Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Специальные разделы математики. Учебное пособие (курс лекций)
.pdf
Лекция 9
Эллиптические кривые над конечными полями имеют конечные группы точек. Порядок этой группы будем называть порядком эллиптической кривой. Напомним, что порядком точки
P эллиптической кривой называется наименьшее число k, такое
что kP = O. По теореме Лагранжа порядок точки делит порядок
эллиптической кривой.
При определении порядка кривой ее можно заменить на
удобную изоморфную ей кривую, так как у изоморфных кривых
порядки очевидно одинаковы.
9.5.Выборэллиптическойкривой
дляформированияподписи
Заметим, что в эллиптической криптографии используются
«кривые над конечным полем». Это означает, что кривые имеют
конечное число точек.
Рис. 9.1. Эллиптическая кривая
Количество точек подобной кривой называется порядком
кривой. Чтобы использовать эллиптическую кривую в крипто-
графии, необходимо знать ее порядок. Это обусловливается тем,
что от порядка кривой зависит криптостойкость системы, именно в этом и заключается вся сложность.
- 131 -
СПЕЦИАЛЬНЫЕ РАЗДЕЛЫ МАТЕМАТИКИ
Oq
((
Процесс выбора кривой можно записать следующим образом:
• выбор параметров a и b, описывающих уравнение кривой
23
yxax b
=++
;
• подсчет точек выбранной кривой;
• проверка, отвечает ли выбранная кривая с заданным ко-
личеством точек ряду условий.
Проблема состоит в том, что вычисление порядка эллиптиче-
ской кривой является весьма нетривиальной задачей.
Наиболее распространенный метод вычисления количества
точек – алгоритм Шуфа – имеет достаточно большую вычисли-
тельную сложность
8
(log )
. Этот алгоритм использует очень
сложный математический аппарат, весьма сложен для понимания и поэтому нами подробно не рассматривается.
Однако в некоторых криптографических приложениях доста-
точно вычислять только порядки элементов в группе
EGFq
ab,
))
Есть еще один способ вычисления количества точек – ме-
тод комплексного умножения, состоящий в представлении чи-
сел суммой двух квадратов. Этот метод позволяет гораздо более
эффективно находить кривые с заданным количеством точек.
Однако в отличие от алгоритма Шуфа, который является универсальным, метод комплексного умножения работает только
при выполнении определенных условий. Этот метод тоже не так
прост, как может показаться сначала.
Стандарт NIST, очевидно, в целях облегчения жизни разработчикам, составил список эллиптических кривых с уже известным количеством точек, которые рекомендовано использовать в
схемах электронной цифровой подписи (ЭЦП). Выберем одну
из этих кривых.
Для описания кривой в стандарте NIST используется набор
из 6 параметров D = (p, a, b, G, n, h), где р – простое число, модуль эллиптической кривой; a, b – задают уравнение эллиптической кривой
23
yxax b
=++
23
yxax b
; G
=++
– точка эллиптической кривой большого порядка. Это означает, что если умножать
точку на числа меньшие, чем порядок точки, каждый раз будут
23
yxax b
получаться совершенно различные точки; n
23
yxax b
рядок точки G; h
=++
– параметр, так называемый ко-
=++
– по-
.
- 132 -
Лекция 9
фактор, который определяется отношением общего числа точек
на эллиптической кривой к порядку точки G. Данное число
должно быть как можно меньше.
Говоря о выборе параметров, используем первую рекомендуемую NIST кривую, в которой значение описанных выше параметров соответственно равно:
P = 6277101735386680763835789423207666416083908700390324961279;
a = –3;
b = 2455155546008943817740293915197451784769108058161191238065;
xG = 602046282375688656758213480587526111916698976636884684818
(x – координата точки G);
yG = 174050332293622031404857552280219410364023488927386650641
(y – координата точки G);
N = 6277101735386680763835789423176059013767194773182842284081;
h = 1.
О параметре p следует рассказать поподробнее. Данное число относится к обобщенным числам Мерсенна, это означает, что
его можно представить как сумму различных степеней двойки.
Конкретно в нашем случае, число p может быть записано в виде
p = 2192– 264 – 1.
Все эллиптические кривые над полем простого числа, рекомендованные NIST, можно записать подобным образом. Использование подобных чисел позволяет ускорить операцию
умножения по модулю большого числа. Суть метода сводится
к представлению результата умножения в виде машинных слов
длиной 32 бита, комбинирование которых дает в результате искомое произведение по модулю большого числа.
