Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Специальные разделы математики. Учебное пособие (курс лекций)
.pdf
()
()+()−()
+
()
=
()+()−()
=
,,
PA
HH
()=()⋅()+()⋅()
()+()
()
Лекция 1
Теоремасложениявероятностейсовместныхсобытий
Вероятность появления хотя бы одного из двух совместных
событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления:
PA BPAPBPAB+
Пример 4. Для сигнализации об аварии установлены два
независимо работающих сигнализатора. Вероятность того, что
при аварии сработает первый сигнализатор равно 0,92, второй –
0,95. Найти вероятность того, что при аварии сработает хотя бы
один сигнализатор.
Решение
Обозначим: А – сработает 1-й сигнализатор, В – сработает 2-й
сигнализатор. По условию Р(А) = 0,92, Р(В) = 0,95, А + В – срабатывает хотя бы один сигнализатор:
PA BPAPBPAB
=
=+−092095 09,,,22095 0 996⋅=
=
PA PB PA PB
()+()−()⋅()
.
.
=
1.2.Основныеформулы
Формулаполнойвероятности
Пусть событие А может произойти в результате осуществления одного события из некоторой полной группы событий:
HH H
,,...
События этой группы обычно называют гипотезами.
Тогда
(формула полной вероятности), причем
.
n12
PA PH PAPH
11 22
PH PA
+…+
()⋅()
nHn
+
PH PH PH
ФормулаБайеса
Если событие А в результате испытания произошло, то возможно переоценить вероятность гипотез Нi, образующих полную группу, по формуле Байеса:
+…+
- 11 -
1
= .
n12
СПЕЦИАЛЬНЫЕ РАЗДЕЛЫ МАТЕМАТИКИ
PA
()⋅()
()
()=()=()
,,
PA PA
HH
12
1005 0951006094
()
=− =
()
=− =
,,,,,,
()
,.
HH H
,,..., ,
HH H
n12
,,...,
in
()
PH PA
PA
() ()
()
in= 12,,..., .
iH
PH
()
=
1
�
i
⋅
� �
iH
i
,
PH
где Р(Н
Н
шло; Р
гипотезы Н
) – вероятность гипотезы, РА(Нi) – вероятность гипотезы
i
после переоценки, при условии, что событие А уже произо-
i
(А) – условная вероятность события А при выполнении
Нi
.
i
=
()
Ai
∑
n
i
PH PA
Пример 5. В магазин для продажи поступает продукция трех
предприятий в следующих относительных долях: I – 40 %, II –
50 %, III – 10 %.
Для продукции этих предприятий брак соответственно составляет: I – 5 %, II – 6 %, III – 1 %. Найти вероятность того, что
изделие этой продукции, случайно приобретенное в магазине,
окажется доброкачественным.
Решение
Обозначим: А – случайное приобретенное изделие – доброкачественное; Н
, Н2, Н3 – приобретенное изделие изготовлено
1
соответственно на I, II, и III предприятиях. Согласно условию:
PH PH PH
04 05 01
123
PA
H
()
3
=− =
1001 099
,,.
=,, ,,
По формуле полной вероятности получаем
PA
=⋅ +⋅ +⋅ =0409505094 01 0990949,, ,, ,,
Пусть в результате испытания произошло событие А, которое
могло наступить только вместе с одним из событий
образующих полную группу событий. Требуется найти вероятность событий
уже имело место, т. е.
после испытания, когда событие А
PH
Ai
вероятностей используют формулу Байеса (формулу гипотез)
PH
=
()
Ai
PH PAPH PA PH
() ()+() ()
HH nHn
11 22
- 12 -
=,,,..., .12
iHi
n12
Для нахождения этих
,
+…+
()
()⋅()
,.
()
,.
()
Pk
()
()
()
!!
()+()
+−
()
()
()
()
Лекция 1
Пример 6. В условиях примера 5 найти вероятность того, что
купленное в магазине и оказавшееся доброкачественным изделие произведено на втором предприятии.
