Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Специальные разделы высшей математики. Теория вероятностей и математическая статистика для инженера-исследователя. Учебное пособие
.pdf
4.2. Проверка гипотез о параметрах нормального распределения 81
Общая последовательность различения статистических гипотез при ис-
пользовании наиболее мощного критерия.
1. Формулируются гипотезы 𝐻0и 𝐻1.
2. Задается уровень значимости 𝛼;
3. Выбирается статистика 𝑄, которая принимает малые значения, если 𝐻
справедлива, и большие в противном случае.
4. Вычисляется значение статистики 𝑄 на данной реализации выборки.
5. В зависимости от 𝐻1определяется вид критической области 𝑆 .
6. Определяются одно или два критических значения.
7. Принимается статистическое решение:
а) если 𝑍 /∈ 𝑆, то гипотеза 𝐻0принимается;
б) если 𝑍 ∈ 𝑆, то гипотеза 𝐻0отвергается.
Далее рассмотрим некоторые наиболее важные для практики случаи, свя-
занные с проверкой статистических гипотез.
4.2 Проверка гипотез о параметрах нормального
распределения
0
4.2.1 Критерии для проверки гипотез о параметрах одно-
го распределения
Рассмотрим некоторые простые критерии, применяемые к гипотезам о параметрах случайных величин, таких, как математическое ожидание и дисперсия.
Пусть генеральная совокупность имеет нормальное распределение с парамет-
рами𝑚𝑥,𝜎
рассматриваемых ниже критериях значимость равна 𝛼.
Гипотеза о среднем. Пусть дисперсия генеральной совокупности 𝜎
вестна. Выдвигается простая основная гипотеза
против сложной двусторонней альтернативы
2
. Из нее извлечена выборка объема 𝑛: 𝑋𝑛= (𝑥1,𝑥2, . . . ,𝑥𝑛). В
𝑥
𝐻0: 𝑚𝑥= 𝑚
0
2
из-
𝑥
𝐻1: 𝑚𝑥= 𝑚0.
82 Глава 4. ПРОВЕРКА СТАТИСТИЧЕСКИХ ГИПОТЕЗ
𝑧
1−
𝛼
2
𝛼
2
S
−𝑧
1−
𝛼
2
𝛼
2
S
1 −𝛼
В качестве статистики критерия выберем
√
𝑍 =
𝑛 (𝑚
*
− 𝑚0)
𝑥
𝜎
𝑥
, (4.1)
которая при справедливости гипотезы 𝐻0имеет стандартное нормальное распределение.
На рис. 4.1 изображен график плотности стандартного нормального распределения и критическая область для альтернативы 𝐻1: 𝑚𝑥= 𝑚0.
𝑓(𝑥)
𝑥
Рис. 4.1 – Двусторонняя критическая область
В качестве критического значения выбран квантиль стандартного нормального распределения уровня 1 − 𝛼/2: 𝑧
(крит)
= 𝑧
1−𝛼/2
, который определяется по
таблице приложения П.1.
Правило принятия решения имеет вид:
— если |𝑍| < 𝑧
— если |𝑍| ≥ 𝑧
, то гипотеза 𝐻0принимается;
1−𝛼/2
, то гипотеза 𝐻0отвергается.
1−𝛼/2
Мы построили двусторонний критерий, но иногда, обладая дополнительной
информацией, например, может быть известно, что если гипотеза 𝐻0: 𝑚𝑥= 𝑚
не верна, то обязательно 𝑚𝑥> 𝑚0(𝑚𝑥< 𝑚0). Тогда естественно использовать
односторонний критерий, который будет иметь ту же значимость, но его мощ-
0
ность будет больше. На рис. 4.2 показаны односторонние критические области.
Плотность распределения Стьюдента, как и плотность стандартного нормального распределения, является четной функцией, поэтому правила принятия решения получаются аналогично случаю с известной дисперсией.
4.2. Проверка гипотез о параметрах нормального распределения 83
𝑧
𝛼
𝛼
S
1 −𝛼
𝑧
1−𝛼
𝛼
S
1 −𝛼
𝑓(𝑥)
𝑥
а) 𝐻1: 𝑚𝑥< 𝑚
0
Рис. 4.2 – Односторонние критические области
Правила принятия при этом будут иметь вид.
