Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Специальные разделы высшей математики. Практикум по математической статистике. Учебно-методическое пособие.pdf
3.3. Примеры типовых задач с решением 81
Таблица 3.2 – Промежуточные вычисления
¯
x
n
i
¯
xin
i
i
¯
xi− m
*
(¯xi− m
X
*
)2ni(¯xi− m
X
*
)3ni(¯xi− m
X
*
X
0,6 5 3,0 -1,3543 9,1706 -12,4197 16,8200
1,0 6 6,0 -0,9543 5,4641 -5,2144 4,9761
1,4 9 12,6 -0,5543 2,7652 -1,5328 0,8496
1,8 16 28,8 -0,1543 0,3809 -0,0588 0,0091
2,2 18 39,6 0,2457 1,0866 0,2670 0,0656
2,6 7 18,2 0,6457 2,9185 1,8845 1,2168
3,0 5 15,0 1,0457 5,4674 5,7173 5,9786
3,4 4 13,6 1,4457 8,3602 12,0863 17,4732
Сумма 136,8 35,6135 0,7294 47,389
Среднее 1,9543 0,5088 0,0104 0,6770
X величина медианного интервала: hM= 0,4;
)4n
i
X частота медианного интервала: nM= 16;
X накопленная частота интервала, предшествующего медианному:
ν
M−1
= 20.
Тогда
n
Me*= αM+ h
M
/2 − ν
n
M
M−1
= 1,6 + 0,4 ·
35 − 20
≈ 1,975.
16
в) При нахождении моды сначала определим модальный интервал, т. е.
интервал с максимальной частотой. Это пятый интервал:(2,0; 2,4].
После чего вычислим значение моды по формуле (3.9), в которой
X нижняя граница модального интервала: αM= 2,0;
X величина модального интервала: hM= 0,4;
X частота модального интервала: nM= 18;
X частота интервала, который предшествует модальному: n
X частота интервала, который следует за модальным: n
M+1
M−1
= 7.
= 16;
82 Глава 3. СТАТИСТИЧЕСКИЕ ОЦЕНКИ
Таким образом, получаем:
Mo*= αM+ h
M
(
nM− n
nM− n
M−1
)+(
M−1
nM− n
M+1
=
)
18 − 16
= 2,0 + 0,4 ·
(
18 − 16)+(18 − 7
≈ 2,0615.
)
г) Выборочную дисперсию вычислим следуя определению 3.8 по фор-
муле (3.2):
D
*
x
= µ
m
X
1
*
=
2
n
i=1
˜
(
xi− ν
*
1
k
)
ni=
m
X
i=1
˜
(
xi− ν
k
*
)
p
1
1
*
=
i
35,6135 = 0,5088.
70
д) Согласно определению 3.8 среднее квадратическое отклонение равно:
σ
*
x
=D
*
=√0,5088 ≈ 0,7133.
x
е) Вычислим по формуле 3.4 определения 3.9 несмещённую дисперсию
2
S
X
=
n
n − 1
D
*
x
2
S
x
=
70
· 0,5088 ≈ 0,5162.
70 − 1
ж) Согласно определению 3.10 исправленное среднее квадратическое
отклонение равно
Sx=S
2
≈√0,5162 ≈ 0,7185
x
з) Используя формулу (3.5) выборочный коэффициент вариации V*;
*
V*=
σ
x
· 100%≈
*
m
x
0,7133
· 100%≈ 36,4990022%.
1,9543
Согласно формуле (3.2) вычислим третий и четвертый центральные мо-
менты:
m
X
µ
µ
1
*
=
3
n
1
*
=
4
n
i=1
m
X
i=1
˜
(
xi− ν
˜
(
xi− ν
*
1
3
)
*
)
1
ni=
4
ni=
1
· (0,7294) = 0,0104,
70
1
· 47,389 = 0,6770.
70
и) Вычислим коэффициент асимметрии по формуле (3.6)
As*=
*
µ
3
=
3
(
)
σ
x
*
µ
3
3
(
)
σ
x
0,0104
=
(0,7133)
≈ 0,0287.
3
3.3. Примеры типовых задач с решением 83
к) Вычислим коэффициент эксцесса по формуле (3.7)
*
Ex*=
µ
4
− 3 =
4
(
)
σ
x
0,6770
(0,5088)
− 3 ≈ −0,3849.
