Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Специальные разделы высшей математики. Практикум по математической статистике. Учебно-методическое пособие.pdf
251
Вариант 17
X 1,0 1,8 2,6 3,4 4,2 5,0 5,8 6,6 7,4 8,2 9,0 9,8 10,6 11,4
Y 5,3 1,9 9,8 6,7 11,5 13,8 10,9 15,7 15,8 14,4 18,7 21,9 21,3 21,7
Вариант 18
X 2,0 2,7 3,4 4,1 4,8 5,5 6,2 6,9 7,6 8,3 9,0 9,7 10,4 11,1
Y 13,1 10,8 16,2 13,8 23,3 16,0 22,5 19,7 28,0 27,5 37,4 20,3 29,0 38,9
Вариант 19
X 3,0 3,6 4,2 4,8 5,4 6,0 6,6 7,2 7,8 8,4 9,0 9,6 10,2 10,8
Y 10,4 12,9 8,0 12,5 21,1 -0,2 11,3 22,0 9,1 27,2 32,5 21,9 16,9 24,5
Вариант 20
X 4,0 4,5 5,0 5,5 6,0 6,5 7,0 7,5 8,0 8,5 9,0 9,5 10,0 10,5
Y 13,2 18,8 18,4 19,4 20,0 22,5 23,3 26,9 25,9 27,8 28,6 31,9 32,3 33,0
Вариант 21
X 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 1,1 1,2 1,3 1,4
Y 4,1 0,8 2,6 3,5 2,9 2,3 2,6 1,1 2,8 0,0 1,0 2,3 4,1 2,1
Вариант 22
X 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2 1,4 1,6 1,8 2,0 2,2 2,4 2,6 2,8
Y 6,5 1,5 4,2 -0,9 5,9 -4,1 -0,3 -5,8 -0,2 -3,4 3,8 -16,0 -10,0 -2,8
Вариант 23
X 0,3 0,6 0,9 1,2 1,5 1,8 2,1 2,4 2,7 3,0 3,3 3,6 3,9 4,2
Y 5,0 2,7 -0,9 0,3 3,3 -0,6 -1,3 -0,5 -1,3 -4,9 1,4 -4,9 -10,3 -7,9
Вариант 24
X 0,4 0,8 1,2 1,6 2,0 2,4 2,8 3,2 3,6 4,0 4,4 4,8 5,2 5,6
Y 2,8 1,0 3,7 -2,2 -4,3 -2,5 -3,8 -9,8 -6,1 -8,9 -9,3 -12,7 -12,7 -12,7
Вариант 25
X 1,0 2,0 3,0 4,0 5,0 6,0 7,0 8,0 9,0 10,0 11,0 12,0 13,0 14,0
Y 0,7 5,7 -1,6 5,0 8,0 7,0 13,3 13,7 16,3 15,0 21,1 20,5 23,0 21,4
252 Глава 7. ИНДИВИДУАЛЬНЫЕ ДОМАШНИЕ ЗАДАНИЯ
Вариант 26
X 2,0 3,5 5,0 6,5 8,0 9,5 11,0 12,5 14,0 15,5 17,0 18,5 20,0 21,5
Y 12,9 14,3 15,6 19,5 27,2 30,8 33,0 43,0 44,7 48,1 48,3 55,8 59,3 58,3
Вариант 27
X 3,0 3,9 4,8 5,7 6,6 7,5 8,4 9,3 10,2 11,1 12,0 12,9 13,8 14,7
Y 0,4 -6,9 -7,9 -13,9 -16,1 -19,0 -22,1 -22,2 -29,7 -27,4 -25,0 -33,2 -31,3 -38,2
Вариант 28
X 4,0 5,1 6,2 7,3 8,4 9,5 10,6 11,7 12,8 13,9 15,0 16,1 17,2 18,3
Y 0,9 -2,5 -8,7 -9,2 -10,4 -20,1 -20,5 -23,1 -24,1 -25,2 -35,7 -35,3 -38,2 -36,5
Вариант 29
X 2,0 3,6 5,2 6,8 8,4 10,0 11,6 13,2 14,8 16,4 18,0 19,6 21,2 22,8
Y 12,6 9,1 14,6 22,8 25,2 33,0 35,9 44,8 42,5 50,2 55,7 63,3 66,7 66,1
Вариант 30
X 3,0 3,7 4,4 5,1 5,8 6,5 7,2 7,9 8,6 9,3 10,0 10,7 11,4 12,1
Y -3,6 4,4 5,1 0,3 -2,7 -3,0 -2,4 -0,5 -6,2 3,8 -2,9 -8,3 -5,0 -1,7
Задание 16. В результате эксперимента по исследованию зависимости
изменения прочности (Y, МПа) древесины при сжатии вдоль волокон от
длительности (X, в месяцах) выдерживания в условиях повышенной влажности были получены результаты представленные в таблице. Согласно данным своего варианта оценить
а) логарифмическую модель (lin-log): Y = b0+ b1ln(X)+ ε;
б) модель квадратичной регрессии Y = b0+ b1X + b2X2+ ε.