𝑓(𝑥)
б) 𝐻1: 𝑚𝑥> 𝑚
𝑥
0
При альтернативе 𝐻1: 𝑚𝑥> 𝑚0:
— если 𝑍 < 𝑧
— если 𝑍 ≥ 𝑧
, то гипотеза 𝐻0принимается,
1−𝛼
, то гипотеза 𝐻0отвергается;
1−𝛼
При альтернативе 𝐻1: 𝑚𝑥< 𝑚0:
— если |𝑍| > 𝑧𝛼, то гипотеза 𝐻0принимается,
— если |𝑍| ≤ 𝑧𝛼, то гипотеза 𝐻0отвергается.
Если дисперсия генеральной совокупности неизвестна, то в качестве статистики критерия выберем
√
𝑇 =
𝑛 (𝑚
*
− 𝑚0)
𝑥
𝑆
𝑥
, (4.2)
которая при справедливости гипотезы имеет распределение Стьюдента с 𝑛 − 1
степенями свободы, следовательно, критическое значение определяется как
квантиль распределения Стьюдента, который находится по таблице приложения П.2.
В таблице 4.2 𝑡𝑝(𝑚) — квантиль распределения Стьюдента с 𝑚 степенями
свободы уровня.
84 Глава 4. ПРОВЕРКА СТАТИСТИЧЕСКИХ ГИПОТЕЗ
Таблица 4.2 – Гипотеза о среднем, дисперсия неизвестна
Альтернативная
гипотеза 𝐻
𝑚𝑥= 𝑚
𝑚𝑥> 𝑚
𝑚𝑥< 𝑚
1
0
0
0
Правило принятия статистического решения
|𝑇 | < 𝑡
|𝑇 | ≥ 𝑡
𝑇 < 𝑡
𝑇 ≥ 𝑡
1−𝛼
1−𝛼
1−𝛼/2
1−𝛼/2
(𝑛 −1), гипотеза 𝐻0принимается,
(𝑛 −1), гипотеза 𝐻
отвергается.
0
(𝑛 −1), гипотеза 𝐻0принимается,
(𝑛 −1), гипотеза 𝐻0отвергается.
𝑇 > 𝑡𝛼(𝑛 −1), гипотеза 𝐻0принимается,
𝑇 ≤ 𝑡𝛼(𝑛 −1), гипотеза 𝐻0отвергается.
Пример 4.2. Некоторый технологический процесс характеризуется выходным параметром, который может быть рассмотрен как случайная величина,
распределенная по нормальному закону. Необходимо при уровне значимости
𝛼 = 0,05 и 𝛼 = 0,01 проверить утверждение, что среднее значение величины
Х соответствует проектному значению 𝑚0= 25,3, если дисперсия параметра
равна 𝜎
2
= 4,4. Было проведено 30 измерений этого параметра. Данные пред-
𝑥
ставлены в таблице:
25,13 24,71 27,12 25,25 20,97 26,69 26,18 26,13 25,07 27,86
24,17 27,98 26,55 26,2 27,83 22,44 29,14 25,2 23,76 25,02
28,03 30,34 25,06 27,2 23,81 26,59 28,58 26,29 27,67 27,17
Итак, выдвигается простая основная гипотеза 𝐻0: 𝑚𝑥= 25,3, против двусторонней альтернативы 𝐻1: 𝑚𝑥= 25,3.
По статистическим данным вычислим выборочное среднее
𝑛
1
*
𝑚
=
𝑥
𝑛
𝑥𝑖≈ 26,138.
𝑖=1
Рассчитаем значение статистики критерия, определяемой формулой (4.1):
√
30 (26,138 −25,3)
=
√
= 2,1882.
4,4
𝑍 =
√
𝑛 (𝑚
*
− 𝑚0)
𝑥
𝜎
𝑥
Зафиксировав уровень значимости 𝛼 = 0,05, по таблице П.1 стандартного
нормального распределения определим критическое значение
4.2. Проверка гипотез о параметрах нормального распределения 85
𝑧
Так как 2,1882 = 𝑍 > 𝑧
крит
= 𝑧
1−𝛼/2
крит
= 𝑧
1−0,05/2
= 1,96, то гипотезу 𝐻0необходимо отклонить,
= 𝑧
0,975
= 1,96.
