Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Специальные разделы математики (теория вероятностей и математическая статистика, дифференциальные и разностные уравнения). Методические рекомендации к.pdf
величин:
)()( YX
r
xy
xy
σσ
µ
⋅
=
xy
r
(x)
fXY (x, y)
fXY (x, y)
(2.47)
fY (y)
fX (x)
pj(xi) =
P [(X = xi)(Y = yj)]
) =
P [(X = xi)(Y = yj)]
(2.46)
P (Y = yj)
P (X = xi)
Свойства коэффициента корреляции:
1. |rxy| ≤ 1;
. (2.45)
2. если X и Y независимы, то r
= 0, обратное не всегда верно;
xy
3. если |rxy|=1, то случайные величины связаны линейной зависимостью.
4. Чем ближе
по абсолютной величине к 1, тем связь сильнее; чем ближе к 0,
тем связь слабее.
Таким образом, такая характеристика, как коэффициент корреляции, характеризует
оценку тесноты связи между СВ.
Условный закон распределения составляющих двумерной случайной величины
Условным законом распределения одной из одномерных составляющих двумерной
случайной величины (X, Y) называется ее закон распределения, вычисленный при
условии, что другая составляющая приняла определенное значение (или попала в какой-то
интервал).
В случае дискретных случайных величин формулы для нахождения условных
вероятностей имеют вид:
pi(y
j
В случае непрерывных случайных величин эти формулы примут вид
f1
=
, f2 (y) =
,
т. е. условная плотность вероятности одной из одномерных составляющих двумерной
случайной величины равна отношению ее совместной плотности к плотности вероятности
ее другой составляющей.
Функция одного случайного аргумента
Если каждому возможному значению случайной величины Х соответствует одно
возможное значение случайной величины Y, то Y называют функцией случайного
аргумента X: Y = φ(X).
31
Рассмотрим случай, когда X – дискретная случайная величина с возможными
dyygyyM )()(
∫
∞
∞−
=
dxxfxyM
b
a
∫
= )()()(
ϕ
значениями x1,…,xn, вероятности которых p1,…,pn. Тогда Y тоже является дискретной
случайной величиной со всевозможными случайными событиями: y = φ (x1), …, y = φ (xn).
Так как событие «величина X примет значение xi» влечет за собой событие
«величина Y примет значение φ(xi)», то вероятности всевозможных значений
Y соответственно равны p1,…,pn.
Математическое ожидание случайной величины будет рассчитываться:
M(y) = M(φ(x)) = ∑φ(xi)pi. (2.48)
При записи закона распределения вероятности y руководствуются следующими
правилами:
1. Если различным возможным значениям X соответствуют различные возможные
значения Y, то вероятности соответствующих значений X и Y равны между собой:
P(X = xi) = P(y = φ(xi)) = pi.
2. Если различным возможным значениям Х соответствуют значения Y, среди
которых есть равные между собой, то следует складывать вероятности повторяющихся
значений Y.
Рассмотрим непрерывную случайную величину Х, которая задана своей плотностью, если у = φ(x) дифференцируемая монотонная функция, обратная функция которой
x = ψ(y), то плотность распределения случайной величины y определяется следующей
функцией:
g(y) = f[ψ(y)|ψ’(y)|]. (2.49)
Соответствующее математическое ожидание:
(2.50)
Если отыскание функции g(y) является затрудненным, то можно использовать
следующие формулы:
(2.51)
Функция двух случайных аргументов
Если каждой паре возможных значений случайных величин X и Y соответствует
одно возможное значение случайной величины Z, то Z называют функцией двух случайных аргументов X и Y: Z = φ(X, Y).
