Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Специальные разделы математики (теория вероятностей и математическая статистика, дифференциальные и разностные уравнения). Методические рекомендации к.pdf
xi 0 1 2 3 4 5
pi
0,01
0,09
0,4
0,3
0,15
0,05
а) найти функцию распределения случайной величины Х и ее график;
xi 0 1 2 3 4 5
pi
0,05
0,15
0,4
0,2
0,15
0,05
X
)(xF
)(xF
Вариант
Плотность распределения
a
b
>
≤<−
−≤
=
.4,0
;42),2(
2
1
;2,0
)(
x
xx
x
xf
>
≤<
≤
=
.2,0
;21,
15
4
;1,0
)(
3
x
xx
x
xf
2
3
>
≤
<−
≤
=
.4
,0
;
42
),1(
4
1
;2
,0
)(
x
x
x
x
xf
>
≤<
≤
=
.
4
,0
;
4
0,cos2
;0,0
)(
π
π
x
xx
x
xf
6
π
б) определить вероятность того, что в следующем году художник нарисует не
менее трех картин.
Вариант 10, 20, 30. Число вызовов, совершающихся в течение суток, есть
случайная величина Х, заданная следующим образом:
а) найти функцию распределения случайной величины Х и ее график;
б) определить вероятность того, что завтра будет совершено менее трех вызовов.
Задание 2. Задана плотность распределения непрерывной случайной величины
(в таблице).
Найти функцию распределения
Определить вероятность того, что случайная величина Х попадет
в интервал (a, b).
1, 11, 21
2, 12, 22
3, 13, 23
. Построить графики функций f(x) и
3 4
2 3
1
.
4, 14, 24
41
0
5, 15, 25
>
≤<−
≤
=
.
2
3
,0
;
2
3
,cos
;,0
)(
π
π
π
π
x
xx
x
xf
4
5
π
2
3
π
>
≤<
≤
=
.,0
;0,sin
2
1
;0,
0
)(
π
π
x
xx
x
xf
4
π
>
≤<−+
−≤
=
.1,0
;13),4(
12
1
;3,0
)(
x
xx
x
xf
>
≤
<−
≤
=
.
2,0
;21
,
2
1
;
1,
0
)(
x
xх
x
x
f
2
3
>
≤<−
−≤
=
.0,0
;0
2
,sin
;
2
,0
)(
x
xx
x
xf
π
π
3
π
−
>
≤<
≤
=
.2,0
;20,
8
3
;0,0
)(
2
x
x
х
x
xf
xy
r
Вариант
1,
Х
Y
Вариант
2,
Х
Y
6, 16, 26
7, 17, 27
8, 18, 28
9, 19, 29
0
-2 0
2
0
величины задано таблицей.
величинами Xи Y;
10, 20, 30
1 2
Задание 3. Распределение вероятностей дискретной двумерной случайной
Найти:
1) функцию распределения F(x,y);
2) законы распределения составляющих X и Y;
3) математические ожидания и дисперсии составляющих;
4) коэффициент корреляции
, сделать вывод о степени тесноты связи между
5) условный закон распределения случайной величины Y при Х =х1.
4 9 12
7 12 16
42
11,
21.
12,
22.
6 0,16 0,14 0,35
Вариант
23.
Вариант
24.
Вариант
25.
Вариант
26.
Вариант
27.
Вариант
28.
Вариант
29.
Вариант
30.
YXZ +=
Вариант
1,
21
X
1 3 5
Y
12
13
15
p
0,1
0,7
0,2
p
0,5
0,1
0,4
Вариант
2,
X
2 4 6
Y
11
12
14
6 0,13 0,15 0,18
3,
13,
5,
15,
7 0,20 0,10 0,05
Х
Y
3 0,19 0,11 0,25
4 0,15 0,25 0,05
Y
7 0,18 0,02 0,3
8 0,21 0,10 0,19
5 10 15
Х
3 11 14
4,
14,
6,
16,
8 0,26 0,17 0,11
Х
Y
10 0,18 0,21 0,04
12 0,27 0,17 0,13
Y
11 0,19 0,34 0,07
12 0,17 0,18 0,05
8 13 17
Х
9 12 18
7,
17,
9,
19,
Задание 4. Даны законы распределения независимых случайных величин X и Y.
