Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Специальные разделы высшей математики. Практикум по математической статистике. Учебно-методическое пособие.pdf
ПРИНЯТЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ И
P(A) — вероятность события A
(x)
F
X
*
F
F
m,σ
F
0,1
величины
f
X
— функция распределения случайной величины X
(x)
— эмпирическая (выборочная) функция распределения
2
(x)
— функция распределения нормальной случайной величины
(x)
— функция распределения стандартной нормальной случайной
(x)
— плотность распределения случайной величины X
СОКРАЩЕНИЯ
νk— начальный момент порядка k
*
ν
— выборочный (эмпирический) начальный момент порядка k
k
µk— центральный момент порядка k
*
µ
— выборочный (эмпирический) центральный момент порядка k
k
M(X)— математическое ожидание случайной величины X
mX— математическое ожидание случайной величины X
*
m
— математическое ожидание случайной величины X
X
MeX— медиана случайной величины X
*
Me
— выборочная медиана случайной величины X
X
MoX— мода случайной величины X
*
Mo
— выборочная мода случайной величины X
X
D(X)— дисперсия случайной величины X
*
(X)
D
(
σ
— выборочная дисперсия случайной величины X
2
*
)
— выборочная дисперсия случайной величины X
X
12
*
σ
— выборочное среднее квадратическое отклонение случайной вели-
X
чины X
2
S
— несмещенная выборочная дисперсия случайной величины X
X
SX— исправленное выборочное среднее квадратическое отклонение случайной величины X
VX— коэффициент вариации случайной величины X
*
V
— выборочный коэффициент вариации случайной величины X
X
AsX— коэффициент асимметрии случайной величины X
*
As
— выборочный коэффициент асимметрии случайной величины X
X
ExX— выборочный коэффициент эксцесса случайной величины X
*
Ex
— выборочный коэффициент эксцесса случайной величины X
X
X ∼ Bernulli(p)— случайная величина X имеет распределение Бернулли с параметром p
X ∼ B(n, p)— случайная величина X имеет биномиальное распределение
с параметрами n и p
X ∼ P(λ)— случайная величина X имеет распределение Пуассона с параметром λ
X ∼ G(p)— случайная величина X имеет геометрическое распределение
(распределение Фарри) с параметром p
X ∼ DU(i, j), — случайная величина X дискретное равномерное распределение со значениями от i до j включительно
X ∼ U(a,b)— случайная величина X распределена равномерно на отрез-
ке[a,b
]
X ∼ Exp(λ)— случайная величина X имеет экспоненциальное (показательное) распределение с параметром λ
X ∼ Nm,σ
с параметрами m и σ
2
— случайная величина X имеет нормальное распределение
2
X ∼ χ2(n) — случайная величина X имеет χ2–распределением с(n)сте-
пенями свободы
X ∼t(n) — случайная величина X имеет распределением Стьюдента с
(n)
степенями свободы
X ∼F(n,m) случайная величина X имеет распределением Фишера с
(
n, m)степенями свободы
ЗБЧ — закон больших чисел
ЦПТ — центральная предельная теорема
13
Xn=(x1, x2, . . . , x
)
— выборка
n
X
(n)
=x
(1)
, x
, . . . , x
(2)
— простой вариационный ряд
(n)
IQ — интерквартильный размах
L(x1,x2, . . . ,xn,θ)— функция правдоподобия
l(x1,x2, . . . ,xn,θ)— логарифмическая функция правдоподобия
zα— квантиль стандартного нормального распределения уровня α
(n)
t
α
— квантиль распределения Стьюдента (t-распределения) с n сте-
пенями свободы уровня α
2
(n)
χ
F
α
α
— квантиль χ2-распределения с n степенями свободы уровня α
(
n, m)— квантиль распределения Фишера (F-распределения) c(n, m
уровня α
)
1
СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ
Из этой первой лекции по теории вероятностей я за-
помнил только полузнакомый термин «математиче-
ское ожидание». Незнакомец употреблял этот термин
неоднократно, и каждый раз я представлял себе боль-
шое помещение, вроде зала ожидания, с кафельным по-
лом, где сидят люди с портфелями и бюварами и, под-
брасывая время от времени к потолку монетки и бу-
терброды, сосредоточенно чего-то ожидают. До сих
пор я часто вижу это во сне. Но тут незнакомец
оглушил меня звонким термином «предельная теоре-
ма Муавра–Лапласа» и сказал, что все это к делу не
относится
— Аркадий и Борис Стругацкие, «Стажеры»
1.1 Коротко о главном
1.1.1 Определение и виды случайных величин
Определение 1.1. Случайным называют эксперимент, результа-
ты которого нельзя предугадать заранее, кроме того, при выполне-
нии определенной совокупности условий его можно повторить (хотя
бы мысленно) неограниченное количество раз.
