Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Специальные разделы высшей математики. Практикум по математической статистике. Учебно-методическое пособие.pdf
5.3. Примеры типовых задач с решением 161
x
Ai
B1 B2 B3 B1 B2 B3
A1 157 160 158 158,33 24649 25600 24964 25069
A2 163 165 163 163,67 26569 27225 26569 26787
A4 161 158 158 159,00 25921 24964 24964 25281
*
m
m
Σm
*
+j
+j
*
+j
160,33 161,00 159,67 160,33 Суммы квадратов
2
25706,78 25921 25493,44 25706,78 77139 77789 76497 77137,22
2
ij
77121,22 231425
m
*
i+
2
x
ij
(
m*i+
2
)
Используя данные таблицы, по формулам (5.20)–(5.22) найдем соответ-
a
i=1
X
a
X
i=1
b
X
j=1
b
j=1
2
x
− n(m
ij
m
m
*
i+
*
+j
2
− n(m
2
− n(m
2
*
)
= 231425 − 9 · 25706,78 = 64;
x
2
*
)
= 3 · 77137,22 − 9 · 25706,78 = 50,66;
x
2
*
)
= 3 · 77121,22 − 9 · 25706,78 = 2,66;
x
X
SST =
SSA = b
SSB = a
SSW = SST − SSA − SSB = 64 − 50,66 − 2,66 = 10,68.
Используя формулы (5.25), (5.26), (5.28), вычислим необходимые средние квадраты
MSA =
SSA
DFA
SSB
MSB =
DFB
SSW
MSW =
DFW
SSA
=
=
a − 1
SSB
=
=
b − 1
SSW
=
(a − 1)(b − 1)
50,66
2
2,66
2
= 25,33;
= 1,33;
10,68
=
= 2,67.
4
Далее рассчитаем статистики по формулам (5.29)
25,33
FA=
= 9,4869;
2,67
1,33
FB=
= 0,4981.
2,67
162 Глава 5. ДИСПЕРСИОННЫЙ АНАЛИЗ
По заданному уровню значимости α = 0,01, согласно соотношениям (5.30)
и (5.31) используя таблицу В.3 F-распределения, определяем критические
значения, как квантили распределения Фишера
F
F
A
крит
B
крит
= F
= F
(
a − 1, (a − 1)(b − 1))= F
1−α
(
b − 1, (a − 1)(b − 1))= F
1−α
(
2, 4)= 18,
0,99
(
2, 4)= 18.
0,99
Полученные значения на предыдущих шагах заносим в таблицу 5.3
двухфакторного дисперсионного анализа.
Вариация SS DF MS F F критическое
Фактор A 50,66 2 25,33 9,4869 18,00
Фактор B 2,66 2 1,33 0,4981 18,00
Внутри групп 10,68 4 2,67
Общий 64 8
Так как
9,4869 = FA<F
0,4981 = FB<F
A
крит
B
крит
= 18;
= 18;
то с вероятностью 0,99 можно утверждать, что ни фактор A, ни фактор B
не оказывает существенного влияния на результирующий признак X.
Пример 5.9. При экспериментальном исследовании влияния на результирующий признак качества изделия двух факторов получены следующие
результаты.
Фактор B
B1 B2 B3
Фактор A
A1 10 8 7 8 12 12 15 8 10
A2 12 8 8 12 13 11 13 15 12
В предположении, что все требования двухфакторного дисперсионного анализа выполнены, при α = 0,05 методом дисперсионного анализа проверить
гипотезу о том, что факторы A, B и их взаимодействия не влияют на результирующий признак.
5.3. Примеры типовых задач с решением 163
Решение. Обозначим через mxбезусловное среднее признака X, через
m
i++
, m
+j+
, m
условные средние признака X на i-ом уровне фактора A,
ij+
на j-ом уровне фактора B и на каждой комбинации уровней факторов соответственно.
