Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Специальные разделы высшей математики. Теория вероятностей и математическая статистика для инженера-исследователя. Учебное пособие
.pdf
5.2. Однофакторный дисперсионный анализ 111
Пример 5.1. Проведено исследование влияния различных добавок на
прочность бетона. В результате эксперемента получены статистические данные,
представленные в таблице . Выполним дисперсионный анализ влияния добавок
на прочность бетона.
В данной задаче факторами являются добавки, для каждой из которых
проведено 5 опытов на определение прочности. Следовательно, 𝑘 = 4, 𝑛𝑖= 5.
Таблица 5.3 – Влияние добавок на прочность бетона, данные
Прочность бетона, МПа
Номер опыта 1 2 3 4 5
Без добавки 67 68 55 44 45
Добавка № 1 60 73 50 40 55
Добавка № 2 79 65 82 70 68
Добавка № 3 90 68 80 88 75
Нулевая гипотеза имеет вид 𝐻0: 𝑚1= 𝑚2= 𝑚3= 𝑚4= 𝑚𝑥,
соответственно альтернатива 𝐻1: хотя бы для одной пары 𝑚𝑖= 𝑚𝑗.
Вычислим оценки для средних и дисперсий на различных уровнях фактора.
После чего заполним таблицу 5.4
Таблица 5.4 – Проверка однородности дисперсий
Уровень
Номер наблюдения 𝑚
*
𝑖
𝑆
2
𝑖
𝑚
*
𝑥
фактора
1 2 3 4 5
𝐴
𝐴
1
2
67 68 55 44 45 55,8 132,7
60 73 50 40 55 55,6 149,3 66,1
𝐴
𝐴
3
4
79 65 82 70 68 72,8 53,7
90 68 80 88 75 80,2 83,2
Сумма 418,9
Проверим однородность дисперсий. Так как количество наблюдений во всех
группах одинаково 𝑙 = 4, то при сравнении дисперсий применим критерий Кохрена. Из таблицы 5.4 находим, что
2
2
2
max(𝑆
,𝑆
,𝑆
1
2
2
,𝑆
) = 149,3, 𝑆
3
4
2
1
+ 𝑆
2
2
+ 𝑆
2
3
+ 𝑆
2
= 418,9.
4
112 Глава 5. ДИСПЕРСИОННЫЙ АНАЛИЗ
Таблица 5.5 – Влияние добавок на прочность бетона, рассчеты
𝐴
𝑖
𝑥
𝑖𝑗
𝑚
*
𝑖
2
𝑥
𝑖𝑗
(𝑚
2
*
)
𝑖
𝐴167 68 55 44 45 55,8 4489 4624 3025 1936 2025 3113,64
𝐴260 73 50 40 55 55,6 3600 5329 2500 1600 3025 3091,36
𝐴379 65 82 70 68 72,8 6241 4225 6724 4900 4624 5299,84
𝐴490 68 80 88 75 80,2 8100 4624 6400 7744 5625 6432,04
Сумма 264,4 Суммы квадратов
*
𝑚
(𝑚*)
2
66,1 22430 18802 18649 16180 15299 17936,88
4369,21 91360
Вычислим статистику критерия по формуле (5.3):
𝐺 =
max(𝑆
2
𝑆
+ . . . + 𝑆
1
2
, . . . ,𝑆
1
2
)
=
149,3
= 0,3564.
418,9
𝑘
2
𝑘
По таблице П.6 определим критическое значение для уровня значимости
𝛼 = 0,05: 𝐺
Так как 0,3564 = 𝐺 < 𝐺
крит
= 𝐺
(5 −1; 4) = 𝐺
0,05
(4; 4) = 0,6287.
0,05
= 0,6287, то гипотеза 𝐻0принимается, т. е.
крит
можно сделать вывод, что дисперсии признака 𝑋 на различных уровнях однородны. Таким образом дисперсионный анализ можно продолжить.