Какая из этих моделей лучше описывает эмпирические данные?
Вариант 1
X 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0 4,5 5,0 5,5 6,0
Y 87,4 84,2 84,2 81,0 80,9 81,2 77,8 76,6 76,8 78,9 76,1 76,1
Вариант 2
X 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0 4,5 5,0 5,5 6,0 6,5
Y 85,6 79,7 76,9 79,3 78,6 78,9 69,8 78,2 80,9 83,6 72,1 71,4
Вариант 3
X 0,4 0,9 1,4 1,9 2,4 2,9 3,4 3,9 4,4 4,9 5,4 6,0
Y 86,5 79,8 85,3 84,8 85,0 74,8 76,7 76,4 82,1 83,5 76,5 71,8
Вариант 4
X 0,6 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0 4,5 5,0 5,5 6,0
Y 76,9 75,1 76,2 73,7 74,1 74,6 71,0 69,4 68,8 69,9 65,7 64,1
Вариант 5
253
X 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0 4,5 5,0 5,5 6,0 6,5
Y 75,8 76,2 74,1 72,5 75,8 72,7 70,8 64,5 65,2 65,0 59,6 60,4
Вариант 6
X 0,3 0,8 1,3 1,8 2,3 2,8 3,3 3,8 4,3 4,8 5,3 6,0
Y 73,5 72,1 76,1 71,3 73,8 73,6 71,7 73,5 71,4 67,1 68,2 67,3
Вариант 7
X 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0 4,5 5,0 5,5 6,0
Y 60,8 65,4 66,6 71,5 73,4 70,2 71,4 69,9 63,2 57,4 49,8 43,4
Вариант 8
X 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0 4,5 5,0 5,5 6,0 6,5
Y 63,6 66,7 67,5 70,9 66,5 67,4 64,6 60,5 52,4 46,1 35,6 28,3
Вариант 9
X 0,4 0,9 1,4 1,9 2,4 2,9 3,4 3,9 4,4 4,9 5,4 6,0
Y 57,8 63,4 68,0 72,4 75,3 71,4 72,9 63,8 67,1 62,5 55,2 45,7
Вариант 10
X 0,6 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0 4,5 5,0 5,5 6,0
Y 61,4 67,0 67,3 72,8 74,8 76,1 73,5 73,7 63,1 55,1 49,0 35,9
254 Глава 7. ИНДИВИДУАЛЬНЫЕ ДОМАШНИЕ ЗАДАНИЯ
Вариант 11
X 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0 4,5 5,0 5,5 6,0 6,5
Y 66,7 74,0 77,3 76,8 81,0 77,8 78,8 72,2 62,3 57,5 45,7 35,0
Вариант 12
X 0,3 0,8 1,3 1,8 2,3 2,8 3,3 3,8 4,3 4,8 5,3 6,0
Y 57,3 62,9 71,2 67,4 75,7 75,6 71,2 70,6 59,7 55,7 48,7 29,6
Вариант 13
X 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0 4,5 5,0 5,5 6,0
Y 99,6 98,6 97,4 96,7 94,0 92,7 88,0 87,9 86,9 75,8 68,8 60,0
Вариант 14
X 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0 4,5 5,0 5,5 6,0 6,5
Y 100,1 93,4 99,2 95,8 92,0 87,1 86,9 82,0 84,4 71,5 63,9 57,2
Вариант 15
X 0,4 0,9 1,4 1,9 2,4 2,9 3,4 3,9 4,4 4,9 5,4 6,0
Y 95,8 101,3 98,8 100,8 97,6 90,6 93,8 83,5 83,6 80,6 74,5 60,5
Вариант 16
X 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0 4,5 5,0 5,5 6,0