Еще один интересный момент связан с координатами точек.
Зачастую, в разного рода спецификациях образующая точка
G эллиптической кривой задается в сжатой форме. Например,
в нашем случае точку G можно задать следующим образом:
G = 0x 03 188da80eb03090f67cbf20eb43a18800f4ff0afd82ff1012
Первый байт хранит в себе данные о четности y-координаты.
Он может быть равен 2 (это означает что y-координата четная)
или 3 (соответственно, нечетная). Остальные байты хранят x-координату. Располагая этими данными, мы можем восстановить
y-координату следующим образом.
- 133 -
СПЕЦИАЛЬНЫЕ РАЗДЕЛЫ МАТЕМАТИКИ
bp
bp
Мы знаем, что точка G принадлежит эллиптической кривой.
Соответственно для нее выполняется равенство
23
yxax
=++ ��mod
,
поэтому мы можем вычислить y как
yxax
=++3��mod
.
Так как результатом вычисления квадратного корня по модулю p являются два числа y и p – y, нужно выбирать то число,
четность которого совпадает с четностью первого байта сжатой
записи координат G.
Для формирования подписи по алгоритму ЭЦП необходимо написать порядок (класс) работы с точками эллиптической
кривой по математическим законам и с помощью операций на
эллиптических кривых. Далее, для реализации ГОСТ 34.10 нам
понадобится всего три операции:
• cложение двух разных точек;
• удвоение точки;
• умножение точки на число.
Реализацию класса ECPoint, позволяющего выполнять эти
действия, мы здесь не приводим.
Мы рассмотрели случай, когда криптосистема построена на
эллиптической кривой над полем вычетов по модулю большого простого числа. Однако не следует забывать, что понятие «эллиптическая криптография» включает в себя гораздо больше, чем
этот отдельно взятый случай. И при реализации криптосистем на
эллиптических кривых над полями других типов необходимо учитывать, что математические операции на этих кривых могут в значительной степени отличаться от приведенных в данном примере.
Выводы
Лекция носит обзорно-ознакомительный характер. Рассмотрены некоторые сведения из теории эллиптических кривых над
конечным полем, используемых в криптографии. Обозначены
некоторые алгоритмы, применяющиеся в практических задачах
для различных направлений работы.
- 134 -
Лекция 9
Вопросы для самопроверки
1. Что называется алгебраической кривой порядка n над полем К?
2. Что называется точками алгебраической кривой?
3. Что представляет собой прямая в конечном поле К?
4. Какая алгебраическая кривая называется гладкой?
5. Какая алгебраическая кривая называется эллиптической?
6. Что называется абелевой группой?
7. Как подсчитывается множество точек эллиптической
кривой?
8. Какую задачу решает алгоритм Шуфа?
9. К какому классу алгоритмов относится алгоритм Шуфа?
10. Какова сложность алгоритма Шуфа?
Литература: 1, 2, 4, 6, 9, 13, 15.
- 135 -
СПЕЦИАЛЬНЫЕ РАЗДЕЛЫ МАТЕМАТИКИ
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Курс лекций «Специальные разделы математики» в значительной степени является обзорным, опираясь на предположение, что со многими аспектами рассматриваемого математического материала студенты магистратуры знакомы, имея базовое
образование бакалавра или специалиста соответствующих направлений подготовки.
В начале курса лекций приводятся опорные положения теории вероятностей и математической статистики, необходимые
для понимания последующих лекций курса по специальным
разделам математики, предусмотренным стандартом нашей магистерской программы.
Далее рассматривается основы теории случайных процессов,
где приводятся основные определения, понятия, основные функциональные характеристики и свойства, общие для всех случайных процессов. Более детально в лекциях рассматриваются стационарные процессы, а также марковские случайные процессы,
цепи Маркова, переходные вероятности, уравнения Колмогорова.
Обсуждается винеровский случайный процесс, характеризующий
броуновское движение. Рассматриваются пуассоновский случайный процесс и связанные с ним потоки событий.
Заключительные лекции курса посвящены теоретико-числовым методам в криптографии. Рассматриваются алгоритмы проверки простоты натуральных чисел. Обсуждается сложность и
вероятностная оценка базовых вероятностных тестов простоты,
детерминированный полиномиальный тест простоты, факторизация целых чисел, основные идеи субэкспоненциальных алгоритмов факторизации. Рассматривается схема методов решета
числового поля и применение эллиптических кривых для проверки простоты и факторизации. В конце курса дается краткий
обзор некоторых аспектов эллиптической криптографии.
