Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Специальные разделы высшей математики. Практикум по математической статистике. Учебно-методическое пособие.pdf
2.4. Задачи 61
F*(x)
1
23
27
5
9
5
27
1 2 3 4 5
x
е) Построим полигон относительных частот. Для этого соединим точки
с координатами (xi; p
*
) отрезками.
i
*
p
5
9
23
27
5
27
2
27
1
27
1 2 3 4 5
x
2.4 Задачи
Задача 2.1. Дана выборка наблюдений над случайной величины X:
(4; 3; 3; 4; 2; 2; 3; 3; 4; 2). Записать ее в виде а) простого вариационного ряда
и б) дискретного вариационного ряда частот.
62 Глава 2. ОСНОВЫ ВЫБОРОЧНОГО МЕТОДА
Задача 2.2. Дана выборка наблюдений над случайной величины X:
(1; 1; 0; 3; 1; 0; 1; 4; 5; 3; 4; 1; 3; 1; 2; 2; 2; 4; 1; 3). Записать ее в виде а) простого вариационного ряда и б) дискретного вариационного ряда частостей.
Задача 2.3. Представить выборку
25,3 83,9 75,2 57,6 34,5 49,7 52,6 62 26,0 36,4
45,6 46,8 59,0 33,4 60,4 40,3 46,0 43,1 40,6 52,7
62,5 50,7 32,9 53,1 31,7 33,6 63,2 41,0 58,7 51,0
40,5 43,5 49,7 60,9 55,7 51,8 59,0 49,6 15,7 47,6
в виде интервального вариационного ряда, количество интервалов разбиение определить по формуле Стерджесса.
Задача 2.4. Представить выборку
53,2 36,6 15,5 18,1 36,9 42,4 40,3 26,3 34,8 19,7 29,0
47,9 10,1 13,9 15,2 45,1 11,6 46,1 57,5 54,4 19,7 33,1
57,4 37,8 21,5 16,4 56,4 49,4 45,0 17,2 50,3 48,0 51,4
15,2 35,2 14,4 13,5 19,7 25,0 57,2 31,2 29,6 52,9 13,2
10,7 51,6 46,9 26,2 59,1 23,0 44,5 12,3 20,9 58,6 32,5
43,2 35,2 14,4 13,5 19,7 25,0 57,2 31,2 29,6 52,9 13,2
в виде интервального вариационного ряда, количество интервалов разбиение определить по формуле Стерджесса.
Задача 2.5. Задана выборка случайной величины X = (1; 2; 3; 5; 7). Запи-
*
сать эмпирическую функцию распределения вероятностей F
(x)
и постро-
ить ее график.
Задача 2.6. Задана выборка случайной величины X = (2; 3; 5; 7; 2). Запи-
*
сать эмпирическую функцию распределения вероятностей F
(x)
и постро-
ить ее график.
Задача 2.7. Записать и построить эмпирическую функцию распределения выборки представленной в виде дискретного вариационного ряда
x
n
i
i
11 13 15 16
10 20 30 20
2.4. Задачи 63
Задача 2.8. Записать и построить эмпирическую функцию распределения выборки представленной в виде дискретного вариационного ряда
x
n
2 4 5 8 10 7
i
2 5 3 1 2 4
i
Вычислить значения F*(1), F*(2), F*(4), F*(6,8), F*(7,1).
Задача 2.9. Для выборки представленной в виде интервального вариационного ряда
(
x
i−1
n
; x
i
] (
i
1; 3
] (
3; 5
] (
5; 7
] (
7; 9
10 20 50 20
]
а) записать и построить эмпирическую функцию распределения;
б) построить гистрограмму частостей;
в) построить полигон частостей.
Задача 2.10. Для выборки представленной в виде интервального вариационного ряда
(
x
i−1
n
; x
i
] (
i
2; 4
] (
4; 6
] (
6; 10
] (
10; 12
10 20 50 20
]
а) записать и построить эмпирическую функцию распределения;
б) построить гистрограмму частот;
в) построить полигон приведенных частостей.