2
Пример 3.3. Дана выбоðка{x1, x2, . . . , x
ления с плотностью f(x)= θe
−θ x
, x > 0, θ > 0. Найти методом моментов
}
из показательного распреде-
n
найти оценку для параметра θ.
Решение. Вычислим математическое ожидание
Z
M(X
+∞
)
= θ
1
0
xe
−θx
dx = θ−1.
Оценку θ*найдем как решение уравнения θ−1= m
−1
*
оценка метода моментов имеет вид θ*=(m
Пример 3.4. Дана выборка{x1, x2, . . . , x
ния с параметрамиm, σ
2
. Найти методом моментов оценку этих парамет-
)
.
X
}
из нормального распределе-
n
ров.
*
. Таким образом,
X
Решение. Для нахождения двух неизвестных параметров необходимо
два уравнения. Первое получаем, приравнивая начальный теоретический
момент первого порядка к начальному эмпирическому моменту первого порядка, а второе — приравнивая центральный теоретический момент второго
порядка к центральному эмпирическому моменту второго порядка:
mX= m
*
, σ
X
Пример 3.5. Дана выборка{x1, x2, . . . , x
2
X
2
= S
.
X
}
из биномиального распреде-
n
ления с параметрами(k, p). Найти методом моментов оценку параметра
считая k известным.
Решение. Для нахождения одного неизвестного параметра необходимо одно уравнение. Приравняем начальный теоретический момент первого
порядка к начальному эмпирическому моменту первого порядка
kp = m
*
.
X
84 Глава 3. СТАТИСТИЧЕСКИЕ ОЦЕНКИ
Решая это уравнение относительно неизвестного параметра p, получим
оценку p*метода моментов
n
p*=
1
*
m
=
X
k
1
kn
X
xi.
i=1
Пример 3.6. Дана выбоðка{x1, x2, . . . , x
ления с плотностью f(x)= θe
−θ x
, x > 0, θ > 0. Найти методом максималь-
}
из показательного распреде-
n
ного правдоподобия найти оценку для параметра θ.
Решение. Приравняем начальный теоретический момент первого порядка к начальному эмпирическому моменту первого порядка
1
λ
= m
*
.
X
Решая это уравнение относительно неизвестного параметра λ, получим
оценку λ*метода моментов
−1
*
λ*=(m
)
=
X
Пример 3.7. Дана выборка{x1, x2, . . . , x
P
n
n
i=1
.
x
i
}
из биномиального распреде-
n
ления с параметрами(k, θ). Найти методом максимального правдоподобия
оценку параметра считая k известным.
Решение.
Распределение вероятностей случайной величины задается формулами:
P(θ, x)= P(X = x)= C
k
x
(
θ
1 − θ
n
k−x
)
, x = 0, 1, . . . , k.
Запишем функцию правдоподобия выборки
n
L(θ, X)=
Y
i=1
P(θ, x
i
)
= C
x
x
i
i
(
θ
k
1 − θ
)
k−x
i
.
Логарифмическая функция правдоподобия примет вид
l(θ, X)=lnL(θ, X)=
n
X
i=1
[ln(k!)
− ln(xi!)− ln((k − x
=
n
X
i=1
lpP(θ, x
)
i
=
n
X
i=1
)!)
i
lnC
x
x
i
i
(
θ
k
1 − θ
)
k−x
i
=
+ xiln(θ)+ (k − xi)ln(1 − θ)].
3.3. Примеры типовых задач с решением 85
Необходимым условием максимума функции является равенство нулю
первой производной
dl(θ, X
dθ
n
=
1
θ
X
i=1
xi−
1
1 − θ
)
n
X
i=1
(
k − x
i
)
= 0
Решая это уравнение, получим оценку
n
X
θ*=
1
kn
xi=
i=1
1
*
m
.
X
k
Проверим достаточное условие максимума, для этого найдем вторую
производную логарифмической функции правдоподобия по параметру
d2l(θ, X
2
dθ
)
= −
n
X
1
2
θ
xi−
i=1
(
1 − θ
1
n
X
(
2
)
k − x
i=1
)
i
= 0.
Из последнего равенства следует,что
d2l(θ, X
dθ
)
< 0.
2
*
θ
1
Таким образом, в точке θ*=
*
m
функция правдоподобия достигает
X
k
своего максимума. Как следствие, статистика θ*является оценкой максимального правдоподобия неизвестного параметра θ.