т. е. на уровне 𝛼 = 0,05 можно считать, что среднее значение величины 𝑋 не
соответствует проектному значению 𝑚𝑥= 25,3.
Выберем теперь уровень значимости 𝛼 = 0,01, тогда согласно таблице П.1
критическое значение равно
𝑧
Так как 2,1882 = 𝑍 < 𝑧
крит
= 𝑧
1−𝛼/2
крит
= 𝑧
1−0,01/2
= 𝑧
0,995
= 2,58.
= 2,58, то гипотеза 𝐻0принимается, т. е. на
уровне 𝛼 = 0,01 гипотеза о том, что среднее значение величины 𝑋 соответствует
проектному значению 𝑚𝑥= 25,3 согласуется с эмпирическими данными.
Как мы видим, ситуация сложилась неоднозначная, это говорит о том, что
к выбору уровня значимости необходимо подходить осторожно.
Проверим теперь утверждение о том, что среднее значение величины 𝑋 соответствует проектному значению 𝑚𝑥= 25,3, если дисперсия параметра неизвестна.
В данном случае, при различении гипотез 𝐻0: 𝑚𝑥= 25,3 и 𝐻1: 𝑚𝑥= 25,3
используем статистику, определяемую формулой (4.2).
𝑛
1
Второй эмпирический начальный момент равен 𝜈
*
=
2
𝑛
𝑖=1
2
𝑥
= 687,0368.
𝑖
Тогда выборочная дисперсия равна
𝐷
*
𝑥
= 𝜈
*
− (𝑚
2
*
)2= 687,0368 −(26,138)2= 3,8417.
𝑥
Вычислим несмещенную оценку дисперсии
𝑆2=
𝑛
𝐷
𝑛 −1
30
*
=
𝑥
· 3,8417 = 3,9742.
29
Рассчитаем статистику критерия
√
30 (26,138 −25,3)
=
√
3,9742
= 2,3024.
𝑇 =
√
𝑛 (𝑚
*
− 𝑚0)
𝑥
𝑆
𝑥
При 𝛼 = 0,05, по таблице П.2 𝑡-распределения определим критическое значение 𝑡
крит
= 𝑡
1−𝛼/2
= 𝑡
1−0,05/2
= 𝑡
= 2,0452. Так как 𝑇 > 𝑡
0,975
, то гипотеза
крит
𝐻0отклоняется.
86 Глава 4. ПРОВЕРКА СТАТИСТИЧЕСКИХ ГИПОТЕЗ
При 𝛼 = 0,01, по таблице П.2 𝑡-распределения определим критическое значение 𝑡
Гипотеза о дисперсии. Выдвигается гипотеза 𝐻0: 𝜎2= 𝜎
конкурирующей гипотезы 𝐻0: 𝜎2= 𝜎
крит
= 𝑡
= 2,7564. Так как 𝑇 < 𝑡
0,995
крит
2
(𝜎2> 𝜎
0
, то гипотеза 𝐻0принимается.
2
против сложной
0
2
, 𝜎2< 𝜎
0
2
). Предположим, что
0
среднее 𝑚𝑥известно. В качестве статистики критерия выберем
𝜒2=
𝑛
(𝑥𝑖− 𝑚𝑥)
𝑖=1
𝜎
2
2
0
, (4.3)
которая, при справедливости гипотезы 𝐻0, имеет 𝜒2-распределение с 𝑛 степенями свободы, следовательно критические значения, определяются как квантили
𝜒2-распределения, которые находится по таблице приложения П.4.
Критерии проверки этой гипотезы представлены в таблице 4.3. В этой таблице 𝜒
2
𝛼/2
(𝑛) и 𝜒
2
1−𝛼/2
(𝑛) — квантили 𝜒2-распределения с 𝑛 степенями свободы
уровней 𝛼/2 и 1 −𝛼/2 соответственно.
Таблица 4.3 – Гипотеза о дисперсии, среднее известно
Альтернативная
гипотеза 𝐻
𝜎2= 𝜎
1
2
0
Правило принятия статистического решения
2
𝜒
(𝑛) < 𝜒2< 𝜒
𝛼/2
2
1−𝛼/2
(𝑛), гипотеза 𝐻0прини-
мается,
𝜒2≤ 𝜒
2
(𝑛) или 𝜒2≥ 𝜒
𝛼/2
2
1−𝛼/2
(𝑛), гипотеза 𝐻
0
отвергается.