Найти закон распределения случайной величины
Х
Y
5 0,22 0,18 0,03
6 0,12 0,32 0,13
Y
2 0,17 0,06 0,12
4 0,24 0,15 0,26
2 8 17
Х
3 5 12
8,
18,
10,
20,
Х
Y
12 0,21 0,07 0,15
13 0,06 0,32 0,19
Y
13 0,06 0,31 0,07
15 0,18 0,17 0,21
.
10 13 19
Х
11 17 20
11,
43
12,
22
p
0,6
0,1
0,3
p
0,2
0,5
0,3
Вариант
3,
13,
23
X
1 3 6
Y
10
12
13
p
0,2
0,7
0,1
p
0,6
0,1
0,3
Вариант
4,
24
X
1 2 5
Y
13
17
19
p
0,5
0,1
0,4
p
0,1
0,1
0,8
Вариант
5,
25
X
3 4 7
Y
13
16
18
p
0,1
0,7
0,2
p
0,4
0,1
0,5
Вариант
6,
26
X
4 6 8
Y
10
18
20
p
0,2
0,6
0,2
p
0,6
0,3
0,1
7,
27
X
5 7 9
Y
19
21
23
p
0,4
0,2
0,4
p
0,2
0,6
0,2
Вариант
8,
28
X
5 6 8
Y
18
20
21
p
0,3
0,4
0,3
p
0,1
0,8
0,1
Вариант
9,
29
X
3 5 7
Y
17
19
21
p
0,4
0,1
0,5
p
0,1
0,7
0,2
Вариант
10,
30
X
2 4 8
Y
21
25
27
p
0,1
0,2
0,7
p
0,6
0,3
0,1
Вариант
Плотность распределения
Область D на плоскости –
точках
Функция Z
14,
15,
16,
17,
18,
19,
20,
Задание 5. Двумерная случайная величина (X,Y) задана плотностью совместного
распределения.
Найти:
а) значение константы C;
б) математические ожидания случайных величин X и Y;
в) корреляционный момент случайных величин X и Y;
г) математическое ожидание функции Z случайной величины Y.
квадрат с вершинами в
44
1, 11, 21
(0;0); (0;3), (-3;0), (-3;3)
Z = Y – 3
2, 12, 22
(0;0); (0;2), (2;0), (2;2)
Z = Y + 2
3, 13, 23
(0;0); (0;4), (-4;0), (-4;4)
Z = Y + 5
4, 14, 24
(0;0); (0;5), (-5;0), (-5;5)
Z = Y – 1
5, 15, 25
(0;0); (0;4), (-4;0), (-4;4)
Z = Y + 5
6, 16, 26
(0;0); (0;3), (-3;0), (-3;3)
Z = Y + 1
7, 17, 27
(0;0); (0;5), (5;0), (5;5)
Z = Y – 3
8, 18, 28
(0;0); (0;1), (-1;0), (-1;1)
Z = Y – 7
9, 19, 29
(0;0); (0;4), (4;0), (4;4)
Z = Y – 5
10, 20, 30
(0;0); (0;5), (-5;0), (-5;5)
Z = Y + 6
45
3. ТИПОВОЙ РАСЧЕТ № 3
k
xxx ,...,,
21
1
x
1
n
22
n
x −
kk
n
x −
∑
=
=
k
i
i
nn
1
i
x
ii
nnω=
n
xx
h
lg
322,
31
min
max
+
−
=
ПО РАЗДЕЛУ «СТАТИСТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ ОБРАБОТКИ
ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫХ ДАННЫХ»
3.1. Теоретический материал
Выборочный метод
Генеральной совокупностью называют совокупность объектов, подлежащих
изучению. Выборочной совокупностью или просто выборкой называют совокупность
случайно отобранных объектов из генеральной совокупности. Объемом совокупности
(выборочной или генеральной) называют число ее объектов.
Выборка называется репрезентативной (представительной), если по ее данным
можно достаточно уверенно судить об интересующем признаке генеральной
совокупности.
Пусть для изучения количественного (дискретного или непрерывного) признака Х
из генеральной совокупности извлечена выборка
наблюдалось
раз,
раз,
раз и
объема n, причем
. Наблюдаемые значения
называют вариантами, а последовательность вариант, записанных в порядке возрастания –
вариационным рядом. Числа наблюдений называют частотами, а их отношения к объему
выборки
– относительными частотами.
Статистическим распределением выборки называют перечень вариант и соответствующих им частот или относительных частот. Статистическое распределение можно
задавать также в виде последовательности интервалов и соответствующих им частот
(в качестве частоты, соответствующей интервалу, принимают сумму частот, попавших
в этот интервал).
