Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Специальные разделы высшей математики. Практикум по математической статистике. Учебно-методическое пособие.pdf
9 5 6 6 7 7 8 6 8 4 8 6 8 6 8 6 5 7 7 9
5 7 7 8 5 5 8 6 8 5 7 6 6 7 6 5 6 7 5 5
6 5 6 6 6 6 6 7 7 6 7 7 6 5 8 3 6 6 7 3
6 5 7 6 3 7 6 3 4 5 7 6 9 6 8 6 8 8 8 6
6 6 8 8 6 4 4 7 6 7 7 6 5 6 8 8 5 6 7 5
Согласно статистическим данным необходимо:
а) построить дискретный вариационный ряд частот;
б) построить дискретный вариационный ряд частостей;
в) построить полигон частостей;
261
г) построить дискретный вариационный ряд накопленных частостей;
д) записать и построить эмпирическую функцию распределения.
Решение. а) Вариантами, т. е. различными значениями элементами в
выборке, являются x1= 3, x2= 4, x3= 5, x4= 6, x5= 7, x6= 8,
x7= 9. Вычислим их частоты, сколько раз указанные варианты встреча-
ются в выборке. В результате получим n1= 4, n2= 4, n3= 16, n4= 35,
n5= 21, n6= 17, n7= 3. Таким образом, дискретный вариационный ряд
частот имеет вид
Таблица 8.1 – Дискретный вариационный ряд
P
x
n
3 4 5 6 7 8 9
i
4 4 16 35 21 17 3 100
i
Последний столбец в таблице больше нужен для контроля вычислений,
сумма частот niдискретного вариационного ряда равна объему выборки n,
в данном случае n = 100.
б) Разделив частоты niна объем выборки n = 100, получим частости
(относительные частоты) p
равны p
*
p
= 0,03. Следовательно вариационный ряд частостей имеет вид
7
*
= 0,04, p
1
*
= 0,04, p
2
*
вариант xiвыборки, которые соответственно
i
*
= 0,16, p
3
*
= 0,35, p
4
*
= 0,21, p
5
*
= 0,17,
6
262 Глава 8. РЕШЕНИЕ СИГНАЛЬНОГО ВАРИАНТА
Таблица 8.2 – Дискретный вариационный ряд
P
x
p
i
*
i
3 4 5 6 7 8 9
0,04 0,04 0,16 0,35 0,21 0,17 0,03 1
Как и в случае дискретного вариационного ряда частот, последний стол-
бец в таблице нужен для контроля вычислений, сумма частостей p
*
i
дис-
кретного вариационного ряда всегда равна 1.
в) Построим ломаную линию, отрезки которой соединяют точки (xi; p
*
),
i
в результате получим требуемый в задании полигон относительных частот.
*
p
i
0,35
0,21
0,16
0,040,04
x
3 4 5 6 7 8 9
i
Рис. 8.1 – Полигон относительных частот
г) Запишем накопленные частости ωi, т. е. равные сумме частостей, со-
ответствующие всем вариантам меньше или равных xi: ωi= p
1
+p
*
+. . .+p
2
*
i
*
Итак ω1= 0.04, ω2= 0.08, ω3= 0.24, ω4= 0.59, ω5= 0.80, ω6= 0.97,
ω7= 1. Следовательно вариационный ряд накопленных частостей примет
вид вид
.
Таблица 8.3 – Дискретный вариационный ряд накопленных частостей
x
ω
i
i
3 4 5 6 7 8 9
0,04 0,08 0,24 0,59 0,80 0,97 1
д) В итоге, используя формулу (2.1) и данные таблицы 8.3, получим,
что искомая функция распределения имеет вид:
0; x 6 3;
0,04; 3 < x 6 4;
0,08; 4 < x 6 5;
*
(x)
F
=
0,24; 5 < x 6 6;
0,59; 6 < x 6 7;
0,80; 7 < x 6 8;
0,97; 8 < x 6 9;
1; x > 9.
Ее график изображен на рисунке
F*(x)
263
1
0,8
0,59
0,24
0,08
3 4 5 6 7 8 9
x
Рис. 8.2 – Эмпирическая функция распределения
Задание 5. В результате анализа прочности бетона на сжатие в возрасте
28 суток были исследованы 80 проб. Статистические данные исследования
представлены в таблице (МПа).
