Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Специальные разделы математики. Учебное пособие (курс лекций)
.pdf
Лекция 4
Xt
()
4.ЭЛЕМЕНТЫТЕОРИИСЛУЧАЙНЫХПРОЦЕССОВ
План
4.1. Основные понятия теории случайных процессов.
4.2. Классификация случайных процессов.
4.3. Законы распределения случайных процессов.
4.4. Основные характеристики случайных функций.
4.5. Корреляционная функция случайного процесса.
4.1. Основныепонятия
теориислучайныхпроцессов
Случайной функцией называется функция неслучайного аргумента (или аргументов), значение которой при каждом фиксированном значении аргумента является случайной величиной.
Обозначение: X(t), T(x, y), …
Случайным (стохастическим) процессом называется случайная функция, аргументом которой является время t. Обозначение: X(t), Y(t), …
Случайная величина – это величина, которая в результате
опыта принимает одно из возможных значений, заранее неизвестных.
Случайная функция – это функция, значение которой при каждом значении аргумента является случайной величиной.
Случайный процесс – случайная функция времени.
Случайная величина X(t0), в которую обращается случайный
процесс X(t) при фиксированном значении t = t
чением случайного процесса в момент t
.
0
Замечание: В дальнейшем, говоря о сечении случайного процесса, мы не всегда будем отмечать нулевым индексом значения
аргумента, и будем говорить: если t фиксировано, то речь идет о
случайной величине X(t) , а если t переменно, то X(t) – случайный процесс.
Так как каждое значение
случайного процесса формально зависит от элементарного события (исхода опыта) ω, то случайный процесс можно записать как функцию двух переменных:
, называется се-
0
- 61 -
СПЕЦИАЛЬНЫЕ РАЗДЕЛЫ МАТЕМАТИКИ
()=()
ϕω
,,
ω
∈Ω
tT∈
∈
()
U
t
()
()
Ut
()
xt
()
in
tt=
ωω
=
где
Xt t
,
Xt S()
,
.
�
(4.1)
Реализацией (траекторией) случайного процесса (4.1) назы-
xt
вается неслучайная функция
, в которую превращается слу-
чайный процесс в результате испытания (при фиксированном ω).
Примерыреализаций
τ
, полу-
пи-
.
Записывая с помощью какого-то прибора напряжение
тания ЭВМ в зависимости от времени
ut
чим кривую – реализацию
Рис. 4.1. Реализация случайного процесса
На рисунке 4.1 прямая
случайного процесса
u
– номинальное напряжение пита-
0
на участке
0,
ния. Вообще, любая запись прибора-самописца представляет
собой реализацию того или иного случайного процесса.
Если проведен не один опыт, а несколько, в результате каждо-
го из которых наблюдается некоторая реализация
∈1,
ного процесса, где
– номер опыта, то получим последова-
тельность различных реализаций случайного процесса x
(t),… xn(t), которая представляет собой семейство реализаций
x
2
i
случай-
(t),
1
(семейство кривых).
Итак, случайный процесс (4.1) совмещает в себе черты слу-
чайной величины и функции:
– при фиксированном
получается – случайная вели-
0
чина, называемая сечением случайного процесса;
– при фиксированном
: – получаем функцию, назы-
0
ваемую реализацией случайного процесса.
- 62 -
t
()
,,...,
Xt
()
(),(),..., (),...
Xt
()
Xt
()
Лекция 4
4.2.Классификацияслучайныхпроцессов
Случайный процесс, протекающий в любой физической системе S, представляет собой случайные переходы системы из
одного состояния в другое. В зависимости от множества этих
состояний, от множества Т значений аргумента t все случайные
процессы делят на классы:
1. По характеру изменения времени
ные процессы с непрерывным и дискретным временем.
Xt
Случайный процесс
называется процессом с дискретным временем, если система, в которой он протекает, может менять свои состояния только в моменты времени
которых конечно или счетно. В этом случае множество Т является дискретным (конечным или счетным).
Примеры процессов с дискретным временем:
а) процесс работы ЭВМ, которая может менять свои состо-
яния в моменты времени t
, t2, …, определяемые тактом
1
работы машины;
б) процесс работы технического устройства, которое осма-
тривается в моменты времени
результате осмотра из одной категории в другую.
