Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Специальные разделы высшей математики. Практикум по математической статистике. Учебно-методическое пособие.pdf
4.1. Коротко о главном 101
Таблица 4.7 – Гипотезы о равенстве средних, дисперсии не известны, но
равны
Гипотеза H
mX= m
mX> m
mX< m
Y
Y
Y
df =
Правило принятия статистического решения
1
|T|
< t
|T|
≥ t
T < t
T ≥ t
T > t
T ≤ t
n
2
S
X
1−α/2
1−α/2
1−α
1−α
(
α
α
(
n + m − 2), гипотеза H0принимается,
(
n + m − 2), гипотеза H0отвергается.
(
n + m − 2), гипотеза H0принимается,
(
n + m − 2), гипотеза H0отвергается.
n + m − 2), гипотеза H0принимается,
(
n + m − 2), гипотеза H0отвергается.
S
2
(
n − 1)+S
2
X
n + S
m
2
Y
2
Y
m
2
2
(
m − 1
. (4.6)
)
Критерии проверки этой гипотезы представлены таблице 4.8.
Таблица 4.8 – Гипотезы о равенстве средних, дисперсии не известны и не
равны
Гипотеза H
mX= m
mX> m
mX< m
Y
Y
Y
Правило принятия статистического решения
1
|T|
< t
|T|
≥ t
T < t
T ≥ t
T > t
T ≤ t
1−α/2
1−α/2
1−α
1−α
(df)
α
α
(df)
, гипотеза H0принимается,
(df)
, гипотеза H0отвергается.
(df)
, гипотеза H0принимается,
(df)
, гипотеза H0отвергается.
, гипотеза H0принимается,
(df)
, гипотеза H0отвергается.
В этой таблице количество степеней свободы df квантили распределения Стьюдента определяется формулой (4.6).
Критерий о средних для парных наблюдений
Пусть есть две случайные величины X ∼ NmX,σ
2
и Y ∼ NmY,σ
x
2
y
которые связаны, например, через объект наблюдения. Это могут быть
,
102 Глава 4. ПРОВЕРКА СТАТИСТИЧЕСКИХ ГИПОТЕЗ
значения параметра объекта до и после некоторой обработки. Предположим, что из них извлечена выборка парных наблюдений(X,Y)=
((
x1,y
1
),(
x2,y
)
, . . . ,(xn,y
2
))
. Рассмотрим задачу о сравнении средних этих
n
случайных величин, т. е. проверяется наличие или отсутствие эффекта обработки.
Перейдем к разности случайных величин d = X−Y, тогда d ∼ Nmd,σ
Очевидно, что md= mX−mY. Дисперсия же σ
T =
(
md= 0). Для проверки этой гипотезы
Y
√
*
m
n
d
S
d
Выдвигается гипотеза H0: mX= m
используется статистика
2
, вообще говоря, не известна.
d
. (4.7)
2
d
Эта статистика при справедливости гипотезы H0имеет распределение
Стьюдента с(n − 1)степенями свободы.
Критерии проверки этой гипотезы представлены таблице 4.9.
Таблица 4.9 – Гипотеза о равенстве средних для парных выборок
.
Гипотеза H
md= 0
md> 0 T < t
md< 0 T > t
Правило принятия статистического решения
1
|T|
< t
|T|
≥ t
T ≥ t
T ≤ t
1−α/2
1−α/2
1−α
1−α
(
α
a
(
n − 1), гипотеза H0принимается,
(
n − 1), гипотеза H0отвергается.
(
n − 1), гипотеза H0принимается,
(
n − 1), гипотеза H0отвергается.
n − 1), гипотеза H0принимается,
(
n − 1), гипотеза H0отвергается.
4.1.2 Критерии согласия
Постановка задачи проверки гипотезы о законе распределения
Пусть Xn=(x1,x2, . . . ,x
)
— выборка из генеральной совокупности с теоре-
n
тической функцией распределения F(x). Причем функция F(x)неизвестна.
На основании предварительного статистического анализа эмпирических
данных можно сформулировать гипотезу о функции распределения генеральной совокупности H0: F(x)= F
(
x,θ). Такого вида гипотезы называют
0
4.1. Коротко о главном 103
гипотезами согласия или непараметрической гипотезой. Если функция
распределения F
(
x,θ)полностью задана, т. е. ее вектор параметров θ изве-
0
стен, то гипотеза H0является простой. В случае если значения параметров
θ неизвестны и их необходимо оценить по выборке, то гипотеза H0является
сложной.
