Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Специальные разделы математики. Учебное пособие (курс лекций)
.pdf
МИНИCTEPCTBO НАУКИ И ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ
РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ АВТОНОМНОЕ
ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ
«СЕВЕРО-КАВКАЗСКИЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»
А. С. Адамчук, С. Р. Амироков, Ф. Б. Тебуева
СПЕЦИАЛЬНЫЕ РАЗДЕЛЫ
МАТЕМАТИКИ
УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ
(КУРС ЛЕКЦИЙ)
Направление подготовки
10.04.01 Информационная безопасность
Направленность (профиль)
«Комплексная защита объектов информатизации»
Магистратура
Ставрополь
2018
УДК 517.0 (075.8)
ББК 22.1 я73
А 28
Адамчук А. С., Амироков С. Р., Тебуева Ф. Б.
А 28 Специальные разделы математики: учебное пособие (курс
лекций). – Ставрополь: Изд-во СКФУ, 2018. – 149 с.
Учебное пособие (курс лекций) включает, кроме лекционного мате-
риала, вопросы для обсуждения, литературу и источники.
Предназначено для студентов магистратуры, обучающихся по направлению подготовки 10.04.01 Информационная безопасность, направленности (профиля) «Комплексная защита объектов информатизации».
редакционно-издательского совета
Печатается по решению
Северо-Кавказского
федерального университета
УДК 517.0 (075.8)
ББК 22.1 я73
Рецензенты:
канд. техн. наук, доцент В. В. Куликов,
канд. пед. наук, доцент В. А. Грицык,
(ГБУЗ СК «СКК СППБ-1»)
© ФГАОУ ВО «Северо-Кавказский
федеральный университет», 2018
СОДЕРЖАНИЕ
Предисловие . ...................................................................................................... 4
1. Основные понятия теории вероятностей .................................. 6
2. Основные положения математической статистики .............. 26
3. Регрессионный и корреляционный анализ .............................42
4. Элементы теории случайных процессов .................................. 61
5. Стационарные случайные процессы ......................................... 73
6. Марковские случайные процессы .............................................. 80
7. Пуассоновский случайный процесс .......................................... 96
8. Теоретико-числовые методы в криптографии ......................106
9. Применение эллиптических кривых для проверки
простоты и факторизации .........................................................124
Заключение ......................................................................................................136
Литература .......................................................................................................137
Приложения ...................................................................................................139
СПЕЦИАЛЬНЫЕ РАЗДЕЛЫ МАТЕМАТИКИ
ПРЕДИСЛОВИЕ
Специальные разделы математики – комплексный математический курс, в который, в соответствии с ФГОС ВО, включены основные вопросы теории вероятностей, математической
статистики и случайных процессов, а также некоторые теоретико-числовые методы, используемые в криптографии.
Целью освоения дисциплины «Специальные разделы математики» является формирование набора общекультурных и профессиональных компетенций будущего магистра по направлению подготовки 10.04.01.
Задача дисциплины – освоить навыки использования рассматриваемого математического аппарата в профессиональной
деятельности и воспитать высокую культуру мышления, т. е.
строгость, последовательность, непротиворечивость и основательность в суждениях, в том числе и в повседневной жизни.
Дисциплина относится к базовой части Блока 1 «Дисциплины (модули)» Б1.Б.1. Ее освоение происходит в 1 семестре.
Пособие представляет собой краткий курс из 9 глав, составленных на основе лекций, прочитанных студентам магистратуры направления подготовки 10.04.01.
В первой теме приводится краткий обзор основных понятий
и теорем ранее изученной теории вероятностей для использования материала в следующих темах.
Вторая тема – это обзор основных положений математической статистики, при этом предполагается, что студенты могут
оперировать основными понятиями этой дисциплины.
В третьей теме рассматриваются вероятностно-статистические методы исследования зависимостей между случайными
величинами, элементы корреляционно-регрессионного анализа.
Четвертая тема посвящена введению в теорию случайных
процессов, рассматривается их классификация и приводятся основные характеристики.
В пятой теме более подробно рассматриваются стационарные случайные процессы.