Вычислим суммы квадратов отклонений по формулам (5.7), (5.9), (5.11).
𝑛
𝑘
𝑖
2
𝑥
− 𝑛 (𝑚*)2= 91360 −20 ·4369,2 = 3975,8;
𝑖𝑗
𝑗=1
*
)2− 𝑛 (𝑚*)2= 5 ·17936,88 −20 ·4369,21 = 2300,2;
𝑖
𝑆𝑆𝑇 =
𝑆𝑆𝐵 =
𝑘
𝑖=1
𝑖=1
𝑛𝑖(𝑚
𝑆𝑆𝑊 = 𝑆𝑆𝑇 − 𝑆𝑆𝐵 = 3975,8 −2300,2 = 1675,6.
Рассчитаем значение статистики критерия по формуле (5.13)
𝐹 =
𝑀𝑆𝐵
𝑀𝑆𝑊
𝑆𝑆𝐵/𝐷𝐹 𝐵
=
𝑆𝑆𝑊 /𝐷𝐹 𝑊
2300,2/ (4 −1)
=
1675,6/ (20 −4)
2300,2/3
=
1675,6/16
= 7,3214.
5.3. Двухфакторный дисперсионный анализ 113
По таблице 𝐹 -распределения определим критическое значение при уровне
значимости 𝛼 = 0,05
𝐹
крит
= 𝐹
(𝑛 −1,𝑛 − 𝑘) = 𝐹
1−𝛼
1−0,05
(20 −1,20 −4) = 𝐹
Заполним таблицу результатов дисперсионного анализа.
Таблица 5.6 – ANOVA таблица к примеру 5.1
Источник
вариации
Между
группа-
ми
Внутри
групп
Общая 3975,8 19
Так как 7,3214 = 𝐹 > 𝐹
Сумма
квадратов
2300,2 3 766,7333 7,3214 3,2389
1675,6 16 104,725
Количество
степеней
свободы
= 3,2389, то гипотеза 𝐻0отвергается, т.е.
крит
Средний
квадрат
Значениие
𝐹 -
статистики
(19,16) = 3,2389.
0,95
Критическое
значение
мы делаем вывод о том, что фактор добавок существенно влияет на прочность
бетона.
5.3 Двухфакторный дисперсионный анализ
Естественным обобщением однофакторного дисперсионного анализа является многофакторный анализ. При многофакторном дисперсионном анализе
исследуется влияние на признак 𝑋 одновременно нескольких факторов: двух,
трех и т. д. Многофакторный анализ проводится аналогично однофакторному.
Существенным отличием является то, что в многофакторном анализе появляется необходимость проверки зависимости признака 𝑋 от взаимодействий разного
порядка между факторами. Может оказаться, что один или несколько факторов значимо влияют на исследуемый признак только при малых (или, напротив,
больших) значениях других факторов.
Остановимся подробнее на двухфакторном дисперсионном анализе. Пусть
исследуется влияние двух факторов 𝐴 и 𝐵 на некоторый признак 𝑋. Предположим, что фактор 𝐴 имеет 𝑎 уровней: 𝐴1, . . . ,𝐴𝑎, а фактор 𝐵, соответственно,
114 Глава 5. ДИСПЕРСИОННЫЙ АНАЛИЗ
𝑏 уровней: 𝐵1, . . . ,𝐵𝑏. Пусть для каждой пары уровней факторов (𝐴𝑖,𝐵𝑗) проводится 𝑠 опытов. Такой эксперимент называется равномерным полнофакторным
экспериментом.
Пусть в нашем распоряжении имеются результаты полнофакторного эксперимента 𝑥
𝑖𝑗𝑟
, 𝑖 =
1,𝑎 — номер уровня фактора 𝐴, 𝑗 = 1,𝑏 — номер уровня
фактора 𝐵, 𝑟 = 1,𝑠 номер опыта в группе на фиксированной паре уровней факторов (𝐴𝑖,𝐵𝑗). Таким образом, полнофакторный эксперимент будет содержать
𝑛 = 𝑎𝑏𝑠 опытов.
