопросы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
4 ПРОВЕРКА СТАТИСТИЧЕСКИХ ГИПОТЕЗ 77
4.1 Постановка задачи проверки гипотез . . . . . . . . . . . . . . . . 77
4.2 Проверка гипотез о параметрах нормального распределения . . . 81
4.2.1 Критерии для проверки гипотез о параметрах одного рас-
пределения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
4.2.2 Критерии для проверки гипотез о параметрах двух неза-
висимых распределений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
4.2.3 Критерий о средних для парных наблюдений . . . . . . . . 91
4.3 Критерии согласия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
4.3.1 Постановка задачи проверки гипотезы о законе распреде-
ления . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
4.3.2 Критерий согласия Пирсона . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
4.3.3 Критерий Колмогорова . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
4.3.4 Критерий Мизеса–Смирнова . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
Контрольные вопросы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
5 ДИСПЕРСИОННЫЙ АНАЛИЗ 104
5.1 Основные понятия дисперсионного анализа . . . . . . . . . . . . 104
5.2 Однофакторный дисперсионный анализ . . . . . . . . . . . . . . . 106
5.3 Двухфакторный дисперсионный анализ . . . . . . . . . . . . . . . 113
Контрольные вопросы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
6 КОРРЕЛЯЦИОННЫЙ И РЕГРЕССИОННЫЙ АНАЛИЗ 122
6.1 Основные понятия корреляционного анализа . . . . . . . . . . . . 122
6.2 Показатели корреляции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
6.2.1 Парный коэффициент корреляции . . . . . . . . . . . . . . 124
6.2.2 Частный коэффициент корреляции . . . . . . . . . . . . . . 126
6.2.3 Множественный коэффициент корреляции . . . . . . . . . 127
6.3 Проверка гипотез в корреляционном анализе . . . . . . . . . . . . 127
6.4 Основные определения регрессионного анализа . . . . . . . . . . . 136
6.5 Парная линейная регрессия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
6.6 Множественная линейная регрессия . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
6.7 Парная нелинейная регрессия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
Контрольные вопросы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
СТАТИСТИЧЕСКИЕ ТАБЛИЦЫ 157
ЛИТЕРАТУРА 167
Введение
Методы статистического анализа данных находят широкое применение в
различных областях деятельности человека, как научной, так и практической.
Такие методы связаны с обработкой эмпирических данных, собранных при наблюдении за исследуемыми объектами, явлениями или процессами.
В области строительства также имеется ряд задач, связанных с обработкой и анализом статистических данных. В частности, это задачи о свойствах
строительных материалов и конструкций, их поведение во времени.
Данное издание предназначено для развития теоретических представлений,
а также для формирования и развития умений и навыков магистрантов в области статистической обработки результатов экспериментов в строительной отрасли.
В главе 1 рассмотрены основные виды случайных величин и их числовые
характеристики. Также в ней рассмотрены предельные теоремы, которые являются связующим звеном между теорией вероятности и математической статистикой. Глава 2 посвящена основам статистического анализа. В ней рассматриваются табличные и графические формы представления эмпирических данных.
В главе 3 рассматриваются статистические методы оценки неизвестных параметров. Уделено внимание двум подходам: точечному и интервальному оцениванию. Рассмотрены основные свойства оценок. В главе 4 освещены вопросы
проверки статистических гипотез. В частности, рассмотрены гипотезы, связанные с параметрами нормального распределения, а также гипотезы согласия.
Глава 5 посвящена однофакторному и двуфакторному дисперсионному анализу. В главе 6 рассмотрены методы корреляционного и регрессионного анализа.
Вводятся понятия парного, частного и множественного коэффициентов корреляции, а также методы проверки их значимости. С помощью метода наименьших квадратов оцениваются параметры регрессионных моделей. Рассмотрена
методология проверки значимости как коэффициентов, так и всей модели в
целом.
6
Глава 1
СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ
1.1 Определение и виды случайных величин
Случайной называют величину, которая в результате случайного эксперимента примет одно и только одно значение из множества значений, причем
неизвестное до завершения эксперимента.
Договоримся обозначать случайные величины (СВ) прописными латинскими буквами с индексами или без них: 𝑋 , 𝑌 , 𝑍1, 𝑍2. . .
Определение 1.1. Для любого действительного числа 𝑥 ∈ 𝑅 вероятность
того, что случайная величина 𝑋 примет значение, меньшее, чем 𝑥 определяет
функцию распределения вероятностей случайной величины 𝐹𝑋(𝑥) т. е
𝐹𝑋(𝑥) = P (𝑋 < 𝑥) . (1.1)
Основные свойства функции распределения.
1. Функция распределения — неубывающая функция для 𝑥 ∈ (−∞; +∞),
т. е. для любых 𝑥1< 𝑥2справедливо 𝐹 (𝑥1) ≤ 𝐹 (𝑥2).
2. Функция распределения является непрерывной слева, т. е. для любого
𝑥 ∈ 𝑅 lim
𝑥→𝑥0−0
3. lim
𝑥→−∞
Используя функцию распределения, можно вычислить вероятность попадания случайной величины 𝑋 в интервал [𝑎; 𝑏), а именно справедлива формула
𝐹 (𝑥) = 𝐹 (𝑥0).