37,2 32,5 33,3 28,6 30,2 36,0 34,9 26,0 33,5 33,2
28,6 26,8 24,6 29,5 30,6 29,4 33,2 32,0 25,9 33,3
32,0 36,4 30,1 22,7 27,7 26,8 37,9 29,1 34,0 30,2
28,8 31,0 30,2 31,7 25,1 32,2 21,3 38,6 27,9 34,2
32,2 33,5 33,3 36,4 26,8 27,5 34,1 25,4 28,1 22,9
27,9 30,5 31,9 28,5 29,5 29,7 31,3 26,9 30,2 34,6
26,1 28,9 30,9 28,7 33,6 35,2 34,0 27,6 26,1 34,2
30,1 27,0 32,8 33,4 20,1 28,6 29,5 29,8 34,5 25,6
264 Глава 8. РЕШЕНИЕ СИГНАЛЬНОГО ВАРИАНТА
Используя эти данные, необходимо :
а) построить интервальный вариационный ряд, для вычисления числа
интервалов разбиения использовать формулу Стерджесса;
б) построить гистограмму относительных частот и полигон приведен-
ных относительных частот выборки;
в) записать и построить эмпирическую функцию распределения.
Решение. а) 1. Объем выборки n = 50. Определим число интервалов
разбиения по формуле Стерджесса
k =[log2(n)]+ 1 =[log2(80)]+ 1 = 6 + 1 = 7.
2. Построим простой вариационный ряд, упорядочив выборку по воз-
растанию значений ее элементов
20,1 21,3 22,7 22,9 24,6 25,1 25,4 25,6 25,9 26,0
26,1 26,1 26,8 26,8 26,8 26,9 27,0 27,5 27,6 27,7
27,9 27,9 28,1 28,5 28,6 28,6 28,6 28,7 28,8 28,9
29,1 29,4 29,5 29,5 29,5 29,7 29,8 30,1 30,1 30,2
30,2 30,2 30,2 30,5 30,6 30,9 31,0 31,3 31,7 31,9
32,0 32,0 32,2 32,2 32,5 32,8 33,2 33,2 33,3 33,3
33,3 33,4 33,5 33,5 33,6 34,0 34,0 34,1 34,2 34,2
34,5 34,6 34,9 35,2 36,0 36,4 36,4 37,2 37,9 38,6
3. Определим длину частичного интервала h. Минимальный и макси-
мальный элементы выборки соответственно равны x
x
max
= x
= 38,6. Следовательно размах выборки равен
(50)
min
= x
= 20,1 и
(1)
В силу того, что
R = x
R
=
k
− x
max
18,5
≈ 2,642857143, то длина частичного интервала
7
= 38,6 − 20,1 = 18,5.
min
разбиения равна
h = 2,7.
При нахождении h округление производится вверх, для того, чтобы
размах выборки был не меньше длины общего интервала разбиения:
Q = αk− α0= α0+ hk − α0= hk = 18,9.
265
4. При вычислении границ частичных интервалов построим общий ин-
тервал разбиения так, чтобы его границы слева и справа симметрично выходили за границы x
min
и x
, т. е. α0= x
max
− δ, αk= x
min
max
+ δ, где
18,9 − 18,5
δ =
= 0,2.
2
Остальные границы частичных интервалов находятся по формулам
αi= α
h, i = 1, k.
i−1
Тогда α0= 19,9, α1= 22,6, α2= 25,3, α3= 28,0, α4= 30,7, α5= 33,4,
α6= 36,1, α7= 38,8.
5. Вычислим частоты попадания элементов выборки в интервалы раз-
биения, при этом в частичный интервал(α
i−1
борки, значения которых больше нижней границы α
]
; α
включают элементы вы-
i
интервала и меньше
i−1
или равны верхней границы αi:
n1= 2, n2= 4, n3= 16, n4= 23, n5= 17, n6= 13, n7= 5.