Решение
По формуле Байеса
PH
()
AH2
PH PA
22
=
PA
()
05094
=
0 949
,
⋅≈,,
0 495
�
ФормулаБернулли
Пусть проводится серия из п испытаний, в результате каждого
из которых событие А может произойти или не произойти. Предполагаем, что вероятность p наступления события А в каждом
испытании постоянна, т. е. не зависит ни от номера испытания,
ни от результатов предыдущих испытаний. Последовательность
испытаний, удовлетворяющих указанному условию, называется
последовательностью независимых испытаний (или схемой
Бернулли).
Таким образом, в схеме Бернулли для каждого испытания
имеется лишь два исхода:
1) событие А,
PA p
2) противоположное событие
Вероятность
того, что в серии из п испытаний в схеме
n
;
=
AP Aq p
�
==−1
Бернулли событие А наступит ровно k раз (безразлично, в какой
последовательности), выражается формулой Бернулли
=
kknk
�,
Pk Cpq
nn
−
где
!
=
knk
n
.
−
k
C
n
Вероятность того, что в п испытаниях событие наступит:
а) менее k раз; б) более k раз; в) не менее k раз; г) не более k раз,
находят соответственно по формулам:
PP Pk
a)
б)
01 1
nn n
Pk Pk Pn
nn n
+…
+
++
12 ;
+…+
;
- 13 -
СПЕЦИАЛЬНЫЕ РАЗДЕЛЫ МАТЕМАТИКИ
()
()
()
1;
()+()
()
1
2
qp
1
2
==
1
2
1
2
3312
2
16
!!
;
386165
16
knp
−1
φ
xe
2
Pk Pk Pn
в)
г)
++
nn n
PP Pk
01
nn n
+…+
+…+
.
Пример 7. Что вероятнее, выиграть у равносильного против-
ника 2 партии из 4 или 3 из 6?
Решение
Используя формулу Бернулли при
п = 4, k = 2,
p =
=− =1
,
,
находим
22
⋅
1
6163
2
.
8
P
4
2
()
!
4
=⋅
!!
2212
Затем при
п = 6,
p =
,
q =
,
находим
33
1
P
6
3
()
6
!
=⋅
⋅
5
=
=>,
следовательно, вероятнее выиграть 2 партии из 4.
ЛокальнаяформулаЛапласа
Локальная формула Лапласа применяется для приближенного нахождения вероятности появления события А «k» раз в n
независимых испытаниях. Используется вместо формулы Бернулли, применение которой неудобно при больших n (n > 10),
где
Pk
≈⋅
()
n
npq
()
φ
=
()
1
xx
00
=
,
2
x
−
2
–
,
npq
π
функция Гаусса. Значения функции φ(х) берутся по таблице
(приложение 1). В таблице помещены значения х ∈ [0; 4]. Если
х > 4, то φ(х) = 0. Для отрицательных значений в силу четности
функции φ(–х) = φ(х).
- 14 -
kn
;,
−
−
i
==
1
nn
()
−=
Лекция 1
ИнтегральнаяформулаЛапласа
Интегральная формула Лапласа применяется для приближенного нахождения вероятности появления события А при n
повторных испытаниях от К1 до К2 раз.
knp
Pkkxxx
;;
=
()
n 12 211
ΦΦ
()−()
1
=
npq
x
=
2
2
p
npq
где Ф(х) – функция Лапласа. Значения Ф(х) берутся по таблице
(Приложение 2). В таблице помещены значения х ∈ [0; +5]. Если
х > 5, Ф(х) = 0,5. Для отрицательных значений Ф(–х) = –Ф(х).
1.3. Дискретнаяслучайнаявеличина
иеехарактеристики
Случайной величиной называется переменная, принимающая свои возможные значения в зависимости от исходов испытания. Обозначается: Х, У, Z, U, V, T, …
Дискретная случайная величина принимает отдельные значения и задается в виде таблицы, где перечислены все значения и
соответствующие им вероятности.
Непрерывная случайная величина задается в виде функции
распределения (дифференциальной или интегральной).