Определение 1.2. Пространством элементарных исходов Ω на-
зывается множество, содержащее все возможные результаты дан-
1.1. Коротко о главном 15
ного случайного эксперимента, которые удовлетворяют следующим
свойствам:
— в результате опыта один из них обязательно происходит;
— появление одного из исходов исключает появление остальных.
Элементы ωiэтого множества называют элементарными ис-
ходами, т. е. Ω ={ω1, ω2, . . . , ωn, . . .}.
Определение 1.3. Случайными событиями называют некоторые
подмножества пространства элементарных исходов.
Определение 1.4 (Формальное). Функция X = X(ω)заданная на Ω
такая, что для каждого действительного x определена вероятность
P(X < x), называется случайной величиной.
Определение 1.5 (Не строгое). Случайной называют величину, ко-
торая в результате эксперимента примет одно и только одно зна-
чение из множества значений, причем заранее, до завершения экспе-
римента, неизвестно, какое конкретно.
В дальнейшем будем обозначать случайные величины прописными латинскими буквами с индексами или без них: X, Y, Z1, Z2. . .
Определение 1.6. Функцией распределения F
X
(x)
случайной вели-
чины X называется функция, определяемая для любого действитель-
ного числа x ∈ R соотношением:
(x)
F
X
= P(X < x). (1.1)
Основные свойства функции распределения.
1. Функция распределения — неубывающая функция для x ∈(−∞; +∞),
т. е. для любых x1< x2справедливо F(x
)
1
≤ F(x
)
.
2
2. Функция распределения является непрерывной слева, т. е. для любого
)
.
0
F(x)= 1.
3.
x ∈ R
lim
x→−∞
lim
x→x0−0
F(x)= F(x
F(x)= 0,
lim
x→+∞
16 Глава 1. СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ
4. P(a ≤ X < b)= F
X
(b)
− F
X
(a)
.
В приложениях теории вероятности и математической статистики к задачам практики, в зависимости от характера области значений, используются два основных типа случайных величин:
X дискретные,
X абсолютно непрерывные.
Определение 1.7. Дискретными называют случайные величины,
которые принимают конечное или счетное множество значений.
Определение 1.8. Формулы, выражающие соответствие между
значениями случайной величины и их вероятностями
pi= P(X = x
)
, i = 1, 2, . . . , n, . . . (1.2)
i
называются законом распределения дискретной случайной величины.
Свойства вероятностей дискретной случайной величины.
1. pi> 0, для любого i = 1, 2, . . .
+∞
P
2.
pi= 1.
i=1
Определение 1.9. Если дискретная случайная величина может
принимать лишь конечное число значений, то ее закон распределе-
ния удобно представлять в виде ряда распределения
x
p
x
i
p
i
x
1
p
1
2
2
. . . x
. . . p
n
n
Определение 1.10. Многоугольником распределения дискретной
случайной величины называют ломаную, которая последовательно
соединяет точки с координатами(xi, p
)
, i = 1, 2, . . .
i
Множество значений непрерывной случайной величины несчётно. Частным случаем непрерывных случайных величин являются абсолютно-непрерывные.
1.1. Коротко о главном 17
Определение 1.11. Абсолютно непрерывной называется случай-
ная величина, для которой существует интегрируемая функция
(x)
f
X
такая, что справедливо равенство
x
Z
(x)
F
X
=
Определение 1.12. Функция f
−∞
X
(t)
f
(x)
dt. (1.3)
X
называется плотностью рас-
пределения вероятностей случайной величины X.
Свойства плотности распределения.
1. f(x)> 0, для любого x ∈ R.
+∞
R
2.
f(x)dx = 1.
−∞
Все возможные значения абсолютно непрерывной случайной величины целиком заполняют некоторый конечный или бесконечный промежуток
числовой оси или их объединение.