Y 70,6 75,1 77,8 73,4 73,8 71,9 67,8 72,9 69,0 59,6 53,6 51,7
Вариант 17
X 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0 4,5 5,0 5,5 6,0 6,5
Y 80,0 73,7 68,5 71,3 70,2 69,1 69,6 70,5 63,9 61,2 55,5 45,1
Вариант 18
X 0,4 0,9 1,4 1,9 2,4 2,9 3,4 3,9 4,4 4,9 5,4 6,0
Y 63,8 73,5 73,6 74,9 74,8 75,2 69,4 67,0 66,8 60,8 54,7 50,4
Вариант 19
X 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0 4,5 5,0 5,5 6,0
Y 61,1 60,8 64,4 68,5 65,2 61,3 66,7 66,3 57,2 53,6 62,7 49,8
Вариант 20
X 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0 4,5 5,0 5,5 6,0 6,5
Y 59,9 66,7 62,3 65,6 62,2 58,4 66,2 59,9 60,2 58,2 54,0 51,3
Вариант 21
X 0,4 0,9 1,4 1,9 2,4 2,9 3,4 3,9 4,4 4,9 5,4 6,0
Y 64,1 70,9 61,7 69,3 61,4 62,1 63,9 58,3 56,1 51,8 50,7 52,4
Вариант 22
X 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0 4,5 5,0 5,5 6,0
Y 89,9 90,6 94,6 98,3 94,0 88,4 91,4 87,9 75,0 66,9 70,9 52,2
Вариант 23
255
X 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0 4,5 5,0 5,5 6,0 6,5
Y 88,2 96,1 92,1 95,3 91,1 86,0 91,8 83,0 80,1 74,4 65,8 58,2
Вариант 24
X 0,2 0,7 1,2 1,7 2,2 2,7 3,2 3,7 4,2 4,7 5,2 6,0
Y 95,1 103,0 94,2 101,3 92,2 90,8 89,9 80,8 74,3 64,9 57,9 47,5
Вариант 25
X 0,7 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0 4,5 5,0 5,5 6,0
Y 95,1 88,7 93,6 97,3 90,3 95,8 91,7 87,3 75,5 69,4 64,5 59,1
Вариант 26
X 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0 4,5 5,0 5,5 6,0 6,5
Y 97,6 98,6 100,6 93,9 96,2 92,3 88,7 87,7 74,4 74,5 71,8 56,9
Вариант 27
X 0,6 1,1 1,6 2,1 2,6 3,1 3,6 4,1 4,6 5,1 5,6 6,0
Y 96,4 91,5 94,2 97,5 92,7 83,5 90,4 73,9 66,6 61,7 52,9 51,8
Вариант 28
X 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0 4,5 5,0 5,5 6,0
Y 88,2 85,6 90,3 87,3 86,3 88,9 85,7 85,2 76,1 72,5 67,9 52,5
256 Глава 7. ИНДИВИДУАЛЬНЫЕ ДОМАШНИЕ ЗАДАНИЯ
Вариант 29
X 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0 4,5 5,0 5,5 6,0 6,5
Y 84,3 91,8 84,6 87,8 82,7 82,0 75,7 65,3 70,3 60,8 52,2 44,4
Вариант 30
X 0,3 0,8 1,3 1,8 2,3 2,8 3,3 3,8 4,3 4,8 5,3 6,0
Y 86,2 90,4 89,2 99,8 85,0 87,3 86,0 82,5 82,0 74,8 65,9 52,6
РЕШЕНИЕ СИГНАЛЬНОГО
ВАРИАНТА
Тема 1. Случайные величины
Задание 1. Для случайной величины X с заданным законом распреде-
ления, согласно данных номера своего варианта, найти.