Основные характеристики случайной величины: математическое ожидание, дисперсия, среднее квадратическое отклонение.
1. Математическое ожидание (среднее взвешенное значение) дискретной случайной величины:
n
MX xp xp xp xp a
2. Дисперсия (рассеяние наблюдаемых значений) Х дискретной случайной величины от среднего значения a:
DX xapxap xap
Характеризует рассеяние в квадратных единицах.
=+ ++
()
11 22
=− +− ++
()()... ()
1
... .
nn
2
1222
n
=−
xap
()
∑
ii
1
i
=
∑
ii
=
2
2
- 15 -
СПЕЦИАЛЬНЫЕ РАЗДЕЛЫ МАТЕМАТИКИ
ХD
()
MX
()
()
()
22
xp
nn
xp
nn
()
,.
3. Среднее квадратическое отклонение (рассеяние фактических значений Хi от среднего а, в тех же единицах, что
и Х, в отличие от D(Х)):
σ
()
Х
=
Расчетная формула для вычисления дисперсии
DX MX
=
−
,
где
n
MX xp xp xp
MX xp xp xp
==+++
()
2
()
ii
2
ii
11 22
121222
i
=∑1
n
==+++
∑
1
i
=
...
... .
;
2
Пример 8. В лотерее на каждые 100 билетов разыгрываются: один выигрыш 1 млн руб., два выигрыша по 500 тыс. руб.,
десять выигрышей по 100 тыс. руб., двадцать – по 10 тыс. руб.
Остальные билеты не выигрывают. Составить закон распределения величины выигрыша для купившего один билет и найти его
основные характеристики.
Решение
Х руб. – величина выигрыша одного билета.
Р (Х = 1 млн) =1/100; Р(Х = 500 тыс. р.) = 2/100;
Р(Х = 100 тыс. р.) = 10/100;
Р (Х = 10 тыс. р.) = 20/100;
−+++
РХ=
()
100121020
=
100
=0
067
ожидаемый средний выигрыш на один билет.
Закон распределения величины выигрыша Х:
Х 0 10 тыс. руб. 100 тыс. руб. 500 тыс. руб. 1 млн руб.
р 0,67 0,20 0,10 0,02 0,01
М(Х) = 0·0,67 + 10·0,20 + 100 ∙ 0,10 + 500 ∙ 0,02 +
+1000 ∙ 0,01 = 32 тыс. руб. –
- 16 -
n
kn
!
Xn
()
Лекция 1
Биномиальный закон распределения – один из законов распределения дискретной случайной величины. Пусть производятся повторные независимые испытания: подбрасывание монеты, измерение температуры, рождение детей стрельба по цели и
т. п., А – событие, которое может появиться в результате каждого
испытания; для каждого единичного испытания Р(А) = р;
Р(A) = q = 1 – р,
где n – количество независимых повторных испытаний, k – число появления события А:
Х = k – биномиальная случайная величина, она дискретна.
Ее значения: k = 0; 1; 2; … Соответствующие им вероятности
находим по формуле Бернулли:
k
Pk
()
n
=
−
knk
!!
()
⋅⋅
pq
−
.
Тогда закон распределения биномиальной случайной величины задается таблицей:
Х 0 1 2 … n
Р(Х=К) P
Pn(0) + Pn(1) + Pn(2) + … + Pn(n) =
(0) Pn(1) Pn(2) … Pn(n)
n
n
Pk
=01
∑
K
=
()
n
.
Основные характеристики биномиальной случайной величины:
M(X) = np; D(X) = npq;
σ
pq
=
Пример 9. Вероятность попадания в цель при одном выстреле 0,8. Составить закон распределения числа попаданий в цель
при пяти выстрелах.
Решение
р = 0,8; q = 1 – 0,8 = 0,2; n = 5; k = 0; 1; 2; 3; 4; 5.
Х= k 0 1 2 3 4 5
5
q
Р
(k)
5
=
0,00032
5q4р =
0,0064
10q3р2 =
0,0512
10q2р3 =
0,2048
5qр4 =
0,4096
0,32768
Проверка: 0,00032 + 0,00064 + 0,0512 + 0,2048 + 0,4096 +
0,32768 = 1.