Предпосылки двухфакторного дисперсионного анализа.
1. Генеральные совокупности, из которых извлечены выборки, должны быть
нормально распределены.
2. Выборки должны быть независимыми.
3. Дисперсии генеральных совокупностей, из которых извлекались выборки,
должны быть равными.
Основное тождество двухфакторного дисперсионного анализа имеет вид:
SST = SSA + SSB + SSAB + SSW, (5.14)
где
— 𝑆𝑆𝑇 — общая сумма квадратов отклонений,
— 𝑆𝑆𝐴 — сумма квадратов отклонений, объяснённая влиянием фактора 𝐴,
— 𝑆𝑆𝐵 — сумма квадратов отклонений, объяснённая влиянием фактора 𝐵,
— 𝑆𝑆𝐴𝐵 — сумма квадратов отклонений, объяснённая влиянием взаимодействия факторов,
— 𝑆𝑆𝑊 — внутригрупповая сумма квадратов отклонений.
Обозначим через 𝑚𝑥безусловное среднее признака 𝑋, через 𝑚
𝑚
условные средние признака 𝑋 на 𝑖-ом уровне фактора 𝐴, на 𝑗-ом уровне
𝑖𝑗+
𝑖++
, 𝑚
+𝑗+
,
фактора 𝐵 и на каждой комбинации градаций факторов соответственно. Оцен-
5.3. Двухфакторный дисперсионный анализ 115
ки этих средних вычисляются по формулам:
𝑠
𝑏
𝑎
𝑗=1
=
𝑟=1
𝑟=1
𝑏
1
𝑥
, (5.15)
𝑟=1
𝑖𝑗𝑟
𝑖𝑗𝑟
=
=
=
𝑖𝑗𝑟
1
𝑎
1
𝑏
1
𝑎
𝑏
𝑗=1
𝑖=1
𝑎
𝑖=1
*
𝑚
, (5.16)
𝑖𝑗+
𝑎
*
𝑚
, (5.17)
𝑖𝑗+
𝑏
𝑚
*
𝑖++
=
1
𝑏
𝑗=1
𝑚
*
. (5.18)
+𝑗+
𝑠
𝑠
𝑥
𝑠
𝑥
*
𝑚
𝑖𝑗+
𝑚
*
𝑚
𝑖𝑗+
=
=
1
𝑎𝑏
1
𝑏𝑠
1
𝑎𝑠
𝑗=1
𝑖=1
𝑎
𝑖=1
*
𝑚
𝑖++
*
𝑚
+𝑗+
𝑎
𝑏
𝑗=1
𝑠
𝑟=1
𝑥
=
𝑖𝑗𝑟
1
*
=
𝑥
𝑛
𝑖=1
Последовательность действий при проведении двухфакторного дисперси-
онного анализа.
ШАГ 1. Формулировка гипотез. Выдвигаются три пары гипотез:
1. Для фактора 𝐴
𝐻0: 𝑚
𝐻1: не все 𝑚
1++
= 𝑚
𝑖++
2++
= 𝑚
𝑎++
= 𝑚
, 𝑖 = 1,𝑎 равны.
𝑥
2. Для фактора 𝐵
𝐻0: 𝑚
𝐻1: не все 𝑚
+1+
= 𝑚
+𝑗+
= . . . = 𝑚
+2+
, 𝑗 = 1,𝑏 равны.
+𝑏+
= 𝑚
𝑥
3. Для взаимодействия факторов 𝐴 и 𝐵:
𝐻0: 𝑚
𝐻1: не все 𝑚
11+
= 𝑚
= . . . = 𝑚
12+
, 𝑖 = 1,𝑎, 𝑗 = 1,𝑏 равны.