6. В итоге запишем искомый интервальный вариационный ряд частот,
записав интервалы группировки и соответствующие им частоты в таблицу
построчно
Таблица 8.4 – Интервальный вариационный ряд частот
P
]
№
(
n
1 2 3 4 5 6 7
i−1
; α
]
i
α
i
(
19,9; 22,6
] (
22,6; 25,3
2 4 16 23 17 13 5 80
] (
25,3; 28,0
] (
28,0; 30,7
] (
30,7; 33,4
] (
33,4; 36,1
] (
36,1; 38,8
б) Для построения полигона приведенных относительных частот пе-
рейдем от интервального вариационного ряда 8.4 к соответствующему ему
дискретному (для середин интервалов) относительных частот и приведенных относительных частот. Серединыxiинтервалов равныx1= 21,25,
x2= 23,95,x3= 26,65,x4= 29,35,x5= 32,05,x6= 34,75,x7= 37,45.
Относительные частоты p
*
p
= 0,2875,p
4
*
= 0,2125, p
5
*
6
*
i
= 0,1625, p
=
n
i
равны p
n
*
1
*
= 0,0625.
7
= 0,025, p
*
= 0,05, p
2
*
= 0,2,
3
266 Глава 8. РЕШЕНИЕ СИГНАЛЬНОГО ВАРИАНТА
Запишем эти данные построчно в таблицу дискретного вариационного
ряда частостей.
Таблица 8.5 – Дискретный вариационный ряд частостей
x
p
Вычислим приведенные относительные частоты
*
p
0,01852,
3
h
3
21,25 23,95 26,65 29,35 32,05 34,75 37,45
i
*
0,025 0,05 0,2 0,2875 0,2125 0,1625 0,0625
i
*
p
i
h
i
*
6
= 0,06019,
6
= 0,07407,
*
p
4
= 0,10648,
h
4
*
p
5
= 0,07870,
h
5
p
h
*
p
1
:
= 0,00926,
h
1
*
p
7
= 0,02315,
h
7
*
p
2
=
h
2
где hi— длина i-го частичного интервала (в данном задании длины всех
интервалов одинаковы: hi= 2,7 ).
Построим дискретный вариационный ряд приведенных относительных
частот.
Таблица 8.6 – Дискретный вариационный ряд приведенных частостей
x
i
*
p
i
h
i
21,25 23,95 26,65 29,35 32,05 34,75 37,45
0,00926 0,01852 0,07407 0,10648 0,07870 0,06019 0,02315
Построив ломанную, отрезки которой соединяют точки(xi; p
требуемый полигон приведенных относительных частот.
*
p
i
/h
i
0.10648
0.07407
0.06019
0.02315
0.00926
21.25 26.65 32.05 37.45
Рис. 8.3 – Полигон приведенных относительных частот
*
)
, получим
i
x
i
б) При построении гистограммы частостей для интервального вариа-
ционного ряда на оси абсцисс отметим границы интервалов(α
i−1
; α
]
. И на
i
267
них построим прямоугольники с высотами равными приведенным часто-
*
p
стям, т.е. отношениям
i
/hi.
*
p
/h
0.10648
0.07407
0.06019
0.02315
0.00926
19,9 22,6 25,3 28,0 30,7 33,4 36,1 38,8
x
Рис. 8.4 – Гистограмма частостей
в)На основании таблицы вычислим накопленные относительные ча-
стоты ωi= p
*
ω
= 0,5625,p
4
*
5
*
1
= 0,775, p
+ p
*
+ . . . + p
2
*
= 0,9375, p
6
*
: ω
i
*
= 0,025, p
1
*
= 1.
7
*
= 0,075, ω
2
*
= 0,275,
3
Построим дискретный вариационный ряд накопленных частостей.
Таблица 8.7 – Дискретный вариационный ряд накопленных частостей
x
ω
i
i
21,25 23,95 26,65 29,35 32,05 34,75 37,45
0,0250 0,0750 0,2750 0,5625 0,7750 0,9375 1,0000
Тогда на основании формулы (2.1) можем записать эмпирическую
функцию:
0; x 6 21,25;
0,0250; 21,25 < x 6 23,95;
0,0750; 23,95 < x 6 26,65;
*
(x)
F
=
0,2750; 26,65 < x 6 29,35;
0,5625; 29,35 < x 6 32,05;
0,7750; 32,05 < x 6 34,75;
0,9375; 34,75 < x 6 37,45;
1; x > 37,45.