𝜎2> 𝜎
𝜎2< 𝜎
2
0
𝜒2< 𝜒
𝜒2≥ 𝜒
2
0
𝜒2> 𝜒
𝜒2≤ 𝜒
2
(𝑛), гипотеза 𝐻0принимается,
1−𝛼
2
(𝑛), гипотеза 𝐻0отвергается.
1−𝛼
2
(𝑛), гипотеза 𝐻0принимается,
𝛼
2
(𝑛), гипотеза 𝐻0отвергается.
𝛼
Если среднее 𝑚𝑥неизвестно, то в качестве статистики критерия выберем
𝜒2=
(𝑛 −1) 𝑆
𝜎
2
𝑛
, (4.4)
2
1
которая при справедливости гипотезы 𝐻0имеет 𝜒2-распределение с (𝑛 − 1) степенями свободы, следовательно критические значения определяются как квантили 𝜒2-распределения по таблице приложения П.4. Правила принятия решения
4.2. Проверка гипотез о параметрах нормального распределения 87
представлены таблице 4.4. В этой таблице 𝜒
с 𝑚 степенями свободы уровня 𝑝.
Таблица 4.4 – Гипотеза о дисперсии, среднее неизвестно
Альтернативная
гипотеза 𝐻
𝜎2= 𝜎
1
2
0
Правило принятия статистического решения
2
𝜒
(𝑛 −1) < 𝜒2< 𝜒
𝛼/2
принимается,
𝜒2≤ 𝜒
2
(𝑛 −1) или 𝜒2≥ 𝜒
𝛼/2
теза 𝐻0отвергается.
𝜎2> 𝜎
𝜎2< 𝜎
2
0
𝜒2< 𝜒
𝜒2≥ 𝜒
2
0
𝜒2> 𝜒
𝜒2≤ 𝜒
2
(𝑛 −1), гипотеза 𝐻0принимается,
1−𝛼
2
(𝑛 −1), гипотеза 𝐻0отвергается.
1−𝛼
2
(𝑛 −1), гипотеза 𝐻0принимается,
𝛼
2
(𝑛 −1), гипотеза 𝐻0отвергается.
𝛼
2
(𝑚) — квантиль 𝜒2-распределения
𝑝
2
1−𝛼/2
(𝑛 −1), гипотеза 𝐻
2
1−𝛼/2
(𝑛 −1), гипо-
0
4.2.2 Критерии для проверки гипотез о параметрах двух
независимых распределений
2
𝑥
2
𝑥
= 𝜎
Рассмотрим две независимые случайные величины 𝑋 ∼ 𝑁𝑚𝑥,𝜎
𝑌 ∼ 𝑁𝑚𝑦,𝜎
2
и выборки наблюдений этих величин: 𝑋 = (𝑥1,𝑥2, . . . ,𝑥𝑛),
𝑦
𝑌 = (𝑦1,𝑦2, . . . ,𝑦𝑚).
Гипотеза о равенстве дисперсий. Выдвигается гипотеза 𝐻0: 𝜎
против конкурирующей гипотезы 𝐻1: 𝜎
2
𝑥
= 𝜎
2
.
𝑦
Если справедлива гипотеза 𝐻0, то статистика
2
𝑆
𝐹 =
𝑥
, (4.5)
2
𝑆
𝑦
будет иметь 𝐹 -распределение (Фишера) с (𝑛 −1,𝑚 − 1) степенями свободы.
Так как распределение Фишера не является симметричным, то можно по-
и
2
𝑦
строить критерий с двусторонней критической областью, правило принятия решения которого имеет вид:
— если 𝐹
(𝑛 −1,𝑚 − 1) < 𝐹 < 𝐹
𝛼/2
1−𝛼/2
(𝑛 −1,𝑚 − 1), то гипотеза 𝐻0при-
нимается,
88 Глава 4. ПРОВЕРКА СТАТИСТИЧЕСКИХ ГИПОТЕЗ
— если 𝐹 ≤ 𝐹
(𝑛 −1,𝑚 − 1) или 𝐹 ≥ 𝐹
𝛼/2
1−𝛼/2
(𝑛 −1,𝑚 − 1) то гипотеза 𝐻
отвергается,
где 𝐹𝑝(𝑛,𝑚) — квантиль распределения фишера с (𝑛,𝑚) степенями свободы, который находится по таблице П.3.