Критерии, проверяющие такую гипотезу о виде распределения, против
альтернативы H1: F(x)= F
(
x,θ)называются критериями согласия.
0
При построении критериев согласия вводят меру отклонения эмпири-
*
,F
0
(x)
от гипотетической функции распре-
(x))
= U
(
x1,x2, . . . ,x
n
)
, (4.8)
n
ческой функции распределения F
деления F
0
(x)
.
Un= U
*
(
(x)
F
n
которая используется в качестве статистики критерия.
При этом критическая область будет иметь вид
{
x : U0≥ U
}
, (4.9)
крит
где случайная величина U0имеет предельное распределение Unпри n →∞,
если гипотеза H0справедлива.
При заданном уровне значимости критическое значение U
крит
— кван-
тиль распределения случайной величины U0уровня 1 − α, т. е.
P(U0< U
крит
)
= 1 − α.
Таким образом, критерий согласия строится следующим образом:
— H0принимается, если U0< U
— H0отвергается, если U0≥ U
крит
крит
;
.
В зависимости от вида Unполучаются разные критерии согласия. Рассмотрим более подробно три ярких представителя этой группы критериев.
Критерий согласия Пирсона Первый из критериев согласия был
предложен в 1901 г. Карлом Пирсоном и получил название χ2-критерия.
Критерии этого типа широко используются и в настоящее время из-за их
универсальности: они применимы как к дискретным, так и к непрерывным
распределениям; как к одномерным, так и многомерным данным. Чтобы
104 Глава 4. ПРОВЕРКА СТАТИСТИЧЕСКИХ ГИПОТЕЗ
воспользоваться этим критерием, эмпирические данные предварительно
группируют, в связи с этим мощность критерия ниже, чем у критериев,
построенным по несгруппированным данным.
Простая гипотеза. Итак, пусть выдвигается гипотеза согласия H0:
F(x)= F
(
x,θ)против альтернативы H1: F(x)= F
0
что гипотетическая функция распределения F
0
(x)
(
x,θ). Предположим,
0
полностью определена.
В этом случае алгоритм χ2-критерия имеет следующий вид.
1. Числовая ось разбивается на m непересекающихся интервалов
∆1=(−∞; α
]
, ∆2=(α1; α
1
]
, . . . , ∆m=(α
2
m−1
; +∞).
Обозначим α0= −∞и αm= +∞.
2. Находятся частоты ni— число значений выборки, попавших в интер-
вал ∆i, i = 1,m.
3. Вычисляются pi= F
)
α
0
i
− F
(
0
α
)
— теоретические вероятности по-
i−1
(
падания в интервал ∆i, i = 1,m, определяемые по гипотетической функции
распределения.
4. В качестве меры близости U из (4.8) выберем статистику
χ2=
m
X
i=1
(
ni− np
np
2
)
i
, (4.10)
i
распределение которой, если справедлива гипотеза H0, при неограниченном росте n стремится к χ2-распределению с(m − 1)степенями свободы.
По сути в числителе каждого слагаемого (4.10) стоит квадрат разности фактических и гипотетических частот попадания элемента выборки в интервал
∆i.
5. Для выбранного уровня значимости α по таблице приложения Д.1
определяется критическое значение χ
2
, как квантиль χ2-распределения
крит
с(m − 1)степенями свободы уровня 1 − α
χ
2
крит
= χ
2
1−α
(
m − 1).
6. Критическая область в данном случае односторонняя, поэтому пра-
вило принятия решения имеет вид
— если χ2< χ
2
, то гипотеза H0принимается;
крит
4.1. Коротко о главном 105
— если χ2≥ χ
2
, то гипотеза H0отвергается.
крит
В теории, чем меньше значение статистики χ2, тем лучше согласованность статистических данных с гипотетическим распределением. Но на
практике очень малое значение χ2говорит скорее о том, что оно получено
за счет «подгонки» данных под распределение.
Сложная гипотеза. Часто в практических задачах гипотетическое распределение F
(
x,θ)зависит от неизвестных параметров(θ1, . . . .θ
0
случае и теоретические частоты np
ров(θ1, . . . .θ
)
, и вычислить их не представляется возможным. Пусть θ*—
s
i
(θ)
зависят от неизвестных парамет-
)
. В этом
s
эффективная оценка этих параметров, например, оценка максимального
правдоподобия. Тогда, при справедливости гипотезы H0, статистка
χ2=
m
X
i=1
(
ni− np
np
i
(
θ
i
2
*
(
))
θ
*
, (4.11)
)
слабо сходится к величине, имеющей χ2-распределение с m − s − 1 степенями свободы, s — размерность параметра θ, который оценивается по выборке.
