Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Специальные разделы высшей математики. Практикум по математической статистике. Учебно-методическое пособие.pdf
5.1. Коротко о главном 141
которая, при условии справедливости нулевой гипотезы, имеет распределение Фишера с(FDB,FDW)=(k − 1,n − k)степенями свободы.
6 этап. Нахождение критического значения по таблице распределения
Фишера, как квантиля F
(
k − 1,n − k)F-распределения с(k − 1,n − k
1−α
степенями свободы уровня 1 − α.
7 этап. Правило принятия решения
— если F < F
— если F ≥ F
(
k − 1,n − k), то гипотеза H0принимается;
1−α
(
k − 1,n − k), то гипотеза H0отвергается.
1−α
Если гипотезу H0принимают, то говорят, что фактор не оказывает существенного влияния на признак X. Отклонение же гипотезы H0свидетельствует о существенном влиянии фактора на X.
Обычно результаты принято представлять в виде ANOVA таблицы 5.2.
Таблица 5.2 – ANOVA таблица
Вариация SS DF MS F-статистика F
Между группами SSB DFB MSB F =
MSB
MSW
F
1−α
крит
(
n − 1,n − k
)
)
Внутри групп SSW DFW MSW
Общая SST DFT MST
5.1.2 Двухфакторный дисперсионный анализ
Естественным обобщением однофакторного дисперсионного анализа является многофакторный анализ. При многофакторном дисперсионном анализе исследуется влияние на признак X одновременно нескольких факторов: двух, трех и т. д. Многофакторный анализ проводится аналогично
однофакторному. Существенным отличием является то, что в многофакторном анализе появляется необходимость проверки зависимости признака
X от взаимодействий разного порядка между факторами. Может оказаться,
что один или несколько факторов значимо влияют на исследуемый признак
только при малых (или, напротив, больших) значениях других факторов.
Остановимся подробнее на двухфакторном дисперсионном анализе.
Пусть исследуется влияние двух факторов A и B на некоторый признак X.
142 Глава 5. ДИСПЕРСИОННЫЙ АНАЛИЗ
Предположим, что фактор A имеет a уровней: A1, . . . ,Aa, а фактор B, соответственно, b уровней: B1, . . . ,Bb. Пусть для каждой пары уровней факторов
(
Ai,B
)
проводится s опытов. Такой эксперимент называется равномерным
j
полным двухфакторным экспериментом.
Пусть в нашем распоряжении имеются результаты полного эксперимента x
, i = 1,a — номер уровня фактора A, j = 1,b — номер уровня фактора
ijr
B, r = 1,s номер опыта в группе на фиксированной паре уровней факторов
(
Ai,B
)
. Таким образом, полный двухфакторный эксперимент будет содер-
j
жать n = abs опытов.
Предпосылки двухфакторного дисперсионного анализа.
1. Случайная величина X должна быть нормальна распределена.
2. Выборки должны быть независимыми.
3. Дисперсии случайной величины X должны быть равными на каждой
комбинации факторов.
Основное тождество двухфакторного дисперсионного анализа
имеет вид:
SST = SSA + SSB + SSAB + SSW, (5.14)
где
X SST — общая сумма квадратов отклонений,
X SSA — сумма квадратов отклонений, объяснённая влиянием
фактора A,
X SSB — сумма квадратов отклонений, объяснённая влиянием
фактора B,
X SSAB — сумма квадратов отклонений, объяснённая влиянием взаимо-
действия факторов,
X SSW — внутригрупповая сумма квадратов отклонений.
Обозначим через mXбезусловное среднее признака X, через m
m
условные средние признака X на i-ом уровне фактора A, на j-ом уровне
ij+
i++
, m
+j+
,
5.1. Коротко о главном 143
фактора B и на каждой комбинации градаций факторов соответственно.
Оценки этих средних вычисляются по формулам:
s
X
b
a
X
j=1
=
X
X
b
s
r=1
s
r=1
m
1
x
, (5.15)
r=1
ijr
ijr
=
=
=
ijr
a
1
1
b
1
a
b
X
j=1
a
X
i=1
a
X
i=1
m
m
m
*
, (5.16)
ij+
*
, (5.17)
ij+
b
X
=
b
1
j=1
m
*
. (5.18)
+j+
*
i++
s
x
x
*
ij+
m
*
m
ij+
X
=
=
1
ab
1
bs
1
as
X
j=1
X
i=1
a
i=1
*
m
i++
*
m
+j+
a
b
j=1
s
X
r=1
x
=
ijr
X
1
*
=
x
n
X
i=1
Последовательность действий при проведении двухфакторного
дисперсионного анализа.
