Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Специальные разделы высшей математики. Практикум по математической статистике. Учебно-методическое пособие.pdf
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ
ДОНЕЦКОЙ НАРОДНОЙ РЕСПУБЛИКИ
ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ
ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
«ДОНБАССКАЯ НАЦИОНАЛЬНАЯ АКАДЕМИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВА И АРХИТЕКТУРЫ»
Кафедра высшей математики и информатики
А. А. Симогин
СПЕЦИАЛЬНЫЕ РАЗДЕЛЫ
ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ
ПРАКТИКУМ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОЙ
СТАТИСТИКЕ
Учебно-методическое пособие
МАКЕЕВКА – 2020
УДК 519.2(075)
ББК 22.17я17
ББК С37
Рекомендовано к печати Советом строительного факультета ГОУ
ВПО «Донбасская национальная академия строительства и архи-
тектуры» (протокол № 11 от 18.06.2020 г.)
Рецензенты:
А. А. Дзундза, доктор педагогических наук, профессор кафедры теории вероятно-
стей и математической статистики, ГОУ ВПО «Донецкий национальный университет»;
В. П. Заставный, доктор физико–математических наук, профессор кафедры математического анализа и дифференциальных уравнений, ГОУ ВПО «Донецкий национальный университет»;
Т. В. Жмыхова , кандидат физико–математических наук, доцент кафедры высшей
математики и информатики, ГОУ ВПО «Донбасская национальная академия строительства и архитектуры».
С 37 Симогин А. А. Специальные разделы высшей математики.
Практикум по математической статистике: учеб.–метод. пособие / А.
А. Симогин. — Макеевка: ГОУ ВПО «ДонНАСА», 2020. — 320 с.
Практикум содержит краткие сведения по методам статистической обработки эмпирических данных: основные понятия, определения, формулы и теоремы, примеры решения
типовых задач, задач для практических занятий и самостоятельной работы, а также варианты индивидуального домашнего задания.
Практикум является дополнением к учебному пособию «Специальные разделы высшей математики. Теория вероятностей и математическая статистика для инженераисследователя».
Предназначено как для студентов направления 08.04.01 Строительство всех форм обу-
чения, изучающих дисциплину «Специальные разделы высшей математики» и препода-
вателей, так и для всех, кто интересуется методами обработки эмпирических данных.
УДК 519.2(075)
ББК 22.17я17
○cСимогин А. А., 2020
○cГОУ ВПО «ДонНАСА», 2020
КРАТКОЕ ОГЛАВЛЕНИЕ
ВВЕДЕНИЕ 7
ПРИНЯТЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ И СОКРАЩЕНИЯ 11
1 СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ 14
2 ОСНОВЫ ВЫБОРОЧНОГО МЕТОДА 37
3 СТАТИСТИЧЕСКИЕ ОЦЕНКИ 65
4 ПРОВЕРКА СТАТИСТИЧЕСКИХ ГИПОТЕЗ 93
5 ДИСПЕРСИОННЫЙ АНАЛИЗ 134
6 КОРРЕЛЯЦИОННЫЙ И РЕГРЕССИОННЫЙ АНАЛИЗ 173
7 ИНДИВИДУАЛЬНЫЕ ДОМАШНИЕ ЗАДАНИЯ 218
8 РЕШЕНИЕ СИГНАЛЬНОГО ВАРИАНТА 257
ПРИЛОЖЕНИЯ: СТАТИСТИЧЕСКИЕ ТАБЛИЦЫ 303
ЛИТЕРАТУРА 319
ОГЛАВЛЕНИЕ
ВВЕДЕНИЕ 7
ПРИНЯТЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ И СОКРАЩЕНИЯ 11
1 СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ 14
1.1 Коротко о главном . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.1.1 Определение и виды случайных величин . . . . . . . . 14
1.1.2 Числовые характеристики случайных величин . . . . . 17
1.1.3 Основные распределения дискретных случайных вели-
чин . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.1.4 Основные распределения абсолютно непрерывных слу-
чайных величин . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.1.5 Распределения связанные с нормальным . . . . . . . . 24
1.1.6 Предельные теоремы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
1.2 Вопросы для самоконтроля . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
1.3 Примеры типовых задач с решением . . . . . . . . . . . . . . . 30
1.4 Задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2 ОСНОВЫ ВЫБОРОЧНОГО МЕТОДА 37
2.1 Коротко о главном . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.1.1 Аналитическое представление выборки . . . . . . . . . 38
2.1.2 Графическое представление выборки . . . . . . . . . . . 41
2.2 Вопросы для самоконтроля . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
2.3 Примеры типовых задач с решением . . . . . . . . . . . . . . . 43
2.4 Задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
3 СТАТИСТИЧЕСКИЕ ОЦЕНКИ 65
3.1 Коротко о главном . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
3.1.1 Точечные оценки параметров . . . . . . . . . . . . . . . 65
3.1.2 Выборочные числовые характеристики . . . . . . . . . 67
3.1.3 Методы нахождения оценок . . . . . . . . . . . . . . . . 71
3.1.4 Доверительные интервалы . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
3.2 Вопросы для самоконтроля . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
3.3 Примеры типовых задач с решением . . . . . . . . . . . . . . . 77
3.4 Задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