- 136 -
Литература
ЛИТЕРАТУРА
1. Василенко О. Н. Теоретико-числовые алгоритмы в криптографии. 2-е изд., доп. М.: МЦНМО, 2006. 336 с.
2. Введение в криптографию / В. В. Ященко и др.; под ред.
В. В. Ященко. М.: МЦНМО-ЧеРо, 1998. 272 с.: ил.
3. Введение в криптографию: курс лекций / В. А. Романьков. М.:
ФОРУМ, 2012. 240 с.
4. Введение в теоретико-числовые методы криптографии: учеб.
пособие для вузов / М. М. Глухов, И. А. Круглов, А. Б. Пичкур,
А. В. Черемушкин. СПб; М.; Краснодар: Лань, 2011. 394 с.: ил.; 21.
5. Вентцель Е. С., Овчаров Л. А. Теория вероятностей и ее инженерные приложения: учеб. пособие для вузов. 2-е изд., стер. М.:
Высшая школа, 2000. 480 с.: ил.
6. Гмурман В. Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике: учебное пособие для прикладного бакалавриата: для студентов вузов. 11-е изд., перераб.
и доп. М.: Юрайт, 2014. 405 c.: ил., табл.
7. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика: учебник для прикладного бакалавриата. 12-е изд. М.: Юрайт,
2016. 480 с.: ил.
8. Данилова Т. В. Теория чисел: Задачи с примерами решений. Архангельск: САФУ, 2015. 468 с.
9. Деза Е. И., Котова Л. В. Введение в криптографию. Теоретико-числовые основы защиты информации. М: Изд-во Editorial
URSS, 2018. 376 с.
10. Кацман Ю. Я. Теория вероятностей, математическая статистика
и случайные процессы: учебник. Томск: Томский политехнический университет, 2013. 131 с.
11. Кормен Т., Лейзерсон Ч., Ривест Р. Алгоритмы: Построение и
анализ / пер. с англ. под. ред. А. Шеня. М.: МЦНМО, 2001. 960 с.:
263 с ил.
12. Королев В. Ю. Теория вероятностей и математическая статистика: учебник / МГУ им. М. В. Ломоносова, факультет вычислительной математики и кибернетики. М.: Проспект, 2006. 160 с.
13. Кукина Е. Г., Романьков В. А. Введение в криптографию. Омск:
Омский государственный университет, 2013. 91 с.
14. Мухачев В. А., Хорошко В. А. Методы практической криптографии. Киев: ООО «Полиграф-Консалтинг», 2005. 215 c.
- 137 -
СПЕЦИАЛЬНЫЕ РАЗДЕЛЫ МАТЕМАТИКИ
15. Нечаев В. И. Элементы криптографии (Основы теории защиты
информации): учеб. пособие / под ред. В. А. Садовничего. М.:
Высшая школа, 1999. 109 с.: ил.
16. Письменный Д. Т. Конспект лекций по теории вероятностей,
математической статистике и случайным процессам. 4-е изд.,
испр. М.: Айрис-пресс, 2008. 288 с.
17. Просветов Г. И. Теория вероятностей и математическая статистика: задачи и решения: учебно-практическое пособие. М.:
Альфа-Пресс, 2015. 269, [1] с.: ил.
18. Рябушко А. П. Индивидуальные задания по высшей математике:
в 4 ч.: учеб. пособие. Ч. 4: Операционное исчисление. Элементы теории устойчивости. Теория вероятностей. Математическая
статистика. 2-е изд., испр. Минск: Вышэйш. шк., 2007.
19. Стюарт И. Величайшие математические задачи [Электронный
ресурс]. Альпина Паблишер. 2015. 460 с. URL: leskachat.com
20. Теория вероятностей и математическая статистика: конспекты
лекций и справочные материалы для студентов математических
и технических специальностей / сост.: А. С. Адамчук, С. Р. Амироков. Ставрополь: Изд-во СКФУ, 2013. 64 с.
