Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Специальные разделы математики (теория вероятностей и математическая статистика, дифференциальные и разностные уравнения). Методические рекомендации к.pdf
АНО «ООВО»
«УНИВЕРСИТЕТ ЭКОНОМИКИ И УПРАВЛЕНИЯ»
Факультет эк ономики и управления
Кафедра «Бизнес-информатика»
Шнарева Г.В.
СПЕЦИАЛЬНЫЕ РАЗДЕЛЫ МАТЕМАТИКИ (ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА, ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ И РАЗНОСТНЫЕ
УРАВНЕНИЯ)
Методические рекомендации к выполнению самостоятельной работы
(типовых расчетов)
Для направления подготовки
38.03.05 Бизнес-информатика
(квалификация – бакалавр)
Для всех форм обучения
Симферополь,
2020
УДК 512
ББК 22.1
Ш 77
Шнарева, Г. В. Специальные разделы математики (теория вероятностей и
математическая статистика, дифференциальные и разностные уравнения): Методические
рекомендации к выполнению самостоятельной работы (типовых расчетов) по
направлению подготовки 38.03.05 «Бизнес-информатика» для бакалавров очной и заочной
форм обучения / Г. В. Шнарева. – Симферополь : АНО «ООВО» «УЭУ», 2020. – 92 с. –
Текст : непосредственный.
Составитель: Шнарева Галина Вячеславовна, старший преподаватель кафедры
«Бизнес-информатика».
Рецензент: Донченко Янина Андреевна, к.п.н., зав. кафедрой «Бизнесинформатика».
Методические рекомендации разработаны с целью оказания методической помощи
студентам при выполнении самостоятельной работы (типовых расчетов). Приведены
теоретические сведения, образцы решения и задания типовых расчетов по разделам
дисциплины «Специальные разделы математики (теория вероятностей и математическая
статистика, дифференциальные и разностные уравнения)».
Методические рекомендации предназначены для студентов первого курса очной и
заочной форм обучения направления подготовки 38.03.05 Бизнес-информатика
(квалификация – бакалавр).
Методические рекомендации рассмотрены и одобрены кафедрой «Бизнесинформатика» протокол от 24.11.2020 г. № 4.
Утверждено и рекомендовано к изданию ученым советом «УЭУ», протокол от .
.2020 г. № .
© Шнарева Г.В.
©АНО «ООВО»
«Университет экономики и управления», 2020.
2
СОДЕРЖАНИЕ
ПРЕДИСЛОВИЕ ................................................................................................................... 4
1. ТИПОВОЙ РАСЧЕТ №1 ПО РАЗДЕЛУ «СЛУЧАЙНЫЕ
СОБЫТИЯ» ........................................................................................................................... 5
1.1. Теоретический материал ............................................................................................... 5
1.2. Образец решения типового расчета № 1 ..................................................................... 10
1.3. Варианты заданий для типового расчета № 1 ............................................................. 13
2. ТИПОВОЙ РАСЧЕТ № 2 ПО РАЗДЕЛУ «СЛУЧАЙНЫЕ
ВЕЛИЧИНЫ» ........................................................................................................................ 22
2.1. Теоретический материал ............................................................................................... 22
2.2. Образец решения типового расчета № 2 ..................................................................... 33
2.3. Варианты заданий для типового расчета № 2 ............................................................ 39
3. ТИПОВОЙ РАСЧЕТ № 3 ПО РАЗДЕЛУ «СТАТИСТИЧЕСКИЕ
МЕТОДЫ ОБРАБОТКИ ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫХ ДАННЫХ» .................................. 46
3.1. Теоретический материал ............................................................................................... 46
3.2. Образец решения типового расчета № 3 ..................................................................... 54
3.3. Варианты заданий для типового расчета № 3 ............................................................. 61
4. ТИПОВОЙ РАСЧЕТ № 4 ПО РАЗДЕЛУ «ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ И РАЗНОСТНЫЕ
УРАВНЕНИЯ» ...................................................................................................................... 64
4.1. Теоретический материал ............................................................................................... 64
4.2. Образец решения типового расчета № 4 ..................................................................... 77
4.3. Варианты заданий для типового расчета № 4 ............................................................. 82
ПРИЛОЖЕНИЕ ..................................................................................................................... 84
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ ............................................................ 90
3
ПРЕДИСЛОВИЕ
Одной из форм обучения является самостоятельное выполнение типовых расчетов
по курсу «Специальные разделы математики (теория вероятностей и математическая
статистика, дифференциальные и разностные уравнения)». Типовые расчеты включают
в себя наиболее типичные и распространенные практические задания по основным темам
учебной программы дисциплины «Специальные разделы математики (теория вероятностей и математическая статистика, дифференциальные и разностные уравнения)»:
случайные события, случайные величины, статистические методы обработки экспериментальных данных, дифференциальные и разностные уравнения. К выполнению
типовых расчетов следует приступать лишь после изучения по учебнику или конспекту
лекций теоретического материала, соответствующего теме расчета, и решения достаточного количества типовых задач.