𝑖𝑗+
𝑎𝑏+
= 𝑚
𝑥
ШАГ 2. Проверка однородности дисперсий в группах. Вычислить оценки
дисперсий
𝑠
𝑆
𝑟=1
𝑥
− 𝑚
𝑖𝑗𝑟
2
𝑖𝑗
1
=
𝑠 −1
*
𝑖𝑗+
2
, (5.19)
и с помощью критерия Кохрена проверить их однородность.
ШАГ 3. Нахождение сумм квадратов отклонений. Суммы квадратов от-
клонений из (5.14) определяются следующими формулами.
Общая сумма квадратов отклонений
𝑎
𝑏
𝑆𝑆𝑇 =
𝑖=1
𝑗=1
𝑠
𝑟=1
(𝑥
𝑖𝑗𝑟
− 𝑚
*
)2=
𝑥
𝑎
𝑖=1
𝑏
𝑗=1
𝑠
𝑟=1
2
𝑥
𝑖𝑗𝑟
− 𝑛 (𝑚
*
)2. (5.20)
𝑥
116 Глава 5. ДИСПЕРСИОННЫЙ АНАЛИЗ
Сумма квадратов отклонений, объяснённая влиянием фактора 𝐴,
𝑆𝑆𝐴 = 𝑏𝑠
𝑎
𝑖=1
(𝑚
*
𝑖++
− 𝑚
*
)2= 𝑏𝑠
𝑥
𝑎
𝑖=1
(𝑚
*
)2− 𝑛 (𝑚
𝑖++
*
)2. (5.21)
𝑥
Сумма квадратов отклонений, объяснённая влиянием фактора 𝐵, определяется соотношением
𝑆𝑆𝐵 = 𝑎𝑠
𝑏
𝑗=1
*
𝑚
+𝑗+
− 𝑚
2
*
= 𝑎𝑠
𝑥
𝑏
𝑗=1
𝑚
*
+𝑗+
2
− 𝑛 (𝑚
*
)2. (5.22)
𝑥
Сумма квадратов отклонений, объяснённая влиянием взаимодействия факторов,
𝑆𝑆𝐴𝐵 = 𝑠
= 𝑠
− 𝑠𝑎
𝑎
𝑖=1
𝑎
𝑖=1
𝑏
𝑗=1
𝑏
𝑗=1
𝑏
𝑗=1
𝑚
*
+𝑗+
𝑚
𝑚
*
𝑖𝑗+
*
𝑖𝑗+
2
− 𝑚
2
− 𝑠𝑏
+ 𝑛 (𝑚
*
𝑖++
*
𝑥
)2.
− 𝑚
𝑎
𝑖=1
*
+𝑗+
𝑚
+ 𝑚
*
𝑖++
2
*
=
𝑥
2
−
(5.23)
Внутригрупповая сумма квадратов отклонений или сумма квадратов отклонений ошибки
𝑎
𝑏
𝑗=1
𝑠
𝑟=1
𝑥
− 𝑚
𝑖𝑗𝑟
*
𝑖𝑗+
2
= 𝑆𝑆𝑇 − 𝑆𝑆𝐴 − 𝑆𝑆𝐵 −𝑆𝑆𝐴𝐵. (5.24)
𝑆𝑆𝑊 =
𝑖=1
ШАГ 4. Вычисление статистик критериев. Вычисляем соответствующие
средние квадраты
𝑀𝑆𝐴 =
𝑀𝑆𝐵 =
𝑀𝑆𝐴𝐵 =
𝑀𝑆𝑊 =
𝑆𝑆𝐴
𝐷𝐹 𝐴
𝑆𝑆𝐵
𝐷𝐹 𝐵
𝑆𝑆𝐴𝐵
=
𝐷𝐹 𝐴𝐵
𝑆𝑆𝑊
𝐷𝐹 𝑊
𝑆𝑆𝐴
=
, (5.25)
𝑎 −1
𝑆𝑆𝐵
=
, (5.26)
𝑏 −1
𝑆𝑆𝐴𝐵
(𝑎 −1) (𝑏 − 1)
𝑆𝑆𝑊
=
𝑎𝑏 (𝑠 −1)
, (5.27)
. (5.28)
Статистики рассчитываем по формулам
𝐹𝐴=
𝑀𝑆𝐴
, 𝐹𝐵=
𝑀𝑆𝑊
𝑀𝑆𝐵
𝑀𝑆𝑊
, 𝐹
𝐴𝐵
𝑀𝑆𝐴𝐵
=
𝑀𝑆𝑊
. (5.29)
5.3. Двухфакторный дисперсионный анализ 117
ШАГ 5. Нахождение критических значений. По заданному уровню зна-