4 ПРОВЕРКА СТАТИСТИЧЕСКИХ ГИПОТЕЗ 93
4.1 Коротко о главном . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
4.1.1 Проверка гипотез о параметрах нормального распреде-
ления . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
4.1.2 Критерии согласия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
4.2 Вопросы для самоконтроля . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
4.3 Примеры типовых задач с решением . . . . . . . . . . . . . . . 110
4.4 Задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
5 ДИСПЕРСИОННЫЙ АНАЛИЗ 134
5.1 Коротко о главном . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
5.1.1 Однофакторный дисперсионный анализ . . . . . . . . . 136
5.1.2 Двухфакторный дисперсионный анализ . . . . . . . . . 141
5.2 Вопросы для самоконтроля . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
5.3 Примеры типовых задач с решением . . . . . . . . . . . . . . . 147
5.4 Задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
6 КОРРЕЛЯЦИОННЫЙ И РЕГРЕССИОННЫЙ АНАЛИЗ 173
6.1 Коротко о главном . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
6.1.1 Корреляционный анализ . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
6.1.2 Регрессионный анализ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181
6.2 Вопросы для самоконтроля . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193
6.3 Примеры типовых задач с решением . . . . . . . . . . . . . . . 194
6.4 Задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211
7 ИНДИВИДУАЛЬНЫЕ ДОМАШНИЕ ЗАДАНИЯ 218
Тема 1. Случайные величины . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218
Тема 2. Основы выборочного метода . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220
Тема 3. Статистические оценки . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238
Тема 4. Проверка статистических гипотез . . . . . . . . . . . . . . . 239
Тема 5. Дисперсионный анализ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240
Тема 6. Корреляционный и регрессионный анализ . . . . . . . . . . 248
8 РЕШЕНИЕ СИГНАЛЬНОГО ВАРИАНТА 257
Тема 1. Случайные величины . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257
Тема 2. Основы выборочного метода . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260
Тема 3. Статистические оценки . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 268
Тема 4. Проверка статистических гипотез . . . . . . . . . . . . . . . 276
Тема 5. Дисперсионный анализ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283
Тема 6. Корреляционный и регрессионный анализ . . . . . . . . . . 290
ПРИЛОЖЕНИЯ: СТАТИСТИЧЕСКИЕ ТАБЛИЦЫ 303
А Стандартное нормальное распределение . . . . . . . . . . . . . 304
Б Распределение Стьюдента . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 307
В Распределение Фишера . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 309
Г χ2–распределение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313
Д Критерий согласия Колмогорова . . . . . . . . . . . . . . . . . 315
Е Критерий Кохрена . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 317
ЛИТЕРАТУРА 319
ВВЕДЕНИЕ
Мы любим всё — и жар холодных чисел,
И дар божественных видений
— А. Блок, «Скифы»
В задачах практики часто приходится сталкиваться с явлениями, результаты которых, вообще говоря, предугадать заранее невозможно. Исходы этих экспериментов зависят от факторов о существовании которых нам
неизвестно, или попросту, мы не можем их измерить или учесть. В этом
случае говорят, что мы имеем дело с вероятностным или стохастическим
экспериментом. Среди ученых всегда стоял вопрос и велись философские
споры: а существует ли случайность или все в этом мире предопределено,
и случайностью мы лишь называем недостаток информации об изучаемом
явлении. Независимо от ответа на этот вопрос перед исследователями стоит
задача предсказать исход стохастического эксперимента с наперед заданной
вероятностью.
Исследованием случайных явлений занимается несколько разделов математики: теория вероятностей, математическая статистика, теория случайных процессов, теория стохастических дифференциальных уравнений,
теория массового обслуживания или теория очередей, теория надежности.
Методы теории вероятностей и математической статистики являются
фундаментом для всех методов стохастического анализа. Теория вероятностей — раздел математики, который изучает основные закономерности
случайных явлений, отвечает на вопрос: как на основании вероятностной
8
модели вычислить вероятности сложных событий. Объектами ее исследования выступают случайные события и случайные величины, их свойства
и операции над ними. Математическая статистика — это математическая
наука, предназначенная для разработки методов сбора, систематизации и
обработки эмпирических данных для научных (теоретическая статистика)
и практических (прикладная статистика) выводов.