Варианты заданий типового расчета присваиваются каждому студенту преподавателем. Типовой расчет выполняется в отдельной ученической тетради в клетку;
решение оформляется согласно приведённым для каждого задания образцам. При
решении задач нужно обосновать каждый этап решения, исходя из теоретических
положений линейной алгебры. Решение задач следует излагать подробно, вычисления
располагать в строгом порядке. Решение должны доводиться до ответа, требуемого
условием задач. При этом работа считается зачтенной, если правильно и без грубых
недочетов выполнено не менее 75% заданий. В противном случае работа возвращается
студенту на доработку с соответствующей рецензией преподавателя.
4
1. ТИПОВОЙ РАСЧЕТ № 1
ПО РАЗДЕЛУ «СЛУЧАЙНЫЕ СОБЫТИЯ»
1.1. Теоретический материал
Классификация событий. Операции над событиями
К основным понятиям теории вероятности относятся испытания
и события.
Под испытанием (опытом) понимают выполнение определенных условий или
действий, в результате которых непременно произойдет какое-либо событие. События
могут быть достоверными, невозможными, случайными. Для обозначения событий
приняты первые буквы латинского алфавита А, В, С и т. д.
Достоверным событием называется событие, которое непременно произойдет
в результате опыта. Событие называется невозможным, если оно никогда не произойдет
в результате опыта.
Случайным называют событие, которое может произойти либо не произойти при
соблюдении определенных условий. Теория вероятностей занимается рассмотрением
случайных событий, вероятностью их появления.
События называются несовместными, если наступление одного из них исключает
наступление любого другого. В противном случае события называются совместными.
Несколько событий в данном опыте образуют полную группу событий, если
в результате опыта непременно должно произойти хотя бы одно из них.
События называются равновозможными, если нет оснований считать, что одно из
них появится в результате опыта с большей вероятностью.
Противоположными А и А называются два несовместных события, образующие
полную группу.
События А и В называются равными, если наступление события А влечет за собой
наступление события В и наоборот.
Объединением или суммой событий Аk называется событие A, которое означает
появление хотя бы одного из событий Аk.
Пересечением или произведением событий Ak называется событие А, которое
заключается в осуществлении всех событий Ak.
Классическое определение вероятности
Численная мера возможности появления рассматриваемого события – это
вероятность события. Вероятность события А обозначается Р(А). Наиболее широкое
распространение получило классическое определение вероятности события.
5
Классическое определение вероятности связано с понятием благоприятствующего
n
m
A
P =
)(
1)(0 ≤≤
AP
.
n
P
.
)1(...321 nn
n
P ⋅−⋅⋅⋅⋅=
!)1(...321
nnn
=⋅−⋅⋅⋅⋅
1!0 =
m
n
A
)!(
!
mn
n
m
n
A
−
=
исхода. Исход называется благоприятствующим данному событию, если его появление
влечет за собой наступление этого события.
Вероятность события А равна отношению числа благоприятствующих исходов
к общему числу возможных исходов:
, (1.1)
где m – число благоприятствующих событию А исходов;
n – общее число возможных исходов.
Свойства вероятности события: вероятность достоверного события равна единице,
а вероятность невозможного – равна нулю. Таким образом, значение вероятности любого
события – есть положительное число, заключенное между нулем и единицей
Комбинаторные формулы
Формулы комбинаторики составляют теоретическую базу при использовании классического определения вероятности, которое в прикладных задачах играет большую роль.
В зависимости от правил составления можно выделить три типа комбинаций:
• перестановки;
• размещения;
• сочетания.