1. Пусть X и Y – дискретные независимые случайные величины. Для того чтобы
составить закон распределения функции Z = X + Y, надо найти все возможные значения Z
32
и их вероятности. Так как X и Y независимые случайные величины, то zi = xi + yi, p z= px∙py.
dyyfyzfdxx
zf
x
fz
g )()()
(
)(
)
(
21
2
1
∫∫
∞
∞−
∞
∞−
−=−=
Х
–1 0 2
2,5
Р
0,2
0,3
0,4
0,1
)(xF
1−≤x
)1
()
(
−
<=
ХP
x
F
01 ≤<− x
2
,0)
1()0()( =−==<= xPХPxF
20 ≤< x
5,03,02,0)0()1()2()( =+==+−==<= xPxPХPxF
5,22 ≤< x
==+=+−==<= )2()0()1()5,2()( xPxPxPХPxF
9,0
4,03,02,0 =++=
5,2>x
1)5.2()2()0()1()5,2()( ==+=+=+−==>= xPxPxPxPХPxF
5,2≤X
>
≤<
≤<
≤<−
−≤
=
5
,2 при 1
5,22 при 9,0
20 при 5,0
0
1 при 2,0
1 при 0
)(
х
х
х
x
х
xF
Если zi = zj, то их вероятности складываются.
2. Пусть X и Y – непрерывные случайные величины. Доказано: если X и Y
независимы, то плотность распределения g(z) суммы Z = X + Y (при условии, что
плотность хотя бы одного из аргументов задана на интервале (-∞;∞) одной формулой)
может быть найдена с помощью формулы:
, (2.52)
где f1, f2 – плотности распределения аргументов.
Плотность распределения суммы независимых случайных величин называют
композицией, а закон распределения вероятностей называют устойчивым, если композиция таких законов есть тот же закон:
M(z) = M(x) + M(y); D(z) = D(x) + D(y). (2.53)
2.2. Образец решения типового расчета № 2
Задание 1. Дискретная случайная величина задана рядом распределения.
а) построить функцию распределения
б) определить вероятность того, что случайная величина примет значение не менее
чем х3 = 2.
Решение:
а) Найдем интегральную функцию по формуле (2.1):
Если
Если
Если
Если
Если
, то
, то
, то
, то
и ее график;
= 0.
.
.
, то
,
т.к. событие
Таким образом, интегральная функция аналитически может быть записана так:
достоверное и его вероятность равна единице.
33
График этой функции имеет вид, представленный на рисунке 2.1:
i
xX =
)(
i
xXP =
5,05,01)2()5,2()2()3()3<2( =−=−>=−=≤ FХFFFXP
5,01,04,0)5,2()2()5,22( =+=+=≤≤ РРXP
4
44
4
,0
,2cos
,0
)(
π
ππ
π
>
≤≤−
−<
=
xпри
xпри
xпри
xxf
π
2;
6
∫
∞−
=
x
dxxfxF )()(
4
π
−<
x
.00)()( ===
∫∫
∞−∞−
xx
dxdxxfxF
:
44
π
≤≤
π
−
x
.
2
1
2
2sin
2
2sin
2cos0)(
4/
4/
4/
+==+=
π−
π−
π−
∞−
∫∫
xx
xdxdxxF
x
x
:
4
π
>
x
.1
2
2sin
02cos0)(
4/
4/
4/
4/
4/
4/
==++=
π
π−
π
π
π−
π−
∞−
∫∫∫
x
dxxdxdxxF
x
Рисунок 2.1 – График функции F(x)
В каждой точке
вероятности
б) определим вероятность того, что случайная величина примет значение не менее
чем х3 = 2, т. е. 2 и 2,5.
По формуле (2.2) получим
Действительно,
Задание 2. Задана непрерывная случайная величина х своей функцией
распределения f(x).
Требуется найти функцию распределения; определить вероятность того, что слу-
функция имеет скачок, величина которого равна
.
.
.
чайная величина Х попадет в интервал
.
Решение.