С каждым годом математические методы в целом и методы теории вероятностей и математической статистики в частности находят все большее
применение, как способ исследования, в различных областях науки, техники и экономики. В свою очередь, необходимость решения все более сложных
научных и практических задач стала стимулом развития вероятностных и
статистических методов.
В этом смысле, не стала исключением и строительная отрасль, в которой для получения новых знаний также широко применяются методы
теории вероятностей и математической статистики. Например, при обработке результатов исследования грунтов, в методах расчета строительных
конструкций, при анализе свойств строительных материалов, при расчетах
на устойчивость и колебания в строительной механике, при контроле качества продукции; для экономической оценки темпов роста строительной
отрасли отдельных регионов или предприятий, эффективности использования некоторой технологии или продукции в строительстве, эффективности
внедрения мероприятий в отрасли строительства.
Настоящее учебное пособие предназначено для аудиторной и самостоятельной работы студентов направления 08.04.01 «Строительство» при изучении дисциплины «Специальные разделы высшей математики».
Цель данного учебного пособия — привить студентам практические навыки использования методов математической статистики для анализа экспериментальных данных, а также предоставить студентам методическую
поддержку при самостоятельной работе.
Предлагаемый практикум является дополнением к учебному пособию
[12] «Специальные разделы высшей математики. Теория вероятностей и
математическая статистика для инженера-исследователя».
Главы 1–6 имеют идентичную структуру и разбиты на четыре составляющие каждая:
X в первой кратко изложены методические положения: основные поло-
жения, определения, формулы, теоремы и методы решения задач, связанных с рассматриваемой темой;
X во второй приведены вопросы для самоконтроля, ответы на которые
необходимо знать прежде, чем переходить к решению практических
задач;
X в третьей подробно рассмотрены решения типовых задач;
X и, наконец, в четвертой предложены задачи для аудиторной и само-
9
стоятельной работы, которые можно использовать для тренировки и
самоконтроля.
Статистические данные в примерах и задачах, как правило, относятся
к предметной отрасли строительства, но носят модельный характер. Главы
1–6 практикума соответствуют учебному пособию [12].
В главе 1 кратко рассматриваются основные понятия и методы теории
вероятностей. А именно, уделено внимание случайным величинам, их числовым характеристикам, а также предельным теоремам, которые являются
связующим звеном между теорией вероятностей и математической статистикой.
В главе 2 рассматриваются основные понятия выборочного метода: аналитические и графические способы представления эмпирических данных,
такие как вариационный ряд (простой, дискретный и интервальный), эмпирическая функция, полигон и гистограмма.
В главе 3 представлены методы статистического оценивания неизвестных параметров. Рассмотрены два подхода: точечное оценивание и доверительные интервалы. Рассмотрены свойства статистических оценок: несмещенность, состоятельность и эффективность. Изложены два метода нахождения точечных оценок: метод моментов и метод максимального правдоподобия. Построение доверительных интервалов проиллюстрировано на примерах нормального распределения и неизвестной вероятности события.
10
Глава 4 посвящена проверке статистических гипотез. Рассмотрены основные понятия, связанные с этим вопросом. Рассмотрены критерии различения гипотез для параметров нормальных распределений, как одновыборочных, так и двувыборочных. Также рассмотрены критерии согласия
χ2, Колмогорова и Мизеса—Смирнова.
В главе 5 рассмотрен метод дисперсионного анализа: однофакторного
и двухфакторного.
В главе 6 рассмотрены вопросы взаимосвязи между факторами. Устанавливается наличие и значимость корреляционной связи между двумя или
несколькими исследуемыми случайными величинами. Методом наименьших квадратов оценивается регрессионная модель изучаемого параметра от
одного или нескольких факторов, как линейная, так и не линейная. Анализируется качество регрессионной модели.
В главе 7 предлагаются в 30 вариантах задания для выполнения индивидуальной домашней работы по всем разделам пособия.
В главе 8 приводится пример подробного решения сигнального варианта
индивидуального домашнего задания.
В приложениях приводятся справочные данные в виде таблиц основных вероятностных распределений: нормального, χ2, Стьюдента, Фишера,
также процентных значений статистики Dnодновыборочного критерия согласия Колмогорова и G–статистики критерия Кохрена для определения
однородности дисперсий нескольких выборок.
Данное учебное пособие рассчитано на студентов, прослушавших курс
высшей математики, включающий линейную алгебру, дифференциальное
и интегральное исчисление, теорию вероятностей и математическую статистику.
Материал пособия может быть использован и при изучении других дисциплин, связанных со статистической обработкой эмпирических данных.