При интервальном статистическом распределение в первую строку таблицы вписывают частичные промежутки (x0, x1], (x1, x1], …, (x
, xk], которые берут обычно
k-1
одинаковыми по длине. Согласно формуле Стерджеса рекомендуемое число интервалов
m = 1 + 3,322lgn (значение m округляем до ближайшего наименьшего целого), а величина
интервала (интервальная разность, ширина интервала):
, (3.1)
где x
значениями признака. За начало первого интервала рекомендуется брать величину х
= х
– x
mах
– h/2. Построение интервалов продолжается до тех пор, пока начало следующего по
min
– размах признака, то есть разность между наибольшим и наименьшим
min
нач
= х
0
46
порядку интервала не будет равно или больше х
n
n
xXF
x
=<= )(*
ω
)
,(
11
nx
),( 22nx
),(kknx
i
x
i
n
),...,,(),,(
2211
ωω
xx
),(kkx
ω
i
x
i
ω
. Во второй строчке статистического
max
ряда вписывают количество наблюдений ni (i = 1,…,k) , попавших в каждый интервал.
Перейдем к рассмотрению эмпирической функции распределения F*(х), которая
строится по данным выборки.
Пусть nх – число наблюдений, при которых значение признака Х меньше х.
Функция
, (3.2)
определяющая для каждого значения х относительную частоту события Х < х, называется
эмпирической функцией распределения, или функцией распределения выборки.
Функция F*(x) обладает следующими свойствами:
1) значения F*(x) принадлежат отрезку [0, 1];
2) F*(x) является неубывающей функцией;
3) если х1 – наименьшая варианта, то F*(x) = 0 при х ≤ х1; если xk – максимальная
варианта, то F*(x) = 1 при x > xk.
Если случайная величина непрерывная и ее выборочные значения представлены
в виде интервального статистического ряда, то эмпирическую функцию распределения
строят иначе. Подсчитываются на концах интервалов значения функции F*(x) в виде
«накопленной относительной частоты». При графическом изображении такой функции ее
доопределяют, соединив точки графика, соответствующие концам интервала, отрезками
прямой.
Графическое изображение статистических распределений в виде полигона и гистограммы позволяет получить первоначальное представление о закономерностях, имеющих
место в совокупности наблюдений.
Полигоном частот называют ломанную, отрезки которой соединяют точки
, …,
, где
– варианты выборки и
– соответствующие им частоты.
Полигоном относительных частот называют ломанную, отрезки которой соединяют
точки
, где
– варианты выборки и
– соответствующие им
относительные частоты.
,
Ступенчатая фигура, состоящая из прямоугольников с основаниями длиной h
и высотами nj /h (плотность частоты), называется гистограммой частот. Геометрический
смысл гистограммы: площадь ее равна сумме всех частот или объему выборки. Аналогичным образом определяется и гистограмма относительных частот: в этом случае высоты
прямоугольников, составляющих ступенчатую фигуру, величинами wj /h. Площадь
47
гистограммы относительных частот равна единице (сумме относительных частот
n
nx
х
k
i
ii
в
∑
=
=
1
∑
=
=
k
i
ii
в
xх
1
ω
( )
2
1
2
в
k
i
ii
в
х
n
nx
D −
⋅
=
∑
=
( )
2
1
2
в
k
i
iiв
хxD −=
∑
=
ω
вв
D=
σ
minmax
xxR −=
e
M
12 +=
mk
1+
=
me
xM
mk
2=
2
)(
1+
+
=
mm
e
xx
M
o
M
i
x
i
n
~
θ
θ
θ
выборки).
Числовые характеристики выборки
Пусть для изучения генеральной совокупности относительно количественного
признака Х извлечена выборка объема n.
Выборочная средняя:
Выборочная дисперсия:
Выборочное среднее квадратическое отклонение:
. (3.5)
Размах варьирования:
Медиана
, то
Мода
дискретного статистического ряда. Если число вариант – нечетно
; – четно
: дискретного статистического ряда: называют варианту
имеет наибольшую частоту
, или
, или
. (3.3)
. (3.4)
. (3.6)
, то
.
.
, которая
Допустим, что из теоретических соображений удалось установить, какое именно распределение имеет признак. Возникает задача оценки параметров, которыми определяется это
распределение.
называют функцию от наблюдаемых случайных величин.
равно оцениваемому параметру при любом объеме выборки.
наименьшую дисперсию среди всех возможных несмещенных оценок параметра , т. е.