Выдвигаем три пары гипотез:
1. Для фактора A
H0: m
1++
= m
= mx, H1: не все m
2++
, i = 1,2 равны.
i++
2. Для фактора B
H0: m
H1: не все m
+1+
= m
+j+
+2+
= m
+3+
= m
, j = 1,3 равны.
x
3. Для взаимодействия факторов A и B:
H0: m
H1: не все m
11+
= m
= . . . = m
12+
, i = 1,2, j = 1,3 равны.
ij+
23+
= m
x
Вычислим оценки средних (5.15) признака для каждой пары уровней
факторов AiBjпо формуле
*
m
*
ij+
=
1
3
3
X
r=1
m
ij
x
.
ijr
A18,333 10,667 11,000
B
1
B
2
B
3
A29,333 12,000 13,000
Остальные средние оценим по формулам: (5.16)–(5.18). Численные значения этих оценок, а также их квадратов и сумм приведены в следующей
таблице.
m
*
ij+
2
P
m
2
*
i++
2
*
m
ij+
P
*
m
ij+
B1 B2 B3 m
A
1
A
2
*
m
+j+
m
m
*
+j+
*
+j+
2
8,333 10,667 11,000 10,000 69,444 113,778 121 100
9,333 12,000 13,333 11,555 87,105 144,000 177,769 133,518
8,833 11,334 12,167 m
78,022 128,460 148,036 10,778 156,544 257,785 298,769 233,518
2
354,518
*
i++
*
2
*
(
)
m
X
B1 B2 B3
Суммы квадратов
713,098
Вычислим сумму квадратов
116,165
P
a
i=1
P
b
j=1
P
s
r=1
2
x
результатов наблюде-
ijr
164 Глава 5. ДИСПЕРСИОННЫЙ АНАЛИЗ
ний
B1 B2 B2
A1 100 64 49 64 144 144 225 64 100
A2 144 64 64 144 169 121 169 225 144
P
2
i=1
P
3
j=1
P
3
r=1
2
x
ijr
2198
Посчитаем общую сумму квадратов отклонений по формуле (5.20):
a
b
j=1
s
X
r=1
2
x
ijr
− n(m
2
*
)
= 2198 − 12 · 116,165 = 107,030,
x
SST =
X
i=1
X
сумму квадратов отклонений, объясненную влиянием фактора A, по формуле (5.21):
a
X
SSA = bs
m
i=1
*
i++
2
− n(m
2
*
)
= 3 · 3 · 233,518 − 12 · 116,165 = 10,692,
x
сумму квадратов отклонений, объясненную влиянием фактора B, по формуле (5.22):
b
X
SSB = as
m
j=1
*
+j+
2
− n(m
2
*
)
= 2 · 3 · 354,518 − 12 · 116,165 = 36,138,
x
сумму квадратов отклонений, объясненную влиянием взаимодействия факторов A и B, по формуле (5.23):
a
SSAB = s
X
i=1
b
X
j=1
m
*
ij+
2
− bs
a
X
i=1
b
m
*
i++
2
− sa
X
j=1
m
*
+j+
2
+ n(m
2
*
)
=
x
= 3 · 713,098 − 3 · 3 · 233,518 − 2 · 3 · 354,518 + 12 · 116,165 = 1,494
внутригрупповую сумму квадратов отклонений или сумму квадратов отклонений ошибки по формуле (5.24):
SSW = SST − SSA − SSB − SSAB = 107,030 − 10,692 − 36,138 − 1,494 = 58,706.
Вычисляем соответствующие средние квадраты формулам (5.25)–(5.28):
5.3. Примеры типовых задач с решением 165
MSA =
SSA
DFA
SSAB
MSAB =
DFAB
=
=
10,692
1
1,494
2
= 10,692, MSB =
= 0,747, MSW =
SSB
DFB
SSW
DFW
36,138
=
=
= 18,069,
2
58,706
= 4,892.
12
Статистики рассчитываем п формулам
FA=
10,692
= 2,186, FB=
4,892
18,069
4,892
= 3,694, FAB=
0,747
= 0,153.
