Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Специальные разделы высшей математики. Практикум по математической статистике. Учебно-методическое пособие.pdf
5.3. Примеры типовых задач с решением 151
Пример 5.4. В предположении, что эмпирические данные из примера
5.2 удовлетворяют предположениям однофакторного дисперсионного анализа, для проверки гипотезы о равенстве средних параметра на всех уровнях фактора была частично заполнена ANOVA таблица.
Вариация SS df MS F F критическое
Между группами 64,59 B C E H
Внутри групп A 13 D
Итого 138,24 16
Закончите проведение дисперсионного анализа, положив α = 0,01. Для
этого
a) запишите нулевую и альтернативную гипотезу;
б) допишите в ANOVA-таблицу недостающие значения: A, B, C, D, E и
H;
г) сделайте вывод о значимости влияния фактора на результирующий
признак.
Решение. a) Нулевая гипотеза имеет вид
H0: m1= m2= m3= m4= mX,
соответственно альтернативная
H1: хотя бы для одного i mi= mX.
б) В силу основного тождества (5.1) однофакторного дисперсионного
анализа SST = SSB + SSW, получаем
A = SSW = SST − SSB = 138,24 − 64,59 = 74,05,
B = DFB = DFT − DFW = 16 − 13 = 3 (второй способ DFB = k − 1 = 3).
Вычислим неизвестные средние квадраты (8.1), (5.12),
C = MSB =
D = MSW =
Статистика критерия равна (5.13):
MSB
E =
MSW
SSB
DFB
SSW
DFW
=
64,59
=
=
21,53
5,70
= 21,53,
3
74,05
= 5,70.
13
= 3,7772,
152 Глава 5. ДИСПЕРСИОННЫЙ АНАЛИЗ
которая, при условии справедливости нулевой гипотезы, имеет распределение Фишера с(FDB,FDW)=(k − 1,n − k)степенями свободы.
в) Критическое значение найдем по таблице распределения Фишера как
квантили F
(
k − 1,n − k)F-распределения с(k − 1,n − k)степенями сво-
1−α
боды уровня 1 − α.
H = F
крит
= F
(
k − 1; n − k)= F
1−α
Так как 3,7772 = F < F
1−0,01
= 6,70, то оснований отвергнуть гипотезу H
крит
(
2; 12 − 3)= F
(
3; 13)= 6,70.
0,99
нет, что говорит о том, что фактор A не оказывает существенное влияние
на признак X.
Пример 5.5. Имеются четыре партии сырья: A1, A2, A3, A4. Из каждой
партии отобрано по пять образцов и проведены испытания на определение
величины разрывной нагрузки. Результаты испытаний приведены в таблице. Необходимо на уровне значимости 5% выяснить, существенно ли влияет
на величину разрывной нагрузки партия сырья.
0
Образец
1 2 3 4 5
Партия
A1 200 140 170 145 165
A2 190 150 210 150 150
A3 230 190 200 190 200
A4 150 170 150 170 180
Предполагается, что выборки получены из независимых нормальных
генеральных совокупностей с одной и той же теоретической дисперсией.
Решение. Выдвигаем нулевую гипотезу H0: m1= m2= m3= m4= mX,
Против альтернативы H1: хотя бы для одной i = j пары mi= mj.
Заполним вспомогательную таблицу промежуточных вычислений.
5.3. Примеры типовых задач с решением 153
A
A
A
A
A
P
m
(m
i
200 140 170 145 165 164 40000 19600 28900 21025 27225 26896
1
190 150 210 150 150 170 36100 22500 44100 22500 22500 28900
2
230 190 200 190 200 202 52900 36100 40000 36100 40000 40804
3
150 170 150 170 180 164 22500 28900 22500 28900 32400 26896
4
*
X
*
2
)
X
x
ij
*
m
i
700 Суммы квадратов
175 151500 107100 135500 108525 122125 123496
30625 624750
2
x
ij
Вычислим суммы квадратов отклонений, входящих в (5.1).