Найдем функцию распределения по формуле (2.20)
1. На участке
2. На участке
3. На участке
:
34
:
Итого:
;
4
,1
44
,
2
12sin
4
,0
)(
π
>
π
≤≤
π
−
+
π
−<
=
xпри
xпри
x
xпри
xF
π
2;
6
∫
=<<
b
a
dxxfbXaP
)()(
)()()( aFbFbXaP −=<<
;067,0
4
3
2
1
2
2sin
02cos)(2
6
4/
6/
2
4/
4/
6/
2
6/
=−=
==+==
<<
∫∫∫
π
π
π
π
ππ
π
x
dxxdxdxxfxP
.067,0
4
3
2
1
2
1)3/sin(
1)6/()2(2
6
=−=
+π
−=π−=
<<
π
FFxP
X
Y
4
17,0 13,0 25,0
5
10,0
30,0 05,0
X
Y
х≤3
3<х≤8
8<х≤10
x>10
y ≤4 0 0 0 0
4<y≤5 0 0,17
0,17 + 0,13 = 0,30
0,17 + 0,13 + 0,25 = 0,55
0,17 + 0,10 + 0,13 +
0,30 = 0,70
0,17 + 0,10 + 0,13 + 0,30 +
0,25 + 0,05 = 1
Найдем вероятность попадания случайной величины в интервал
или
Ту же самую вероятность можно искать и другим способом:
Задание 3. Распределение вероятностей дискретной двумерной случайной
величины задано таблицей:
по формуле
.
3 8 10
Найти:
1) функцию распределения F(x, y);
2) законы распределения составляющих X и Y;
3) математические ожидания и дисперсии составляющих;
4) коэффициент корреляции rxy, сделать вывод о степени тесноты связи;
5) условный закон распределения случайной величины Y при Х = х1 = 3/
Решение:
1. Используем формулу (2.29):
y>5 0 0,17 + 0,10 = 0,27
35
2. Сложив вероятности «по столбцам», получим вероятности возможных значений
X
27,0)3( =p
43,0)8( =p
30,0)10
(
=p
X
3 8 10
P
27,0 43,0 30,0
130,043,027,0 =++
Y
4
5
P
0,55
0,45
145,055
,0
=+
25,
7
30,
010
43
,0
827,03)(
=
⋅+
⋅+⋅=X
M
387,75625,523052,2743,2
25,730,01043,0827,03)]([)()(
222222
=−++=
=−⋅+⋅+⋅=−= XMXMXD
45
,445
,0555
,04)( =⋅+⋅=YM
2475,
08025,
1925,
118,8
45,4
45
,0
555,04)]([)()(
2222
2
=
−+=−
⋅
+⋅=−= YMYMY
D
xy
µ
( ) ( ) ( )
YMXMXYM
xy
⋅−=
µ
( )
2,3205,051025,04103,05813,0481,05317,043 =⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅=XYM
( ) ( )
( )
0625
,045,425,72,32 −=⋅−=⋅−= YMXMXYM
xy
µ
.
497,02475
,0)
()(
;718
,23875
,7)
()(
≈==
≈==
YDY
XDX
σ
σ
,
xy
µ
),(X
σ
)(
Y
σ
046
,0
497,0718,2
0625,0
−≈
⋅
−
=
xy
r
:
(2.9):
;
;
.
Составим закон распределения составляющей X:
Контроль:
.
Сложив вероятности «по строкам», найдем распределение составляющей Y:
Контроль:
.
3. Найдем математическое ожидание и дисперсию величины Х по формулам (2.3),
;
Аналогично найдем математическое ожидание и дисперсию величины Y:
;
4. Найдем корреляционный момент
случайных величин X и Yпо формуле
(2.43) и их средние квадратические отклонения по формуле (2.13):
.
Подставим найденные значения
в формулу коэффициента
корреляции (2.45), получим:
.
Так как коэффициент корреляции отрицательный, то связь между величинами
обратная; так как коэффициент корреляции близок к 0, то связь между величинами слабая.