ШАГ 1. Формулировка гипотез. Выдвигаются три пары гипотез:
1. Для фактора A
H0: m
H1: не все m
1++
= m
i++
2++
= m
a++
= m
, i = 1,a равны.
x
2. Для фактора B
H0: m
H1: не все m
+1+
= m
+j+
= . . . = m
+2+
, j = 1,b равны.
+b+
= m
x
3. Для взаимодействия факторов A и B:
H0: m
H1: не все m
11+
= m
= . . . = m
12+
, i = 1,a, j = 1,b равны.
ij+
ab+
= m
x
ШАГ 2. Проверка однородности дисперсий в группах. Вычислить
оценки дисперсий
s
X
r=1
x
− m
ijr
2
S
ij
1
=
s − 1
2
*
, (5.19)
ij+
и с помощью критерия Кохрена проверить их однородность.
ШАГ 3. Нахождение сумм квадратов отклонений. Суммы квадра-
тов отклонений из (5.14) определяются следующими формулами.
Общая сумма квадратов отклонений
a
b
SST =
X
i=1
X
j=1
s
X
r=1
− m
*
)
x
(
x
ijr
2
=
a
X
i=1
b
X
j=1
s
X
r=1
2
x
ijr
− n(m
2
*
)
. (5.20)
x
144 Глава 5. ДИСПЕРСИОННЫЙ АНАЛИЗ
Сумма квадратов отклонений, объяснённая влиянием фактора A,
SSA = bs
a
X
i=1
*
m
i++
− m
*
x
2
= bs
a
X
i=1
m
*
i++
2
− n(m
2
*
)
. (5.21)
x
Сумма квадратов отклонений, объяснённая влиянием фактора B, определяется соотношением
SSB = as
b
X
j=1
*
m
+j+
− m
*
x
2
= as
b
X
j=1
m
*
+j+
2
− n(m
2
*
)
. (5.22)
x
Сумма квадратов отклонений, объяснённая влиянием взаимодействия
факторов,
a
i=1
b
X
j=1
m
*
ij+
=s
− m
a
X
i=1
*
i++
b
X
j=1
− m
m
*
ij+
*
+j+
+ m
2
− sb
2
*
x
a
X
i=1
−sa
=
X
m
b
j=1
*
i++
m
2
−
*
+j+
2
+ n(m
2
*
)
x
X
SSAB=s
. (5.23)
Внутригрупповая сумма квадратов отклонений или сумма квадратов
отклонений ошибки
a
b
j=1
s
X
r=1
x
− m
ijr
*
ij+
2
= SST − SSA − SSB − SSAB. (5.24)
SSW =
X
i=1
X
ШАГ 4. Вычисление статистик критериев. Вычисляем соответ-
ствующие средние квадраты
MSA =
MSB =
MSAB =
MSW =
SSA
DFA
SSB
DFB
SSAB
=
DFAB
SSW
DFW
SSA
=
a − 1
SSB
=
b − 1
(
a − 1
=
ab(s − 1
, (5.25)
, (5.26)
SSAB
, (5.27)
) (
b − 1
)
SSW
. (5.28)
)
5.2. Вопросы для самоконтроля 145
Статистики рассчитываем по формулам
FA=
MSA
, FB=
MSW
MSB
MSW
, FAB=
MSAB
. (5.29)
MSW
ШАГ 5. Нахождение критических значений. По заданному уровню
значимости α, используя таблицу F-распределения, определяем критические значения, как квантили распределения Фишера
F
AB
крит
A
F
крит
B
F
крит
= F
= F
= F
1−α
1−α
1−α
((
a − 1
(
a − 1,ab(s − 1)), (5.30)
(
b − 1,ab(s − 1)), (5.31)
) (
b − 1),ab(s − 1)). (5.32)
ШАГ 6. Заполнение ANOVA талицы. Полученные значения на
предыдущих шагах заносим в таблицу 5.3 двухфакторного дисперсионного
анализа.