- 4 -
Предисловие
Следующие две темы посвящены рассмотрению простейших
случайных процессов – марковских и пуассоновских.
В восьмой и девятой темах приводятся некоторые элементы
теории теоретико-числовых методов криптографии.
В результате усвоения материалов данного пособия студенты
должны сформировать общекультурную и профессиональную
компетенции:
ОК-2 – способность самостоятельно приобретать с помощью
информационных технологий и использовать в практической
деятельности новые знания и умения;
ПК-7 – способность проводить экспериментальные исследования защищенности объектов с применением соответствующих физических и математических методов, технических и программных средств обработки результатов эксперимента.
- 5 -
СПЕЦИАЛЬНЫЕ РАЗДЕЛЫ МАТЕМАТИКИ
1. ОСНОВНЫЕПОНЯТИЯ
ТЕОРИИВЕРОЯТНОСТЕЙ
План
1.1. Основные понятия, определения и теоремы.
1.2. Основные формулы.
1.3. Дискретная случайная величина и ее характеристики.
1.4. Непрерывная случайная величина.
1.5. Основные характеристики случайных величин и их
свойства.
1.6. Основные законы распределения непрерывных случайных величин.
1.1.Основныепонятия,определенияитеоремы
Теория вероятностей – раздел математики, изучающий за-
кономерности массовых случайных явлений.
В теории вероятностей основными понятиями являются ис-
пытание и событие.
Испытание – исходное, неопределяемое понятие (наблюдение,
явление, опыт, т. е. наличие комплекса определенных условий).
Событие – результат (исход) испытания, обозначается А, В, С, ...
Примеры:
Испытание Событие
1. Сдача экзаменов Получение оценки 4
2. Выстрел по цели Попадание в цель
3. Подсчет дневного Товарооборот 200 млн руб.
товарооборота магазина
Наблюдаемые нами события можно разделить на достовер-
ные, невозможные и случайные.
Достоверным называется событие, которое обязательно произойдет, если будет осуществлена определенная совокупность
условий.
Невозможным называется событие, которое заведомо не
произойдет, если будет осуществлена определенная совокупность условий.
- 6 -
Лекция 1
PA
()
m
n
01
()
Случайными называют событие, которое может произойти
либо не произойти, если будет осуществлена определенная совокупность условий.
События называют несовместными, если появление одного
из них исключает появление других событий в одном и том же
испытании.
Система событий образует полную группу для данного испытания, если любым исходом его является одно и только одно
событие этой группы.
Возможные, исключающие друг друга результаты одного испытания называются элементарными исходными испытаниями.
Исход испытания называется благоприятствующим некоторому событию, если в результате этого исхода появляется указанное событие.
События называются равновозможными, если нет оснований считать одно из них более или менее возможным, чем
остальные.
Определение. Вероятностью
отношение числа благоприятствующих этому событию исходов
m к общему числу п всех равновозможных элементарных исхо-
дов события, образующих полную труппу, т. е.
события А называют
Свойства вероятности
1. Вероятность достоверного события равна единице.
2. Вероятность невозможного события равна нулю.
3. Вероятность случайного события есть число, заключен-
Таким образом, вероятность любого события А удовлетворяет неравенству
Пример 1. Игральная кость бросается два раза. Какова вероятность того, что сумма очков равна семи?
PA
= .
()
ное между нулем и единицей.
≤
≤PA .
- 7 -
СПЕЦИАЛЬНЫЕ РАЗДЕЛЫ МАТЕМАТИКИ
m
n
6361
6
()
()+()
nn
()
()+()
()
AA A
,,...,
Решение
Число возможных исходов испытания n = 36. Событию А,
заключающемуся в том, что сумма очков равна 7, благоприятствуют исходы испытания (1, 6), (6, 1), (2, 5), (5, 2), (3, 4), (4, 3).
Следовательно, m = 6. Значит,
PA
== =
()
Теоремысложенияиумножениявероятностей
Суммой А + В событий А и В называется событие, состоя-
щее в том, что в результате опыта наступит или событие А, или
событие В, или оба вместе. (Другими словами, суммой А + В
событий А и В называется событие, состоящее в появлении хотя
бы одного из этих событий).