- 17 -
р5 =
СПЕЦИАЛЬНЫЕ РАЗДЕЛЫ МАТЕМАТИКИ
∆
()
()
−∞
∞
α
FF
βα
()−()
Наивероятнейшее число k = 4. Ему соответствует самая боль-
шая вероятность в биномиальном распределении: 0,4096.
1.4.Непрерывнаяслучайнаявеличина
Способы задания
Дифференциальная
функция f(x)
Их связь f(x) = F´(x)
fx lim
=
()
X
→∆
Вероятностный смысл
Плотность распределения вероятности
случайной величины
fx
1.
Свойства
2.
≥ 0
()
∫
Px Xx x
<<+
0
x
=fxdx 1
∆
Интегральная
функция F(x)
x
Fx ftdt
()=()
∫
−∞
F(x) = P(X < x)
Вероятность того, что
значения случайной
величины меньше х.
0 < F(X) < 1
F(X) – непрерывная,
неубывающая.
Графики (для случайной величины Х, принимающей значения на
промежутке <а, b >)
Вероятность попадания
в заданный промежуток
< α, β >
PX fxdx()
αβ
<< =
β
∫
()
PX
()
αβ
<< =
1.5.Основныехарактеристикислучайных
величиниихсвойства
Основные
характеристики,
их смысл
1. Задание закона
распределения
Вид случайной величины
Дискретная Случайная
Р(Х – х
) = Р
i
i
P(x < X < x + Δx) ≈ f(x)Δx
- 18 -
i
n
−∞
1
i
n
==
1
xa
σ
XD
()=()
σ
XD
()=()
DX xap
ii
()
=∑ −()
2
−∞
MX
()
()
()
22
xp
i
n
ii
1
=
−∞
Лекция 1
Основные
характеристики,
их смысл
2. Свойства
вероятностей для
полной группы
событий
3. Математическое
ожидание
(ожидаемое среднее
значение).
4. Среднее
квадратическое
отклонение
(разбивание в
единицах
измерения Х)
5. Дисперсия
(рассеивание
фактических
значений от
среднего значения а)
6. Расчетная формула
для вычисления
дисперсии
Вид случайной величины
Дискретная Случайная
P
=11
∑
i
=
MX xp a
()
∑
ii
=
X
DX MX
2
MX
()
2
=
∑
=
∞
()
∫
∞
MX xf xd
()=()
−∞
=−
()
∞
()
∫
DX xa fxdx
−
22
MX xf xdx
=
()
=fxdx
∫
=
X
2
()
∞
()
∫
Свойстваматематическогоожиданияидисперсии
Математическое ожидание Дисперсия
1. M(c) = c, с = const D(c) = 0
2. M(c + Х) = M(X) + c D(c+Х) = D(X)
3. M(c ∙ Х) = c ∙ M(X) D(c ∙ Х) = c
M(Х ± У) = M(X) ± M(У) D(Х ± У) = D(X) + D(У)
4.
Здесь Х и У – независимые случайные величины
5. M(Х ∙ У) = M(X) ∙ М(У) ––
- 19 -
2
∙ D(X)
СПЕЦИАЛЬНЫЕ РАЗДЕЛЫ МАТЕМАТИКИ
xb
,
xb
,
1.6. Основныезаконыраспределения
непрерывныхслучайныхвеличин
Дифференциальная функция распределения равномерного
закона и ее график (рис. 1.1) имеют вид
fx
=
()
Рис. 1.1. Дифференциальная функция распределения
равномерного закона
0
,
1
ba
−
.
0
приx a
приa
≤
<≤
>
прих b
Интегральная функция распределения равномерного закона
и ее график (рис. 1.2) имеют вид
=
()
Fx
0
xa
−
ba
−
1
приx a
≤
приa
.
<≤
>
прих b
,
Рис. 1.2. Интегральная функция распределения
равномерного закона
- 20 -
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]