Пример 3.8. Дана выборка{x1, x2, . . . , x
ния с параметрамиm, σ
2
. Найти методом максимального правдоподобия
}
из нормального распределе-
n
оценку этих параметров.
Решение. Запишем функцию правдоподобия в виде:
2
)
.
Lm,σ2, X=
(
2πσ
n
1
exp−
n
2
2
)
1
2σ
2
X
i=1
(
xi− m
Логарифмическая функция правдоподобия имеет вид
lm,σ2, X=lnLm,σ2, X= −
n
2
ln
n
−
n
ln
(2π)
−
σ
2
2
1
2σ
2
X
i=1
(
xi− m
2
)
.
86 Глава 3. СТАТИСТИЧЕСКИЕ ОЦЕНКИ
Найдем точку максимума, решив систему из двух уравнений, получающихся путем приравнивания к нулю первых двух частных производных по
неизвестным параметрам:
∂l
∂m
∂l
∂σ
2
=
= −
m*=
(
1
σ
X
σ
σ
n
X
(
2
xi− m)= 0,
i=1
n
+
2
2σ
n
(
xi− m)= 0,
i=1
P
n
=
2
X
1
n
i=1
1
2
*
)
=
n
X
1
4
2σ
i=1
n
(
xi− m
i=1
σ
n
xi,
n
X
(xi− m2)2.
i=1
n
4
(
xi− m
)
2
)
= 0;
2
;
2
*
Проверим, является ли точка A =m*,(σ
)
точкой максимума функ-
ции правдоподобия:
∂2l
∂(σ
=
2
2
)
∂2l
∂m∂σ
∂2l
∂m
2σ
= −
2
n
2
4
= −
−
σ
1
< 0,
2
σ
n
X
1
(
6
σ
n
X
1
4
i=1
xi− m),
i=1
(
xi− m).
2
Как известно из математического анализа, чтобы функция f(x1,x2,...,xn)
достигала максимума в некоторой точке, достаточно, чтобы матрица второго дифференциала функции d2f в этой точке была определена отрицательно. По критерию Сильвестра для этого необходимо и достаточно, чтобы ее
главные миноры чередовались по знаку, а именно ∆1< 0, ∆2> 0. Рассмотрим матрицу производных:
3.3. Примеры типовых задач с решением 87
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
−
σ
n
1
−
2
σ
n
X
1
(
4
xi− a
i=1
)
n
2σ
4
−
−
σ
X
1
4
σ
1
i=1
6
(
xi− m
n
X
i=1
(
xi− m
⎞
)
⎟
⎟
⎟
.
⎟
2
⎠
)
Отсюда
1
∆1(A) = −
(σ*)
2
< 0;
n
∆2(A) =
2(σ
> 0.
6
*
)
2
*
Следовательно, точкаm*,(σ
)
— действительно точка максимума, и
полученные оценки являются оценками максимального правдоподобия.
Пример 3.9. Случайная величина X имеет нормальное распределение
с известным средним квадратическим отклонением σ = 3. Найти доверительный интервал для оценки неизвестного математического ожидания m
по выборочному среднему m
*
= 14, если объем выборки n = 36 и довери-
X
тельная вероятность γ = 0,95.
Решение. Используя формулу (3.14), найдем точность оценки (длину
половины доверительного интервала):
где z
(
1+γ
ня
σ
√
δ = z
(1+γ)
— квантиль стандартного нормального распределения уров-
/2
)
/2 (см. таблицу А.2), в данном случае z
1+γ
2
n
x
1,96 · 3
=
√
36
= 0,98
0,975
= 1,96.
Следовательно, cогласно формуле 3.14 доверительные границы равны:
X
X нижняя 4,1 − 0,98 = 3,12;
X верхняя 4,1 + 0,98 = 5,08.
Таким образом, 0,95–доверительный интервал имеет вид
3,12 < mX< 5,08.
88 Глава 3. СТАТИСТИЧЕСКИЕ ОЦЕНКИ
Пример 3.10. Найти минимальный объем выборки, при котором с надежностью γ = 0,99 точность оценки математического ожидания mXгенеральной совокупности по выборочной средней равна δ = 0,3, если известно
среднее квадратическое отклонение σ = 1,2 нормально распределенной генеральной совокупности.
Решение. Воспользуемся формулой (3.14)
σ
x
√
δ = z
1+γ
2
n
По условию, γ = 0,99; следовательно, по таблице А.2 найдем
1+γ
z
2
= z
1+0,99
2
= z
0,995
= 2,5758.