Но на практике удобнее строить критерий с односторонней критической
областью. Для этого в статистике, аналогичной (4.5), рассматривают отношение
большей оценки дисперсии к меньшей, т. е.
2
max𝑆
𝐹 =
min𝑆
2
,𝑆
𝑥
𝑦
2
𝑥
. (4.6)
2
,𝑆
𝑦
В этом случае значения 𝐹 всегда будут больше единицы, поэтому в левом
критическом значении необходимость отпадает.
Введем обзначения 𝑘1= max(𝑛,𝑚) и 𝑘2= min(𝑛,𝑚). Тогда правило принятия решения, для одностороннего критерия примет вид:
0
— если 𝐹 < 𝐹
— если 𝐹 ≥ 𝐹
1−𝛼(𝑘1
1−𝛼(𝑘1
− 1,𝑘2− 1), то гипотеза 𝐻0принимается,
− 1,𝑘2− 1), то гипотеза 𝐻0отвергается.
Гипотеза о равенстве средних. Выдвигается гипотеза 𝐻0: 𝑚𝑥= 𝑚
против двусторонней альтернативы 𝐻1: 𝑚𝑥= 𝑚𝑦(или односторонней 𝐻1:
𝑚𝑥> 𝑚𝑦, а может быть 𝐻1: 𝑚𝑥< 𝑚𝑦).
2
Дисперсии известны. Если значения 𝜎
𝑥
2
и 𝜎
известны из каких-то тео-
𝑦
ретических или практических соображений, то в качестве статистики критерия
можно выбрать
+
2
𝜎
𝑦
. (4.7)
𝑚
2
𝜎
𝑥
𝑛
𝑧 =
𝑚
*
− 𝑚
𝑥
𝑆
*
𝑦
, 𝑆 =
Случайная величина 𝑧 из (4.7), в случае, если справедлива гипотеза 𝐻0, име-
𝑦
ет стандартное нормальное распределение. Критерии проверки этой гипотезы
представлены таблице 4.5. В этой таблице 𝑧𝑝— квантиль стандартного нормального распределения уровня 𝑝.
Дисперсии равны, но не известны. Пусть теперь значения дисперсий
генеральных совокупностей 𝜎
равны, т. е. гипотеза 𝐻0: 𝜎
2
𝑥
= 𝜎
2
𝑥
2
и 𝜎
2
𝑦
неизвестны, но предполагается, что они
𝑦
не отвергается. Тогда статистика
4.2. Проверка гипотез о параметрах нормального распределения 89
Таблица 4.5 – Гипотезы о равенстве средних, дисперсии известны
Альтернативная
гипотеза 𝐻
𝑚𝑥= 𝑚
𝑚𝑥> 𝑚
𝑚𝑥< 𝑚
1
𝑦
𝑦
𝑦
Правило принятия статистического решения
|𝑧| < 𝑧
|𝑧| ≥ 𝑧
𝑧 < 𝑧
𝑧 ≥ 𝑧
1−𝛼
1−𝛼
, гипотеза 𝐻0принимается,
1−𝛼/2
, гипотеза 𝐻0отвергается.
1−𝛼/2
, гипотеза 𝐻0принимается,
, гипотеза 𝐻0отвергается.
𝑧 > 𝑧𝛼, гипотеза 𝐻0принимается,
𝑧 ≤ 𝑧𝛼, гипотеза 𝐻0отвергается.
(𝑛 −1) 𝑆
2
+ (𝑚 − 1) 𝑆
𝑥
𝑛 + 𝑚 − 2
2
𝑦
, (4.8)
𝑇 =
𝑚
*
− 𝑚
𝑥
𝑆
*
𝑦
𝑛𝑚
, где 𝑆 =
𝑛 + 𝑚
при справедливости гипотезы 𝐻0, будет распределена по закону Стьюдента с
(𝑛 + 𝑚 − 2) степенями свободы. Критерии проверки этой гипотезы представлены таблице 4.6.