21. Теория вероятностей и математическая статистика: методические указания к практическим занятиям и самостоятельной
работе для студентов специальностей 090105.65 «Комплексное обеспечение информационной безопасности», 090303.65
«Информационная безопасность автоматизированных систем», 090301.65 «Компьютерная безопасность», направлений
подготовки 230700.62 «Прикладная информатика», 090900.62
«Информационная безопасность», 231300.62 «Прикладная математика» / сост.: А. С. Адамчук, С. Р. Амироков. Ставрополь:
Изд-во СКФУ, 2014. 86 с.
22. Щербакова, Ю.В. Теория вероятностей и математическая статистика: учебное пособие. – Саратов: Научная книга, 2012. – 159 с.
23. Эконометрика: учебник / И. И. Елисеева, С. В. Курышева,
Н. М. Гордеенко и др.; под ред. И. И. Елисеевой. М.: Финансы и
статистика, 2001.
- 138 -
Приложения
ПРИЛОЖЕНИЕ1
Значенияфункции(Х)=
х 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
0,0 0,3989 3989 3989 3988 3986 3984 3982 3980 3977 3973
0,1 3970 3965 3961 3956 3951 3945 3939 3932 3925 3918
0,2 3910 3902 3894 3885 3876 3867 3857 3847 3836 3825
0,3 3814 3802 3790 3773 3765 3752 3739 3726 3712 3697
0,4 3683 3668 3653 3637 3621 3605 3589 3572 3555 3538
0,5 3521 3503 3485 3467 3448 3429 3410 3391 3372 3352
0,6 3332 3312 3292 3271 3251 3230 3209 3187 3166 3144
0,7 3123 3101 3079 3056 3034 3011 2989 2966 2943 2920
0,8 2897 2974 2850 2827 2803 2780 2756 2732 2709 2685
0,9 2661 2637 2613 2589 2565 2541 2516 2492 2468 2444
1,0 0,2420 2396 2371 2347 2323 2299 2275 2251 2227 2206
1,1 2179 2155 2131 2107 2083 2059 2036 2012 1989 1965
1,2 1942 1919 1895 1872 1849 1826 1804 1781 1758 1736
1,3 1714 1691 1669 1647 1626 1604 1582 1561 1539 1518
1,4 1497 1476 1456 1435 1415 1394 1374 1354 1334 1315
1,5 1295 1276 1257 1238 1219 1200 1182 1163 1145 1127
1,6 1109 1092 1074 1057 1040 1023 1006 0989 0973 0957
1,7 0940 0925 0909 0893 0878 0863 1848 0833 0818 0804
1,8 0790 0775 0761 0748 0734 0721 0707 0694 0681 0669
1,9 0656 0644 0632 0620 0608 0596 0584 0573 0562 0551
2,0 0,0540 0529 0519 0508 0498 0488 0478 0468 0459 0449
2,1 0440 0431 0422 0413 0404 0396 0387 0379 0371 0363
2,2 0355 0347 0339 0332 0325 0317 0310 0303 0297 0290
2,3 0283 0277 0270 0264 0258 0252 0246 0241 0235 0229
2,4 0224 0219 0213 0208 0203 0198 0194 0189 0184 0180
2,5 0,0175 0171 0167 0163 0158 0154 0151 0147 0143 0139
2,6 0136 0132 0129 0126 0122 0119 0116 0113 0110 0107
2,7 0104 0101 0099 0096 0093 0091 0088 0086 0084 0081
2,8 0079 0077 0075 0073 0071 0069 0067 0065 0063 0061
- 139 -
СПЕЦИАЛЬНЫЕ РАЗДЕЛЫ МАТЕМАТИКИ
х 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
2,9 0060 0058 0056 0055 0053 0051 0050 0048 0047 0046
3,0 0,0044 0043 0042 0040 0039 0038 0037 0036 0035 0034
3,1 0033 0032 0031 0030 0029 0028 0027 0026 0025 0025
3,2 0024 0023 0022 0022 0021 0020 0020 0019 0016 0018
3,3 0017 0017 0016 0016 0015 0015 0014 0014 0013 0013
3,4 0012 0012 0012 0011 0011 0010 0010 0010 0009 0009
3,5 0,0009 0008 0008 0008 0008 0007 0007 0007 0007 0006
3,6 0006 0006 0006 0005 0005 0005 0005 0005 0005 0004
3,7 0004 0004 0004 0004 0004 0004 0003 0003 0003 0003
3,8 0003 0003 0003 0003 0003 0002 0002 0002 0002 0002
3,9 0002 0002 0002 0002 0002 0002 0002 0002 0001 0001
- 140 -
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]