Таблица 5.3 – ANOVA таблица для двух факторов с взаимодействием
Вариация SS DF MS F-статистика F
крит
Фактор A SSA a − 1 MSA MSA/MSW F
Фактор B SSB b − 1 MSB MSB/MSW F
Взаимодействие AB SSAB(a − 1
Внутригрупповая SSW ab(s − 1
) (
b − 1)MSAB MSAB/MSW F
)
MSW
A
крит
B
крит
AB
крит
Общая SST abs − 1
ШАГ 7. Принятие решения. Если статистика больше или равна со-
ответствующему критическому значению, то нулевая гипотеза при уровне
значимости α отклоняется. А это означает, что фактор (взаимодействие)
оказывает существенное влияние на признак X с вероятностью 1 − α.
В случае, если статистика меньше соответствующего критического значения, то нулевая гипотеза при уровне значимости α принимается, т. е. с
вероятностью 1 − α можно сделать вывод, что фактор (взаимодействие) не
оказывает существенного влияния на признак X.
5.2 Вопросы для самоконтроля
1. Какую задачу решает дисперсионный анализ?
146 Глава 5. ДИСПЕРСИОННЫЙ АНАЛИЗ
2. Что такое уровни фактора?
3. Каковы основные предположения дисперсионного анализа?
4. Какой вид имеют основная и альтернативная гипотезы при однофакторном дисперсионном анализе?
5. Какой вид имеет основное тождество однофакторного дисперсионного
анализа?
6. Что называется межгрупповой суммой квадратов отклонений?
7. Что называется внутригрупповой суммой квадратов отклонений?
8. В чем существенное отличие между однофакторным и многофакторным дисперсионным анализом?
9. Какой вид имеют нулевые гипотезы при решении задачи двухфакторного дисперсионного анализа?
10. Какой вид имеет основное тождество двухфакторного дисперсионного
анализа?
11. Критерий какого вида используется при решении задачи дисперсионного анализа?
12. Какие критерии используются для проверки однородности дисперсий?
5.3. Примеры типовых задач с решением 147
5.3 Примеры типовых задач с решением
Пример 5.1. Сделано по несколько измерений случайной величины X
на каждом из трех уровней фактора A. Результаты первичной статистической обработки полученных данных представлены в следующей таблице:
Уровень фактора Объем Среднее Дисперсия
A1 4 22,55 1,16
A2 4 25,05 1,10
A3 4 19,725 0,44
Проверить однородность дисперсий на всех уровнях фактора, уровень
значимости положить α = 0,05.
Решение. Так как количество наблюдений на каждом уровне фактора
( ni= l = 4), то при сравнении дисперсий применим критерий Кохрена.
Выдвинем основную гипотезу о равенстве дисперсий признака X на всех
уровнях:
H0: σ
2
1
= σ
2
2
= σ
2
3
= σ
2
;
X
против альтернативы, которая состоит в том, что основная гипотеза не выполняется:
H1: σ
2
i
= σ
2
хотя бы для одного i.
X
В качестве статистики критерия используем случайную величину, опре-
деляемую формулой (5.3):
2
2
G =
max
2
S
1
(S
+ S
1
, S
2
2
, S
2
+ S
2
)
3
=
2
3
1,16 + 1,10 + 0,44
1,16
= 0,4249.
По таблице Е.2 найдем критическое значение
G
крит
= G
(
l − 1; k)= G
α
Так как 0,424 = G < G
= 0,798, то у нас нет оснований отвергнуть
крит
(
ν; k)= G
α
(
3; 3)= 0,798.
0,05
гипотезу H0, а как следствие, дисперсии признака по уровням считаются
однородными.
148 Глава 5. ДИСПЕРСИОННЫЙ АНАЛИЗ
Пример 5.2. Сделано по несколько измерений случайной величины X
на каждом из четырёх уровней фактора A. Результаты первичной статистической обработки полученных данных представлены в следующей таблице:
Уровень фактора Объем Среднее Дисперсия
A1 5 32 6,0
A2 3 36 4,0
A3 4 31,3 6,9
A4 5 35,2 5,2
Проверить однородность дисперсий на всех уровнях фактора при
уровне значимости α = 0,01.
Решение. Так как выборки имеют не одинаковый объем и количество
наблюдений в каждой группе не менее 3, то для проверки однородности
дисперсий признака X применим Критерий Бартлетта.