Тогда
n > z
2
1+γ
σ
x
2
δ
2
2,5758 · 1,2
=
0,3
2
= 106,1559.
Окончательно имеем n = 107.
Пример 3.11. Случайная величина X распределена нормально. По вы-
борке объема n = 16 найдено выборочное среднее m
*
= 20,2 и исправленное
X
среднее квадратическое отклонение SX= 0,8. Построить доверительный ин-
тервал для математическое ожидание c уровнем доверия γ = 0,95.
Решение. Воспользуемся формулой (3.15). По таблице Б.1 найдем квантиль
t
1+γ
(
n − 1)= t
2
1+0,95
2
(
16 − 1)= t
0,975
2
(15)
= 2,1314.
Вычислим точность оценки:
δ = t
1+γ
2
(
n − 1
S
X
√
)
n
2,1314 · 0,8
=
√
= 0,43.
16
Следовательно, cогласно формуле 3.15 доверительные границы равны:
X нижняя 20,2 − 0,43 = 19,77;
X верхняя 20,2 + 0,43 = 20,63.
3.4. Задачи 89
Таким образом, 0,95–доверительный интервал имеет вид
19,77 < mX< 20,63.
Пример 3.12. Случайная величина X распределена нормально. По вы-
борке объема n = 25 вычислена несмещенная оценка дисперсии S
2
= 0,16.
X
Найти доверительный интервал, покрывающий генеральную дисперсию σ
с надежностью γ = 0,95.
Решение. Воспользуемся формулой (3.16). По таблице Г.1 найдем квантили
2
h1=h
h2=h
(1−γ)
(1+γ)
(
n − 1)= h
/2
(
n − 1)= h
/2
0,025
0,975
(24)
(24)
= 12,401,
= 39,364.
Согласно формуле 3.16 доверительные границы равны:
24 · 0,16
X нижняя
= 0,097;
39,364
24 · 0,16
X верхняя
= 0,308.
12,401
Таким образом, 0,95–доверительный интервал имеет вид
0,097 < σ
2
< 0,308.
X
3.4 Задачи
Задача 3.1. Задан дискретный вариационный ряд
xi2 3 4 5 7 10
ni3 1 2 3 4 2
Вычислить эмпирические характеристики:
а) выборочное среднее m
б) медиану Me
*
, в) моду Mo
X
д) среднее квадратическое отклонение σ
*
,
X
*
, г) дисперсию D
X
*
,
X
*
,
X
90 Глава 3. СТАТИСТИЧЕСКИЕ ОЦЕНКИ
е) несмещённую дисперсию S
2
,
X
ж) исправленное среднее квадратическое отклонение SX,
з) коэффициент вариации, и) коэффициентом асимметрии,
к) коэффициентом эксцесса.
Задача 3.2. По интервальному вариационному ряду
(
α
i−1
n
; α
i
] [
i
9; 12
] (
12; 15
] (
15; 18
] (
18; 21
] (
21; 24
3 14 5 2 1 1
Вычислить эмпирические характеристики:
а) выборочное среднее m
б) медиану Me
*
, в) моду Mo
X
д) среднее квадратическое отклонение σ
е) несмещённую дисперсию S
*
,
X
*
, г) дисперсию D
X
*
,
X
2
,
X
] (
24; 27
*
,
X
]
ж) исправленное среднее квадратическое отклонение SX,
з) коэффициент вариации, и) коэффициент асимметрии,
к) коэффициент эксцесса.
Задача 3.3. По выборке{x1, x2, . . . , x
}
методом моментов найти оценку
n
параметра θ равномерного распределения на интервале:
а)[0; θ]; б)[−θ; θ]; в)[θ; θ + 10].
Задача 3.4. По выборке{x1, x2, . . . , x
}
методом моментов найти оценку
n
параметра λ распределения Пуассона.
Задача 3.5. По выборке{x1, x2, . . . , x
}
методом моментов найти оценку
n
параметра p геометрического распределения.
Задача 3.6. По выборке{x1, x2, . . . , x
}
методом максимального правдо-
n
подобия найти оценку параметра λ распределения Пуассона.
Задача 3.7. По выборке{x1, x2, . . . , x
}
методом максимального правдо-
n
подобия найти оценку параметра p геометрического распределения.