Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Специальные разделы высшей математики. Практикум по математической статистике. Учебно-методическое пособие.pdf
4.4. Задачи 131
Задача 4.7. Были проведены испытания двух партий бетонных об-
разцов. В первой партии nX= 29 образцов средний предел прочности
*
m
= 40,1 МПа, несмещенная оценка дисперсии S
X
тии nY= 13 образцов — m
*
= 40,9 МПа, а S
Y
2
= 7,1. При уровне значимости
Y
2
= 8,2 . Во второй пар-
X
α = 0,05 проверить гипотезу о равенстве дисперсий.
Задача 4.8. В условии задачи 4.7 при уровне значимости α = 0,05 про-
верить гипотезу о равенстве средних.
Задача 4.9. По двум независимым выборкам объемов nX= 6 и nY= 8,
извлеченным из нормальных генеральных совокупностей, найдены выборочные средние m
персии 2 S
2
= 14,7 и S
X
*
= 16,8 и m
X
2
= 5,1. При уровне значимости α = 0,05 проверить
Y
*
= 15,1, и несмещенные выборочные дис-
Y
следующие гипотезы:
а) H0: σ
б) H0: m
в) H0: m
2
X
*
X
*
X
= σ
= m
= m
2
против H1: σ
Y
*
против H0: m
Y
*
против H0: m
Y
2
X
= σ
*
= m
X
*
> m
X
2
;
Y
*
;
Y
*
.
Y
Задача 4.10. При измерении производительности двух агрегатов полу-
чены следующие результаты:
A 14,1 10,1 14,7 13,7 14,0
B 14,0 14,5 13,7 12,7 14,1
При уровне значимости α = 0,01 проверить гипотезу о равенстве дисперсий.
Задача 4.11. В условии задачи 4.10 при уровне значимости α = 0,01
проверить одинакова ли производительность у обоих агрегатов.
Задача 4.12. При прохождении аттестации сотрудникам предлагают
задание, состоящее из четырех тестов. Результаты выполнения этих тестов
двадцатью сотрудниками представлены в таблице
i 0 1 2 3 4
n
i
1 3 3 5 3
132 Глава 4. ПРОВЕРКА СТАТИСТИЧЕСКИХ ГИПОТЕЗ
где i — количество правильно выполненых тестов сотрудником, а
ni— количество сотрудников, правильно выполнивших i тестов. Требу-
ется, используя χ2–критерий Пирсона, при уровне значимости α = 0,01
проверить гипотезу о биномиальном распределении случайной величины
X — числа успешно выполненных тестов.
Задача 4.13. Отдел технического контроля проверил n = 1000 партий
однотипных изделий и получил следующие результаты
i 0 1 2 3 4 5
n
i
403 370 167 46 12 2
где i — количество нестандартных изделий в партии, а ni— количество
партий, содержащих i нестандартных изделий. Требуется, используя
χ2–критерий Пирсона, при уровне значимости α = 0,05 проверить гипотезу
о том, что случайная величина X, равная числу нестандартных изделий в
партии распределена по закону Пуассона.
Задача 4.14. В итоге испытаний 900 элементов на время безотказной
работы (час.) получено распределение, приведенное в таблице.
(
α
i−1
n
; α
i
] (
i
0; 10
] (
10; 20
] (
20; 30
] (
30; 40
] (
40; 50
] (
50; 60
328 220 136 90 63 42 21
] (
60; 70
]
Используя χ2–критерий Пирсона, при уровне значимости α = 0,01 проверить гипотезу о том, что данные в генеральной совокупности распределены по показательному закону.
Задача 4.15. Дана выборка объема 10.
0,8600 2,4244 1,1861 0,3364 1,7713
-0,0596 0,0132 2,0581 1,9927 0,3717
Используя критерий Колмогорова, проверить согласуются ли эмпирические данные с гипотезой о том, что генеральная совокупность подчинена
нормальному закону со средним 1 и единичной дисперсией при уровне значимости α = 0,05.
4.4. Задачи 133
Задача 4.16. В условиях задачи 4.15, используя критерий Колмогорова, проверить согласуются ли эмпирические данные с гипотезой о том,
что генеральная совокупность подчинена нормальному закону. Параметры
распределения оценить по выборке.