36
5. С учетом формулы имеем
63.0
27
.0
17.0
)3|4( ==== XYР
37.0
27.0
10.0
)3|5( ==== XYР
Y
4
5
P
Х=3
0,63
0,37
137
,0
63,0 =+
X
1 3
Y
2
4
P
0,4
0,6
P
0,8
0,2
YXZ +=
743
;523
;54
1 ;3
21
4321
=
+==+=
=+==+= zzzz
4=
Z
1
1
=
x
31=y
1=X
2=Y
321 =+=Z
32,
08,0
4,0
=⋅
12,02,06,0)743(
;48,08,06,0)523(
;08,02,04,0)541(
=⋅==+=
=⋅==+=
=⋅==+=
ZP
ZP
ZP
)56,
048,008,0(,
32
=+==
zZzZ
Z
3 5 7
P
0,32
0,56
0,12
112,056,032,0 =++
Таким образом, условный закон распределения случайной величины Y при Х = х1 =
3 имеет вид:
,
.
Контроль:
.
Задание 4. Дискретные независимые случайные величины заданы распределениями:
Составить распределение случайной величины
Решение. Возможные значения Z есть суммы каждого возможного значения X
со всеми возможными значениями Y:
.
Найдем вероятности этих возможных значений.
Для того чтобы
и величина Y – значение
, достаточно, чтобы величина X приняла значение
. Вероятности этих возможных значений, как следует из
данных законов распределения, соответственно равны 0,4 и 0,8.
Аргументы X и Y независимы, поэтому события
.
и
независимы
и, следовательно, вероятность их совместного наступления (т. е. вероятность события
) по теореме умножения равна
.
Аналогично найдем:
Запишем искомое распределение, сложив предварительно вероятности
несовместных событий
Контроль:
.
:
37
Задание 5. Двумерная случайная величина (X,Y) задана плотностью совместного
14)(),(
0
220
022
0
=−===
∫ ∫∫ ∫ ∫∫
−
∞
∞− −
∞
∞−
СydyxdxСdyСxydxdxdyyxf
4
1
−=С
3
4
4
1
)
4
1
(),()(
0
2
2
0
2
022
0
2
=−=−==
∫ ∫∫ ∫ ∫∫
−
∞
∞− −
∞
∞−
ydydxxdyyxdxdxdyyxfХМ
3
4
4
1
)
4
1
(),()(
0
220
2
022
0
2
−=−=−==
∫ ∫∫ ∫ ∫∫
−
∞
∞− −
∞
∞−
dyyxdxdyxydxdxdyyxfYМ
0
9
16
9
16
9
16
4
1
)
3
4
(
3
4
)
4
1
()()()
4
1
(
0
2
2
0
22
022
0
22
=+−=+−=
=−⋅−−=⋅−−=
∫ ∫
∫ ∫ ∫∫
−
∞
∞− −
∞
∞−
dyydxx
dyyxdxYMXMdxdyxyxy
XY
µ
распределения где D – область на плоскости квадрат с вершинами в точках (0;0); (0;2), (-2;0), (-2;2) .
Найти:
а) значение константы C;
б) математические ожидания случайных величин X и Y;
в) корреляционный момент случайных величин X и Y;
г) математическое ожидание функции случайной величины Z = Y - 2.
Решение. Область D изображена на рисунке 2.2.
Рисунок 2.2 – Изображение области D
а) сначала найдем коэффициент C из условия нормировки (2.36):
Отсюда
б) найдем математические ожидания случайных величин X и Y по формулам (2.39):
.
в) найдем корреляционный момент случайных величин X и Y по формуле (2.44):
некоррелированные.
Так как корреляционный момент равен 0, то случайные величины X и Y –
38
г) математическое ожидание функции случайной величины Z =ϕ (Y) = Y – 2 нахо-
∫
∞
∞−
==
dyyfyy
MZ
M )()(
))
((
)(
ϕ
ϕ
yy
xdxy
dx
xy
dx
yx
f
yf
2
1
)
2(
4
1
4
1
)
4
1
(),()(
0
2
0
2
0
2
−=−⋅−=−=−==
∫∫∫
−−−
3
2
)
2
1
()2())
(
()(
2
0
=−⋅−=
=
∫
dyyy
y
MZM
ϕ
xi 0 1 2 3 4 pi
0,2
0,3
0,2
0,2
0,1
xi 0 10
20
30
40
50
pi
0,1
0,2
0,35
0,2
0,1
0,05
xi 0 1 2 3 4 5
pi
0,02
0,18
0,3
0,25
0,15
0,1
xi 0 1 2 3 4 5
pi
0,1
0,25
0,4
0,15
0,05
0,05
дится по формуле (2.51):
.