Перестановкой множества, состоящего из n элементов, называется набор этих же
элементов, расположенных в другом порядке. Число всевозможных перестановок такого
множества обозначается символом
Для таких произведений существует специальное название n-факториал
(1.2)
.
и обозначение
соглашение и считать, что
Размещение – это набор из m различных элементов некоторого n-элементного
множества, причем два размещения, отличающиеся порядком следования элементов,
считаются различными. Стандартным обозначением для числа размещений m элементов
из n является символ
. Число размещений вычисляется по формуле
Оказывается удобным принять дополнительное
.
. (1.3)
6
Сочетание – это набор из m различных элементов некоторого n–элементного
.
m
n
C
)!(
!
!
m
nm
n
m
n
C
−
=
)(...)()()...(
2121 nn
APAPAPAAAP +++=+++
n
A
AA
,...,,
21
∑
=
=
n
i
i
AP
1
1
)(
1)()( =+
APAP
множества, причем два любых сочетания, отличающиеся порядком следования элементов,
совпадают. Стандартным обозначением для числа сочетаний m элементов из n является
символ
Число сочетаний вычисляется по формуле
. (1.4)
Теоремы сложения и умножения вероятностей
Теорема (сложения вероятностей несовместных событий). Вероятность суммы
конечного числа несовместных событий А1, А2, …, Аn равна сумме вероятностей этих
событий.
. (1.5)
Следствие 1: Если события
образуют полную группу несовместных
событий, то сумма их вероятностей равна единице.
(1.6)
Следствие 2: Сумма вероятностей противоположных событий равна единице.
(1.7)
Вероятность события А, вычисленная при условии, что имело место другое
событие В, называется условной вероятностью события А и обозначается РВ (А).
Если вероятность события А рассматривается при условии, что произошли два
других события В и С, используется условная вероятность относительно произведения
событий В и С: Р(А/ВС).
Теорема (умножения вероятностей). Вероятность произведения двух событий
равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого,
вычисленную при условии, что первое имело место:
Р(АВ) = Р(А)РА (В) = Р(В)РВ (А). (1.8)
Если вероятность события В не зависит от того, произошло событие А или нет, то
событие В называется независимым от события А, то есть РА (В) = Р(В).
В противном случае событие В называется зависимым от события А.
В случае независимых событий вероятность их произведения равна произведению
вероятностей этих событий:
Р(АВ) = Р(А)Р(В). (1.9)
7
Теорема (сложения вероятностей совместных событий). Вероятность появления
n
HHH
,...,,
21
∑
=
=
n
i
H
i
A
P
HP
AP
i
1
)(
)(
)
(
n
HHH
,...,,
21
)(
),...,(),(
21
n
HPHPHP
)(AP
i
H
n
HHH
,...,,
21
)/(
AHP
i
)()(
)()(
)(
1
АРHP
НРАР
НР
i
i
Н
n
i
i
iН
iА
∑
=
⋅
=
хотя бы одного из двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без
вероятности их совместного появления:
Р(А + В) = Р(А) + Р(В) – Р(АВ). (1.10)
Формула полной вероятности
Теорема. Вероятность события А, которое может произойти вместе с одним из
событий
, образующих полную группу, равна сумме парных произведений
вероятностей каждого из этих событий на соответствующие им условные вероятности
наступления события А.
(1.11)
Формула Байеса (формула гипотез)
Пусть имеется полная группа несовместных гипотез
вероятностями их наступления
. Пусть в результате опыта
с известными
наступило событие А, условные вероятности которого по каждой из гипотез известны,
т. е. известны вероятности
, i = 1,…,n.
Требуется определить, какие вероятности имеют гипотезы
относительно события А, т. е. условные вероятности
.
Теорема. Вероятность гипотезы после испытания равна произведению вероятности
гипотезы до испытания на соответствующую ей условную вероятность события, которое
произошло при испытании, деленному на полную вероятность этого события.
(1.12)
Схема Бернулли
Если производится некоторое количество испытаний, в результате которых может
произойти или не произойти событие А, и вероятность появления этого события в каждом
из испытаний не зависит от результатов остальных испытаний, то такие испытания
называются независимыми относительно события А.
Повторяющиеся испытания, удовлетворяющие условию независимости и постоянства вероятностей появления в каждом из них события А, называют испытаниями
Бернулли, или схемой Бернулли.