Задача 2.11. При исследовании времени безотказной работы прибора
были зафиксированы следующие результаты, в часах
64 Глава 2. ОСНОВЫ ВЫБОРОЧНОГО МЕТОДА
124,60 16,31 24,04 304,01 13,71 15,83 64,11 62,52 153,71 56,80
30,03 202,45 52,89 9,13 125,12 89,79 53,69 108,05 112,60 131,01
40,80 53,94 55,93 18,63 107,74 59,64 57,70 32,42 25,13 27,04
130,76 77,07 9,05 11,97 89,41 174,40 36,06 145,66 6,95 101,95
14,94 21,93 72,50 24,87 9,26 177,42 215,12 94,93 77,96 37,03
59,16 20,37 53,00 607,96 7,08 58,95 85,29 20,41 60,62 25,98
Для данных эмпирических данных
а) заисать интервальный вариационный ряд;
б) записать и построить эмпирическую функцию распределения;
в) построить гистрограмму частостей;
г) построить полигон приведенных частостей;
д) на основании гистограмы и полигона, предложить распределение ве-
роятностей, которому подчиняется время безотказной работы прибора.
Задача 2.12. Производились наблюдения за числом звонков диспетчеру аварийной службы в течении 10 минут. В результате были получены
следующие результаты:
9 6 5 6 4 5 3 5 3 6 5 4
5 6 5 4 3 5 8 5 4 6 6 4
3 8 3 8 5 6 6 9 6 4 3 5
7 5 3 8 7 5 1 3 3 5 6 5
5 8 9 6 9 7 6 3 6 7 7 4
Для этой выбоки:
а) составте дискретный вариационный ряд;
б) запишите и постройте эмпирическую функцию распределения;
в) постройте полигон частот дискретного вариационного ряда.
СТАТИСТИЧЕСКИЕ ОЦЕНКИ
Но ведь не может быть так, чтобы среди тысячи до-
рог не нашлось верной!
— Аркадий и Борис Стругацкие, «Желание странного»
3.1 Коротко о главном
3.1.1 Точечные оценки параметров
3
Пусть имеется выборка объема n:{x1, x2, . . . , x
висимы и одинаково распределены с функцией распределения F
которой известно лишь то, что она принадлежит параметрическому семейству распределений Fθ, т. е. некоторому классу распределений, целиком
определяющемуся значением скалярного или векторного параметра θ из
параметрического множества Θ.
Пусть, например, для всех i = 1, . . . , n
X Xiимеют распределение Бернулли: Bernulli(p), где 0 < p < 1 — неиз-
вестный параметр; здесь Fθ= Bernulli(p), θ = p, Θ = (0; 1);
X Xiимеют распределение Пуассона: P(λ), где λ > 0 — неизвестный
параметр; здесь Fθ= P(λ), θ = λ, Θ = (0,∞);
}
, элементы которой неза-
n
(
x, θ), о
X
X Xiимеют равномерное распределение U(a,b), где a < b — неизвестные
параметры; здесь Fθ= U(a,b), θ = (a,b), Θ ={(a,b) : a < b};
66 Глава 3. СТАТИСТИЧЕСКИЕ ОЦЕНКИ
X Xiимеют равномерное распределение U(−a,a), где a > 0 — неизвест-
ный параметр; здесь Fθ= U(−a,a), θ = a, Θ = (0,∞);
Одной из задач математической статистики является задача оценивания
неизвестного параметра θ ∈ Θ, которая состоит в нахождении приближенных формул
*
здесь θ
*
(
x1, x2, . . . , x
θ ≈ θ
)
— функция на выборочном пространстве значений
n
(
x1, x2, . . . , x
)
,
n
случайной величины X со значениями во множестве Θ.
Функция θ*= θ
(
x1, x2, . . . ,x
)
выборки(x1, x2, . . . , x
n
)
называется ста-
n
*
тистикой. Статистика — есть функция от эмпирических данных, но не как
от параметра θ, статистика предназначена именно для оценивания параметра, поэтому ее еще называют оценкой параметра θ.
Определение 3.1. Статистика θ*= θ
(
x1, x2, . . . , x
)
называется
n
*
несмещенной оценкой параметра θ, если для любого θ ∈ Θ справедливо
*
M(θ
)
= θ.