Сначала найдем плотность распределения f(y) для случайной величины Y,
исчпользуя формулу (2.37):
.
Тогда,
.
2.3. Варианты заданий для типового расчета № 2
Задание 1.
Вариант 1, 11, 21. Число телефонных звонков, поступающих в отделение «Скорой
помощи» между полуднем и часом дня в любой день недели, есть случайная величина Х,
заданная следующим образом:
а) найти функцию распределения случайной величины Х и ее график;
б) определить вероятность того, что между полуднем и часом дня поступит не
более двух звонков.
Вариант 2, 12, 22. Процент людей, купивших новое моющее средство после
просмотра рекламы, есть случайная величина Х, заданная следующим образом:
а) найти функцию распределения случайной величины Х и ее график;
б) определить вероятность того, что более 20% людей откликнуться на рекламу.
Вариант 3, 13, 23. Число ошибок на страницу, которые делает некоторая
машинистка, есть случайная величина Х, заданная следующим образом:
а) найти функцию распределения случайной величины Х и ее график;
б) определить вероятность того, что машинистка сделает более двух ошибок на
страницу.
Вариант 4, 14, 24. Число иногородних судов, прибывающих ежедневно на загрузку
в определенный порт, есть случайная величина Х, заданная следующим образом:
39
а) найти функцию распределения случайной величины Х и ее график;
xi 9 10
11
12
13
14
pi
0,05
0,15
0,3
0,2
0,2
0,1
xi 0 1 2 3 4 5
pi
0,05
0,1
0,2
0,3
0,3
0,05
xi 2 3 4 5 6 7
pi
0,2
0,2
0,3
0,1
0,1
0,1
xi 0 1 2 3 4 5
pi
0,1
0,2
0,3
0,2
0,15
0,05
б) определить вероятность того, что в определенный день прибудет от 1 до 3 судов
(включая 1 и 3).
Вариант 5, 15, 25. Журнал «Деньги» в одном из номеров поместил информацию
о том, что возврат инвестиций на российском рынке в 1990 году ожидался более высоким,
чем от аналогичных инвестиций на американском рынке. Консультант по инвестициям,
советующий вкладывать средства в российский рынок, полагает, что вероятностное
распределение возврата инвестиций (% в году) в один из таких проектов имеет вид:
а) найти функцию распределения случайной величины Х и ее график;
б) определить вероятность того, что возврат инвестиций будет составлять по
крайней мере 12%.
Вариант 6, 16, 26. В автомагазине ведется ежедневная запись числа продаваемых
машин. Эти данные использованы для составления вероятностного распределения
следующих ежедневных продаж:
а) найти функцию распределения случайной величины Х и ее график;
б) определить вероятность того, что завтра число проданных автомобилей будет от
2 до 4 (включая 2 и 4).
Вариант 7, 17, 27. Число яхт, сходящих каждый месяц со стапелей маленькой
верфи, есть случайная величина Х, заданная следующим рядом распределения:
а) найти функцию распределения случайной величины Х и ее график;
б) определить вероятность того, что число яхт, построенных в следующем месяце,
будет не менее 4.
Вариант 8, 18, 28. Число дефектов в продукции, производимой автоматом,
случайная величина Х, заданная рядом распределения:
а) найти функцию распределения случайной величины Х и ее график;
б) определить вероятность того, что число дефектов не превысит 2.
Вариант 9, 19, 29. Число картин, нарисованных известным художников в течение
года, есть случайная величина Х, заданная следующим рядом распределения:
40