4,892
По заданному уровню значимости α = 0,05, используя таблицу Fраспределения, определяем критические значения, как квантили распределения Фишера (см. (5.30)–(5.32)):
AB
F
крит
A
F
крит
B
F
крит
= F
= F
= F
1−α
1−α
1−α
((
a − 1
(
a − 1,ab(s − 1))= F
(
b − 1,ab(s − 1))= F
) (
b − 1),ab(s − 1))= F
(
1, 12)= 4,75,
0,95
(
2, 12)= 3,89,
0,95
0,95
(
2, 12)= 3,89.
Полученные значения заносим в таблицу двухфакторного дисперсионного анализа (ANOVA таблицу).
Источник вариации SS df MS F F критическое
Фактор A 10,692 1 10,692 2,186 4,41
Фактор B 36,138 2 18,069 3,694 3,55
Взаимодействие AB 1,494 2 0,747 0,153 3,55
Внутригрупповая 58,706 12 4,892
Общая 107,03 17
Подведем итоги.
1. Так как 2,186 = FA< F
A
= 4,41 , то нулевая гипотеза при уровне зна-
крит
чимости 0,05 принимается, и это означает, что фактор A не оказывает
существенного влияния на признак X с вероятностью 0,95.
2. Так как 3,694 = FB> F
B
= 3,55 , то нулевая гипотеза при уровне
крит
значимости 0,05 отвергается, и это означает, что фактор B оказывает
существенное влияния на признак X с вероятностью 0,95.
166 Глава 5. ДИСПЕРСИОННЫЙ АНАЛИЗ
3. Так как 0,153 = F
AB
< F
AB
= 3,55 , то нулевая гипотеза при уровне
крит
значимости 0,05 принимается, т.е. с вероятностью 0,95 можно сделать
вывод: взаимодействие факторов A и B не оказывает существенного
влияния на признак X.
5.4 Задачи
Задача 5.1. Сделано по несколько измерений случайной величины X на
каждом из трех уровней фактора A. Результаты первичной статистической
обработки полученных данных представлены в следующей таблице:
Уровень фактора Объем Среднее Дисперсия
A1 4 17,95 7,67
A2 4 21,8 9,38
A3 4 19,45 1,07
Проверить однородность дисперсий на всех уровнях фактора.
Задача 5.2. Сделано по несколько измерений случайной величины X на
каждом из четырёх уровней фактора A. Результаты первичной статистической обработки полученных данных представлены в следующей таблице:
Уровень фактора Объем Среднее Дисперсия
A1 4 182 98,67
A2 4 224 108,25
A3 4 200 78,67
A4 4 190 85,27
Проверить однородность дисперсий на всех уровнях фактора.
Задача 5.3. Сделано по несколько измерений случайной величины X на
каждом из четырёх уровней фактора A. Результаты первичной статистической обработки полученных данных представлены в следующей таблице:
5.4. Задачи 167
Уровень фактора Объем Среднее Дисперсия
A1 5 32 6,0
A2 3 36 4,0
A3 4 31 6,9
A4 5 35 5,2
Проверить однородность дисперсий на всех уровнях фактора.
Задача 5.4. Сделано по несколько измерений случайной величины X на
каждом из пяти уровней фактора A. Результаты первичной статистической
обработки полученных данных представлены в следующей таблице.
Уровень фактора Объем Среднее Дисперсия
A1 4 155 2,92
A2 5 161 4,50
A3 4 163 4,67
A4 6 165 2,67
A5 3 170 2,33
Проверить однородность дисперсий на всех уровнях фактора.
Задача 5.5. Для проверки гипотезы о равенстве средних параметра
на всех уровнях фактора были проведены на каждом из трех уровней по
четыре опыта и частично заполнена ANOVA таблица.
Вариация SS df MS F F критическое
Между группами A B D H I
Внутри групп 856 C E
Итого 4452 11
В предположении, что эмпирические данные удовлетворяют предположениям однофакторного дисперсионного анализа, закончите его проведение, положив α = 0,01. Для этого
a) запишите нулевую и альтернативную гипотезу;
168 Глава 5. ДИСПЕРСИОННЫЙ АНАЛИЗ
б) допишите в ANOVA-таблицу недостающие значения: A, B, C, D, E, H
и I;
г) сделайте вывод о значимости влияния фактора на результирующий
признак.