Этот факт связывают с именем Р. Фишера. Именно он заметил, что число
степеней свободы в данном случае уменьшается на количество оцениваемых
по выборке параметров. Таким образом, в этом случае критическое значение определяется как квантиль χ2-распределения с(m − s − 1)степенями
свободы уровня 1 − α
χ
2
крит
= χ
2
(
m − s − 1).
1−α
Предпосылки применения критерия согласия Пирсона.
1. Объем выборки должен быть достаточно велик(n ≥ 50).
2. Интервалы, для которых теоретические частоты npiмалы(npi< 5),
следует объединить. В этом случае и соответствующие им наблюдаемые
частоты также надо сложить. Если производилось объединение частот, то
при определении числа степеней свободы в качестве m следует принять
число интервалов, оставшихся после объединения частот. Естественно при
объединении интервалов снижается чувствительность критерия, поэтому
следует избегать объединения ячеек, кроме тех случаев, когда это действительно необходимо.
106 Глава 4. ПРОВЕРКА СТАТИСТИЧЕСКИХ ГИПОТЕЗ
3. Утверждение о сходимости статистики (4.11) справедливо лишь в том
случае, когда параметр оценивается по тем частотам, которые в дальнейшем будут использоваться в критерии.
4.1. Коротко о главном 107
Критерий Колмогорова К сожалению, если в нашем распоряжении
имеется выборка малого объема, то χ2-критерий применять нельзя, возникнут проблемы с группировкой. В этом случае альтернативой выступает
критерий Колмогорова.
При его построении в качестве меры отклонения эмпирической функ-
ции распределения F
(x)
от гипотетической F
0
(x)
выбирают максимальное
*
значение абсолютной величины разности между ними
Dn=
sup
−∞≤x≤∞
если гипотетическая функция распределения F
|
F*(x) − F0(x)|, (4.12)
(x)
0
непрерывна и полно-
стью определена, т. е. все параметры однозначно определены, а гипотеза
H0: F(x)= F
(
x,θ)верна, распределение случайной величины Dnне за-
0
висит от закона распределения генеральной совокупности. Квантили D
приведены в таблице П.5.
Правило принятия решения по критерию Колмогорова:
— если Dn< D
— если Dn≥ D
, то гипотеза H0принимается;
n,1−α
, то гипотеза H0отвергается.
n,1−α
Доказано, что в этих условиях при неограниченном увеличении числа
наблюдений имеет место сходимость (теорема Колмогорова):
PD√n < x−−−→
n→∞
K(x),
n
где функцию
∞
K(x)=
X
i=−∞
(−1)
i
e
−2i2x
2
называют функцией распределения Колмогорова.
При больших значениях n (n > 35), в качестве D
из двух гипотез можно использовать D
— квантиль предельного распре-
1−α
n,1−α
при выборе одной
деления Колмогорова уровня 1 − α, деленный на√n.
Предпосылки применения критерия согласия Колмогорова.
1. Гипотетическое распределение F0полностью определено.
2. Функция F0гипотетического распределения непрерывна.
Как мы уже видели, эту же задачу можно решать с помощью χ2–
критерия. Преимущество критерия Колмогорова состоит в том, что
108 Глава 4. ПРОВЕРКА СТАТИСТИЧЕСКИХ ГИПОТЕЗ
во-первых, он не группирует данные, а дает возможность рассматривать
индивидуальные наблюдаемые значения, то есть не происходит потери информации, содержащейся в выборке;
во-вторых, его можно успешно применять для малых выборок;
в-третьих, считается, что его мощность, вообще говоря выше, чем у
χ2–критерия.
В случае, если критерий Колмогорова используется для проверки гипотезы о принадлежности выборки нормальному закону, оба параметра (среднее и дисперсия) которого оцениваются по этой самой выборке методом максимального правдоподобия, критические значения находятся с поправкой
Лиллиефорса (таб. Д.3, Д.4).
Несколько слов о том, как находить
sup
−∞≤x≤∞
числения значения статистики Dnдля всех x ∈ R. Функция F
*
на, а F
где x
(x)
сохраняет постоянные значения на интервалах x
, i = 1,n, — значение вариационного ряда. Следовательно, макси-
(i)
|
F*(x) − F0(x)|. Для вы-
(x)
непрерыв-
0
< x ≤ x
(
i−1
)
(i)
мальное уклонение непрерывной гипотетической функции распределения
от кусочно-постоянной эмпирической функции распределения достигается
в точках скачков последней. Поэтому значение
sup
−∞≤x≤∞
|
F*(x) − F0(x)|вычис-
ляется следующим образом.