чимости 𝛼, используя таблицу F-распределения, определяем критические значения, как квантили распределения Фишера
𝐴
𝐹
𝐹
𝐹
𝐴𝐵
крит
крит
𝐵
крит
= 𝐹
= 𝐹
= 𝐹
1−𝛼
(𝑎 −1,𝑎𝑏 (𝑠 − 1)) , (5.30)
1−𝛼
(𝑏 −1,𝑎𝑏 (𝑠 − 1)) , (5.31)
1−𝛼
((𝑎 −1) (𝑏 − 1) ,𝑎𝑏 (𝑠 − 1)) . (5.32)
ШАГ 6. Заполнение ANOVA талицы. Полученные значения на предыду-
щих шагах заносим в таблицу 5.7 двухфакторного дисперсионного анализа.
Таблица 5.7 – ANOVA таблица для двух факторов с взаимодействием
Источник вариации 𝑆𝑆 𝐷𝐹 𝑀𝑆 Значениие
Критическое
𝐹 -статистики
Фактор 𝐴 𝑆𝑆𝐴 𝑎 − 1 𝑀𝑆𝐴 𝑀𝑆𝐴/𝑀 𝑆𝑊 𝐹
Фактор 𝐵 𝑆𝑆𝐵 𝑏 − 1 𝑀 𝑆𝐵 𝑀𝑆𝐵/𝑀𝑆𝑊 𝐹
Взаимодействие 𝐴𝐵 𝑆𝑆𝐴𝐵 (𝑎 − 1) (𝑏 − 1) 𝑀 𝑆𝐴𝐵 𝑀 𝑆𝐴𝐵/𝑀 𝑆𝑊 𝐹
Внутригрупповая 𝑆𝑆𝑊 𝑎𝑏 (𝑠 − 1) 𝑀𝑆𝑊
Общая 𝑆𝑆𝑇 𝑎𝑏𝑠 −1
значение
𝐴
крит
𝐵
крит
𝐴𝐵
крит
ШАГ 7. Принятие решения. Если статистика больше или равна соответ-
ствующему критическому значению, то нулевая гипотеза при уровне значимости 𝛼 отклоняется. А это означает, что фактор (взаимодействие) оказывает
существенное влияние на признак 𝑋 с вероятностью 1 −𝛼.
В случае, если статистика меньше соответствующего критического значения, то нулевая гипотеза при уровне значимости 𝛼 принимается, т. е. с вероятностью 1 −𝛼 можно сделать вывод, что фактор (взаимодействие) не оказывает
существенного влияния на признак 𝑋.
Пример 5.2. В результате проведенного эксперимента получены следующие данные (см. таблицу 5.8). В этой таблице отображен коэффициент однородности бетона в зависимости от типа заполнителя 𝐴 и периода изготовления
бетона 𝐵.
ШАГ 1. Выдвигаются три пары гипотез:
1. Для фактора 𝐴
𝐻0: 𝑚
1++
= 𝑚
2++
= 𝑚
3++
= 𝑚
= 𝑚𝑥, 𝐻1: не все 𝑚
4++
, 𝑖 = 1,4 равны.