Задача 4.17. В результате испытаний получена выборка значений
непрерывной случайной величины .
2,4 2,6 2,6 2,8 2,9 2,9 2,9 3,6 4,6 4,9 5,0
5,0 5,1 5,1 5,2 5,3 5,4 5,7 5,8 5,8 6,0
Используя критерий Колмогорова, проверить при уровне значимости
α = 0,05 гипотезу о том, что подчиняется равномерному распределению с
параметрами a = 2, b = 6.
ДИСПЕРСИОННЫЙ АНАЛИЗ
Ученые подсчитали, что шансы реаль-
ного существования столь откровенно
абсурдного мира равняются одному на
миллион. Однако волшебники подсчита-
ли, что шанс «один на миллион» выпа-
дает в девяти случаях из десяти.
— Терри Пратчетт, «Мор, ученик Смерти»
5
5.1 Коротко о главном
Дисперсионный анализ (в англоязычной аббревиатуре ANOVA — Analysis
of Variance) применяется для изучения влияния одной или нескольких количественных или качественных независимых переменных (факторов) на
одну зависимую количественную переменную (переменную отклика).
Основной целью дисперсионного анализа является исследование значимости различия между средними с помощью сравнения дисперсий. Сущностью дисперсионного анализа является разложение общей суммы квадратов отклонений и общего числа степеней свободы на составлюющие —
компоненты, соответствующие структуре эксперимента, и оценка значимости влияния факторов и их взаимодействий на исследуемую переменную
согласно F-критерию.
5.1. Коротко о главном 135
Основные предположения дисперсионного анализа
1. Выборочные значения переменной на каждой комбинации уровней
факторов независимы от значений на остальных комбинациях и случайны.
2. Переменная отклика нормально распределена.
3. Дисперсии исследуемой переменной на всех уровнях факторов равны
(гомоскедастичность).
Замечание: дисперсионный анализ устойчив к нарушению 3-го условия (равенство дисперсий) при большом числе наблюдений и равенстве количества наблюдений на каждой комбинации уровней фактора (объемов
выборок).
Существенность влияния фактора на исследуемую переменную определяется путём проверки гипотез:
X H0: условные математические ожидания на всех уровнях факторов
равны;
X H1: хотя бы на двух уровнях факторов средние значения разнятся.
Если влияние фактора не существенно, то несущественна и разница
между уровнями этого фактора, и в ходе дисперсионного анализа нулевая
гипотеза H0принимается. Если влияние фактора существенно, то нулевая
гипотеза H0отвергается.
Схема выбора комбинаций уровней факторов, при которых следует делать измерения, называется планом эксперимента. Если перебираются все
возможные комбинации уровней факторов, то план эксперимента называют
полным факторным планом. Но при большом количестве факторов число
опытов в эксперименте может оказаться достаточно большим, что сопряжено со значительными временными и материальными затратами. Чтобы
сократить требуемый объём выборки, применяют другие специальные планы проведения эксперимента: латинский квадрат, греко–латинский квадрат, квадрат Юдена и др.
136 Глава 5. ДИСПЕРСИОННЫЙ АНАЛИЗ
5.1.1 Однофакторный дисперсионный анализ
Пусть исследуется влияние некоторого фактора A, имеющего k ≥ 3
уровней A1, . . . ,Ak, на некоторую нормально распределенную величину X,
у которой теоретические дисперсии на каждом уровне фактора неизвестны,
но, тем не менее, одинаковы. Анализ основан на расчете F-статистики (статистики Фишера), которая представляет собой отношение двух дисперсий:
межгрупповой и внутригрупповой. F-тест в однофакторном дисперсионном
анализе устанавливает значимо ли отличаются средние нескольких независимых выборок. Он обобщает t-тест о равенстве средних двух независимых
выборок. При наличии двух уровней результаты обоих тестов дают один и
тот же результат.
