Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Специальные разделы математики. Учебное пособие (курс лекций)
.pdf
ba
23
2
123612
33
28
18
,
иx
00
−≥
00
10
Лекция 1
Основные характеристики равномерно распределенной слу-
чайной величины Х:
MX
()
ab
+
=
DX
;
()
212
=
2
ab
−
()
;
σ
X
=
()
−
.
Пример 10. Случайная величина X равномерно распределена
в интервале (2; 8). Записать функцию распределения и основные
характеристики случайной величины X.
Решение
+
=
()
28
=
5
;
()
=
MX DX X
2
−
28
()
==
;
σ
()
.
=
fx
()
приx
02
1
=
,
6
08
≤
приx
<≤
28
прих
>
,
Fx
()
приx
0 ,
≤≤
2
x
−
2
=
пр
6
.
прих
,
<≤
>
Дифференциальная функция распределения показательного
закона и ее график (рис. 3) имеют вид
,
прих
fx
=
()
−
λ
λ
eпри х
Рис. 1.3. Дифференциальная функция распределения
показательного закона
<
x
.
0
≥
Интегральная функция распределения показательного закона
и ее график (рис. 1.4):
,
Fx
()
=
прих
−
λ
eпри х
<
x
.
- 21 -
СПЕЦИАЛЬНЫЕ РАЗДЕЛЫ МАТЕМАТИКИ
;;
xx
−−
00
55
.
ee
11
51
xa
==
Рис. 1.4. Интегральная функция распределения
показательного закона
Основные характеристики показательно распределенной
случайной величины Х:
MX DX X
111
()=()=()
λ
σ
2
λ
.
=
λ
Пример 11. Написать плотность и функцию распределения
показательного закона, если параметр λ = 5. Найти вероятность
попадания величины Х в интервал (l; 2).
00
,
fx
=
()
PX FF ee
122111
<<
()
прих
50
eпри х
=
<
,
()−()
≥
=−
MX X
()=()
Fx
()
σ
=
()
52 51
−−**
=
,
1
eпри
−
−−
()
1
.
5
Дифференциальная функция распределения нормального закона распределения и ее график (рис. 1.5) имеют вид
fx e
()
1
σπ σ
2
−
2
σ
1
2
−
ϕ
σ
2
xa
()
−
Функцию φ(х) см. в Приложении 1.
- 22 -
прих
<
х ≥
=−
.
0
.
0
xa
XX
()=()=()
;;
Лекция 1
Рис. 1.5. Дифференциальная функция распределения
нормального закона
Интегральная функция распределения нормального закона
распределения и ее график (рис. 1.6) имеют вид:
=+
()
1
2
Fx Ф
−
.
σ
Функцию Ф(х) см. в Приложении 2.
Рис. 1.6. Интегральная функция распределения
Основные характеристики нормально распределенной случайной величины Х:
даемое среднее значение, оно наиболее вероятно. При Х = а кри-
вая Гаусса имеет максимум; σ – характеристика рассеивания.
При Х = а ± σ кривая Гаусса имеет перегибы, которыми определяется степень «расплывчатости» кривой, площадь под которой
равна единице.
нормального закона
MX aD
- 23 -
2
σσ σ
=
где а – ожи-
,
СПЕЦИАЛЬНЫЕ РАЗДЕЛЫ МАТЕМАТИКИ
аФ
()
()
,,
()
()
,,,;
()
()
,,
Вероятность попадания нормально распределенной случай-
ной величины в заданный промежуток (α; β)
а
β
−
PX Ф
()
αβ
<< =
σ
Ф
−
а
α
−
.
σ
Вероятность заданного отклонения у нормально распределенной случайной величины X от среднего значения а вычисляется по формуле
δ
Рх
−
<=
()
δ
2
.
σ
В частности, имеем:
• при
• при
• при
=−
Рх аФ2120341345 068269
δσ δ
=−
�Рх аФ
δσ δ
=−
<=
<=
<=
=⋅ =,
=⋅ =2222204772509545
=⋅ =33232049865 0 9973
,�Рх аФ
.
δσ δ
Отсюда вытекает правило трех сигм (3σ):
Почти достоверно (с вероятностью 0,997 ≈ 1), что значения
нормально распределенной случайной величины Х отклоняются
от среднего значения а не более, чем на 3σ, т. е. Х ∈ (а – 3σ, а + 3σ)
с вероятностью 99,7 %.
Выводы
В лекции сделан обзор основных понятий, определений, теорем и формул классической теории вероятностей, видов случайных величин, соответствующих характеристик и их свойств,
а также основных законов распределения случайных величин.
;
Вопросы для самопроверки
1. Основные правила комбинаторики. Основные формулы
комбинаторики.
2. Классическое, статистическое и геометрическое определение вероятности.
3. Несовместные события и теорема сложения вероятностей.
- 24 -
Лекция 1
4. Полная группа событий и следствие теоремы сложения
вероятностей.