а) M(X); б) D(X); в) P(X 6 a); г) P(X > b); д) P(a < X 6 b).
X a b X a b X a b
8
А) X ∼ B(5; 0,4)2 4 Б) X ∼ P(1,5
Решение. A) По условию n = 5, p = 0,4, следовательно q = 1 − p =
1 − 0,4 = 0,6. Согласно формулам (1.19) вычислим
a) математическое ожидание M(X)= np = 5 · 0,4 = 2;
б) дисперсию D(X)= npq = 5 · 0,4 · 0,6 = 1,2.
По формуле 1.17 вычислим вероятности
p0= P(X = 0)= C
p1= P(X = 1)= C
p2= P(X = 2)= C
p3= P(X = 3)= C
p4= P(X = 4)= C
p5= P(X = 5)= C
0
0,400,65=
5
1
0,410,64=
5
2
0,420,63=
5
3
0,430,62=
5
4
0,440,61=
5
5
0,450,60=
5
)
1 4 В) X ∼ G(0,35) 1 5
5!
0! · 5!
1! · 4!
2! · 3!
3! · 2!
4! · 1!
5! · 0!
0,400,65= 0,07776;
5!
0,410,64= 0,25920;
5!
0,420,63= 0,34560;
5!
0,430,62= 0,23040;
5!
0,440,61= 0,07680;
5!
0,450,6‘= 0,01024.
258 Глава 8. РЕШЕНИЕ СИГНАЛЬНОГО ВАРИАНТА
Следовательно,
в) P(X 6 2)= p0+ p1+ p2= 0,68256;
г) P(X > 4)= p5= 0,01024;
д) P(2 < X 6 4)= p3+ p4= 0,30720.
Б) По условию λ = 1,5. Согласно формулам пункта (1.21) вычислим
a) математическое ожидание M(X)= λ = 1,5;
б) дисперсию D(X)= λ = 1,5.
По формуле 1.20 вычислим вероятности
0
p0= P(X = 0)=
1,5
e
−1,5
= 0,22313;
0!
0
p1= P(X = 1)=
1,5
e
−1,5
= 0,33470;
0!
0
p2= P(X = 2)=
1,5
e
−1,5
= 0,25102;
0!
0
p3= P(X = 3)=
1,5
e
−1,5
= 0,12551;
0!
0
p4= P(X = 4)=
1,5
e
−1,5
= 0,04707.
0!
Следовательно,
в) P(X 6 1)= p0+ p1= 0,55783;
г) P(X > 4)= 1 − p0− p1− p2− p3− p4= 0,01857;
д) P(1 < X 6 4)= p2+ p3+ p4= 0,42360.
В) По условию p = 0,35, следовательно q = 1 − p = 1 − 0,35 = 0,65.
Согласно формулам (1.23) вычислим
q
a) математическое ожидание M(X)=
б) дисперсию D(X)=
q
p
0,65
=
2
≈ 5,30612.
2
0,35
0,65
=
p
≈ 1,85714;
0,35
По формуле (1.22) вычислим вероятности
p0= P(X = 0)= pq0= 0,35000;
p1= P(X = 1)= pq1= 0,22750;
p2= P(X = 2)= pq2= 0,147885;
p3= P(X = 3)= pq3≈ 0,09612;
p4= P(X = 4)= pq4≈ 0,06248;
p5= P(X = 5)= pq5≈ 0,04061.