Для абсолютно непрерывной случайной величины для любого x ∈ R
выполнено P(X = x)= 0, поэтому справедливы равенства
P(a 6 X < b)= P(a 6 X 6 b)= P(a < X 6 b)=
b
Z
= P(a < X < b)= F
X
(b)
− F
X
(a)
=
(x)
f
X
a
dx. (1.4)
1.1.2 Числовые характеристики случайных величин
Определение 1.13. Математическое ожидание (среднее)
M(X)= mXслучайной величины X определяется формулами
X для дискретной случайной величины
∞
X
M(X)=
xipi, (1.5)
i=1
18 Глава 1. СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ
X для абсолютно-непрерывной случайной величины
+∞
Z
M(X)=
xf(x)dx, (1.6)
−∞
При условии, что правые части формул (1.5)–(1.6) существуют.
Основные свойства математического ожидания. Пусть существу-
ют M(X)и M(Y).
1. Математическое ожидание имеет ту же размерность, что и сама случайная величина.
2. Математическое ожидание может быть как положительным, так и отрицательным числом.
3. Математическое ожидание постоянной величины C равно этой константе, т.е. M(C)= C.
4. Постоянный множитель можно выносить за знак математического
ожидания, т.е. M(CX)= CM(X), где C — константа.
5. Математическое ожидание суммы случайных величин равно сумме их
математических ожиданий:
M(X + Y)= M(X)+ M(Y).
6. Математическое ожидание произведения независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий:
M(X Y)= M(X)M(Y).
Два последних свойства обобщаются на любое конечное число случай-
ных величин.
Определение 1.14. Дисперсией случайной величины X называют
число, определяемое соотношением
D(X)= σ
2
= M(X − M(X
X
2
))
. (1.7)
1.1. Коротко о главном 19
Основные свойства дисперсии. Пусть существуют D(X)и D(Y).
1. Дисперсия имеет размерность, равную квадрату размерности случайной величины.
2. Формулу (1.7) можно переписать в виде:
D(X)= σ
2
= MX
X
2
−(M(X
2
))
. (1.8)
3. D(X)> 0.
4. Дисперсия постоянной величины C равна нулю, т. е. D(C)= 0.
5. Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии с квадратом, т. е. D(CX)= C2D(X), где C — константа.
6. Математическое ожидание суммы независимых случайных величин
равно сумме их дисперсий:
D(X + Y)= D(X)+ D(Y).
Из выражений (1.5)–(1.6) для математического ожидания случайной величины, а также определения (1.7) и свойства дисперсии (1.8) вытекают
следующие формулы для вычисления дисперсии:
X для дискретной случайной величины
∞
X
i=1
2
x
pi− m
i
2
, (1.9)
X
D(X)=
∞
X
i=1
(
xi− m
2
)
pi=
X
X для абсолютно-непрерывной случайной величины
D(X)=
+∞
Z
−∞
(
x − m
2
)
f(x)dx =
X
+∞
Z
x2f(x)dx − m
−∞
2
, (1.10)
X
если правые части формул (1.9)–(1.10) существуют.
Определение 1.15. Квадратный корень из дисперсии σX=
D(X
называется средним квадратичным отклонением или стандартным
)
отклонением случайной величины X.
20 Глава 1. СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ
Определение 1.16. Коэффициент вариации равен отношению стан-
дартного отклонения к среднему значению
σ
VX=
X
· 100%. (1.11)
m
X
Определение 1.17. Квантилью порядка p случайной величины X
называют такое число xp, для которого выполняется следующее ра-
венство:
P(X < x
)
= p или F(x
p
)
= p. (1.12)
p
Определение 1.18. Разность между квантилями уровней 0,75 и
0,25 называют интерквартильным размахом.
1.1.3 Основные распределения дискретных случайных
величин
Дискретное равномерное распределение.
Определение 1.19. Говорят, что случайная величина X распреде-
лена по дискретному равномерному закону, обозначают X ∼ DU(i, j),
если она может принимать только целые значения от i до j вклю-
чительно, а вероятности всех возможных значений одинаковы, т. е.
pk= P(X = k)=
, k = i, j. (1.13)
j − i + 1
Основные числовые характеристики равномерной случайной величины
1
M(X)=
j + i
; D(X)=
2
(
j − i + 1
12
2
)
− 1
. (1.14)
Распределение Бернулли.
Определение 1.20. Случайная величина X имеет распределение
Бернулли, если она принимает всего два значения: 0 и 1 с вероят-
ностями:
p = P(X = 1)или q = 1 − p = P(X = 0). (1.15)
Этот факт обозначают X ∼ Bernulli(p).