Статистические оценки параметров генеральной совокупности
Пусть требуется изучить количественный признак генеральной совокупности.
Статистической оценкой неизвестного параметра теоретического распределения
Точечной называют статистическую оценку, которая определяется одним числом.
Несмещенной называют точечную оценку, математическое ожидание которой
Несмещенная оценка параметра называется эффективной, если она имеет
48
оценка эффективна, если ее дисперсия минимальна.
Θ
∞→
→
Θ
n
p
~
1))
~
(lim =<Θ−Θ
∞→
ε
P
n
n
n
А
∑
=
=
n
1i
i
n
1
ХХ
В
1
)(
1
1
2
2
−
−
=
−
=
∑
=
n
XX
D
n
n
S
n
i
в
i
в
~
θ
Состоятельной называют статистическую оценку, которая при п→∞ стремится по
вероятности к оцениваемому параметру:
равенство:
.
Теорема 1. Относительная частота
, т.е. при любом ε>0 выполняется
появления события А в п независимых
испытаниях является несмещенной состоятельной и эффективной оценкой неизвестной
вероятности р = Р(А) этого события (р – вероятность наступления события А в каждом
испытании).
Замечание. В соответствии с теоремой Бернулли при больших значениях п
статистическое распределение выборки мало отличается от истинного распределения.
По наблюдаемым частотам можно судить о законе распределения. Так, внешний вид
гистограммы должен напомнить кривую плотности распределения.
Теорема 2. Эмпирическая функция распределения выборки F*(х) является
несмещенной состоятельной оценкой функции распределения F(х) случайной величины
X.
Теорема 3. Пусть Х1, Х2, …, Хп — выборка из генеральной совокупности и МХi =
МХ = а, DХi = DХ (i = 1,n). Тогда выборочное среднее
– несмещенная
и состоятельная оценка математического ожидания МХ.
Эффективность или неэффективность оценки зависит от вида закона распределения
случайной величины Х.
Теорема 4. Пусть Х1, Х2, …, Хп – выборка из генеральной совокупности и МХi =
МХ = а, DХi = DХ (i = 1,n). Тогда исправленная выборочная дисперсия S2 – несмещенная
состоятельная оценка дисперсии DХ:
(3.7)
Оценка S2 для генеральной дисперсии является также и состоятельной, но не
является эффективной.
Интервальной называют оценку, которая определяется двумя числами – концами
интервала.
49
Интервал (
1
~
Θ
2
~
Θ
,)( ахМ =
.)(nх
σ
σ
=
в
x
г
σ
п
ta
n
tx
г
в
г
в
x
σσ
+<−
<
δ
σ
=
п
t
г
)
(tΦ
2
)(
γ
=Φ t
Г
х
n
St
xa
n
St
x
вв
⋅
+<<
⋅
−
γγ
;
), накрывающий с вероятностью γ истинное значение параметра
Θ
называется доверительным интервалом, а вероятность γ – надежностью оценки или
доверительной вероятностью. Обычно надежность оценки задается наперед, причем
в качестве γ берут число, близкое к единице. Наиболее часто задают надежность, равную
0,95; 0,99 и 0,999.
Доверительный интервал для оценки математического ожидания признака Х
генеральной совокупности
1. При известном параметре σ нормального закона распределения признака
Х генеральной совокупности.
Пусть количественный признак генеральной совокупности распределен нормально.
Известно среднее квадратическое отклонение σ этого распределения. Требуется оценить
математическое ожидание а по выборочной средней. Найдем доверительный интервал,
покрывающий а с надежностью γ. Выборочную среднюю будем рассматривать как
случайную величину (она изменяется от выборки к выборке), выборочные значения
признака – как одинаково распределенные независимые СВ с математическим ожиданием
каждой а и средним квадратическим отклонением σ. Примем без доказательства, что если
величина Х распределена нормально, то и выборочная средняя тоже распределена
нормально с параметрами
Для оценки математического ожидания a нормально распределенного коли-
чественного признака X по выборочной средней
тическом отклонении
генеральной совокупности служит доверительный интервал
при известном среднем квадра-
, (3.8)
где
аргумента функции Лапласа
– точность оценки; п – объем выборки; t – есть такое значение
, при котором
.
1. При неизвестном σ нормального закона распределения признака Х генеральной
совокупности.
В этом случае интервальная оценка параметра а =
с заданной надежностью γ
определяется формулой:
, (3.9)
50