1. Находим значения Fx
есть Fx
2.
sup
X
(i)
i−1
−
n
*
|
(x)
F
и
− F
n
1
i
(x)|
(i)
− Fx
, i = 1,n;
(i)
равно наибольшему из полученных значений.
− F
*
x
(i)
и Fx
(i)
− F
*
x
+ 0, i = 1,n, то
(i)
Критерий Мизеса–Смирнова Другой мерой уклонения теоретиче-
,
ской и эмпирической функций распределения служит величина, предложенная Мизесом,
Z
или, если F
0
=
1
12n
∞
−∞
2
+
(
1
n
F
*
(x)
n
X
i=1
− F
0
*
F
2
ω
n
(x)
непрерывная функция, эта же величина в равна:
2
ω
=
n
(x))
x
(i)
2
dF
−
(x)
0
2i − 1
2n
,
2
, (4.13)
точный вид распределения которой получил Н. В. Смирнов.
4.2. Вопросы для самоконтроля 109
Аналогично критерию Колмогорова известен следующий результат.
*
Пусть F
(x)
— эмпирическая функция распределения результатов n независимых наблюдений над случайной величиной X с непрерывной функцией
распределения F(x). Тогда при x > 0
lim
n→∞
Pnω
2
< x= M(x).
n
Функция M(λ)имеет весьма сложный вид, поэтому ее явный вид здесь
не приводится. Квантили распределения Мизеса табулированы. И если через w
обозначить квантиль распределения случайной величины nω
γ,n
уровня γ, то получим критерий Мизеса–Смирнова, который часто называют критерием омега–квадрат (ω2):
2
n
— если nω
— если nω
При больших значениях n квантиль w
2
n
2
n
< w
≥ w
, то гипотеза H0принимается;
1−α,n
, то гипотеза H0отвергается.
1−α,n
γ,n
можно заменять квантилем
предельного распределения Мизеса.
Различие в мерах уклонения Dnи ω
Dnвсе точки x одинаково важны, в то время как для величины ω
2
состоит в том, что для величины
n
2
важнее
n
наиболее вероятные точки и менее важны маловероятные. Нетрудно видеть,
что из малости Dnследует и малость ω
2
, обратное утверждение, вообще
n
говоря, не верно.
Важное с теоретической точки зрения свойство критериев, основанных
на Dnи ω
H1: F(x)= F
2
: они состоятельны против любой альтернативной гипотезы
n
(x)
. Статистический критерий для проверки гипотезы H
0
называют состоятельным против альтернативной гипотезы H1, если веро-
0
ятность отвергнуть H0, когда на самом деле верна H1, стремится к 1 при
неограниченном увеличении объема наблюдений.
4.2 Вопросы для самоконтроля
1. Что называется статистической гипотезой?
2. В чем отличие простой от сложной гипотезы?
3. Что такое альтернативная и конкурирующая гипотеза?
4. Что называется статистическим критерием?
110 Глава 4. ПРОВЕРКА СТАТИСТИЧЕСКИХ ГИПОТЕЗ
5. Что представляют из себя ошибки первого и второго рода?
6. Что такое критическая область?
7. Поясните, чем отличается односторонняя и двухсторонняя критические области?
8. Какие законы распределения можно применить для построения критической области в случае проверки гипотезы о математических ожиданиях?
9. Какой закон распределения применяется для построения критической
области в случае проверки гипотезы о дисперсиях?
10. Какова основная идея критерия χ2–Пирсона проверки гипотез о законах распределения?
11. В чём принципиальная разница между критерием χ2–Пирсона и критерием Колмогорова?
12. В чём принципиальная разница между критерием Колмогорова и критерием ω2?
4.3 Примеры типовых задач с решением
Пример 4.1. По выборке из нормального распределения X объема
n = 400 проверить гипотезу о том, что выборка взята из распределения с
математическим ожиданием равным mX= 14. Дисперсия известна и равна
2
σ
= 36. Рассчитанное по выборке среднее m
X
*
= 14,6. При уровне значимо-
X
сти выбрать α = 0,01.
Решение. Проверим гипотезу
H0: mX= m0= 14
против альтернативной гипотезы
H0: mX= m0= 14.