Предположим, что в нашем распоряжении имеются эмпирические данные xij, i = 1, k, j = 1, ni, i — номер уровня фактора, j — номер наблюдения
на i-ом уровне. Зависимость исследуемой величины X от фактора A можно обнаружить при сравнении оценок m
на всех уровняхi = 1, kс оценкой m
*
математических ожиданий m
i
*
общего математического ожида-
X
ния mX. Идея однофакторного дисперсионного анализа состоит в том, что
общая сумма квадратов отклонений раскладывается на сумму двух компонент. Итак
P
=
k
i=1
P
P
k
i=1
n
i
j=1
P
(
xij− m
n
i
(
xij− m
j=1
*
+
P
2
)
=
2
*
)
+ 2
i
P
k
i=1
k
i=1
P
P
n
j=1
P
i
n
j=1
k
i=1
(
i
m
((
xij− m
P
n
j=1
*
− m
i
i
(
xij− m
*
*
)−(
i
2
)
.
*
i
) (
m
m
*
− m
i
*
i
− m
2
*
))
=
*
)
+
Учитывая, что второе слагаемое в третьей части последнего равенства
равно нулю (в силу независимости наблюдений случайной величины X),
i
получим:
SST
=
SSB+SSW
, (5.1)
называемое основным тождеством однофакторного дисперсионного
анализа.
В равенстве (5.1) обозначено:
P
X SST =
k
i=1
P
n
i
j=1
(
xij− m
2
*
)
— общая сумма квадратов отклонений
(Sum Square Total);
5.1. Коротко о главном 137
P
X SSB =
k
i=1
P
n
i
j=1
*
(
m
− m
i
2
*
)
— межгрупповая сумма квадратов откло-
нений (Sum Square Between Groups), которая характеризует влияние
фактора A на исследуемую величину. Ее еще называют рассеянием по
фактору;
P
X SSW =
k
i=1
P
n
i
j=1
(
xij− m
2
*
)
— внутригрупповая сумма квадратов от-
i
клонений (Sum Square Within Groups), характеризует рассеянием случайной величины X внутри уровней фактора. Эту сумму также называют остаточным рассеянием, так как эта компонента связана с влиянием на величину X некоторых других факторов.
Процедура выполнения однофакторного дисперсионного анализа.
1 этап. Выдвижение гипотезы.
Выдвигается нулевая гипотеза H0: m1= . . . = mk= mX,
Против альтернативы H1: хотя бы для одной пары mi= mj.
2 этап. Сбор данных и подготовка их для анализа. Для этого заполняют
таблицу 5.1.
Таблица 5.1 – Данные для дисперсионного анализа
Уровень
фактора
A
A
1
2
x
x
··· . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A
k
x
Номер наблюдения Объем Среднее Дисперсия Общее
1 . . . s . . . t . . . q
11
21
k1
. . . x
. . . x
. . . x
1s
. . . x2t. . . x
2s
. . . x
ks
kt
2q
n
1
n
2
n
k
m
m
m
*
1
*
2
*
k
2
S
1
2
S
2
2
S
k
среднее
m
*
X
Предварительно вычислим оценки для средних: общего m
=
*
, i = 1, k.
i
n
i
X
1
n
i
j=1
xij, m
n
k
X
1
*
=
x
n
i=1
i
X
j=1
xij=
1
k
k
X
i=1
уровнях факторов m
*
m
i
nim
*
и на всех
X
*
. (5.2)
i
138 Глава 5. ДИСПЕРСИОННЫЙ АНАЛИЗ
3 этап. Проверка однородности дисперсий.
При сравнении дисперсий нескольких (больше двух) групп применяется
критерий Кохрена (Cochren) в случае, если количество наблюдений во
всех группах одинаково, т. е. ni= l.
Итак, его суть состоит в том, что выдвигается основная гипотеза о статистической неразличимости всех дисперсий
H0: σ
2
1
= σ
2
= . . . = σ
2
2
k
= σ
2
;
X
Альтернативная гипотеза состоит в том, что основная гипотеза не выполняется,
H1: σ
2
= σ2, хотя бы для одного i.
i
В качестве статистики критерия используют случайную величину:
G =
max
2
S
1
2
(S
, . . . ,S
1
+ . . . + S
2
)
k
. (5.3)
2
k
По таблице Е.1 при α = 0,05 или Е.2 при α = 0,01 находят критическое
значение G
крит
= G
(
l − 1,k)= G
α
α
(
ν,k).