268 Глава 8. РЕШЕНИЕ СИГНАЛЬНОГО ВАРИАНТА
Построим ее график.
F*(x)
1
0.9375
0.775
0.5625
0,275
0,075
0,0250
21,25 23,95 26,65 29,35 32,05 34,75 37,45
x
Рис. 8.5 – Эмпирическая функция распределения
Тема 3. Статистические оценки
Задание 6. По выборке наблюдений над случайной величины X, при-
веденной в условии задачи 4, вычислить следующие эмпирические характеристики:
а) математическое ожидание m
б) медиану Me
в) моду Mo
г) дисперсию D
*
;
X
*
;
X
*
;
X
д) среднее квадратическое отклонение σ
е) несмещённую дисперсию S
*
;
X
*
;
X
2
;
X
ж) исправленное среднее квадратическое отклонение SX;
з) выборочный коэффициент вариации V*.
269
Решение. Для вычисления требуемых в задаче характеристик используем
дискретный вариационный ряд 8.1, построенный при решении задачи 4.
Заполним вспомогательную таблицу
Таблица 8.8 – Промежуточные вычисления
x
i
n
i
xin
i
(
xi− m
) (
X
xi− m
3 4 12 -3,28 43,0336
4 4 16 -2,28 20,7936
5 16 80 -1,28 26,2144
6 35 210 -0,28 2,744
7 21 147 0,72 10,8864
8 17 136 1,72 50,2928
9 3 27 2,72 22,1952
сумма 100 628 176,16
среднее 6,28 1,7616
а) Вычислим выборочное среднее согласно формуле (3.1):
2
)
n
X
i
r
X
m
*
X
= ν
1
*
=
1
n
xini=
i=1
1
· 628 = 6,28.
100
б) Используем определение 3.14, т. к. накопленная частота впервые пре-
вышает порогn/2 = 50 у варианты x4= 6: nω4= 59, то Me
*
X
= 6.
в) Согласно определению 3.15, т. к. варианта x4= 6 имеет наибольшую
частоту n4= 35, то выборочная мода также равна Mo
*
X
= 6.
г) Выборочную дисперсию вычислим, следуя определению 3.8 по фор-
муле (3.2):
r
X
D
*
x
= µ
1
*
=
2
n
i=1
(
xi− ν
*
1
)
2
ni=
1
176,16 = 1,7616,
100
д) Согласно определению 3.8 среднее квадратическое отклонение равно:
σ
*
x
=D
*
=√1.7616 ≈ 1,32725.
x
270 Глава 8. РЕШЕНИЕ СИГНАЛЬНОГО ВАРИАНТА
е) Вычислим по формуле 3.4 определения 3.9 несмещённую дисперсию
2
S
X
=
n
n − 1
D
*
x
2
S
x
=
100 − 1
100
1.7616 ≈ 1,77939.
ж) Согласно определению 3.10 исправленное среднее квадратическое
отклонение равно
Sx=S
2
≈√1,77939 ≈ 1,33394
x
з) Используя формулу (3.5), выборочный коэффициент вариации V*;
*
V*=
σ
x
· 100%≈
*
m
x
1,32725
· 100%≈ 21,13%.
6,28
В силу того, что V*≈ 21,13%< 30%, то выборку можно считать одно-
родной.
Задание 7. По выборке наблюдений над случайной величины X, при-
веденной в условии задачи 5 необходимо:
1) вычислить следующие эмпирические характеристики:
а) выборочное среднее m
б) медиану Me
*
, в) моду Mo
X
д) среднее квадратическое отклонение σ
е) несмещённую дисперсию S
*
,
X
*
, г) дисперсию D
X
*
,
X
2
,
X
*
,
X
ж) исправленное среднее квадратическое отклонение SX,
з) коэффициент вариации, и) коэффициентом асимметрии,
к) коэффициентом эксцесса.
2) считая, что выборка извлечена из генеральной совокупности с нор-
мальным распределением Nm, σ
2
, записать доверительные интервалы
для неизвестных параметров c уровнем доверия γ = 0,9:
а) математического ожидания m, дисперсия известна и равна σ2= 16,
б) математического ожидания m, дисперсия не известна,
в) дисперсии σ2.