Для проверки равенства дисперсий признака X на всех уровня выдвинем основную гипотезу
H0: σ
2
1
= σ
2
2
= σ
2
3
= σ
2
4
= σ
2
;
X
против альтернативы:
H1: σ
2
i
= σ
2
хотя бы для одного i = 1, 2, 3, 4.
X
По условию задачи общий объем выборки равен n = 5 + 3 + 4 + 5 = 17.
Вычислим оценку общей дисперсии
k
X
=
1
n − k
i=1
(
ni− 1)S
2
=
i
2
S
X
1
(
(5 − 1)6,0 + (3 − 1)4,0 + (4 − 1)6,9 + (5 − 1)5,2)= 5,65
17 − 4
Статистика критерия определяется формулой (5.4). Предварительно
вычислим по формуле (5.5)
5.3. Примеры типовых задач с решением 149
k
X
M =(n − k)ln
2
S
−
X
i=1
(
ni− 1
)
ln
2
S
=(17 − 4)ln
i
(5,65)−
− (5 − 1)ln(6,0) − (3 − 1)ln(4,0) − (4 − 1)ln(6,9) − (5 − 1)ln(5,2) = 0,1827,
и по формуле (5.6)
C = 1 +
1
3(k − 1
= 1 +
)
3(4 − 1
k
X
i=1
1
ni− 1
1
)
−
n − k
1
5 − 1
1
+
=
1
3 − 1
+
1
4 − 1
+
1
5 − 1
−
17 − 4
1
0,14.
Таким образом статистика критерия (5.4) равна
M
B =
C
0,1827
=
0,1396
= 1,3087.
При справедливости нулевой гипотезы она имеет приблизительно χ2распределение с(k − 1)степенями свободы.
Критическое значение критерия h
найдем как квантиль χ2-распределения
крит
с(k − 1)= 4 − 1 = 3 степенями свободы уровня 1 − α = 1 − 0,01 = 0,99:
2
h
крит
= h
0,99
(3)
= 11,345.
Так как 1,3087 = B < h
= 11,345, то гипотеза H0принимается, сле-
крит
довательно дисперсия признака X на различных уровнях фактора A однородна.
Пример 5.3. В предположении, что эмпирические данные из примера
5.1 удовлетворяют предположениям однофакторного дисперсионного анализа, для проверки гипотезы о равенстве средних параметра на всех уровнях фактора была частично заполнена ANOVA таблица.
Вариация SS DF MS F F критическое
Между группами A 2 C E H
Внутри групп 8,1 B D
Общая 64,88 11
150 Глава 5. ДИСПЕРСИОННЫЙ АНАЛИЗ
Закончите проведение дисперсионного анализа, положив α = 0,05. Для
этого
a) запишите нулевую и альтернативную гипотезу;
б) допишите в ANOVA-таблицу недостающие значения: A, B, C, D, E и
H;
в) сделайте вывод о значимости влияния фактора на результирующий
признак.
Решение. a) Нулевая гипотеза имеет вид H0: m1= m2= m3= mX,
соответственно альтернативная H1: хотя бы для одного i mi= mX.
б) В силу основного тождества (5.1) однофакторного дисперсионного
анализа SST = SSB + SSW, получаем
A = SSB = SST − SSW = 64,88 − 8,1 = 56,78,
B = DFW = DFT − DFB = 11 − 2 = 9.
Вычислим неизвестные средние квадраты
C = MSB =
SSB
DFB
SSW
D = MSW =
DFW
=
56,78
2
8,1
=
= 28,39,
= 0,9.
9
Статистика критерия равна (5.13):
E =
MSB
MSW
=
28,39
= 31,54,
0,9
которая, при условии справедливости нулевой гипотезы, имеет распределение Фишера с(FDB,FDW)=(k − 1,n − k)степенями свободы.
в) Критическое значение найдем по таблице распределения Фишера как
квантили F
(
k − 1,n − k)F-распределения с(k − 1,n − k)= степенями
1−α
свободы уровня 1 − α.
F
крит
= F
(
k − 1; n − k)= F
1−α
Так как 31,54 = F > F
1−0,05
= 4,26, то гипотеза H0отвергается, что свиде-
крит
(
2; 12 − 3)= F
(
2; 9)= 4,26.
0,95
тельствует о существенном влиянии фактора A на признак X.