𝑖++
118 Глава 5. ДИСПЕРСИОННЫЙ АНАЛИЗ
Таблица 5.8 – Эмпирические данные
Данные Дисперсии
𝑥
𝑖𝑗𝑟
2
𝑥
𝑖𝑗𝑟
𝑆
2
𝑖𝑗
B1 B2 B3 B1 B2 B3 B1 B2 B3
A1 0,93 0,82 0,60 0,8649 0,6724 0,3600 0,0125 0,0489 0,0518
0,90 1,11 1,01 0,8100 1,2321 1,0201
0,68 0,59 0,51 0,4624 0,3481 0,2601
0,85 0,72 0,84 0,7225 0,5184 0,7056
A2 0,94 0,76 0,80 0,8836 0,5776 0,6400 0,036 0,0307 0,0374
1,12 0,95 0,94 1,2544 0,9025 0,8836
0,88 0,56 0,55 0,7744 0,3136 0,3025
0,66 0,61 0,55 0,4356 0,3721 0,3025
A3 0,71 0,62 0,72 0,5041 0,3844 0,5184 0,0077 0,0184 0,0193
0,87 0,82 0,87 0,7569 0,6724 0,7569
0,74 0,52 0,55 0,5476 0,2704 0,3025
0,88 0,76 0,62 0,7744 0,5776 0,3844
A4 0,81 0,78 0,85 0,6561 0,6084 0,7225 0,0181 0,0368 0,0205
1,01 0,98 0,83 1,0201 0,9604 0,6889
0,70 0,54 0,61 0,4900 0,2916 0,3721
0,92 0,90 0,95 0,8464 0,8100 0,9025
Сумма квадратов
2
𝑥
𝑖𝑗𝑟
30,4380 0,3381
2. Для фактора 𝐵
𝐻0: 𝑚
𝐻1: не все 𝑚
+1+
= 𝑚
+𝑗+
+2+
= 𝑚
+3+
= 𝑚
, 𝑗 = 1,3 равны.
𝑥
3. Для взаимодействия факторов 𝐴 и 𝐵:
𝐻0: 𝑚
𝐻1: не все 𝑚
11+
= 𝑚
= . . . = 𝑚
12+
, 𝑖 = 1,4, 𝑗 = 1,3 равны.
𝑖𝑗+
43+
= 𝑚
𝑥
ШАГ 2. Проверим однородность дисперсий. Для этого вычислим
G-статистику Кохрена:
𝐺 =
max(𝑆
2
𝑆
+ . . . + 𝑆
1
2
, . . . ,𝑆
1
2
43
2
43
)
=
0,0518
≈ 0,1532,
0,3381
5.3. Двухфакторный дисперсионный анализ 119
По таблице П.6. найдем критическое значение
𝐺
Так как 𝐺 < 𝐺
крит
крит
= 𝐺
(3 −1,12) = 𝐺
0,05
(2,12) = 0,3645.
0,05
, то можно сделать вывод об однородности дисперсий
наблюдений.
ШАГ 3. Заполним вспомогательную таблицу.