5. Независимые и зависимые события. Теорема умножения
вероятностей.
6. Следствия теоремы умножения вероятностей.
7. Формула полной вероятности. Формула Байеса.
8. Частная и общая теорема о повторении опытов.
9. Локальная и интегральная теоремы Лапласа.
10. Дискретные и непрерывные случайные величины.
11. Функция распределения и ее свойства.
12. Плотность распределения и ее свойства.
13. Математическое ожидание дискретной и непрерывной
случайных величин и его свойства.
14. Дисперсия и среднее квадратическое отклонение случайной величины и их свойства.
15. Биномиальный закон распределения и его характеристики.
16. Закон распределения Пуассона и его характеристики.
17. Равномерный закон распределения и его характеристики.
18. Показательный закон распределения и его характеристики.
19. Нормальный закон распределения и его характеристики.
20. Правило трех сигм.
Литература: 7, 20, 21.
- 25 -
СПЕЦИАЛЬНЫЕ РАЗДЕЛЫ МАТЕМАТИКИ
2. ОСНОВНЫЕПОЛОЖЕНИЯ
МАТЕМАТИЧЕСКОЙСТАТИСТИКИ
План
2.1. Генеральная совокупность, выборка, вариационный ряд.
2.2. Вычисление числовых характеристик выборки.
2.3. Точечная и интервальная оценки числовых характеристик генеральной совокупности.
2.4. Понятие о критериях согласия.
2.5. Решение типового примера.
2.1.Генеральнаясовокупность,выборка,
вариационныйряд
Математическая статистика является инструментом изучения
случайных величин (или событий) по результатам наблюдений,
проводимых при одинаковых условиях. Основная задача – оценить характеристики генеральной совокупности по выборке.
Определение 1. Совокупность результатов всех мыслимых
наблюдений, проводимых в неизменных условиях над одной из
случайных величин, связанных с данным видом объектов, называется генеральной совокупностью.
Определение 2. Часть отобранных объектов генеральной совокупности (результаты наблюдений над ограниченным числом
объектов из этой совокупности) называется выборочной сово-
купностью или выборкой.
Число n объектов выборки называется ее объемом. Выборка
должна быть представительной, т. е. объекты выборки достаточно хорошо должны представлять генеральную совокупность,
что обеспечивается случайностью выборки и ее объемом.
Определение 3. Вариационным рядом называется ранжиро-
ванный в порядке возрастания или убывания ряд вариантов с
соответствующими им частотами или частостями (весами).
Если изучаемая случайная величина является непрерывной,
то ранжирование не производится, и группировка наблюдаемых
значений часто позволяет выделить характерные черты варьиро-
- 26 -
Лекция 2
вания ее значений. В этом случае следует построить интервальный ряд распределения. Для построения весь интервал варьирования наблюдаемых значений случайной величины разбивают
на ряд частичных интервалов и подсчитывают частоту попадания значений величины в каждый частичных интервал.
Определение 4. Интервальным вариационным рядом назы-
вается упорядоченная совокупность интервалов варьирования
значений случайной величины с соответствующими частотами
или частостями попаданий в каждый из интервалов значений
случайной величины.
Рассмотрим пример. Дана выборка:
Вариант 0
65 71 67 73 68 68 72 68 67 70 78 74 79 65 72
65 71 70 69 69 76 71 63 77 75 70 74 65 71 68
74 69 69 66 71 69 73 74 80 69 73 76 69 69 67
67 74 68 74 60 70 66 70 68 64 75 78 71 70 69
73 75 74 72 80 72 69 69 71 70 73 65 66 67 69
71 70 72 76 72 73 64 74 71 76 68 69 75 76 73
74 78 66 75 72 69 68 63 70 70 78 76 73 73 67
71 66 66 72 69 71 71 68 72 69 73 73 66 72 73
70 69 74 72 69 74 70 74 72 76 71 66 62 69 74
76 74 69 64 75 71 76 68 68 78 71 71 68 67 74
68 81 72 68 72 71 71 71 69 61 74 66 70 72 65
67 73 78 73 71 75 73 71 72 68 67 69 69 77 63
71 74 67 68 69 74 69 67 74 66 74 74 69 75 70
73 63 77 74 75
N = 200. Начало первого интервала: 59. Длина интервала: 2.
Для построения интервального ряда необходимо определить
величину частичных интервалов, а затем сгруппировать результаты наблюдений. Длину частичного интервала h следует выбрать так, чтобы построенный ряд не был громоздким и в то
же время позволял выявить характерные черты изменения значений случайной величины, т. е. характерные черты изучаемого
явления. Обработку данных проводим в следующем порядке:
- 27 -
СПЕЦИАЛЬНЫЕ РАЗДЕЛЫ МАТЕМАТИКИ
=
=−=−=
;81 60 21
,.