Случайный процесс
с дискретным временем можно
представить в виде последовательности случайных величин
Xt Xt Xt
12
которые представляют собой сечения слу-
n
чайного процесса в моменты времени
вательность обычно записывают в виде
для простоты дискретным временем сам индекс
Случайный процесс
называется процессом с непрерыв-
ным временем, если переходы системы из состояния в состояние могут происходить в любой момент времени t наблюдаемого периода.
Примеры процессов с непрерывным временем:
а)
– число отказов технического устройства, от начала
работы до момента времени t.
б) Броуновское движение частицы в поле зрения микроскопа.
различают случай-
tt
12
tt12,,...,
tt t
,,...,
и переводится в
. Такую последо-
n12
XX X
,,..., ,...
n12
n=123,,,...
число
, считая
- 63 -
СПЕЦИАЛЬНЫЕ РАЗДЕЛЫ МАТЕМАТИКИ
()
Xt
()
Xt
()
Xt
()
Xt
()
12
() ()
()
2. По характеру состояний различают процессы с непре-
рывными и дискретными состояниями.
Xt
Случайный процесс
ными состояниями (с дискретным множеством значений), если
в любой момент времени t множество его состояний (значений)
S конечно или счетно, т. е. его сечение в любой момент времени
есть дискретная случайная величина.
Пример процесса с дискретными состояниями:
узлов технического устройства, отказавших до момента времени t.
Случайный процесс
ными состояниями (с непрерывным множеством значений),
если в любой момент времени t множество его состояний (значе-
ний) L несчетно, т. е. его сечение в любой момент времени есть
непрерывная случайная величина.
Для различных типов случайных процессов разработаны различные методы их изучения и описания, с некоторыми из них
мы познакомимся в дальнейшем.
Кроме рассмотренной выше, существует классификация случайных процессов по характеру связи между сечениями.
3. Процессы с независимыми сечениями. Случайный процесс
если любое конечное число его сечений есть взаимно независимые случайные величины.
Примерами процессов с независимыми сечениями являются:
• число писем, вынимаемых из почтового ящика на по-
• шум в канале связи, рассматриваемый в фиксированные
4. Нормальные или гауссовские процессы. Случайный
процесс
все конечномерные законы его распределения нормальные.
Все сечения нормального случайного процесса являются од-
номерными нормально распределенными случайными величинами, и любая пара сечений
мерному нормальному закону.
называется процессом с независимыми сечениями,
чтамте при k-й выемке;
моменты времени, достаточно удаленные друг от друга.
называется нормальным (или гауссовским), если
называется процессом с дискрет-
– число
называется процессом с непрерыв-
Xt Xt
,
распределена по дву-
- 64 -
Xt
()
<< <
()
kk
()−() ()−()…()−()
t
()
=<
()
�
x
Xt
()
()=()
()
x
Лекция 4
Примерами нормальных или гауссовских процессов являются:
• флюктуационная помеха, поступающая на вход радиоприемного устройства.
• дробовой и тепловой шум.
5. Процессы с независимыми приращениями. Случайный
процесс
ниями, если для любых точек
промежутка случайные величины
называется процессом с независимыми прираще-
tt t
Xt Xt Xt Xt Xt Xt
1021 1
,,,���
Xt
...
рассматриваемого
k01
,
0
−
взаимно независимы.
Примерами процессов с независимыми приращениями являются:
• число заявок, поступающих на систему массового обслуживания за промежуток времени (0;
).
• число целей перед огневой позицией.
4.3.Законыраспределенияслучайныхпроцессов
Мы знаем, что полной исчерпывающей характеристикой
случайной величины является её закон распределения. Для дискретной случайной величины он может быть задан рядом распределения, для непрерывной случайной величины – плотностью распределения.
Универсальной характеристикой любой случайной величины
является её функция распределения
ятность того, что случайная величина
шее заданного
.
Fx PX x
X
примет значение, мень-
В общем случае случайные процессы задаются и изучаются с
помощью функции распределения.
Одномерной функцией распределения (одномерным законом
распределения) случайного процесса
называется функция
распределения его сечения в любой момент времени t:
, т. е. веро-
FxtPXt x
– любое действительное число.
где
,
1
Функция (4.2) зависит от двух аргументов: от значения t, для
которого берется сечение, и от значения x, меньше которого
должна быть случайная величина X(t).