Таблица 5.9 – Вспомогательная таблица к примеру 5.2
*
𝑚
𝑖𝑗+
B1 B2 B3 B1 B2 B3
A1 0,84 0,81 0,74 0,7967 0,7056 0,6561 0,5476 0,6347
A2 0,9 0,72 0,71 0,7767 0,81 0,5184 0,5041 0,6033
A3 0,8 0,68 0,69 0,7233 0,64 0,4624 0,4761 0,5232
A4 0,86 0,8 0,81 0,8233 0,7396 0,64 0,6561 0,6778
*
𝑚
𝑖𝑗+
*
𝑚
𝑖𝑗+
Σ𝑚
*
𝑖𝑗+
0,85 0,7525 0,7375 𝑚
2
0,7225 0,566256 0,543906 0,7800 2,8952 2,2769 2,1839 2,439
2
1,8327 (𝑚*)
*
𝑚
𝑖++
*
0,6084
2
*
𝑚
𝑖𝑗+
Суммы квадратов
2
7,356 Σ𝑚
𝑚
*
𝑖++
*
𝑖𝑗+
2
2
Используя данные таблицы 5.9, по формулам (5.20)–(5.24) вычислим соответствующие суммы квадратов оклонений
𝑆𝑆𝑇 =
30,4380
− 48 · 0,6084 = 1,2348,
𝑆𝑆𝐴 = 12 ·1,8327 −48 ·0,6084 = 0,0645,
𝑆𝑆𝐵 = 16 ·2,439 −48 ·0,6084 = 0,1200,
𝑆𝑆𝐴𝐵 = 4 ·7,356 −12 ·7,356 −16 ·2,439 + 48 · 0,6084 = 0,0363,
𝑆𝑆𝑊 = 1,2348 −0,0645 −0,1200 −0,0363 = 1,0140.
ШАГ 4. Согласно формулам (5.24)–(5.28) вычислим соответствующие
средние квадраты
0,0645
𝑀𝑆𝐴 =
= 0,0215,
4 −1
0,1200
𝑀𝑆𝐵 =
= 0,0600,
3 −1
𝑀𝑆𝐴𝐵 =
𝑆𝑆𝐴𝐵
=
𝐷𝐹 𝐴𝐵
0,0363
= 0,0061.
(4 −1) (3 −1)
120 Глава 5. ДИСПЕРСИОННЫЙ АНАЛИЗ
И, наконец, по формулам (5.28) рассчитываем статистики
𝐹𝐴=
0,0215
= 0,7633, 𝐹𝐵=
0,0282
0,0600
0,0282
= 2,1277, 𝐹
𝐴𝐵
0,0061
=
0,0282
= 0,2163.
ШАГ 5. Используя F-распределение, при уровне значимости 𝛼 = 0,05 опре-
делим критические значения
𝐴
𝐹
𝐹
𝐹
крит
𝐵
крит
𝐴𝐵
крит
= 𝐹
= 𝐹
= 𝐹
(3,36) = 2,8662,
0,95
(2,36) = 3,2595,
0,95
(6,36) = 2,3638.
0,95
ШАГ 6. Полученные значения на предыдущих шагах заносим в ANOVA
талицу 5.10 двухфакторного дисперсионного анализа.
Таблица 5.10 – ANOVA таблица для примера 5.2
Источник вариации 𝑆𝑆 𝐷𝐹 𝑀𝑆 𝐹 -статистика Критическое
значение
Фактор 𝐴 0,0645 3 0,0215 0,7633 2,8662
Фактор 𝐵 0,1200 2 0,06 2,1277 3,2595
Взаимодействие 𝐴𝐵 0,0363 6 0,0061 0,2163 2,3638
Внутригрупповая 1,0140 36 0,0282
Общая 1,2348 47
ШАГ 7. Принимаем решения.
1. Так как 𝐹𝐴> 𝐹
𝐴
, то нулевая гипотеза при уровне значимости 0,05
крит
отклоняется, и это означает, что тип заполнителя оказывает существенное влияние на коэффициент однородности бетона с вероятностью 0,95.
2. Так как 𝐹𝐵> 𝐹
𝐵
, то нулевая гипотеза при уровне значимости 0,05
крит
отклоняется, и это означает, что период изготовления оказывает существенное
влияние на коэффициент однородности бетона с вероятностью 0,95.
3. Так как 𝐹
𝐴𝐵
< 𝐹
𝐴𝐵
, то нулевая гипотеза при уровне значимости 0,05
крит
принимается, т. е. с вероятностью 0,95 можно сделать вывод: взаимодействие
типа заполнителя и периода изготовления не оказывает существенного влияния
на коэффициент однородности бетона 𝑋.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]