Правило принятия решения имеет вид:
X если G < G
X если G > G
, то гипотеза H0принимается;
крит
, то гипотеза H0отвергается.
крит
Критерий Бартлетта (Bartlett) применяется для сравнения дисперсий
k(k > 2)групп по выборкам различного объема. Главное условие приме-
нения критерия согласия Бартлетта — объем каждой из выборок должен
быть не менее 3. При этом, некоторые объемы могут быть одинаковыми.
Итак, выдвигается основная гипотеза о статистической неразличимости
всех дисперсий
H0: σ
2
1
= σ
2
= . . . = σ
2
2
k
= σ
2
;
X
Альтернативная гипотеза, по-прежнему, состоит в том, что основная
гипотеза не выполняется:
5.1. Коротко о главном 139
H1: σ
2
= σ2, хотя бы для одного i.
i
Введем обозначения:
P
=
k
ni— общий объем выборки,
i=1
P
1
n−k
k
i=1
(
ni− 1)S
2
— оценка общей дисперсии.
i
X n =
2
X S
X
В качестве статистики критерия используют случайную величину:
M
B =
, (5.4)
C
где
k
X
M =(n − k)ln
C = 1 +
3(k − 1
2
S
−
X
k
1
X
i=1
(
ni− 1
1
−
)
i=1
ni− 1
n − k
2
)
ln
S
, (5.5)
i
1
. (5.6)
Статистика (5.4), при условии справедливости нулевой гипотезы и если
все ni> 3, имеет асимптотически χ2-распределение с(k − 1)степенями
свободы.
Если случайная величина нормально распределена, то распределение
статистики (5.4) практически не зависит от объема выборки, т. е. результаты тестирования остаются адекватными при малых объемах выборок. Но
распределение статистики (5.4) очень чувствительно к отклонению от нормального закона.
Таким образом, критическое значение критерия h
крит
находят, как
квантиль χ2-распределения с(k − 1)степенями свободы уровня 1 − α:
2
h
крит
= h
X если B < h
1−α
(
k − 1).
1−α
(
k − 1), то гипотеза H0принимается;
X если B ≥ h
(
k − 1), то гипотеза H0отвергается.
1−α
Если гипотеза H0принимается, то делается вывод об однородности дисперсий на различных уровнях и продолжают проведение дисперсионного
анализа. В противном случае следует повторить эксперимент, увеличив при
140 Глава 5. ДИСПЕРСИОННЫЙ АНАЛИЗ
этом число наблюдений для каждого уровня фактора или улучшив чистоту
эксперимента.
4 этап. Для изучения различий между зависимыми переменными проводится разложение полной дисперсии согласно тождеству (5.1):
На практике суммы квадратов отклонений, входящих в (5.1), вычисляют по следующим формулам.
Общая сумма квадратов отклонений
n
k
X
SST =
i=1
i
X
j=1
2
x
ij
− n(m
2
*
)
, (5.7)
которая имеет DFT = n − 1 степеней свободы (Degrees of Freedom), следовательно, общий средний квадрат (Mean Square) или общая дисперсия
равна
MST =
SST
DFT
=
n − 1
⎛
n
k
1
X
⎝
i=1
i
X
j=1
2
x
− n(m
ij
⎞
2
*
⎠
)
. (5.8)
Межгрупповая сумма квадратов отклонений
k
SSB =
X
i=1
n
(
i
m
2
*
)
i
− n(m
2
*
)
, (5.9)
которая имеет DFB = k −1 степеней свободы, следовательно, средний квадрат или межгрупповая дисперсия равна
MSB =
SSB
DFB
=
1
k − 1
k
X
i=1
n
2
*
(
)
m
i
i
− n(m
2
*
)
. (5.10)
Внутригрупповая сумма квадратов отклонений
SSW = SST − SSB, (5.11)
которая имеет DFW = n − k степеней свободы, следовательно, средний
квадрат или внутригрупповая дисперсия равна
MSW =
SSW
FDW
=
SSW
. (5.12)
n − k
5 этап. Расчет значения статистики критерия производится по формуле
MSB
F =
, (5.13)
MSW