Задача 5.6. Для проверки гипотезы о равенстве средних параметра на
всех пяти уровнях фактора были проведены девятнадцать опытов. По их
результатам была частично заполнена ANOVA-таблица.
Вариация SS df MS F F критическое
Между группами 244 B E I J
Внутри групп A C H
Итого 383 D
В предположении, что эмпирические данные удовлетворяют предположениям однофакторного дисперсионного анализа, закончите его проведение, положив α = 0,01. Для этого
a) запишите нулевую и альтернативную гипотезу;
б) допишите в ANOVA-таблицу недостающие значения: A, B, C, D, E,
H, I и J;
г) сделайте вывод о значимости влияния фактора на результирующий
параметр.
Задача 5.7. Для проверки гипотезы о равенстве средних параметра на
всех шести уровнях фактора были проведены двадцать три опыта. По их
результатам была частично заполнена ANOVA-таблица.
Вариация SS df MS F F критическое
Между группами A B E I J
Внутри групп 74 C H
Итого 169 D
В предположении, что эмпирические данные удовлетворяют предположениям однофакторного дисперсионного анализа, закончите его проведение, положив α = 0,01. Для этого
5.4. Задачи 169
a) запишите нулевую и альтернативную гипотезу;
б) допишите в ANOVA-таблицу недостающие значения: A, B, C, D, E,
H, I и J;
г) сделайте вывод о значимости влияния фактора на результирующий
параметр.
Задача 5.8. В таблице приведены данные по объемам работ, выполненных на стройке за смену для четырех бригад: A1, A2, A3, A4.
Бригада
A1 140 144 142 145
A2 150 149 152 152
A3 148 149 146 147
A4 150 155 154 152
Необходимо на уровне значимости 1% выяснить, одинаков ли средний
объем работы выполняемый каждой из бригад. Предполагается, что для
этих данных выполнены условия проведения дисперсионного анализа.
Задача 5.9. На предприятии были проведены исследования влияния
периода реализации продукции на объем выручки (млн. руб.). Результаты
представлены в таблице
I квартал 151 154 155
II квартал 157 154 161 155
III квартал 149 152 148
IV квартал 155 166 162
На уровне значимости 5% выяснить, одинаков ли средний объем выручки в каждом квартале. Предполагается, что данные удовлетворяют всем
требованиям проведения дисперсионного анализа.
Задача 5.10. В процессе исследования влияния цены за единицу продукции на объем продаж (шт.) в месяц были получены следующие результаты, представленные в таблице.
170 Глава 5. ДИСПЕРСИОННЫЙ АНАЛИЗ
Цена за единицу
продукции (руб.)
1000–1100 217 222 223 218
1100–1200 219 215 220 221
1200–1300 214 214 210 209 213
1300–1500 211 212 207
Выполните на уровне значимости 1% однофакторный дисперсионный
анализ в предположении, что данные удовлетворяют всем требованиям его
проведения.
Задача 5.11. При анализе значимости влияния факторов A и B на ре-
зультирующий признак X на каждой комбинации уровней факторов было
сделано одинаковое количество опытов. Предполагается, что эмпирические
данные удовлетворяют предположениям двухфакторного дисперсионного
анализа. Результаты первичной статистической обработки полученных данных представлены в следующей ANOVA-таблице.
Вариация SS df MS F F критическое
Фактор A 150 3 C K N
Фактор B 4 3 D L O
Взаимодействие A B E M R
Внутри групп 61 80 H
Общая 220 95
Закончите проведение дисперсионного анализа, положив α = 0,05. Для
этого
a) запишите все пары нулевых и альтернативных гипотез двухфакторного дисперсионного анализа;
б) допишите в ANOVA-таблицу недостающие значения: A, B, C, D, E,
H, K, L, M, N, O, R;
г) сделайте вывод о значимости влияния факторов и их взаимодействий
на результирующий признак.