259
Следовательно,
в) P(X 6 1)= p0+ p1= 0,57750;
г) P(X > 5)= 1 − p0− p1− p2− p3p4− p5≈ 0,07542;
д) P(1 < X 6 5)= p2+ p3+ p4+ p5≈ 0,34708.
Задание 2. Для независимых величин X ∼ Exp(λ)и Y ∼ Nm, σ
2
, если
m = 10, σ2= 25, λ = 0,6, a = 8 и b = 11, вычислить
а) P(X 6 a); б) P(X > b); в) P(a < X 6 b);
г) P(Y 6 a); д) P(Y > b); е) P(a < Y 6 b);
ж) M(X); з) D(X); и) M(Y);
к) D(Y); л) M(2X + 3Y + XY − 2); м) D(3X − 2Y + 4).
Решение. Функция распределения вероятностей случайной величины X, подчиняющейся экспоненциальному распределению с параметром
λ = 0,6, согласно (1.28) имеет вид
0, x 6 0;
F(x)=
1 − e
−0,6x
, x > 0.
Далее, по формуле (1.4) найдем вероятности
а) P(X 6 8)= F(8)= 1 − e
б) P(X > 11)= 1 − P(X < 11)= 1 − F(11)= e
в) P(8 < X 6 11)= F(8)− F(X < 11)= e
−0,6·8
= 0,99177;
−0,6·8
−0,6·11
−0,6·11
− e
= 0,00136;
= 0,00687.
Функция распределения нормальной случайной величины Y не выражается в элементарных, поэтому для нахождения следующих вероятностей
воспользуемся формулой (1.36) и таблицей А.1 стандартного нормального
распределения.
С учетом того, что
8−10
5
= −0,4 и
11−10
5
= 0,2, имеем
г) P(Y 6 8)= F(−0,4)= 1 − F(0,4)= 1 − 0,6554 = 0,3446;
д) P(Y > 11)= 1 − P(Y < 11)= 1 − F(0,2)= 1 − 0,5793 = 0,4207;
е) P(8 < Y 6 11)= F(0,2)− F(−0,4)= F(0,2)+ F(0,4)− 1 = 0,5793 +
+ 0,6554 − 1 = 0,2347.
Согласно формулам (1.29)
1
ж) M(X)=
5
=
λ
≈ 1,66667;.
3
260 Глава 8. РЕШЕНИЕ СИГНАЛЬНОГО ВАРИАНТА
1
з) D(X)= σ2=
λ
25
=
2
≈ 2,77778.
9
Согласно формулам (1.32)
и) M(Y)= m = 10;.
к) D(Y)= σ2= 25.
л) В силу свойств математического ожидания, (см. пункт 1.1.2 стр. 18)
имеем
M(2X + 3Y + XY − 2)= 2 ·
5
+ 3 · 10 +
3
5
· 10 − 2 = 48.
3
м) Используя свойства дисперсии, (см. пункт 1.1.2 стр. 19) вычислим
D(3X − 2Y + 4)= 9 ·
+ 4 · 25 = 125.
9
Задание 3. С помощью неравенства Чебышева оценить вероятность то-
го, что доля бракованных изделийk/n отклонится от соответствующей ве-
роятности p = 0,001v не более чем на величину ε. Выполнить вычисления
для n = 120, v = 9 и ε = 0,035.
Решение. Случайная величина k, равная количеству бракованных изде-
лий среди n выбранных, имеет биномиальное распределение с параметрами
n = 120 и p = 0,009. Следовательно, математическое ожидание и дисперсия
25
X =
k
, соответственно, равны M(X)= p D(X)=
n
pq
n
.
Перепишем неравенство Чебышева (1.40) для случайной величины
|
X − p|, выбрав качестве функции g(x) = x
2
P{|X − p|> ε}≤
D(X
2
ε
=
pq
nε
.
2
)
Окончательно получим
0,009 · 0,991
P{|X − p|> ε}≤
120 · 0,035
≈ 0,06067.
2
Тема 2. Основы выборочного метода
Задание 4. Дана выборка объема n = 100, которая представлена в таб-
лице.