Согласно формуле 5.7, общая сумма квадратов отклонений
n
k
X
SST =
i=1
i
X
j=1
2
x
ij
− n(m
2
*
)
= 624750 − 20 · 30625 = 12250,
X
2
*
(
)
m
i
которая имеет DFT = n − 1 = 20 − 1 = 19 степеней свободы, следовательно,
общий средний квадрат или общая дисперсия равна (5.8):
MST =
SST
DFT
=
SST
DFT
=
12250
= 644,7368.
19
Межгрупповая сумма квадратов отклонений (5.9):
k
X
SSB = l
i=1
2
*
(
)
m
i
− n(m
2
*
)
= 5 · 123496 − 20 · 30625 = 4980,
которая имеет DFB = k − 1 = 4 − 1 = 3 степеней свободы, следовательно,
средний квадрат или межгрупповая дисперсия равна
MSB =
SSB
DFB
=
4980
= 1660. (5.33)
3
Внутригрупповая сумма квадратов отклонений (5.11):
SSW = SST − SSB = 12250 − 4980 = 7270,
которая имеет DFW = n −k = 20 − 4 = 16 степеней свободы, следовательно,
средний квадрат или внутригрупповая дисперсия равна (5.12):
MSW =
SSW
DFW
=
7270
= 454,375.
16
154 Глава 5. ДИСПЕРСИОННЫЙ АНАЛИЗ
Источник вариации SS DF MS F =
MSB
MSW
F
крит
Между группами 4980 3 1660 3,6534 3,24
Внутри групп 7270 16 454,375
Общий 12250 19
Результаты вычислений запишем в ANOVA таблицу.
При этом вычисление значения статистики критерия производится по
формуле (5.13):
MSB
F =
MSW
=
454,375
1660
= 3,6534.
которая, при условии справедливости нулевой гипотезы, имеет распределение Фишера с(DFB; DFW)=(k − 1; n − k)= (3; 16) степенями свободы.
Критическое значения F = F
(
3, 16)= 3,24 находим по таблице рас-
0,95
пределения Фишера В.2.
Так как F > F
, то гипотеза H0отвергается. Таким образом, можно
крит
сделать вывод, что величина разрывной нагрузки существенно зависит от
партия сырья.
Пример 5.6. Предприятие решает вопрос о том, какую из трех систем
контроля качества выбрать. Был проведен сравнительный анализ всех трех
систем. Результаты исследования отражены в таблице (число выявленных
бракованных изделий в партии продукции).
Партия
1 2 3 4 5 6
Система
1 1 2 3 0 2 1
2 2 3 1 0 1
3 2 2 3 2
Методом однофакторного дисперсионного анализа проверить гипотезу
об отсутствии влияния выбора системы контроля качества на среднее количество обнаруженных бракованных изделий. Уровень значимости выбрать
α = 0,01. Предполагается, что выборки получены из независимых нормаль-
5.3. Примеры типовых задач с решением 155
ных генеральных совокупностей с одной и той же теоретической дисперсией.
Решение. Выдвигаем нулевую гипотезу H0: m1= m2= m3= mX,
против альтернативы H1: хотя бы для одной i = j пары mi= mj.
Заполним вспомогательную таблицу промежуточных вычислений.
A
i
n
i
x
ij
m
*
i
2
x
ij
(
m
2
*
)
i
A1 6 1 2 3 0 2 1 1,50 1 4 9 0 4 1 2,2500
A2 5 2 3 1 0 1 1,40 4 9 1 0 1 1,9600
A3 4 2 2 3 2 2,25 4 4 9 4 5,0625
Сумма 25,0 Суммы квадратов
*
m
X
2
*
(
)
m
X
1,6667 9 17 19 4 5 1 9
2,7778 55
Вычислим суммы квадратов отклонений, входящих в основное тождество однофакторного дисперсионного анализа (5.1). По условию примера
количество наблюдений на первом уровне фактора равно n1= 6, на вто-
ром — n2= 5 и на третьем — n3= 4. Таким образом, общее количество
наблюдений равно n = n1+ n2+ n3= 6 + 5 + 4 = 15.