𝐹 (𝑥) = 0, lim
𝑥→+∞
P (𝑎 ≤ 𝑋 < 𝑏) = 𝐹𝑋(𝑏) −𝐹𝑋(𝑎) . (1.2)
𝐹 (𝑥) = 1.
В практических задачах, в зависимости от характера области значений, чаще
всего используются два основных типа случайных величин: дискретные и аб-
солютно непрерывные.
7
8 Глава 1. СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ
Определение 1.2. Дискретными называют случайные величины, которые
принимают конечное или счетное множество значений.
Пусть 𝑋 — случайная величина с множеством значений {𝑥1,𝑥2, . . . ,𝑥𝑛, . . .}.
Определение 1.3. Формулы, выражающие соответствие между значениями
случайной величины и их вероятностями
𝑝𝑖= P (𝑋 = 𝑥𝑖) , 𝑖 = 1,2, . . . ,𝑛, . . . (1.3)
называются законом распределения дискретной случайной величины.
Если дискретная случайная величина может принимать лишь конечное число значений, то ее закон распределения удобно представлять в виде ряда рас-
пределения
𝑥𝑖𝑥1𝑥2. . . 𝑥
𝑝𝑖𝑝1𝑝2. . . 𝑝
𝑛
𝑛
Определение 1.4. Многоугольником распределения дискретной случайной
величины называют ломаную, которая последовательно соединяет точки с координатами (𝑥𝑖; 𝑝𝑖), 𝑖 = 1,2, . . .
𝑝
0.3
0.2
0.1
𝑥
1 2 3 4 5 6 7
Рис. 1.1 – Пример многоугольника распределения
Определение 1.5. Абсолютно непрерывной называется случайная вели-
чина, для которой существует интегрируемая функция 𝑓𝑋(𝑥) такая, что справедливо равенство
𝑥
𝐹𝑋(𝑥) =
𝑓𝑋(𝑡) 𝑑𝑡. (1.4)
−∞
1.2. Основные числовые характеристики случайных величин 9
Определение 1.6. Функция 𝑓𝑋(𝑥) называется плотностью распределе-
ния вероятностей случайной величины 𝑋.
Все возможные значения абсолютно непрерывной случайной величины целиком заполняют некоторый конечный или бесконечный промежуток числовой
оси.
Свойства плотности распределения.
1. 𝑓 (𝑥) ≥ 0, для любого 𝑥 ∈ 𝑅.
+∞
2.
𝑓 (𝑥) 𝑑𝑥 = 1.
−∞
Вероятность попадания абсолютно непрерывной случайной величины 𝑋 в
интервал [𝑎; 𝑏) можно вычислить, используя формулу
𝑏
P (𝑎 ≤ 𝑋 < 𝑏) =
𝑓𝑋(𝑥) 𝑑𝑥. (1.5)
𝑎
Для абсолютно непрерывной случайной величины P (𝑋 = 𝑥) = 0, 𝑥 ∈ 𝑅,
поэтому
𝑏
P (𝑎 ≤ 𝑋 < 𝑏) = 𝑃 (𝑎 ≤ 𝑋 ≤ 𝑏) = P (𝑎 < 𝑋 ≤ 𝑏) = P (𝑎 < 𝑋 < 𝑏) =
𝑓𝑋(𝑥) 𝑑𝑥.
𝑎
Функция распределения 𝐹𝑋(𝑥) является безразмерной величиной. Плотность
же вероятности 𝑓𝑋(𝑥) имеет размерность, обратную размерности случайной
величины X.
1.2 Основные числовые характеристики случай-
ных величин
Функция распределения случайной величины несет в себе наиболее полную
информацию о ее вероятностных характеристиках. Но существуют параметры
(числовые характеристики) распределения, которые несут в себе общую собирательную информацию о некоторых свойствах случайной величины.
10 Глава 1. СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ
1.2.1 Числовые характеристики центральной тенденции
Числовые характеристики центральной тенденции (характеристики положения) указывают наиболее типичное, в том или ином смысле, значение случайной величины. К ним относятся математическое ожидание, мода и медиана
случайной величины.
Определение 1.7. Математическое ожидание (среднее) M (𝑋) = 𝑚
случайной величины 𝑋 определяется формулами
⎧
∞
⎪
M (𝑋) =
⎪
⎨
⎪
⎪
⎩
𝑥𝑖𝑝𝑖, для дискретных СВ;
𝑖=1
+∞
𝑥𝑓 (𝑥) 𝑑𝑥, для абсолютно непрерывных СВ,
−∞
если правые части формул существуют.
Основные свойства математического ожидания.
1. Математическое ожидание постоянной величины 𝐶 равно этой постоян-
ной величине, т.е. M (𝐶) = 𝐶.
2. Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожи-
дания, т.е. M (𝐶𝑋) = 𝐶M (𝑋), где 𝐶 — константа.
3. Математическое ожидание суммы случайных величин равно сумме мате-
𝑋
(1.6)
матических ожиданий этих случайных величин, если такие существуют:
M (𝑋 + 𝑌 ) = M (𝑋) + M (𝑌 ) .
4. Математическое ожидание произведения независимых случайных величин равно произведению математических ожиданий этих случайных величин,
если такие существуют, т. е.
M (𝑋 𝑌 ) = M (𝑋) M (𝑌 ) .
Два последних свойства обобщаются на любое конечное число случайных
величин.
Если математическое ожидание случайной величины не существует, то в
качестве характеристики положения случайной величины применяют моду или
медиану.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]