Несмещенность — это свойство оценок при фиксированном n. Оно означает, что при систематическом использовании оценки отсутствует ошибка
в среднем.
Иногда, когда надо подчеркнуть, что оценка θ*получена по выборке
(
x1,x2, . . . ,x
)
объема n ее обозначают θ
n
Определение 3.2. Статистика θ
*
.
n
*
n
= θ
*
(
x1, x2, . . . ,x
n
)
называется
n
состоятельной оценкой параметра θ, если для любого θ ∈ Θ θ*схо-
дится по вероятности к θ при неограниченном росте n, т. е.
*
lim
n→∞
P(|θ*− θ
|
> ε)= 0
n
для любого ε > 0.
Свойство состоятельности является асимптотическим свойством и означает, что семейство оценок θ
(
x1,x2, . . . ,x
)
приближается, в смысле сходи-
n
*
мости по вероятности, к оцениваемому параметру при увеличении количества наблюдений.
3.1. Коротко о главном 67
Определение 3.3. Статистика θ
*
n
= θ
*
(
x1,x2, . . . ,x
n
)
называется
n
асимптотически несмещенной оценкой параметра θ, если для лю-
бого θ ∈ Θ
*
M(θ
)
→θ при n →∞.
n
Определение 3.4. Несмещенная оценка называется эффективной,
если она имеет наименьшую дисперсию среди всех возможных несме-
щенных оценок, вычисленных по выборкам одного объема.
3.1.2 Выборочные числовые характеристики
Пусть дана выборка(x1,x2, . . . ,x
)
из генеральной совокупности c функ-
n
цией распределения F(x). По аналогии с теоретическими моментами, которые вычисляются по F(x), можно определить моменты по эмпирической
*
функции распределения F
(x)
.
В математической статистике рассматриваются следующие выборочные
моменты.
Определение 3.5. Выборочным (эмпирическим) начальным мо-
ментом порядка k называется числовая характеристика, определяе-
мая формулой
ν
*
=
k
n
P
1
n
1
n
1
n
i=1
r
P
i=1
m
P
i=1
x
x
˜
x
k
,
i
k
ni=
i
k
ni=
i
r
P
i=1
m
P
i=1
k
x
i
˜
xip
p
*
,
i
*
.
i
(3.1)
В этой формуле первая строка соответствует простому вариа-
ционному ряду, вторая — сгруппированному, третья — интервально-
му.
Определение 3.6. Выборочным (эмпирическим) центральным мо-
ментом порядка k называется числовая характеристика определяе-
68 Глава 3. СТАТИСТИЧЕСКИЕ ОЦЕНКИ
мая формулой
µ
*
=
k
n
P
1
(
i=1
r
P
i=1
m
P
i=1
xi− ν
(
xi− ν
˜
(
xi− ν
n
1
n
1
n
*
1
*
1
*
1
k
)
k
)
k
)
,
ni=
ni=
r
P
i=1
m
P
i=1
(
xi− ν
˜
(
xi− ν
k
*
*
)
p
1
*
1
,
i
k
*
)
p
.
i
(3.2)
Формулы связи между центральными и начальными выборочными моментами сходны с формулами для их теоретических аналогов, т. е.
µ
µ
*
2
*
4
= ν
= ν
*
−(ν
2
*
− 4ν
4
*
1
*
3
2
)
ν
, µ
*
+ 6ν
1
*
3
= ν
*
(
2
ν
*
3
*
)
1
− 3ν
2
− 3(ν
*
ν
2
*
+ 2(ν
1
4
*
)
.
1
3
*
)
,
1
Отметим, что некоторые из этих эмпирических моментов носят собственные имена ввиду частых применений в статистике.
Определение 3.7. Первый начальный эмпирический момент ν
*
m
=¯x называется выборочным средним.
x
Выборочное среднее m
*
является несмещенной, состоятельной и эффек-
x
тивной оценкой среднего mxгенеральной совокупности.
Определение 3.8. Второй центральный эмпирический момент
µ
D
*
2
*
x
*
= D
называется выборочной дисперсией, а корень квадратный из
x
называется средним квадратическим отклонением σ
Выборочная дисперсия D
*
является смещенной оценкой дисперсии σ
x
*
=D
x
(3.3)
*
.
x
*
=
1
2
x
генеральной совокупности. Хотя остается асимптотически несмещенной.