Согласно формуле (5.7), найдем общую сумму квадратов отклонений
n
k
X
SST =
i=1
i
X
j=1
2
x
ij
− n(m
2
*
)
= 55 − 15 · 2,7778 = 13,3330;
X
которая имеет DFT = n − 1 = 15 − 1 = 14 степеней свободы, следовательно,
общий средний квадрат или общая дисперсия равна (5.8):
MST =
SST
DFT
=
SST
DFT
13,3330
=
14
= 0,9524.
Межгрупповая сумма квадратов отклонений (5.9):
k
SSB =
X
i=1
n
(
i
m
2
*
)
−n(m
i
2
*
)
= 6·2,2500+5·1,9600+4·5,0625−15·2,7778 = 1,8830,
156 Глава 5. ДИСПЕРСИОННЫЙ АНАЛИЗ
которая имеет DFB = k − 1 = 3 − 1 = 2 степеней свободы, следовательно,
средний квадрат ли межгрупповая дисперсия равна
MSB =
SSB
DFB
=
1,8830
= 0,9415. (5.34)
2
Внутригрупповая сумма квадратов отклонений (5.11):
SSW = SST − SSB = 13,3330 − 1,8830 = 11,45;
которая имеет DFW = n −k = 15 − 3 = 12 степеней свободы, следовательно,
средний квадрат или внутригрупповая дисперсия равна (5.12):
MSW =
SSW
DFW
=
11,45
= 0,9542.
12
Значения статистики критерия вычислим по формуле (5.13):
MSB
F =
MSW
0,9415
=
0,9542
= 0,9867.
Если справедлива нулевая гипотеза, то она имеет распределение Фишера с
(
DFB; DFW)=(k − 1; n − k)= (2; 12) степенями свободы.
Критическое значение F = F
(
2, 12)= 6,93 находим по таблице рас-
0,99
пределения Фишера В.3.
Результаты вычислений запишем в ANOVA таблицу.
Источник вариации SS DF MS F =
MSB
MSW
F
крит
Между группами 1,8830 2 0,9415 0,9867 6,93
Внутри групп 11,4500 12 0,9542
Общий 13,3330 14 0,9524
Так как 0,9867 = F < F
= 6,93, то гипотеза H0принимается, что сви-
крит
детельствует об отсутствии существенного влияния выбора системы контроля качества на среднее количество обнаруженных бракованных изделий.
Пример 5.7. При анализе значимости влияния факторов A и B на ре-
зультирующий признак X на каждой комбинации уровней факторов было
сделано одинаковое количество опытов. Предполагается, что эмпирические
5.3. Примеры типовых задач с решением 157
данные удовлетворяют предположениям двухфакторного дисперсионного
анализа. Результаты первичной статистической обработки полученных данных представлены в следующей ANOVA-таблице.
Вариация SS DF MS F F критическое
Фактор A 61,36 1 C K N
Фактор B 1,16 2 D L O
Взаимодействие 0,38 B E M R
Внутри групп A 30 H
Общая 86,74 35
Закончите проведение дисперсионного анализа, положив α = 0,05. Для
этого
a) запишите все пары нулевых и альтернативных гипотез двухфакторного дисперсионного анализа;
б) допишите в ANOVA-таблицу недостающие значения: A, B, C, D, E,
H, K, L, M, N, O, R;
г) сделайте вывод о значимости влияния факторов и их взаимодействий
на результирующий признак.
Решение. Так как по условию DFA = 1 и DFB = 2, то количество
уровней факторов A и B соответственно равны a = DFA + 1 = 2 и
b = DFB + 1 = 3.
a) Выдвигаются три пары гипотез:
1. Для фактора A
H0: m
1++
= m
2++
= m
X
H1: m
1++
= m
2++
.
2. Для фактора B
H0: m
H1: не все m
+1+
= m
+j+
+2+
= m
+3+
= m
, j = 1, 2, 3 равны.
X
3. Для взаимодействия факторов A и B:
H0: m
H1: не все m
11+
= m
= m
12+
, i = 1, 2, j = 1, 2, 3 равны.
ij+
13+
= m
21+
= m
22+
= m
23+
= m
X
158 Глава 5. ДИСПЕРСИОННЫЙ АНАЛИЗ
б) В силу основного тождества (5.14) двуфакторного дисперсионного
анализа SST = SSA + SSB + SSAB + SSW, получаем
A = SSW = SST − SSA − SSB − SSAB = 86,74 − 61,36 − 1,16 − 0,38 = 23,84.