- 65 -
<
, (4.2)
СПЕЦИАЛЬНЫЕ РАЗДЕЛЫ МАТЕМАТИКИ
()
()
()
Возникает вопрос:
Является ли функция F
теристикой случайного процесса
(x, y) полной, исчерпывающей харак-
1
Xt
? Очевидно, что нет. Эта
функция характеризует только свойства одного, отдельно взято-
Xt
го сечения случайного процесса
, но не дает понятия о совместном распределении двух (и более) сечений случайного
процесса.
Можно представить себе два случайных процесса с одинаковым распределением в каждом сечении, но совершенно различных по своей структуре. Первый представлен совокупностью
реализаций на рисунке 4.2, второй – на рисунке 4.3.
Первый процесс имеет плавный характер, второй – более резкий. Для первого случайного процесса характерна более тесная
зависимость между сечениями случайного процесса, для второго случайного процесса – эта зависимость затухает довольно
быстро с увеличением расстояния между сечениями.
Рис. 4.2 Рис. 4.3
Таким образом, одномерный закон распределения (2) не может служить полной исчерпывающей характеристикой случай-
Xt
ного процесса
. Очевидно, что более полной (но все ещё не
исчерпывающей) характеристикой будет двумерный закон распределения.
- 66 -
Xt
()
tx
,)
()
()<()
mt
()
()
()
()
()
()
Xt
()
()
ft
()
tf
(()) ().=
⋅=⋅
xy
±=±
Лекция 4
Двумерной функцией распределения (двумерным законом
распределения) случайного процесса
называется функция
распределения двух любых сечений случайного процесса, взя-
t
тых соответственно для моментов времени
FxxttPXt xX
где
,,,(
212121122
x
x
,
– любые действительные числа.
1
2
=
t
и
:
1
2
<
, (4.3)
Эта функция уже не двух, а четырёх аргументов. Переходя к
трёхмерным, четырёхмерным и т. д. распределениям, будем получать всё более полное описание случайных процессов. Теоретически можно неограниченно увеличивать число сечений и получать
всё более полную характеристику случайного процесса. Однако
оперировать со столь громоздкими характеристиками, зависящими от многих аргументов, крайне неудобно, поэтому в инженерных приложениях обычно ограничиваются одномерным, иногда
двумерным, законами распределения случайного процесса.
Замечание: Существуют случайные процессы, для которых
двумерный закон распределения является исчерпывающей характеристикой. Это марковские процессы (или «процессы без последействия») и нормальные (или гауссовские) случайные процессы.
4.4.Основныехарактеристикислучайныхфункций
Математическим ожиданием случайного процесса X(t) называется неслучайная функция
рованном значении t равна математическому ожиданию соответствующего сечения процесса:
Краткое обозначение:
Свойства математического ожидания случайного процесса:
Пусть
ная функция.
mt MXt
x
at
Yt
,
– случайные процессы,
Mf
MftXtftmt
(()()) () ().
MXtYtmtmt
(()()) () ().
, которая при каждом фикси-
x
=
или
.
(4.4)
mt
.
t
x
- 67 -
– неслучай-
СПЕЦИАЛЬНЫЕ РАЗДЕЛЫ МАТЕМАТИКИ
()
()
mt
()
mt
()=()−()
xt
0
()
0
()
Xt
()
mt
()
).
()
Dt
()
t
xx
()
()
Dt
()
Xt
()
ft
()
xx
()
tD
(()()) ()±=
σ
xx
tD
()
Центрированным случайным процессом
разность между случайным процессом
ским ожиданием
Реализации
i
:
x
Xt Xt
0
x
центрированного случайного процесса
Xt
Xt
называется
и его математиче-
.
Xt
представляют собой отклонения реализаций случайного процесса
от его математического ожидания
. Эти откло-
x
нения имеют как положительные, так и отрицательные значения, а в среднем равны нулю, т. е.
0
MXtMXt mt
(()) (()) ()
0=−=
x
Дисперсияисреднееквадратическоеотклонение
случайногопроцесса
Для характеристики отклонения реализаций процесса от мате-
матического ожидания вводится дисперсия случайного процесса.