Тем не менее, при малом объёме выборки смещение оказывается существенным.
Определение 3.9. Несмещенная выборочная дисперсия определя-
ется формулой
n
X
1
(
xi− m
i=1
2
называется исправленным
x
2
*
)
. (3.4)
x
=
n
n − 1
D
*
x
=
n − 1
2
S
x
Определение 3.10. Величина Sx=S
средним квадратическим отклонением.
3.1. Коротко о главном 69
Определение 3.11. Выборочным коэффициентом вариации назы-
вается отношение выборочного среднего квадратического отклонения
к выборочному среднему, выраженное в процентах:
*
σ
V*=
x
· 100%. (3.5)
*
m
x
Выборочный коэффициент вариации — универсальная характеристика,
которая служит для сравнения вариаций различных признаков. Но этот коэффициент используют не только для сравнительной оценки вариации, но
и как характеристику однородности совокупности. Совокупность считается
однородной, если коэффициент вариации не превышает 33%.
Определение 3.12. Выборочным коэффициентом асимметрии на-
зывается число As*, определяемое формулой:
*
µ
As*=
3
. (3.6)
3
(
)
σ
x
Выборочный коэффициент асимметрии служит для характеристики
асимметрии полигона вариационного ряда. Если полигон асимметричен,
то одна из ветвей его, начиная с вершины, имеет более пологий «спуск»,
чем другая. Если As*< 0, то более пологий «спуск» полигона наблюдается слева; если As*> 0 — справа. В первом случае асимметрию называют
левосторонней, а во втором — правосторонней.
Определение 3.13. Выборочным коэффициентом эксцесса называ-
ется число Ex*, определяемое формулой:
*
µ
Ex*=
4
− 3. (3.7)
4
(
)
σ
x
Выборочный коэффициент эксцесса служит для сравнения на «крутость» выборочного распределения с нормальным распределением.
Если Ex*< 0, то гистограмма выборки имеет более пологую вершину по
сравнению с нормальной кривой; если Ex*> 0, то гистограмма имеет более
крутой вид.
Определение 3.14. Выборочной медианой называют значение Me*,
которое разбивает вариационный ряд выборки на две равные части.
70 Глава 3. СТАТИСТИЧЕСКИЕ ОЦЕНКИ
Выборочная медиана не обязательно должна совпадать с конкретным
значением какой-либо варианты выборки.
Если по выборке Xn=(x1,x2, . . . x
)
построен вариационный ряд
n
X
=x
(n)
а) Me*= x
б) Me*=
(1),x(2)
, . . . x
((
x
(n/2)+x(n/2+1)
n+1)/
(n)
, если n нечетно;
)
2
2
, то выборочная медиана находится таким образом:
, если n четно.
Для определения медианы в дискретном ряду находят какое значение
варианты приходится на n/2, т. е. варианты, накопленная частота которой
впервые превышает n/2.
При вычислении медианы интервального статистического ряда сначала
определяют медианный интервал, в пределах которого находится медиана,
а затем — значение медианы по формуле:
Me*= αM+ h
n/2 − ν
M
n
M
M−1
. (3.8)
где
αM— нижняя граница медианного интервала;
hM— величина медианного интервала;
nM— частота медианного интервала;
ν
— накопленная частота интервала, предшествующего медианному.
M−1
Определение 3.15. Выборочная мода Mo*— это значение, которое
наиболее часто встречается в выборке, т. е. значение с наибольшей
частотой.
Если все варианты встречаются одинаково часто, то говорят, что выборка моды не имеет. Если наибольшая частота соответствует двум вариантам,
то выборку называют бимодальной. При вычислении моды для интервального вариационного ряда необходимо сначала определить модальный интервал (по максимальной частоте), а затем — значение моды по формуле:
Mo*= αM+ h
M
(
nM− n
M−1
где
αM— нижняя граница модального интервала;
hM— величина модального интервала;
nM− n
)+(
M−1
nM− n
M+1
, (3.9)
)