Количество степеней свободы суммы квадратов взаимодействия факторов A и B равно
DFAB = (a − 1)(b − 1) = (2 − 1)(3 − 1) = 2, (или DFAB = 35 − 1 − 2 − 30 = 2).
Вычислим неизвестные средние квадраты (5.25) – (5.28)
C = MSA =
SSA
DFA
SSB
D = MSB =
DFB
SSAB
E = MSAB =
DFAB
SSW
H = MSW =
DFW
=
=
61,36
1,16
2
=
23,84
=
= 61,36;
1
= 0,58;
0,38
= 0,19;
2
= 0,79.
30
Статистики рассчитываем по формулам (5.29)
K =FA=
MSA
MSW
MSB
L =FB=
MSW
MSAB
M =FAB=
MSW
=
=
61,36
0,79
0,58
0,79
0,19
=
0,79
= 77,6709;
= 0,7342;
= 0,2405.
которые, при условии справедливости нулевой гипотезы, имеют распределение Фишера с
(
DFA, DFW)=(a − 1, ab(s − 1))=(1; 30),
(
DFA, DFW)=(b − 1, ab(s − 1))=(2; 30),
(
DFA, DFW)=((a − 1)(b − 1), ab(s − 1))=(2; 30
)
степенями свободы соответственно.
По заданному уровню значимости α = 0,05, используя таблицу В.2 Fраспределения, с учетом соотношений (5.30) – (5.32) определяем критиче-
5.3. Примеры типовых задач с решением 159
ские значения, как квантили распределения Фишера
F
F
F
A
крит
B
крит
AB
крит
= F
= F
= F
(
a − 1,ab(s − 1))= F
1−α
(
b − 1,ab(s − 1))= F
1−α
1−α
((
a − 1
) (
b − 1),ab(s − 1))= F
(
1,30)= 4,17;
0,95
(
2,30)= 3,32;
0,95
(
2,30)= 3,32.
0,95
Полученные значения допишем в таблицу двухфакторного дисперсионного анализа.
Вариация SS DF MS F F критическое
Фактор A 61,36 1 61,36 77,6709 4,17
Фактор B 1,16 2 0,58 0,7342 3,32
Взаимодействие 0,38 2 0,19 0,2405 3,32
Внутри групп 23,84 30 0,79
Общая 86,74 35
в) Так как
77,6709 = FA>F
0,7342 = FB<F
0,2405 = FAB<F
A
крит
B
крит
AB
крит
= 4,17;
= 3,32;
= 3,32,
то можно сделать вывод, что с вероятностью 0,95
X фактор A оказывает
X фактор B не оказывает
X взаимодействие факторов AB не оказывает
существенного влияния на результирующий признак X.
Пример 5.8. В таблице приводятся эмпирические данные о сменной
выработке (X) рабочего в зависимости от типа станка (фактор A) и стажа
его работы (фактор B), на каждой комбинации уровней факторов сделано
по одному измерению X.
160 Глава 5. ДИСПЕРСИОННЫЙ АНАЛИЗ
B1 B2 B3
A1 157 160 158
A2 163 165 163
A3 161 158 158
При α = 0,01 методом дисперсионного анализа проверить гипотезу о
том, что факторы A и B не влияют на сменную выработку рабочего. Предположить, что все требования двухфакторного дисперсионного анализа выполнены и взаимодействия между факторами нет.
Решение. a) Так как предполагается, что взаимодействие факторов не
оказывает существенного влияния на результирующий признак, выдвигаем
две пары гипотез:
1. Для фактора A
H0: m1+= m2+= m3+= m
X
H1: не все mi+, i = 1, 2, 3 равны.
2. Для фактора B
H0: m+1= m+2= m+3= m
X
H1: не все m+j, j = 1, 2, 3 равны.
В данном случае основное тождество (5.14) двухфакторного дисперсионного анализа примет вид:
SST = SSA + SSB + SSW.
Прежде, чем находить суммы квадратов отклонений, входящих в последнее соотношение, проведем промежуточные вычисления и заполним
вспомогательную таблицу.