8
Теорема (формула Бернулли). Если вероятность р наступления события А
mnmm
nn
ppCmP
−
−= )1()(
λ
λ
−
= e
m
mP
m
n
!
)(
np
=
λ
)
(m
P
n
,
)1(
)
(
)(
n
pnp
xf
mP
−
≈
2
2
2
1
)(
x
e
xfде
−
=
π
)
1( pnp
npm
x
−
−
=
)(mP
n
[ ]
−≈≤≤
n
xФxФbmaP
12
,)()(
2
1
)(
∫
−
=
х
t
dexФ е
0
2
2
2
2
)(
π
)1(
,
)1(
21
pnp
npb
x
pnp
npa
x
−
−
=
−
−
=
в каждом испытании постоянна, то вероятность Рn(m) того, что событие А наступит m раз
в n независимых испытаниях, равна
. (1.13)
Формула Бернулли удобна для вычислений лишь при сравнительно небольшом
количестве испытаний n. При больших значениях n пользоваться этой формулой
неудобно. В этом случае используют приближенные формулы: формулу Пуассона,
локальную и интегральную теоремы Муавра-Лапласа.
Теорема (формула Пуассона). Если вероятность р наступления события А
в каждом испытании постоянна и мала, а число независимых испытаний n достаточно
велико, то вероятность того, что событие А наступит m раз, приближенно равна
, где
. (1.14)
Значения вероятности (1.14) приведены в приложении А.
Локальная теорема Муавра-Лапласа. Если вероятность р наступления события А
в каждом испытании постоянна и отлична от 0 и 1, то вероятность
того, что
событие А произойдет m раз в n независимых испытаниях при достаточно большом числе
n, приближенно равна
(1.15)
где
– функция Гаусса и
.
Значения функции Гаусса приведены в приложении Б. Чем больше n, тем точнее
приближенная формула (1.15).
Интегральная теорема Муавра-Лапласа. Если вероятность р наступления
события А в каждом испытании постоянна и отлична от 0 и 1, то вероятность
того,
что событие А произойдет m раз в n независимых испытаниях заключено в пределах от
a до b (включительно), при достаточно большом числе n и приближенно равна
(1.16)
где
– функция Лапласа и
.
Значения функции Лапласа приведены в приложении В.
1.2. Образец решения типового расчета № 1
9
Задание 1. В ящике 10 шаров: семь черных и три белых. Из ящика вынимают пять
n
m
AP =)(
5
10
3
7
2
3
233
7
С⋅
417,0
!5!5
!10
!1!2!3!4!3
!7
5
10
2
3
3
7
≈
⋅
=
⋅
⋅
⋅⋅
С
СС
321321321
++ AAAAAAAAA
044,08,0*1,0*1,02,0*9,0*1,02,0*1,0*9,0)(
321321321
=++=++ AAAAAAAAAP
шаров. Найти вероятность того, что среди них окажется три черных шара.
Решение.
Событие А – среди вынутых шаров окажется три черных и два белых шара.
Требуемую вероятность найдем с помощью классической формулы (1.1):
Число n – общее число возможных исходов – равно (поскольку порядок шаров
безразличен) сочетанию 5 из 10 элементов: n = C
Теперь определим число благоприятных исходов m. Очевидно, что способов,
которыми можно вынуть три черных шара из семи и два белых шара из пяти равно
соответственно: С
и С
.
Поскольку каждая комбинация черных шаров может сочетаться с любой
комбинацией белых, всего получится С
способов.
Получим (число сочетаний раскрываем по формуле 1.4):
Р(А) =
Ответ: Р(А) ≈ 0,42.
Задание 2. Вероятность того, что студент сдаст первый экзамен, равна 0,9; второй
– 0,9; третий – 0,8. Найти вероятность того, что студентом будут сданы:
а) только один экзамен,
б) хотя бы один экзамен.
Решение:
а) Обозначим события: А – студент сдаст только один экзамен из трех,
Ai – студент сдаст i-й экзамен (i = 1, 2, 3);
Очевидно, событие А произойдет, если студент сдаст только первый экзамен из
трех, или только второй, или только третий:
А =
Учитывая, что события A1, А2, А3 независимы, получим по (1.5) и (1.9)
Р(А) =
б) Обозначим событие: В – студент сдаст хотя бы один экзамен из трех.
Для нахождения вероятности события В будем использовать события Ai из задания
а) и вероятность противоположного события Р(В).
10