Xt
Дисперсией случайного процесса
ная функция
равна дисперсии соответствующего сечения случайного
нии
, которая при каждом фиксированном значе-
x
процесса:
Dt DXtMXt mt MX t
=
()
=
()
()−()
Вероятностный смысл: дисперсия
называется неслучай-
2
=
характеризует раз-
x
0
()
2
.
брос (рассеяние) возможных значений случайного процесса относительно его математического ожидания.
Свойства дисперсии случайного процесса:
Пусть
– случайный процесс,
– неслучайная функция.
Dft(())=0
DftXtftDXt
(()()) ()
⋅=
DXtf
.
2
x
Наряду с дисперсией случайного процесса рассматривается
так же среднее квадратичное отклонение случайного процесса,
определяемое равенством:
=
()
t
- 68 -
t
.
.
Dt
()
()
Xt
()
Xt
()
α
()
α
==
Xt
()
Xt
()
()
()
Dt
()
()
()
Xt
()
(, )
()
()
Лекция 4
Функция имеет тот же вероятностный смысл, что и диспер-
σ
сия
, но размерность функции
x
случайного процесса
.
t
равна размерности
х
Введенные нами числовые характеристики случайного процесса: математическое ожидание и дисперсия являются частным случаем более общих характеристик случайного процесса,
а именно: начальных и центральных моментов.
Начальным моментом k-ого порядка случайного процесса
называется математическое ожидание k-ой степени соот-
ветствующего сечения случайного процесса:
()
x
k
.
Очевидно, что
tMXt
=
()
k
() (()) ().tMXt mt
1
1
Центральным моментом k-ого порядка случайного процесса
называется математическое ожидание k-ой степени соответ-
ствующего сечения центрированного случайного процесса
k
β
tMXt MXtmt
=
()
k
0
()
=
()−()
k
.
x
0
Очевидно, что
2
β
tMXt
=
()
2
0
()
=
.
x
:
Рассмотренные числовые характеристики случайного про-
Xt
цесса
являются весьма важными, но отнюдь не исчерпывающими, так как определяются только одномерным законом распределения.
Для характеристики связи между двумя различными сечениями случайного процесса вводится понятие корреляционной
функции.
4.5.Корреляционнаяфункцияслучайногопроцесса
Корреляционной (автокорреляционной) функцией случайного процесса
двух аргументов
ных значений аргументов
называется неслучайная функция
t
t
и
, которая при каждой паре фиксирован-
1
2
t
и
1
ту соответствующих сечений
t
равна корреляционному момен-
2
Xt
Xt
и
1
данного процесса:
2
- 69 -
Ktt
x
12
СПЕЦИАЛЬНЫЕ РАЗДЕЛЫ МАТЕМАТИКИ
22
,]
()=()−()
)
()−()
()
Xt0()
Xt
()
mt
()
xx
12
()
= =
tD
xx
()=()
xx
21
,,
()=()
Yt
()
=+()()
yx
12
,,
()=()
12
()≤()⋅()=()⋅()
σσ
Так как
KttMXt mt Xt mt
x 12 11
=
–
, то эту формулу можно предста-
x
.
вить в виде
0
⋅
0
=
()
2
()⋅()
()
12
−
⋅
()
.
)
KttMXt Xt MXtXtmtmt
,
()=()
x
12 1
Корреляционные функции играют важную роль в теории оптимального приема сигналов и лежат в основе их корреляционного анализа.
Корреляционная функция является важной характеристикой
сигнала, она описывает в среднем на множестве реализаций взаи-
t
мосвязь между значениями сигнала в моменты времени
t
и
.
1
2
Свойствакорреляционнойфункции
Свойство 1. Корреляционная функция при одинаковых значениях аргументов
ttt
12
равна дисперсии случайного про-
цесса:
Kt
12
,
t
.
Это свойство позволяет считать математическое ожидание и
корреляционную функцию главными характеристиками случайного процесса: необходимость в дисперсии отпадает.
Свойство 2. Корреляционная функция симметрична относительно своих аргументов:
KttKtt
12
.
Это свойство непосредственно вытекает из определения корреляционной функции.
Свойство 3. Если к случайному процессу прибавить неслучайную функцию, то корреляционная функция не изменится,
т. е. если
Xt ft
, то
KttKtt
12
.
Свойство 4. Модуль корреляционной функции не превосходит произведения средних квадратических отклонений:
KttDtDttt
,
xxxxx12 12
.
- 70 -
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]