=−
=− ⋅=
25
,.
xx
бк
−≤ <
ii
()
– просматривая приведенные выше результаты наблюде-
ний, находим, что наибольшим значением случайной величины является
x
наиб .
,=81
а наименьшим
x
наим.
60
;
– найдем размах варьирования
Rx x
наиб наим
..
– выбираем число интервалов V. Обычно берут от 7 до 12.
Положим предварительно V = 8, тогда длина частичного
интервала
R
h
21
== ≈
V
8
235
Удобно взять h = 2.
За начало первого интервала рекомендуется брать величину
xx h
начнаим
05,
,
нач
Конец последнего интервала (x
условию
xh
коннаи
он
= 83.
60 05
) должно удовлетворять
кон
9
x
Промежуточные интервалы получают, прибавляя к концу
предыдущего интервала длину частичного интервала h;
– просматривая результаты наблюдений, определяем, сколь-
ко значений случайных величин попало в каждый конкретный интервал. При этом в интервал включают значения
случайной величины, большие или равные нижней границе и меньшие верхней границы. Это можно выполнить
следующим образом. Чтобы запись меток получилась
более короткой, удобно использовать метод «конвертов»,
подсчет количества случайных величин в каждом интервале этим методом упрощается.
Для графического изображения вариационных рядов строят
полигон, гистограмму, кумулянту, используя данные по частоте
или частости.
Полигон служит для изображения дискретного вариационного ряда и является ломаной, в которой концы отрезков имеют
координаты
xn
,
.
- 28 -
ii
()
Fx()
mn
Fx
()
Fx
()
xx
12
23
,,
,,
,,
nn
,,
,.
Лекция 2
Гистограмма служит только для изображения интервальных
рядов и является ступенчатой фигурой из прямоугольников с основаниями, равными интервалам h, и высотами, равными частотам (частостям)
nw
интервалов.
Для вариационных рядов вводится также понятие накопленной частоты, которая показывает, сколько наблюдалось вариантов со значением признака, меньшим x. Отношение накопленной частоты к общему числу наблюдений называется
накопленной частостью.
Кумулянта – кривая накопленных частот (частостей). Для
интервального вариационного ряда ломаная начинается с точки,
абсцисса которой равна началу первого интервала, а ордината –
накопленной частоте (частости), равной нулю. Другие точки
этой ломаной соответствуют концам интервалов.
Каждая генеральная совокупность имеет функцию распределения F(x), которая обычно неизвестна. По выборке можно найти эмпирическую функцию распределения
, где на основании закона больших чисел Бернулли вместо вероятностей
берутся относительные частоты (частости)
хождения эмпирической функции распределения
гичен процессу нахождения функции распределения
/
. Процесс на-
i
анало-
по
формуле
m
i
Fx
()
=∑�
xx
i
(2.1)
,
n
mm
Fx
=
()
m
∑
приx x
0
�� �
m
1
приx xx
�� �
n
+
12
приx
� ��
n
…
−
1
m
i
приx xx
��
n
=
i
1
1
приx x
�� �
- 29 -
≤
<<
………
�
−
≥
1
<≤
<≤
1
n
СПЕЦИАЛЬНЫЕ РАЗДЕЛЫ МАТЕМАТИКИ
Fx
()
()
F
Fx
()
()
()
xx
> .
ni
ii
В качестве представителя интервала берется его середина или
правый конец интервала. Объединяя точки, ординатами которых
являются накопленные частости, получаем ломаную линию, являющуюся довольно хорошим приближением графика функции
распределения непрерывной случайной величины.
Эмпирическая функция
обладает всеми свойствами
Fx
1. Значение эмпирической функции принадлежит отрезку
то
1
при
< 1;
Fx
, если xk – наибольший вариант, то
= 0
k
[0, 1], 0 <
2.
– неубывающая функция;
3. Если x < x
Fx
=1
2.2. Вычислениечисловыххарактеристик
выборки
Построив вариационный ряд и изобразив его графически, мы
получим первоначальное представление о закономерностях, имеющих место при испытаниях. Для дальнейшего изучения значений случайной величины используют числовые характеристики
вариационных рядов, которые называются статистическими характеристиками или оценками. С этой целью выделяют некоторые
постоянные, которые представляют вариационный ряд в целом и
отображают присущие для совокупности закономерности. Это
среднее арифметическое, выборочная дисперсия, среднеквадратичное отклонение, мода, медиана, эксцесс, коэффициент асимметрии.
Выборочное среднее определяется по формулам:
n
xx x
++…+
12 1
X
=
=
n
где n – число испытаний, x
– результаты испытаний, или чаще
i
по формуле, где получают средневзвешенное арифметическое:
xm xm xm
=
mm m
++…+
12
++…+
11 22
X
vvvi
где xi – среднее значение i-го интервала; mi – соответствующая
интервальная частота; ν – число интервалов.
∑
=
x
i
=
,�
(2.2)
n
v
xm
∑
=
1
n
,
(2.3)
:
- 30 -
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]