Если события А и В несовместны, то А + В – это или событие
А, или событие В.
Суммой нескольких событий называется событие, состоящее
в появлении хотя бы одного из этих событий.
Произведением АВ событий А и В называется событие, со-
стоящее в совместном появлении и события А, и события В.
Произведением нескольких событий называется событие, состоящее в их совместном появлении.
Событием, противоположным событию А, называется со-
бытие, обозначаемое A и состоящее в том, что в результате опыта событие А не наступит.
.
Теоремасложениявероятностейнесовместимыхсобытий
Вероятность суммы двух несовместимых событий равна сумме вероятностей этих событий:
PA BPAPB+
Следствие 1. Вероятность появления одного из нескольких
попарно несовместных событий, безразлично какого, равна сумме вероятностей этих событий:
PA AAPA PA PA
++…+
12 12
Следствие 2. Если события
группу событий, то сумма их вероятностей равна единице:
=
=
- 8 -
.
+…+
n12
.
образуют полную
()+()
()
()
()
51561511
15
Лекция 1
PA PA PA
Следствие 3. Сумма вероятностей противоположных собы-
тий равна единице:
PA PA
Пример 2. В ящике 4 белых, 5 красных и 6 зеленых шаров.
Шары перемешивают и наудачу извлекают один шар. Какова вероятность события, состоящего в том, что шар окажется цветным?
Решение
Введем обозначения:
А – событие, состоящее в том, что извлеченный шар окажется
красным,
В – событие, состоящее в том, что извлеченный шар окажется
зеленым.
Интересующее нас событие состоит в появлении события A +
B. Так как А и В несовместны, то
AB PA PB+
()
Событие А называется независимым от события В, если вероятность события А не зависит от того, произошло событие В
или нет.
Несколько событий называются независимыми в совокуп-
ности, если любое из них не зависит от любой совокупности
остальных.
Событие А называется зависимым от события В, если вероятность события А меняется в зависимости от того, произошло
событие В или нет.
Вероятность события А, вычисляемая при условии, что собы-
тие В произошло, называется условной вероятностью события
А и обозначается P
=
()+()
(A).
B
+
+…+
=1.
=+=
1
= .
n12
.
Теоремаумножениявероятностей
Вероятность произведения двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную при условии, что первое из них произошло:
- 9 -
СПЕЦИАЛЬНЫЕ РАЗДЕЛЫ МАТЕМАТИКИ
AB
()=() ()=() ()
()=()⋅()
()
()⋅()⋅()⋅()
nn
()
()⋅()…⋅()
nn
()
()
()
()
PABPAP B PBP A
.
Следствие 1. Если событие А не зависит от события В, то и
событие В не зависит от события А.
Следствие 2. Вероятность произведения двух независимых
событий равна произведению вероятностей этих событий:
PABPAPB
.
Для вычисления вероятности совместного появления боль-
шего числа событий, например четырех, используют формулу:
PABCDPAPBP CP D
=
AABABC
.
Для нескольких независимых в совокупности событий веро-
ятность их произведения равна произведению их вероятностей:
PAAA PA PA PA
…
12 12
=
.
Следствие 3. Вероятность появления хотя бы одного из со-
AA A
бытий
,,...,
, независимых в совокупности, равна разно-
n12
сти единицы и произведения вероятностей противоположных
событий
,,...,
PA AAPA PA PA
12 12
.
n12
1++…+
=−
⋅
⋅
.
AA A
Пример 3. В ящике 4 белых и 6 черных шаров. После перемешивания наудачу извлекаются два шара. Какова вероятность
того, что оба извлеченных шара – белые?
Решение
A – событие, заключающееся в том, что 1-й извлеченный шар
белый.
В – событие, заключающееся в том, что 2-й извлеченный шар
белый.
Тогда АВ – событие, заключающееся в том, что оба извлеченные шара белые:
PABPAP B
()=() ()
A
410392
=⋅=
15
.
Два события называются совместными, если появление одного из них не исключает появление другого в одном и том же
испытании.
- 10 -
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]