Таблица 4.6 – Гипотезы о равенстве средних, дисперсии не известны, но равны
Альтернативная
гипотеза 𝐻
𝑚𝑥= 𝑚
1
𝑦
Правило принятия статистического решения
|𝑇 | < 𝑡
1−𝛼/2
(𝑛 + 𝑚 − 2), гипотеза 𝐻0принима-
ется,
|𝑇 | ≥ 𝑡
1−𝛼/2
(𝑛 + 𝑚 − 2), гипотеза 𝐻0отвергает-
ся.
𝑚𝑥> 𝑚
𝑚𝑥< 𝑚
𝑦
𝑦
𝑇 < 𝑡
𝑇 ≥ 𝑡
(𝑛 + 𝑚 − 2), гипотеза 𝐻0принимается,
1−𝛼
(𝑛 + 𝑚 − 2), гипотеза 𝐻0отвергается.
1−𝛼
𝑇 > 𝑡𝛼(𝑛 + 𝑚 − 2), гипотеза 𝐻0принимается,
𝑇 ≤ 𝑡𝛼(𝑛 + 𝑚 − 2), гипотеза 𝐻0отвергается.
Дисперсии не известны и не равны. Если гипотеза о равенстве дисперсий 𝐻0: 𝜎
2
𝑥
= 𝜎
2
отвергается, то в качестве статистики критерия используют
𝑦
случайную величину
90 Глава 4. ПРОВЕРКА СТАТИСТИЧЕСКИХ ГИПОТЕЗ
𝑆
𝑛
+
𝑆
2
𝑦
(4.9)
2
𝑥
𝑚
𝑇 =
𝑚
*
𝑥
− 𝑚
𝑆
*
𝑦
, 𝑆 =
Эта статистика при справедливости гипотезы 𝐻0имеет распределение
Стьюдента с 𝑑𝑓 степенями свободы, где
𝑑𝑓 =
2
𝑆
𝑛 + 𝑆
𝑛
2
𝑆
𝑥
2
𝑥
(𝑛 −1) +𝑆
𝑚
2
𝑦
2
𝑦
𝑚
2
2
(𝑚 −1)
. (4.10)
Критерии проверки этой гипотезы представлены таблице 4.7. В этой таблице количество степеней свободы квантили распределения Стьюдента определяется формулой (4.10).
Таблица 4.7 – Гипотезы о равенстве средних, дисперсии не известны и не равны
Альтернативная
Правило принятия статистического решения
гипотеза 𝐻
𝑚𝑥= 𝑚
𝑚𝑥> 𝑚
𝑚𝑥< 𝑚
1
𝑦
𝑦
𝑦
|𝑇 | < 𝑡
|𝑇 | ≥ 𝑡
𝑇 < 𝑡
𝑇 ≥ 𝑡
1−𝛼/2
1−𝛼/2
1−𝛼
1−𝛼
𝑇 > 𝑡𝛼(𝑑𝑓), гипотеза 𝐻0принимается,
(𝑑𝑓), гипотеза 𝐻0принимается,
(𝑑𝑓), гипотеза 𝐻0отвергается.
(𝑑𝑓), гипотеза 𝐻0принимается,
(𝑑𝑓), гипотеза 𝐻0отвергается.
𝑇 ≤ 𝑡𝛼(𝑑𝑓), гипотеза 𝐻0отвергается.
Пример 4.3. В регионе было обследовано 16 промышленных предприя-
тий и 17 строительных (подрядных) организаций. Средняя балансовая прибыль
промышленных предприятий оказалась равной 20,107 млн. pyб., а строительных
организаций – 14,108 млн. руб. Исправленная выборочная дисперсия прибыли
промышленных предприятий составила 63,1016, строительных организаций —
21,2217. Проверим на уровне значимости 0,01 — являются ли различия в результатах финансовой деятельности промышленных предприятий и строительных
организаций случайными.
Так как дисперсии неизвестны, то во-первых, проверим гипотезу о диспер-
сиях 𝐻0: 𝜎
2
𝑥
= 𝜎
2
против двухсторонней альтернативной гипотезы 𝐻1: 𝜎
𝑦
2
𝑥
= 𝜎
2
𝑦
Для этого вычислим статистику по формуле (4.6)
.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]